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IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
1. Resuelve las siguientes ecuaciones polinómicas:
a) 2
54
96
316
26 xxxx −−−=+−−
9(1248
)3(8)26(3 −⋅=−+⋅−−⋅ xxx
)9(12)3(8)26(3 xxx −−⋅=+⋅−−⋅
⇒−=−⇒ 12123010 xx −1210 xx
Solución: 9−=x
b) 6
1235
342
1832 −−=−−− xxx
18
3)5(6
18
)42(6)32(1 −⋅=−−⋅−−⋅ xx
3)5(6)42(6)32(1 ⋅−⋅=−⋅−−⋅ xx
⇒+=+⇒ 1533626 xx ⇒= 4832x
Solución: 23=x
c) 320
3115
2310
3534 ++−−=−−− xxxx
3)23(460
)3(6)34(12 −−=−−− xxx
−−=−−− 3)23(4)3(6)34(12 xxx
⇒+−=+−⇒ 269136642 xx − 42x
Solución: 7−=x
d)
−+=
−+−−3
5
10
534
5
3
3
4 xx
xx
60
)4(6060)3(12)4(20 =⋅+−−− xxx
=⋅+−−− xxx )4(6060)3(12)4(20
=+−−−⇒ xxx 1824060368020
Departamento de Matemáticas
Resuelve las siguientes ecuaciones polinómicas:
48)2,4,6,16.(.. 48
)5(24) =−⋅−mcm
xx
)5(24 x−⋅− −−=−−−⇒ xxx 12108248618
⇒+−= 3012x ⇒=− 182x 92
18 −=⇒−
= xx
18)6,3,18.(.. 18
)12(3 =−⋅mcm
x
)12( −x ⇒+−=+−−⇒ 3630241232 xxx
⇒2
3
32
48 =⇒= xx
3
60)20,15,10,5.(.. 60
(60)3)31(3 =⋅++mcm
x
⇒⋅++ )60(3)31(3 x −=+−− 921863648 xx
⇒−=+ 6626913xx ⇒=− 20329x29
203
−=x
−4
x
43
5
10
534
5
3
3
4 xxx
xx +−+=+−−−⇒
)4,10,5,3.(.. 60
15)5(20)53(6 +⋅−+= mcmxx
⇒+⋅−+= xx 15)5(20)53(6
⇒+−+ xx 1510030 ⇒−=+− 824516076 xx
ECUACIONES 3º ESO
1
⇒+− x24120
9
⇒+−=− 3361526 xx
⇒+−−− 180934 xx
729
203 −=⇒ x
60=
⇒
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
⇒−−=−−⇒ 160824576 xx −121
Solución: 2=x
e) ( ) (
25
4355
3225
47 −++=−+−
xxxx
)355(3
12
)5025(4)7(3 ++=−+− xxx
)355(3)5025(4)7(3 ++=−+− xxx
⇒−=−⇒ 10545221103 xx −103x
Solución: 2=x
f) 12
985
2472
84 x
xxx −−−=+−−−
=⋅+−−− 2424
)24(5)72(1)4(3 xx
=⋅+−−−⇒ xx 24)24(5)72(1)4(3
2621026115 −⇒−=+⇒ xxxx
Solución: 13=x
g) ( ) +−⇒
−=+−7
4224
37
222
xxxxx
⇒−=+−
⇒ 14 28
)3(728
)42(414 xxx
621716814 −⇒−=−−⇒ xxxx
Solución: 5=x
h) +−=+−−
6.(.. 12
83
16
165mcm
xxx
⇒−−=+−−⇒ 8)1(4)165(2 xxx
2873686 ⇒=⇒+−=+⇒ xxxx
Solución: 4=x
Departamento de Matemáticas
⇒−= 242121x 2121
242 =⇒−−= xx
)7−235
25
4355
35025
47 −++=−+−
⇒xxxx
12)2,3,4.(.. 12
)35(6)5(6 =⋅−+mcm
x
)35(6)5(6 ⋅−+ x =−+−⇒ 15200100213 xx
⇒+−=− 22110545x ⇒=11658x58
116⇒=x
⇒=−−⋅−24)12,24,8.(..
