Indice del capítulo 1 Método de Cross

Indice del capítulo 1

Método de Cross

Ámbito de aplicación

En este capítulo se va a exponer el método de Cross aplicado al análisis de pórticos planos. Este método se diferencia del de Maney en la interpretación que se hace de la deformada ( las incógnitas giro quedan en función de las incógnitas desplazamiento ) y en el modo de obtener los esfuerzos en función de esta deformada.

Por tratarse de un método de equilibrio, consta de los pasos siguientes:

- Interpretación del modelo: descomposición de nudos y tramos

1º Creación de una deformada genérica

Obtención del número de incógnitas : desplazamientos independientes

Descomposición de la deformada resultante en suma de deformadas

En estructuras simétricas

En estructuras no simétricas

- En función de esta interpretación:

2º Obtención de los esfuerzos de la deformada genérica

- En los tramos

- En los nudos

- En los tramos

- En los nudos

3º Obtención de la deformada concreta del problema

4º Obtención de los esfuerzos concretos del problema

5º Reacciones exteriores

- En los tramos

- En los nudos

3º Obtención de la deformada concreta del problema

4º Obtención de los esfuerzos concretos del problema

5º Reacciones exteriores

Se ha minimizado la dificultad de los ejemplos utilizados durante la exposición para fijar la atención en el procedimiento

Método de Cross

Proceso de cálculo

Método de Cross

Proceso de cálculo

Cálculo de la deformada equilibrada

Método de Cross

El proceso es el siguiente:

Creación de una deformada genérica

Si la estructura es desplazable:

Deformada por los desplazamientos de los nudos

(es desconocida)

Si la estructura tiene asientos conocidos:

(es desconocida)

(es conocida)

(es desconocida)

(es conocida)

(es desconocida)

Si la estructura tiene acciones en los tramos:

Deformada por las cargas exteriores sin permitir el desplazamiento de los nudos

(es conocida)

(es desconocida)

(es conocida)

En las tres deformadas se permite el giro de los nudos

(es desconocida)

(es conocida)

(es desconocida)

(es conocida)

Momentos deducidos

Son desconocidos

(es desconocida)

(es conocida)

Momentos deducidos

Son desconocidos

Momentos deducidos

Son conocidos

(es desconocida)

(es conocida)

Momentos deducidos

Son desconocidos

Son conocidos

Momentos deducidos

Son conocidos

Momentos deducidos

(es desconocida)

(es conocida)

Momentos deducidos

Son desconocidos

Son conocidos

Momentos , cortantes y axiles totales

Momentos deducidos

Son conocidos

Momentos deducidos

(es desconocida)

(es conocida)

Son desconocidos

Momentos deducidos

Son desconocidos

Son conocidos

Condición de equilibrio de la deformada

Momentos deducidos

Son conocidos

Momentos deducidos

(es desconocida)

(es conocida)

Son desconocidos

Momentos deducidos

Son desconocidos

Son conocidos

Ecuaciones de equilibrio (sólo las de los desplazamientos)

Momentos deducidos

Son conocidos

Momentos deducidos

(es desconocida)

(es conocida)

Son desconocidos

Momentos deducidos

Son desconocidos

Son conocidos

Obtención de la deformada equilibrada

Momentos deducidos

Son conocidos

Momentos deducidos

(es desconocida)

(es conocida)

Son desconocidos

Ecuaciones de equilibrio (sólo las de los desplazamientos)

Proceso de cálculo

Método de Cross

Proceso de cálculo

Método de Cross

Proceso de cálculo

Planteamien-to

Método de Cross

Proceso de cálculo

Planteamien-to

Método de Cross

Interpretación

Se numeran con letras

mayúsculas: A, B, C,....

Pueden ser:

Los nudos:

La estructura se interpreta como una combinación de nudos y de vigas biapoyadas. Un modelo se puede interpretar de múltiples maneras

Interpretación

Pueden ser:

“comunes a cualquier interpretación”:

donde existan articulaciones internas

en la intersección entre directrices

donde existan enlaces exteriores

Representan el mínimo número de nudos que puede tener la estructura. Se sitúan:

Los nudos:

Interpretación

Pueden ser:“específicos de la interpretación ”:

Los nudos:

Se sitúan en cualquier lugar

Interpretación

Las vigas biapoyadas:

Pueden ser:

Se numeran con letras mayúsculas: ,.....L,L BCAB

“específicos de la interpretación ”:

Los nudos:

