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Historia de las Matemáticas
El álgebra en los siglos XVIII-XIX
Profesor: Francisco Guil Asensio
Web: ww.um.es/mataplic/fguil/guil.html
Tutorías:
Martes, Miércoles y Jueves
10-11 y 11:30-12:30
3ª planta, Facultad de Informática
Bibliografía:
- A history of algebra from Al-Khwarizmi to Emmy Noether. Van der Waerden. Ed. Springer.
- Historia de la Matemática.- Carl B. Boyer. Alianza Universidad Textos nº 94
- El pensamiento matemático de la antigüedad a nuestros días. Morris Kline. Alianza Universidad. Tomos II y III (nº 729)
- The genesis of the abstract group concept. H. Wussing. Cambridge, Ma. MIT Press
- Mathematics of the 19th century. Kolmogorov & Yushkevich. Ed. Birkhaüser. Vol. I
ÁLGEBRA
- Estudio de las estructuras algebraicas
-Históricamente
Ecuaciones
Polinomios
Sistemas
Ecuaciones indeterminadas
Reglas de operación con números
Teoría de números
Tipos de álgebra:
- Retórica
- Sincopada
- Simbólica
Precursores
Matemática griega
Mat. hindú Mat. Árabe Mat. Medieval
Mat. Renacimiento
Rec. Textos álgebra simbólica Geom.coord.
Geometría Tª números
2000 a.C.
300 a.C- 200 d.C
S. XVI
Matemática egipcia:
- Papiro de Rhind.
alrededor del 1650 a. C.
álgebra retórica
ecuaciones lineales de una incógnita.
método de falsa posición
los problemas se plantean verbalmente.
- Papiro de El Cairo
alrededor de año 300 a. C.
sistemas de 2 ecuaciones en 2 incógnitas de segundo grado.
No hay teoría de números.
Algebra babilónica I
más avanzada que en Egipto
sistema de numeración posicional
aparece el uso de símbolos
su álgebra es esencialmente retórica
problemas a través de ejemplos
no hay explicaciones ni demostraciones
usan números racionales positivos
aproximaciones
Algebra babilónica II
resolución de ecuaciones cuadráticas
solamente reconocen la raíz positiva
sistemas de 2 ecuaciones y 2 incógnita
problemas con más de dos incógnitas
ecuaciones de grado mayor.
Algebra griega clásica
no aceptan la existencia de números irracionales
representación geométrica de cantidad.
construcciones de identidades algebraicas
solución de ecuaciones cuadráticas
se demuestran de forma geométrica.
los contenidos no van más allá que en Babilonia
El enfoque geométrico
ventaja: uso del razonamiento deductivo
carece de valor práctico
retrasó el progreso del álgebra.
Diofanto
representa un alejamiento del álgebra geométrica
Introduce un estilo sincopado
el estilo retórico será dominante durante siglos
La Aritmética
ecuaciones indeterminadas
No usa métodos generales
hay 189 problemas y 189 métodos
acepta raíces racionales positivas
si hay dos soluciones, solo da una de ellas
no hay estructura deductiva en su trabajo.
ALGEBRA HINDÚ I
es importante después de la influencia griega.
motivación basada en la astronomía y astrología
- año 600 d. C.
sistema posicional en base 10
el 0 se considera un número más
los negativos para representar deudas
- año 1114 d.C.
número positivo tiene 2 raíces cuadradas
procedimientos correctos para operar
ALGEBRA HINDÚ II
- progresos en álgebra y aritmética.
cierto simbolismo
no se usa generalmente
va más allá del álgebra sincopada
no hay demostracione solo se dan los pasos
las ecuaciones cuadráticas tienen 2 raíces
incluyen raíces negativas e irracionales
soluciones completas de ax + by = c
consideran ecuaciones cuadráticas.