24)9(2)24(824
mcmxx
++−−⇒−−⋅− xxxx 12072123)9(2)24(824
25325
32525115210 ⇒−−=⇒−=−⇒−−= xxx
⇒=−= 28)4,7,2.(.. 4
34mcm
x
⇒−=+− )3(7)42(414 xxx
516217621716 −=−⇒+−=−⇒−=− xxxx
⇒−−=+−−
⇒=12
812
)1(4)165(212)12,3,6
xxx
−−=−⇒−−=−−−⇒ 3668443210 xxxxx
4728 =⇒= xx
ECUACIONES 3º ESO
2
⇒−++ 2103010515 xx
2=⇒ x
⇒
⇒+−−= xx 21819224120
13=⇒ x
55 =⇒ x
⇒
⇒− 8
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
i) ( )( ) ( ) ⇒=−−+− xxxx 32343434 2
4534834548 ⇒=−⇒=−⇒ xxxx
Solución: 1=x
j) ( ) ( ) ( ) ⇒−−+=+ 231332 2xxxxx
693362 22 −+−+=+⇒ xxxxxx
Solución: 3=x
k) ( ) ( ) ( ) (−+=−−− 131532 2 xxxxx
1410
1014
3559124 22
=⇒−−=⇒−=−⇒
+=+−+−⇒
xxx
xxxxx
Solución: 7
5=x
l) ( )
5
1
525
82
5
1 22
+=−−+ xxx 21+⇒
x
2555
25)82(1)21(5 22 ⋅+=−−++ xxxx
55)82(1)21(5 22 ⋅+=−−++ xxxx
8
8881358
−=⇒−=⇒−=⇒ xxx
Solución: 1−=x
m) ( )( ) ( )
xxxx
⇒−+=+−12
143
4
1212 2
. 12
12)312(1
12
)14(3 22 −+=−cm
xxx
1212)312(1)14(3 22 ⇒−+=− xxxx
Solución: 2
1=x
Departamento de Matemáticas
−⇒=+−−−⇒ xxxxx 9163)4129(4)916( 222
14545
4545 =⇒=⇒=⇒ xxx
⇒+−−+=+ )69(3362 222 xxxxxx
99699262 222 −=−⇒−+=+⇒ xxxxxxx
) −+=+−+−⇒− 3355)9124(2 222 xxxxx
7
5
1797443 222 −+−=+−−⇒−+−+ xxxxxx
51
52582
5
22
+=−−+ xxxx
25)25,5.(.. )1( =⋅
mcm
)1( ⇒+=+−++⇒ 55825105 22 xxxx 5 2x
1−=⇒ x
xxx −+=−12
312
4
14 22
12)12,4.(.. =mc
123312123123 22 =⇒+=⇒−+=− xxxxx
ECUACIONES 3º ESO
3
⇒=−+− xxx 31648369 2
393 =⇒−=−⇒ xx
⇒+− )44( 2 xx
91771 ⇒−−=−−⇒ xx
⇒+=++ 55138 2xx
21
126
6 =⇒=⇒= xx
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
n) ( ) ( )( ) −⇒+−−=−− 33
2
13 2 xxxx
183318)33( ⇒=+−⇒=−−⇒ xx
Solución: 5−=x
o) ( ) ( )
8
1
4
13
8
12
2
1 2
⇒−+=−−+ xxxx
8
13(2
8
)144(1)(4 22 +=+−−+ xxxxx
+=+−−+ 13(2)144(1)(4 22 xxxxx
22
221168 ⇒=⇒=⇒+=− xxxx
p) 5
6(
3
)2(
15
)43)(23( 2 xxxx −=+−−−
3
44
15
86129 22 xxxxxx =++−+−−
15
)44(5)8189(1 22
=++⋅−+−⋅ xxxx
)44(5)8189(1 22 xxxx =++⋅−+−⋅222 3202058189 xxxxx =−−−+−
10837412384 22 ⇒+−=−− xxxx
Solución: 120−=x
Departamento de Matemáticas
+−=−−⇒−−=−9
2
33)9(
2
33 2222 xxx
xxx
53
15153 −=⇒
−=⇒=−⇒ xxx
8
1
4
13
8
144
2
22
−+=+−−+ xxxxx
8)8,4,2.(.. 1)1 =−
mcm
⇒−+=−+−+⇒− 126144441)1 22 xxxxx
1=⇒ x
15
)1()6 2 xx −−
155
3612 22 xxxx −−+−
3,15.(.. 15
)(1)3612(3 22 −⋅−+−⋅= mcmxxxx
)(1)3612(3 22 xxxx −⋅−+−⋅=
22 10836 xxx +−+−
1200120 −=⇒=−− xx
ECUACIONES 3º ESO
4
⇒=−−⇒ 92
339
x
⇒+=−⇒ 1618 xx
15)5,3, =
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
