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Maquinas de induccion
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Es conocido que en un transformador, las corrientes, los voltajes y las impedancias pueden referirse al lado primario, utilizando las siguientes expresiones
Luego, podemos representar el circuito equivalente por fase del motor de inducción en la forma:
ROefR EaEE *`1 ef
R
a
II 2
)(22 RO
Ref jX
s
RaZ
)13......(
2'
'
'
ss
ssp
ssp
ZaZ
aIII
aVVV
Luego, podemos representar el circuito equivalente por fase del motor de inducción en la forma:
ROef
Ref
XaX
RaR
*
*2
2
22
R1jX1
IM
I2
E1jXMRC
+
-
I1
+
-
02
Ref Xja
s
Ra Ref
2VVp
Haciendo:
El circuito equivalente definitivo de la maq. de inducción por fase será:
En un motor de jaula de ardilla, los valores de la resistencia del rotor RR, la reactancia a rotor bloqueado XRO y la relación efectiva de
espiras es muy difícil de medir , sin embargo es posible medir de forma directa los valores X2 y R2.
R1jX1
IM
I2 jX2
R2E1jXMRC
+
-
I1
s
+
-
V
Para ilustrar la variación de la corriente del rotor en función de la velocidad mecánica del mismo (y por tanto del deslizamiento) se muestra la siguiente gráfica:
0 25 50 75 100 125
Cor
rient
e d
el ro
tor
nm Porcentaje de la velocidad sincrónica
0. RMaxR II
1s 0s%
Observe en la gráfica, que IR se comporta de acuerdo
a la relación:
0RR sII
0%100:
10:
snnSi
snSi
sm
m
:
Potencia y momento de torsión en los motores de inducción
Un motor de inducción convierte la potencia de energía eléctrica en potencia mecánica.
La potencia eléctrica es la entrada y la potencia mecánica es la salida.
Para determinar la potencia desarrollada por el motor y el momento de torsión, se usa un diagrama de potencias del motor
Potencia y momento de torsión en los motores de inducción
Potencia del
entrehierro
Pdiv.
PRCL
Pnúcleo PSCL
cos3 LLent IVP
racsalP *arg
rindconvP *AGP
WFP ,
Fig 12. Diagrama del flujo de potencia en un motor de inducción
PSCL = Pérdidas de potencia en el cobre del estatorPnúcleo = Pérdidas de potencia en el núcleoPRCL = Pérdidas de potencia en el cobre del rotorPF,W = Pérdidas de potencia por fricción y por viento
Pdiv = Pérdidas de potencia diversas o misceláneasPent = Potencia eléctrica de entradaPsal = potencia mecánica de salida
Potencia eléctrica de entrada (Pent)
Es la potencia de entrada al motor dada en forma de voltajes y corrientes trifásicas
Pérdidas en el cobre del estator (Pscl)
Son las primeras Pérdidas que se presentan en el motor y se manifiestan en forma de calor. Estas Pérdidas por fase están dadas por:
Pérdidas en el núcleo (Pnucleo)
Es la pérdida de potencia por histéresis y por corrientes parasitas del estator.
faseWIRPSCL /* 211
Potencia del entrehierro (PAG)
Es la potencia que fluye a través del entrehierro de la máquina, hacia el rotor de la misma. Es decir, la potencia que llega al rotor de la máquina estará dada por:
núcleoSCLentAG PPPP
Pérdidas en el cobre del rotor (PRCL)
Una vez que la potencia PAG esta presente en el
rotor, inmediatamente después se presenta las Pérdidas de potencia en los embobinados del rotor, estas Pérdidas se manifiestan en forma de calor, la cual esta dada por:
faseWIRPRCL /* 222
Potencia convertida (Pconv)
Es la potencia que se convierte de eléctrica en mecánica, la cual esta dada por:
La potencia convertida suele llamarse también potencia desarrollada (Pd)
Pérdidas por fricción (Pf,w)
Es la potencia que se pierde por rozamiento mecánico de las pastes móviles de la máquina y por fricción del viento
Pérdidas diversa (Pdiv)
Es un conjunto de Pérdidas que no están incluidas en ninguna de las anteriores.