Algebra árabe I
conservan el conocimiento griego
traducciones -> conocimiento actual
origen de ALGEBRA y ALGORITMO
álgebra retórica
numeración
mejoran la numeración hindú
algoritmos para operaciones
influencia en en Europa en el año 1200
Algebra árabe II
trabajan con irracionales
rechazan los números negativos
ecuaciones cuadráticas
métodos generales
reconocen las dos soluciones
normalmente descartan una
ecuaciones cúbicas
métodos geométricos
intersección de cónicas
trabajan con ecuaciones indeterminadas
EL NACIMIENTO DEL ÁLGEBRA SIMBÓLICA
1545 ARS MAGNA de Cardano
Consolidación del cálculo aritmético
Números decimales (Stevin, 1585)
Cálculo de logaritmos y primeras tablas
(Napier, Whiggs, Burgui)
Resolución ecuaciones tercer y cuarto grado
Cardano - Stevin - Bombelli - Vieta
Paso del álgebra sincopada a la literal
1637 LA GEOMETRÍA de Descartes
Descartes Fermat
Geometría de coordenadas
Trabajos en Tª de números
Precursores del Cálculo
Newton
Leibniz
1637
S XVIII
Newton Leibniz
Cotes
Taylor
Stirling
Johan Bernouilli Jean Bernouilli
D. Bernouilli Euler D’Alembert
Lagrange Legendre Laplace Carnot Condorcet Monge
LA ESCUELA DE NEWTON
ISAAC NEWTON
COTES TAYLOR
STIRLING
LA ESCUELA DE LEIBNIZ
G. LEIBNIZ
JOHAN BERNOUILLI JEAN BERNOUILLI
DANIEL BERNOUILLI D’ALEMBERT LEONARD EULER
LOS MATEMÁTICOS DE LA REVOLUCIÓN
J. L. LAGRANGE J. M. LEGENDRE
LAPLACE CARNOT
CONDORCET MONGE
SITUACIÓN SOCIAL A FINALES SITUACIÓN SOCIAL A FINALES DEL S. XVIIIDEL S. XVIII
- Búsqueda de aplicaciones
- Poco desarrollo de la Matemática por sí misma
- Desarrollo rápido acompañado de falta de rigor
- Paso de las Academias a las Universidades
- Primeras sociedades matemáticas
- Primeras revistas
- Crecimiento de la comunidad matemática
Problemas relevantes a finales del XVIIIProblemas relevantes a finales del XVIII
- Ecuaciones polinómicas
Teorema fundamental
Métodos de resolución
- Tª de números
Notación
Unificación
Problemas abiertos
representación
divisibilidad
- Distintos tipos de números
Nº naturales, enteros, racionales, reales, complejos
Distinción algebraicos y trascendentes
¿Qué son? ¿cuáles son sus limitaciones?
- Geometría
Nuevos tipos de geometría: descriptiva, proyectiva
Preocupación por uso de coordenadas
Surgen las estructuras algebraicas:
- Tª de Grupos
Ecuaciones polinómicas
Tª de números
Geometría
Ecuaciones diferenciales
Es la primera en desarrollarse
Sus métodos y resultados influirán en las demás
- Tª de Cuerpos
Ecuaciones polinómicas
Tª de números (ideales)
Problemas de fundamentación: Kronecker y extensiones trascendentes
Primera estructura totalmente axiomatizada
- Tª anillos conmutativos
Tª de números (ideales)
Anillos de polinomios
Geometría (invariantes)
- Tª anillos no conmutativos y álgebras
Tipos de números
Nº complejos
Geometría (movimientos)
Matrices
Álgebra lineal
Las teorías de anillos conmutativos y no conmutativos se influirán mutuamente en el siglo XX a través del concepto central de módulo
UNA MIRADA AL SIGLO XXUNA MIRADA AL SIGLO XX
- Relaciones entre estructuras
- Visiones estructurales
Los retículos de Ore
Las estructuras de Bourbaki
La teoría de categorías
- Métodos topológicos: homología
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