2. Resuelve las siguientes ecuaciones polinómicas:
a) −⇒−=+− 1262104 2222 xxxxxx
b) +⇒−=++ 18611374 222 xxxxxx
c) −⇒+−=−+− 3765 222 xxxxxx
d) ⇒−+=+− 2147659 222 xxxxxx
e) ⇒++−=−− 114873 2222 xxxxxx
f) ⇒=−⋅⇒=− 0)2(3063 223 xxxx
g) ⇒+−=+−− 542435 22 xxxxxx
h) 676175 222 −=+−⇒−=+− xxx
i) 3451649 222 =+−⇒−−=−− xxx
j) 31102639 2222 ⇒−=+−− xxxx
Departamento de Matemáticas
Resuelve las siguientes ecuaciones polinómicas:
=⇒=−
=⇒=⇒=−⋅⇒=
026
006
0)2(6012xx
xxxxx
=⇒=+
=⇒=⇒=+⋅⇒=
036
006
0)3(6018xx
xxxxx
=−
=−⇒=−⋅−⇒=+−
32
030)32(3096 2
x
xxxxx
=−=
⇒=−⋅⇒=−⇒010
00)10(0102
x
xxxxx
+
−⇒=+⋅−⇒=−−⇒
9
20)9(20182 2
x
xxxxx
=⇒=−
=⇒=⇒=⇒=⇒
202
(doble) 003
003 222
xx
xxxx
⇒=⇒=−⇒−=−− 4042442 2222 xxxxx
06
0066 2222 ⇒=⇒
−=⇒=−⇒+− xxxxx
40415 222 ±=⇒−=⇒=+⇒−−= xxxx
70
071101 2222 =⇒−
=⇒=−⇒−=− xxxx
ECUACIONES 3º ESO
5
=
=⇒
2
0x
−
=⇒
3
0x
=⇒=
=⇒−
=⇒
23
0
03
00
x
xx
=⇒ 100 x
−=⇒=
=⇒−
=⇒=
909
02
00
x
xx
(doble)
=−=
⇒±=⇒2
24
x
xx
(doble) 0=x
realsolución 4 ∃/⇒−
(doble) 00 =⇒= x
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
k) 3212533 2222 +⇒−=++− xxxx
multiplica que númeroningún existe (no
l) −⇒−−=−+− 510853 22 xxxxx
m) ⇒+++=−+ 4442565 22 xxxxx
n) −⇒−+−=−− 216334 22 xxxxxx
=
−=⇒±=⇒
22
228
x
xx
o) ⇒+−=−−− 6143644 2222 xxxx
p) −⇒−−=+−− 25494255 2 xxxxx
q) −⇒+−=−+ 785223 222 xxxxxx
r) −⇒+−=−+− 2396 222 xxxxxx
s) +=+++− 136487548 222 xxxxx
±=⇒=⇒−
−=⇒ 1616348 22 xxx
Departamento de Matemáticas
solución 0
440123 222 ∃/⇒
−=⇒−=⇒−= xxx
)4 de 0por domultiplica −
⇒±=⇒=⇒−=−⇒=+ 115505 222 xxxx
⇒±=⇒=⇒=⇒=−49
49
94094 222 xxxx
⇒−−=⇒−=−⇒=+
2
16162016 2222 xxxx
⇒±=⇒=⇒=⇒=− 44246024 222 xxx
=⇒=⇒−=−⇒=+2549
4925049 222 xxxx
⇒=−
⇒=−⇒=−⋅−⇒=+
01
070)1(7072
x
xxxxx
=⇒=−
=⇒=⇒=−⋅⇒=−
0920
020)9(2018
xx
xxxxx
+−⇒+=++⇒ 4831364813313 222 xxxxxx
=−=
⇒4
416
x
x
ECUACIONES 3º ESO
6
solución
=−=
⇒1
1
x
x
=
−=⇒
23
23
x
x
⇒= 8
=−=
⇒2
2
x
x
=
−=⇒±=
57
57
2549
x
x
=
=⇒−
=
1
07
0
x
xx
=
=⇒
9
020
x
⇒−=−⇒= 483048 2x
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
t) ⇒−−=−−− 1242325 222 xxxxxx
=⇒=−
=⇒−
=⇒=−⇒
202
04
004
xx
xxx
u) 792767 222 −+−=++− xxxxxx
v) =+−⋅⇒=+− )7(70749 232 xxxx
w) =+−⋅⇒=+− )12(2024 223 xxxx
x) ⇒=−⋅⇒=− 0)14(2028 334 xxxx
y) ⇒=−⋅⇒=− 0)4(40164 223 xxxx
z) =+−⋅⇒=+− )9(90981 232 xxxx
Departamento de Matemáticas
⇒=+−⇒−−=−−⇒ 08410428 222 xxxxxx
15515775157 222 ⇒=⇒+=+⇒+ xxxxxx
=⇒=+−
=⇒=⇒=⇒=⇒=
707
(doble) 007
007
0222
xx
xxxx
=⇒−=−⇒=+−
=⇒=⇒=⇒=⇒=
21
12012