Siempre deben estar situadas entre dos nudos

Los subíndices indican los nudos que conectan con los extremos de la viga

Se sitúan en cualquier lugar

Interpretación

Proceso de cálculo

Planteamien-to

Método de Cross

Interpretación

Proceso de cálculo

Planteamien-to

Método de Cross

Interpretación Ejemplos

Ejemplos

BCL CDL

BCLCDL

Interpretación del modelo

Proceso de cálculo

Planteamien-to

Método de Cross

Proceso de cálculo

Planteamien-to

Método de Cross

Incógnitas

Proceso de cálculo

Planteamien-to

Método de Cross

Desplaza-mientos

Incógnitas

Proceso de cálculo

Planteamien-to

Método de Cross

Desplaza-mientos

Número y localización

Incógnitas

Los desplazamientos de los nudos podrán existir siempre que no se produzcan variaciones de tamaño de los tramos

Obtención del número de desplazamientos independientes

Los desplazamientos de los nudos podrán existir siempre que no se produzcan variaciones de tamaño de los tramos

Si la figura tuviera asientos conocidos , los esfuerzos producidos exclusivamente por estos asientos actuarían en la estructura como acciones exteriores, y los desplazamientos independientes a determinar son los de la figura sin asentar

Obtención del número de desplazamientos independientes

Ejemplo

Proceso de cálculo

Planteamien-to

Método de Cross

Desplaza-mientos

Incógnitas

Proceso de cálculo

Planteamien-to

Método de Cross

Desplaza-mientos Sentido

Incógnitas

Sentido

No existe un criterio de signos para los desplazamientos

Sentido

En estructuras no simétricas: se plantea para cada desplazamiento independiente una hipótesis de movimiento utilizando la técnica de los diagramas de Williot

Sentido

En estructuras simétricas se debe tener en cuenta que el desplazamiento total sea simétrico respecto del eje de simetría. Esto permite simplificar el número de incógnitas desplazamiento

En estructuras no simétricas: se plantea para cada desplazamiento independiente una hipótesis de movimiento utilizando la técnica de los diagramas de Williot