mindRCLnúcleoSCLentconv wPPPpP *
Es la potencia mecánica obtenida en el eje del motor de inducción, la cual estará dada por:
Potencia de salida (Psal).
mdivWFRCLnúcleoSCLentsal PPPPPPP *carga,
Ejemplo (CORREGIR)
Un motor de inducción de 480 v, 50 Hz, trifásico, consume una corriente de 50 A, con factor de potencia de 0.85 en retraso (-), las Pérdidas en el cobre del estator son de 2 Kw, y en el cobre del rotor son de 0.7 Kw. Las Pérdidas por fricción y vendaval son de 1800 w, y las Pérdidas diversas se pueden despreciar, se pide encontrar las siguientes magnitudes:
a) La potencia del entrehierro PAG
b) La potencia convertida Pconv
c) La potencia de salida Psal
d) la eficiencia del motor
nota: este ejemplo ha sido tomado del ejemplo 10.2 (pag 569) de máquinas eléctricas de S. Chapman.
Expresiones de la potencia y momento de torsión en un motor de inducción
El circuito equivalente por fase de un motor de inducción es:
La corriente que entrega a una de las fases del motor, se puede encontrar mediante
VФ
R1 jX1
IM
I2 jX2
R2E1jXMRC
+
-
Figura 9
I1
s
eqZ
VI 1
Donde: = impedancia equivalente de todo el circuito
Una vez que se ha determinado el valor de I1, las Pérdidas en el cobre
del estator, las Pérdidas en el núcleo y las Pérdidas en el rotor pueden calcularse.
PSCl = 3* R1* I12
…… (14) Pnucleo = 3* Rc* Ic2 E1 = RC * IC
PAG = Pent - PSCL – Pnucleo …..(16)
eqZ
SR
jXjBG
jXR
SR
jXjXR
jXRZ
McMc
eq
22
11
22
11 11
1111
cc R
G1
M
M XB
1
Cnucleo R
EP
21*3
En el circuito equivalente, se puede observar que el único elemento que dispara esta potencia (PAG ) es la resistencia R2 / S , por tanto la potencia
del entrehierro se puede expresar en la forma
Por otro lado, las pérdidas reales en el cobre del rotor se puede hallar de:
PRCL = 3* RR * IR2
PRCL = 3 * R2 * I22 …………….(19)
Luego la potencia que se convierte de eléctrica a mecánica estará dada por:
SR
IISR
PAG22
22
22 **3**3
SS
IRS
IRP
IRISR
PPP
conv
RCLAGconv
1***31
1*3
**3*3
222
222
222
22
2
S
SIRPconv
1***3 2
22
Esta potencia convertida, por lo general es llamada potencia mecanica desarrollada
3 * R2 * I22 = PRCL PRCL = S * PAG ……..
(21)
Por tanto, las Pérdidas de potencia en el cobre del rotor es igual a la potencia del entrehierro multiplicada por el deslizamiento.”S”.
Finalmente, si las pérdidas mecánicas por fricción y vendaval y las pérdidas diversas también se conoce, la potencia de salida podrá determinarse a partir de la expresión:
Psal = Pconv – PF,W - Pdiv ……………… (23)
S
RIPAG
22
2 **3
S
PP RCLAG
SPSS
IRP AGconv 1*1
**3 222 )22........(1* SPP AGconv
Para determinar el momento inducido en la máquina (τind), se hace uso
de la siguiente expresión
Pconv = τind * m
El momento inducido (τind) se diferencia del momento realmente
disponible en el eje de la máquina en una cantidad equivalente a los momentos de fricción y vendaval y momentos debido a las Pérdidas diversas
Pconv = (1 - S) * PAG m = (1 – S) * sinc
El momento de torsión inducido τind se denomina también momento de
torsión desarrollado por la máquina.