(doble) 0020
020
222
xxx
xxxx
=⇒=−
=⇒=⇒=⇒=⇒
41
014
(triple) 0020
02 333
xx
xxxx
=⇒=−
=⇒=⇒=⇒=⇒
404
(doble) 0040
04 222
xx
xxxx
=⇒=+−
=⇒=⇒=⇒=⇒=
909
(doble) 009
009
0222
xx
xxxx
ECUACIONES 3º ESO
7
⇒=−⋅−⇒ 0)2(4 xx
332 ±=⇒= xx
(doble)
(doble)
(triple)
(doble)
(doble)
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
3. Resuelve las siguientes ecuaciones polinómicas:
a) 22 (2)3(5)2(3)1( +−−=−−− xxxx
(5)44(3)12( 22 −=+−−+− xxxxx
1551212312 22 −=−+−+− xxxxx
233211102 22 −−−=−+− xxxx
1312
121301213 −=⇒−=⇒=+ xxx
b) 222 )2()2()1()1( −−+=+−− xxxx
4()12()12( 222 +=++−+− xxxxx
41212 222 ++=−−−+− xxxxxx
xx 84 =−
0120
012 =⇒−
=⇒=− xxx
c) 22 (2)3(3)2(5)1(3 −−=+−− xxxx
(3)44(5)12(3 22 =++−+− xxxxx
320205363 22 −=−−−+− xxxxx
11217262 22 −−−=−−− xxxx 0625 =−− x
256
256
625 −=⇒−
=⇒=− xxx
d) 222 ()1(4)5()3(2 +−−=−+− xxxx
(4)2510()96(2 22 =+−++− xxxx
4251018122 222 =+−++− xxxxx
xxxx 12343223 22 −=+− 04310 =+− x
1043
1043
4310 =⇒−−=⇒−=− xxx
Departamento de Matemáticas
Resuelve las siguientes ecuaciones polinómicas: 2)2+
)44(2)3 2 ++−− xx
88215 2 −−− xx
1312
2)
)44()44 2 +−−+ xxx
444 2 −+−+ xx
2)1+
)12(2)3 2 ++−− xxx
2429 2 −−−− xx
2)2+
)44()12( 22 ++−+− xxxx
4448 22 −−−+− xxx
ECUACIONES 3º ESO
8
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
e) 22 (2)3(2)1(7)2(4 =−−−−− xxxx
69(2)1(7)44(4 2 +−−−−+− xxxx
12187716164 2 −+−+−+− xxxx
2425112 22 ++=+− xxxx 0315 =+− x
51
153
315 =⇒−−=⇒−=− xxx
f) 5)1(5)1()23( 222 −+−=−−−− xxx
)12()4129( 22 −=+−−+−− xxxx
5124129 222 −=−+−−+− xxxxx
1010510145 22 −−−=−+− xxxx
0240
024 =⇒=⇒= xxx
g) 222 )1()5(4)3(2 +−−=−− xxxx
()5(4)96(2 222 −−=+−− xxxxx
20418122 222 −−−=−+− xxxxx
2121812 22 −+−=−+− xxxx
⇒=+ 0310x10
3310
−=⇒−= xx
h) ()1(4)32(4)2(3 22 −+=−+− xxxx
2(4)32(4)44(3 22 +=−++− xxxx
xxxxx 8412812123 22 +=−++−
411320243 22 ++=+− xxxx
⇒=+− 01635x 1635 ⇒−=− xx
Departamento de Matemáticas
2)1+x
)12(2) 22 ++=+ xxx
2422 22 ++=− xxx
5
5)12(5 2 −++− xx
55102 −−− x
)12 ++ x
12 −− x
)3( −x
)3()12 −−+ xxx
xx 34 2 +−+
3516
3516 =⇒
−−= x
ECUACIONES 3º ESO
9
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
i) 222 ()1()4()4( ++−−=+−− xxxx
()168()168( 22 −=++−+− xxxxx
2168168 222 +−=−−−+− xxxxx
3616 +=− xx 0322 =−− x
223
223
322 −=⇒−
=⇒=− xxx
j) (7)2()3()1(2 222 −=−−+−− xxxx
()96()12(2 222 −−++−+− xxxxx
496242 222 +−−−−+− xxxxxx
217116 +−=−− xx
32032 =⇒=− xx
k) 222 (3)2()2()1( −−++=+− xxxx