Sentido

Proceso de cálculo

Planteamien-to

Método de Cross

Desplaza-mientos Sentido

Incógnitas

Proceso de cálculo

Planteamien-to

Método de Cross

Desplaza-mientos

Ejemplo 1

Sentido

Incógnitas

Indice del capítulo

Ejemplo 159

Estructura original

Ejemplo 160

Estructura original 1ª Interpretación

Ejemplo 161

Estructura derivada Todos los nudos articulados

Ejemplo 162

Giro de

barra AB

Ejemplo 163

Giro de barra BC

Giro de

barra AB

Ejemplo 164

Giro de barra BCPosición

final deB

Giro de

barra AB

Ejemplo 165

final deB

Giro de

barra AB

Estructura estable

Ejemplo 166

final deB

Giro de

barra AB

Indesplazable

Estructura estable

Ejemplo 167

Proceso de cálculo

Planteamien-to

Método de Cross

Desplaza-mientos

Ejemplo 1

Sentido

Incógnitas

Proceso de cálculo

Planteamien-to

Método de Cross

Desplaza-mientos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Sentido

Incógnitas

Ejemplo 270

Ejemplo 271

Estructura derivada

Todos los nudos articulados

Ejemplo 272

Estructura derivada

Ejemplo 273

Estructura derivada

Ejemplo 274

Estructura derivada

Ejemplo 275

Estructura derivada

Ejemplo 276

Estructura derivada

Ejemplo 277

Estructura derivada

Estructura inestable

Ejemplo 278

Estructura derivada

Estructura inestable

Estructura desplazable. Tiene un desplazamiento incógnita

Ejemplo 279

Proceso de cálculo

Planteamien-to

Método de Cross

Desplaza-mientos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Sentido

Incógnitas

Proceso de cálculo

Planteamien-to

Método de Cross

Desplaza-mientos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Sentido

Incógnitas

Ejemplo 382

Estructura derivada

Ejemplo 383

Estructura derivada

Ejemplo 384

Estructura derivada

Ejemplo 385

Estructura derivada

Posición

final deC

Ejemplo 386

Estructura derivada

Posición

final deC

Ejemplo 387

Estructura derivada

Posición

final deC

Ejemplo 388

Estructura derivada

Posición

final deC

Ejemplo 389

Estructura derivada

Posición

final de D

desconocida

Posición

final deC

Ejemplo 390

Estructura derivada

Posición

final de D

desconocida

Posición

final deC

Ejemplo 391

Estructura derivada

Posición

final de D

desconocida

Posición

final deC

Ejemplo 392

Estructura derivada

Posición

final de D

desconocida

Posición

final deC

Ejemplo 393

Estructura derivada

Posición

final de D

desconocida

Posición

final deC

Posición

final de B

desconocida

Ejemplo 394

Estructura derivada

Posición

final de D

desconocida

Inestable de grado 2

Posición

final deC

Posición

final de B

desconocida

Ejemplo 395

Estructura derivada

Posición

final de D

desconocida

Posición

final deC

Posición

final de B

desconocidaInestable de grado 2

Tiene dos desplazamientos independientes

Ejemplo 396

Proceso de cálculo

Planteamien-to

Método de Cross

Desplaza-mientos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Sentido

Incógnitas

Proceso de cálculo

Planteamien-to

Método de Cross

Observaciones

Desplaza-mientos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Sentido

Incógnitas

Proceso de cálculo

Planteamien-to

Método de Cross

Observaciones

Desplaza-mientos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Sentido

Incógnitas

Observación 1

Dependiendo de cómo se interprete la estructura, el problema presentará diferente numero de incógnitas. Para resolverlo manualmente, conviene definir la deformada con el menor numero de nudos posible

Observación 1

3º interpretación

2º interpretación

1º interpretación

Descomposición del modelo

Nº de desplazamientos independientes

Estructura original

Observación 1

3º interpretación

2º interpretación

1º interpretación

Estructura original

Observación 1

3º interpretación

2º interpretación

1º interpretación

Estructura original

Observación 1

Proceso de cálculo

Planteamien-to

Método de Cross

Observaciones

Desplaza-mientos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Sentido

Incógnitas

Proceso de cálculo

Planteamien-to

Método de Cross

Observaciones

Desplaza-mientos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Sentido

Incógnitas

Observación 2

Si bien en el método de Cross el número de incógnitas varía en función de la interpretación de la estructura, en los métodos de compatibilidad el número de redundantes es independiente de dicha interpretación

2 incógnitas

Observación 2

1 incógnita 0 incógnitas

Planteamientos por el método

de Cross

2 incógnitas 2 incógnitas 2 incógnitas

Planteamientos por métodos de compatibilidad

Observación 2

2 incógnitas 1 incógnita 0 incógnitas

Planteamientos por el método

de Cross

Proceso de cálculo

Planteamien-to

Método de Cross

Observaciones

Desplaza-mientos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Sentido

Incógnitas

Proceso de cálculo

Planteamien-to

Método de Cross

Observaciones

Desplaza-mientos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Sentido

Incógnitas

Observación 3

La desplazabilidad de cada nudo no depende de la interpretación de la estructura, sino de la geometría de la misma

Observación 3

Por tanto, en el ejemplo analizado, el nudo n es indesplazable independientemente de la interpretación estructural

Observación 3

Interpretación 1

Interpretación 2 Interpretación 3

Observación 3

Interpretación 1

Observación 3

Interpretación 1

Proceso de cálculo

Planteamien-to

Método de Cross

Observaciones

Desplaza-mientos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Sentido

Incógnitas

Proceso de cálculo

Planteamien-to

Método de Cross

Observaciones

Desplaza-mientos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Sentido

Incógnitas

Observación 4

En estructuras indesplazables con asientos conocidos, los esfuerzos se obtienen sin resolver sistemas de ecuaciones porque la deformada depende únicamente de los asientos

Observación 4

Ejemplo

Observación 4

Ejemplo

Observación 4

= asiento conocido

Ejemplo

Observación 4

= asiento conocido

Dibujo del desplazamiento

Ejemplo

Observación 4

= asiento conocido

Ejemplo

Observación 4

= asiento conocido

Ejemplo

Observación 4

= asiento conocido

Ejemplo

Observación 4

= asiento conocido

Ejemplo

Observación 4

Ejemplo

Observación 4

Ejemplo

Los giros dependen del asiento

Observación 4

Ejemplo

Observación 4

Ejemplo

Observación 4

Ejemplo

Observación 4

Ejemplo

Observación 4

Diagramas de esfuerzos resultantes:

Ejemplo

Observación 4

)(fM )(gB

Ejemplo

Observación 4

)´(fV

Ejemplo

Observación 4

)´(fV

)´´(fN

Ejemplo

Observación 4

Repetir la secuencia

)´(fV

)´´(fN

Ejemplo

Proceso de cálculo

Planteamien-to

Método de Cross

Observaciones

Desplaza-mientos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Sentido

Incógnitas

Proceso de cálculo

Planteamien-to

Método de Cross

Observaciones

Desplaza-mientos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Sentido

Incógnitas

Descomposición en suma de deformadas

Proceso de cálculo

Planteamien-to

Método de Cross

Observaciones

Desplaza-mientos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Sentido

Incógnitas

Proceso de cálculo

Planteamien-to

Método de Cross

Observaciones

Desplaza-mientos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Sentido

Incógnitas

Descom-posición

Descomposición

Deformada genérica: suma de:

(es desconocida)

Deformada por asientos

(es conocida)