)24.....(m
convind
P
c
AG
c
AG
m
convind
P
S
PSP
sinsin*)1(
*)1(
)25.......(
sinc
AGind
P
SEPARACION DE LAS PÉRDIDAS EN EL COBRE DEL ROTOR (PRCL) DE LA POTENCIA CONVERTIDA, EN EL CIRCUITO EQUIVALENTE DE UN MOTOR DE INDUCCIÓNLa potencia convertida de eléctrica en mecánica es:
Pconv = PAG - PRCL …………….. (26)
PAG = Pconv + PRCL ………………(27)De donde:
La potencia en el entrehierro se subdivide en dos potencias:
La potencia convertida (Pconv) y Las pérdidas de potencia en el cobre del rotor (PRCL).
222
22
2 **3;**3 IRPIsR
P RCLAG
Reemplazando en (26) se tiene:
222
222
222
22
2 *1
**311
***3**3**3 Is
sR
sIRIRI
s
RPconv
La potencia en el entrehierro se disipará en una resistencia de valor R2 /s.La potencia de pérdidas en el cobre del rotor, es la potencia que se disipará en la resistencia R2 .Por tanto, la potencia convertida (Pconv) es la potencia que se disipará en una resistencia cuyo valor es:
s
sRRconv
1*2
Por tanto: Pconv = 3 * Rconv * I22 ……..(29)
Las potencias Pconv y PRCL se han logrado separar y pueden representarse en el circuito equivalente del motor de inducción de manera independiente, como se muestra en la figura:
R1jX1
IM
I2 jX2
E1jXMRC
+
-
I1
+
-
V
R2
s
sR
12
RCLPSCLP
núcleoP
convP
Fig.15 Circuito equivalente del motor de inducción por fase, con la potencia de pérdidas del rotor (PRCL) y la potencia convertida (Pconv) separadas
Ejemplo 1
Un motor de inducción de 460 [V], 25 [Hp], 60 [Hz], cuatro polos, conexión Y, tiene las siguientes impedancias en ohmios por fase [Ω/fase], referidas al circuito del estator:
R1 = 0.641 [Ω] R2 = 0.332 [Ω] xM = 26.3 [Ω]x1 = 1.106 [Ω]x2 = 0.464 [Ω]
Las pérdidas rotacionales son de 1100 [W], y se supone que son constantes. Las pérdidas del núcleo están incluidas en las pérdidas rotacionales. Para un deslizamiento del rotor del 2.2%, al voltaje y frecuencia nominales, se pide hallar las siguientes magnitudes del motor.
a).- La velocidadb).- La corriente en el estatorc).- El factor de potenciad).- Pconv y Psal e).- El torque inducido (τind ) y el torque de carga (τcarga)f).- La eficiencia.
Ejemplo 2
Un motor de inducción de 20 [Hp], 440[V], 60[Hz], tiene un deslizamiento del 6% cuando esta funcionando en condiciones de plena carga. En estas condiciones las pérdidas por fricción y vendaval, son de 220 [W], y las pérdidas en el núcleo son de 200 [W]. Halle los siguientes valores para condiciones de plena carga.
a). La velocidad del ejeb). La potencia de salida en vatios.c). El momento de torsión de la carga (τcarga) en Newton* metro [N*m]. Considere que el motor tiene 4 polos.
CARACTERISTICAS MOMENTO DE TORSION- VELOCIDAD DEL MOTOR DE INDUCCION El momento de torsión inducido en el motor de inducción esta dado por:
netoRind BBk
*Expresando en módulo se tiene:
τind = k* BR * Bneto *sen(δ)
Donde:k = constante de proporcionalidadBR = densidad de campo magnético originado por la corriente del rotorBneto = densidad de campo magnético neto en la máquina.δ = ángulo entre el campo neto Bneto y BR
Estas magnitudes se ilustran de manera gráfica en la siguiente figura:
a) Campos magnéticos de un de inducción funcionando casi en vacío
Campos magnéticos del motor de Inducción cuando opera con una carga pesada
θR es el ángulo entre el voltaje inducido y la corriente del rotor, conocido también como ángulo del factor de potencia del rotor.