()44()12( 222 +++=++− xxxxx
44412 222 −+++=−−− xxxxxx
5612 22 ++−=−−− xxxx 068 =−− x
43
86
68 −=⇒−
=⇒=− xxx
l) 22 (3)3(3)1()1(2 −−=−−+− xxxx
(3)12()12(2 22 =+−−++− xxxxx
9312242 22 −=−+−−−− xxxxx
1293323 22 −+−=−−− xxxx 0911 =+− x
119
119
911 =⇒−−=⇒−=− xxx
Departamento de Matemáticas
2)2
)44()12 22 ++++− xxxx
4412 2 +++− xxx
)3−x
)3(7)44 −−=+− xx
2174 +−=− xx
2)1−
)12(3)44 2 +−−+− xxx
3634 2 −+−+ xxx
2)1−x
)12(3)3 2 +−−− xxx
3639 2 −+− xx
ECUACIONES 3º ESO
10
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
m) 222 ()5()1(3)2(5 −+−=−−− xxxx
()12(3)44(5 222 =+−−+− xxxxx
36320205 222 −=−+−+− xxxxx
3416217142 22 +−=+− xxxx 0172 =−x
217
172 =⇒= xx
n) 22 (2)1(2)3(7)1(4 +−=−−− xxxx
21(2)3(7)12(4 2 +−=−−+− xxxx
242217484 2 +−=+−+− xxxxx
1012425154 22 +−=+− xxxx 0153 =+− x
53
15153 =⇒
−−=⇒−=− xxx
o) )2(5)2()21( 222 −−−=−−−− xxx
5)44()441( 22 −=+−−+−− xxxx
2044441 22 +−=−+−−+− xxxx
23205585 22 −+−=−+− xxxx 01812 =+− x
23
1218
1812 =⇒−−=⇒−=− xxx
p) 222 )1()37(4)3(2 −−+−=+− xxxx
()37(4)96(2 22 −+−=++− xxxxx
122818122 222 −+−=−−− xxxxx
29141812 22 −+−=−−− xxxx
01126 =+− x 1126 =⇒−=−⇒ xx
Departamento de Matemáticas
2)3−
)96()2510 22 +−++− xxx
962510 2 +−++− xxx
2)2−x
)44(2) 22 +−++ xxx
882 22 +−+ xxx
3
3)44(5 2 −+− xx
3520 2 −−+ xx
2
)122 +− xx
122 −+ x
2611
2611 =⇒
−−= x
ECUACIONES 3º ESO
11
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
q) )34()1(5)2( 22 xxxx −−++−=−−
)12(5)44( 22 xxxxx +++−=+−−
xxxxx 4510544 222 +−−−=−+−
1344 22 −−−=−+− xxxx
095 =+x59
95 ⇒−=⇒−=⇒ xx
r) 222 (3)2()1()3( −=+−+−−− xxx
()12()69( 222 −++−+−− xxxxx
41269 222 −−−−−−+− xxxxxx
12123143 22 −+−=−− xxx 0212 =−− x
61
122
212 −=⇒−
=⇒=− xxx
Departamento de Matemáticas
)32(4 x−−
)32(4)34( xxx −−−
xx 12832 +−−
59−=⇒ x
2)2( −x
)44(3)44 2 +−−=++ xxx
121234 2 −+−=− xxx
ECUACIONES 3º ESO
12
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
4. Resuelve las siguientes ecuaciones polinómicas:
a) 01072 =+− xx
==
=±=−±=2
5
237
240497
x
xx
Soluciones: 2 5 == xyx
b) 01872 =−− xx
−==
=±=+±=9
2117
272497
x
xx
Soluciones: 2 9 −== xyx
c) 032 2 =++ xx
realsolución 4
2411 ∃/⇒−±−=x
d) 320963 23:2 =−−→=−− xxxx
−==
=±=+±=1
3
242
21242
x
xx
Soluciones: 1 3 −== xyx
e) 016 2 =−+ xx
−=
==±−=+±−= 12
4
1251
122411
x
xx
Soluciones: 21
31 −== xyx
f) 0253 2 =+− xx
→=
==±=−±=
64
1
6
15
6
24255
xx
xx
Departamento de Matemáticas
Resuelve las siguientes ecuaciones polinómicas:
−2
real
0
−=→−
=→
21
126
31
124
x
x
=32
Soluciones: 32
1 == xyx
ECUACIONES 3º ESO
13
32
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
g) 0123 2 =−+− xx
realsolución 6
1242 ∃/⇒−
−±−=x
h) 0202 =−+ xx
−==
=±−=+±−=4
291
28011
x
xx
Soluciones: 5 4 −== xyx
i) 01572 2 =−− xx
−=
==±=+±=
5
4
137
4
120497
x
xx
Soluciones: 23
5 −== xyx
j) 083)2(2 2 =++−− xx
⇒=+++−− 083)44(2 2 xxx − 2x
=⇒=+−
=⇒
211
0112
0
xx
x
Soluciones: 211
0 == xyx
k) )2()1(32)2)(4( −−+−=−+ xxxx
(332842 22 −−−−=−+− xxxxx
⇒−+−=−+⇒ 582 22 xxxx +2 2x
Soluciones: 23
1 −== xyx
IES Juan García Valdemora TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONESDepartamento de Matemáticas
real
−5
4
−=→−23
46
5
x
⇒=++−+ 083882 xxx ⇒=+− (0112 2 xxx
2)
)44 +− x −+−−−=−+⇒ 433282 22 xxxxx
=
==±−=+±−=⇒=−+
4
51
4
241103
x
xxx
TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 4º ESO Matemáticas B
14
⇒=+− 0)112( x
⇒− 4
−=
=
2
3
1
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
l) 2)1(9
11 −−= xx
⇒+−−= )12(9
11 2 xxx −=9
11 2xx
927911 2 −+−=⇒ xx −⇒ 279 2 xx
Soluciones: 3
4
3
5 == xyx
m) 2)1(102 −−= xx
⇒+−−= )12(102 2 xxx −=102x3±=⇒ x
Soluciones: 3 3 =−= xyx
n) −−⇒=++− (20862 22234 xxxxx
Soluciones: 4 (doble), 0 === xyxx
o) −⇒=−−− 2(3045396 3345 xxxxx
±−=⇒=++
=⇒=−
⇒ 13015132
(triple) 003
2
3
xxx
xx
Soluciones: 5 (triple), 0 −== xyxx
IES Juan García Valdemora TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONESDepartamento de Matemáticas
⇒−+−=⇒−+ 13911
12 22 xxx+−=9
9911 2x
⇒=+ 020x
=±=−±=18
327
18
72072927x
⇒++−=⇒−+ 92212 22 xxxxx =− 092x
+±=⇒=−−
=⇒=−⇒=−
293
043
(doble) 002
0)432
2
xxx
xx
x
1−=
⇒=++ 0)15132 xx
−=→−=
−=→−==±−=−±
5420
23
46
4713
4120169
xx
xx
23−=x
TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 4º ESO Matemáticas B
15
⇒−+
9927x
=
=
3
43
5
x
x
⇒±=⇒=⇒ 990 2 xx
−==
=±=+1
4
25316
x
x
5
23
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
p) ( +⋅⇒=−+71
076
71
71 223 xxxxxx
+±−=⇒=−+
=⇒=
⇒
211
06
0071
2 xxx
xx
Soluciones: 3 2 , 0 −=== xyxx
q) ( −⋅⇒=−− 11304113 223 xxxxxx
±=⇒=−−
=
⇒ 1211104113
0
2 xxx
x
Soluciones: 31
4 , 0 −=== xyxx
IES Juan García Valdemora TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONESDepartamento de Matemáticas
) ⇒=− 06x
−=→−−=
=→+−==±−=
32
51
22
51
25124
xx
xx
) ⇒=− 04
−=→−=
=→+==±=+
31
61311
46
1311
61311
648121
xx
xx
TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 4º ESO Matemáticas B
16
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
5. Resuelve las siguientes ecuaciones polinómicas:
Para resolver este ejercicio aplicamos que “
es decir,
A continuación, se resuelve cada una de las ecuaciones
a)
⇔=+⋅+⋅−
5
20)75()32()4(
x
xxx
Soluciones: 5
7
2
3 ;4 −=−== xyxx
b) ⇔=+−⋅−⋅− 0)714()34()54( xxx
Soluciones: 21
43
;54 === xyxx
c) =−⋅+⋅−⋅− 0)88()33()46(4 xxxx
Soluciones: 1 ;23
; 0 −=== xyxxx
IES Juan García Valdemora TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONESDepartamento de Matemáticas
Resuelve las siguientes ecuaciones polinómicas:
Para resolver este ejercicio aplicamos que “un producto es nulo si y sólo si alguno de los factores es nulo
=
==
⇔=⋅⋅⋅⋅
0
0
0
0... 2
1
321
n
n
A
A
A
AAAAM
continuación, se resuelve cada una de las ecuaciones niAi ,...,2,1con 0 == de forma independiente.
−=⇔−=⇔=+
−=⇔−=⇔=+
=⇔=−
5
775075
2
332032
404
xxx
xxx
xx
⇔−−=⇔−=−⇔=+−
=⇔=⇔=−
=⇔−−=⇔−=−⇔=−
⇔
147
7140714
43
34034
54
45054
xxx
xxx
xxxx
⇔−−=⇔−=−⇔=−
=⇔−=⇔−=⇔=+
⇔−−=⇔−=−⇔=−
=⇔−
=⇔=−
⇔
88
88088
33
33033
46
64046
04
004
0
xxxx
xxxx
xxxx
xxx
1=
TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 4º ESO Matemáticas B
17
un producto es nulo si y sólo si alguno de los factores es nulo”,
de forma independiente.
=⇔21
54
x
=
−=
=
1
1
23
x
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
d) ⋅−−⋅−⋅− ()12()36()43( 222 xxxxx
Soluciones: ;6 ;6 ;34
; 0 =−=== xxxx
e) =−⋅+⋅−⋅− )31()3()3(7 223 xxxx
Soluciones: ;3 ; (triple) 0 =−== xxx
f) ⋅−+−⋅−⋅ 8()45()44(3 223 xxxxx
=⇔−=−⇔=−
−±−=⇔=−+−
⇔=−⇔=−
=⇔=⇔=
⇔
98
89098
2255
045
0)1(4044
(triple) 0003
222
2
2
33
xxx
xxx
xxxxx
xxx
Soluciones: (doble) 1 ;)(cuádruple 0 == xx
g) =+⋅+⋅− 0)32()4()54( 222 xxxxx
Soluciones: y 45
; (doble) 0 == xxx
IES Juan García Valdemora TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONESDepartamento de Matemáticas
−⇔=+−
⇔=−⇔=−−
⇔=⇔=−
−⋅⇔=−
⇔=+−
)3(096
12012
36036
)43(043
0)96
22
22
2
2
xxx
xx
xx
xxxx
x
(doble) 3 21
;6 =−= xyx
=⇔−=−⇔=−
∃/⇒−=⇔−=⇔=+
±=⇔=⇔=−
=⇔=⇔=−
⇔
31
13031
3303
3303
(triple) 0007
0 22
22
33
xxx
xxx
xxx
xxx
31
3 == xy
⇔=− 0)9 2x
±=⇔
==
=−
±−=−±−=−
==
38
98
4
1
235
29516
1 0
x
x
x
xò
38
4 ;(doble) ±== xyx
⇔−=⇔−=⇔=+
=⇔=+⇔=+
=⇔=−⇔=−
⇔
32
23032
00)4(04
00)54(054
0
222
2
2
xxxx
òxxxxx
xxxxx
4−=x
TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 4º ESO Matemáticas B
18
=⇔=
−=
±=
==⇔=