Las magnitudes:
BR
Bneto
sen(δ)
Pueden graficarse en función de la velocidad del motor. Estas gráficas se muestran a continuación:
IRó
|BR|
nsincnr
a)
nsincnr
0
Bneto
b)
nsincc)0
1
1s 0s
Rcos
nr
nsinc
d)
ind
arrq
máxind.
nr
Cte
fig(a): Es la gráfica de la corriente del rotor vs. la velocidad del motor.fig(b): Es la gráfica del campo magnético neto vs. la velocidad del motor.fig(c): Es la gráfica de sen(δ) en función de la velocidad.
IRó
|BR|
nsincnr
a)
nsincnr
0
Bneto
b)
nsincc)0
1
1s 0s
Rcos
nr
nsinc
d)
ind
arrq
máxind.
nr
Cte
fig.(d). El momento inducido en el motor de inducción en función de la velocidad del rotor
nsinc
c)
0
1
cos ӨREsta gráfica se presenta como una curva del factor de potencia del rotor vs. la velocidad del motor. Esto es así puesto que:
δ = π/2 + θR
Luego:
sen(δ) = sen(π/2 + θR) = sen(π/2) * cos(θR) +cos(π/2) * sen(θR) = cos(θR)
sen(δ) = cos(θR)
Por tanto, el momento inducido esta dado por:
τind = k* BR * Bneto *sen(δ)
τind = k* BR * Bneto * cos(θR)
La impedancia del rotor puede expresarse mediante:
ZR = RR + jXR
De donde el ángulo del factor de potencia del rotor será:
R
R0
R
RR
R
RR
*arctantg(
R
Xsarctag
R
X
R
X
R
R0R
*cos)cos(
R
Xsarctag
es el factor de potencia del rotor
DEDUCCION ANALITICA DE LA ECUACION DEL MOMENTO DE TORSION INDUCIDO EN UN MOTOR DE INDUCCIONEl torque inducido en el motor de inducción esta dado por:
s
AG
r
convind
PP
El torque inducido depende fundamentalmente de la potencia en el entrehierro (PAG), puesto que la velocidad síncrona es constante para una frecuencia de red y un número de polos dados.
La potencia del entrehierro está dada por:
22
2 **3 Is
RPAG
Para hallar I2 se hace uso del circuito equivalente del motor de inducción.
R1jX1
IM
I2 jX2
R2jXM
I1
s
+
-
V
b
a
R1jX1
IM
I2 jX2
R2jXM
I1
s
+
-
V
b
a
En éste circuito equivalente, las pérdidas en el núcleo (Pnúcleo) se han despreciado o son consideradas dentro de las pérdidas rotacionales.
R1jX1
IM
I2 jX2
R2jXM
I1
s
+
-
V
b
a
El equivalente de Thevenin del lado izquierdo del circuito respecto a los terminales a-b es.
VjXjXR
jXV
M
MTH *
11
V
XXR
XV
M
MTH *
21
21
jXM
+
-
jX1R1
VTH
+
-
V
Para hallar el voltaje de Thevenin, se aplica el teorema del divisor de voltaje.
Expresando en módulo:
VTH = Voltaje de Thevenin
)(
)(*)(*)(
11
11
11
11
M
M
M
MTH XXjR
jXRjX
jXjXR
jXjXRZ
Para hallar la impedancia de Thevenin, se cortocircuita la fuente V
jXM
jX1R1
ZTH
Por tanto, el circuito equivalente de Thevenin del lado izquierdo respecto de los terminales a y b es:
VTH
R2
s
a
ZTHjX2
b
I2
+
-
Fig.22 Equivalente de Thevenin respecto de los terminales a-b
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