(doble) 3021
6
34
ò 00)
x
x
x
xx
realsolución
∃/⇒−=
−=
=
realsolución 32
4 45
x
x
xò
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
h) −⋅+−⋅+−⋅ 8()162()65(3 322 xxxx
⇔−=−⇔=−−=−⇔=+−
±=⇔=+−
=⇔=⇔=
⇔
82028
20162
5065
0003
22
33
2
22
xx
xx
xxx
xxx
Soluciones: (triple) 2 ;3 ; (doble) 0 === xxx
i) +⋅+−⋅− 81()16124()74( 22 xxxx
=⇔=⇔=−
−=⇔−=⇔=+
=+−⇔=+−
=⇔−=−⇔=−
⇔
75
57057
81081
43016124
74
47074
22
2
)4(:
2
xxx
xxx
xxxx
xxx
Soluciones: 75
74 == xyx
j) −⋅+⋅++⋅ 9()37()1(32 2223 xxxxx
=⇔=−⇔=−
⇔=⇔=⇔=−
−=⇔−=⇔=+
⇒−±−=⇔=++
=⇔=⇔=
⇔
0)35(035
9909
7
3
7
3037
2
41101
(triple) 0003
2
2
22
22
2
33
xxxxx
xxxx
xxx
xxx
xxx
Soluciones: ;3 ;)(cuádruple 0 −== xxx
IES Juan García Valdemora TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONESDepartamento de Matemáticas
⇔=− 0)2 2x
±=⇔=⇔
=⇔=⇔=⇔−
==
=±=−
24
28816
2
3
2
15
2
2425
(doble) 0
2
33
xx
xxx
x
x
2 (triple) −=xy
⇔=−⋅ 0)57()81 x
∃/⇒
∃/⇒−±=⇔
realsolución 81
realsolución 2
16930 x
⇔=−⋅ 0)35()9 2 xx
==
±=
∃/⇒
∃/⇒
5
3 0
3
realsolución 7
3
realsolución
xò
x
53
3 == xyx
TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 4º ESO Matemáticas B
19
IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas
k) +⋅+⋅+⋅+− ()1()1()44( 322 xxxxx
=⇔=⇔=−
±=⇔=⇔=−
−=⇔=+⇔−=⇔−=⇔=+
⇒−=⇔−=⇔=+
⇔=−⇔=+−
⇔
925
2590259
5505
101
1101
1101
0)2(044
222
22
333
22
22
xxx
xxx
xx
xxx
xxx
xxxx
Soluciones: (doble) 1 ;(doble) 2 −== xx
l) ⋅++⋅−⋅ ()9124()54(5 24 xxxxx
=⇔−=⇔=+
−=⇔−=⇔=+
±−=⇔=++
=⇔−=−⇔=−
=⇔=⇔=
⇔
6420642
7707
814412
09124
54
45054
(cuádruple 0005
555
22
2
44
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
Soluciones: ;54
;)(cuádruple 0 == xxx
m) )94()253(2 222 ++⋅+−⋅− xxxxx
−=⇔−=⇔=+
−±−=⇔=++
−±=⇔=+−
=⇔=⇔=−
⇔
333
2
2
22
7707
2164
094
624255
0253
(doble) 0002
xxx
xxx
xxx
xxx
Soluciones: 3
2 ;1 ;(doble) 0 === yxxx
IES Juan García Valdemora TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONESDepartamento de Matemáticas
⇔=−⋅−⋅+ 0)259()5()1 22 xx
±=⇔
−=⇔
∃/⇒
=
3
5
9
25
1
realsolución
(doble) 2
x
x
x
35
5 ;(doble) ±=±= xyx
⇔=+⋅+ 0)642()7 52 x
−=⇔−=⇔−=
∃/⇒
−=−−=
−=+−==±−=−
23232
realsolución
23
;8
0122
3;
8
012
8
012
8
144144
)(cuádruple
5 xx
xx
xx
2 (doble) 23 −=−= xyx
0)7() 3 =+⋅ x
∃/=⇒
=−=
=+==±=
realsolución 36
32
;6
15
1;6
15
61524
(doble)
xx
xx
7 3 −=xy
TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 4º ESO Matemáticas B
20
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