Suma de deformadas por desplazamientos independientes

Proceso de cálculo

Planteamien-to

Método de Cross

Observaciones

Desplaza-mientos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Sentido

Incógnitas

Descom-posición

Proceso de cálculo

Planteamien-to

Método de Cross

Observaciones

Ejemplo 1

Desplaza-mientos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Sentido

Incógnitas

Descom-posición

Ejemplo 1

Estructura original

Estructura interpretada

Ejemplo 1

Deformada por los desplazamientos totales de los nudos

Estructura original

Ejemplo 1

(La estructura es indesplazable)

Estructura original

Ejemplo 1

Estructura original

No existe

Ejemplo 1

Estructura original

Deformada por las acciones exteriores sin permitir los

desplazamientos de los nudos

No existe

(Se obtiene de manera aproximada)

Ejemplo 1

Estructura original

No existe

Ejemplo 1

Estructura original

No existe

Ejemplo 1

Estructura original

No existe

Ejemplo 1

Proceso de cálculo

Planteamien-to

Método de Cross

Observaciones

Ejemplo 1

Desplaza-mientos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Sentido

Incógnitas

Descom-posición

Proceso de cálculo

Planteamien-to

Método de Cross

Observaciones

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Desplaza-mientos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Sentido

Incógnitas

Descom-posición

Ejemplo 2

Estructura original

Ejemplo 2

Estructura original

Ejemplo 2

Estructura original

(La estructura tiene un único desplazamiento independiente. Se obtiene de manera aproximada)

Ejemplo 2

Estructura original

Ejemplo 2

Estructura original

Ejemplo 2

Estructura original

Ejemplo 2

Estructura original

Ejemplo 2

Estructura original

Ejemplo 2

Estructura original

(La carga exterior está aplicada en un nudo y no existe deformada)

Ejemplo 2

Estructura original

Ejemplo 2

Estructura original

No existe

Ejemplo 2

Proceso de cálculo

Planteamien-to

Método de Cross

Observaciones

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Desplaza-mientos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Sentido

Incógnitas

Descom-posición

Proceso de cálculo

Planteamien-to

Método de Cross

Observaciones

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Desplaza-mientos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Sentido

Incógnitas

Descom-posición

Ejemplo 3

Estructura original

Ejemplo 3

Estructura original

Ejemplo 3

Estructura original

(La estructura tiene dos desplazamientos independientes. La deformada de cada desplazamiento se obtiene de manera aproximada)

Ejemplo 3

Estructura original

Ejemplo 3

Estructura original

Ejemplo 3

Estructura original

Ejemplo 3

Estructura original

Ejemplo 3

Estructura original

)f(Δθ 1A

)f(Δθ 1B

)f(Δθ 1C

)f(Δθ 1D

Ejemplo 3

Estructura original

)f(Δθ 1A

)f(Δθ 1B

)f(Δθ 1C

)f(Δθ 1D

Ejemplo 3

Estructura original

)f(Δθ 1A

)f(Δθ 1B

)f(Δθ 1C

)f(Δθ 1D

Ejemplo 3

Estructura original

)f(Δθ 1A

)f(Δθ 1B

)f(Δθ 1C

)f(Δθ 1D

Ejemplo 3

Estructura original

)f(Δθ 1A

)f(Δθ 1B

)f(Δθ 1C

)f(Δθ 1D

Ejemplo 3

Estructura original

)f(Δθ 1A

)f(Δθ 1B

)f(Δθ 1C

)f(Δθ 1D

)f(Δθ 2A

)f(Δθ 2B )f(Δθ 2C

)f(Δθ 2D

Ejemplo 3

Estructura original

)f(Δθ 1A

)f(Δθ 1B

)f(Δθ 1C

)f(Δθ 1D

)f(Δθ 2A

)f(Δθ 2D

Ejemplo 3

Estructura original

)f(Δθ 1A

)f(Δθ 1B

)f(Δθ 1C

)f(Δθ 1D

)f(Δθ 2A

)f(Δθ 2D

(La carga exterior está aplicada en un nudo. No existe deformada)

Ejemplo 3

Estructura original

)f(Δθ 1A

)f(Δθ 1B

)f(Δθ 1C

)f(Δθ 1D

)f(Δθ 2A

)f(Δθ 2D

Ejemplo 3

Estructura original

)f(Δθ 1A

)f(Δθ 1B

)f(Δθ 1C

)f(Δθ 1D

)f(Δθ 2A

)f(Δθ 2D

No existe

Ejemplo 3

Proceso de cálculo

Planteamien-to

Método de Cross

Observaciones

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Desplaza-mientos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Sentido

Incógnitas

Descom-posición

Proceso de cálculo

Planteamien-to

Método de Cross

Observaciones

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Observación

Desplaza-mientos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Sentido

Incógnitas

Descom-posición

Observación

Cualquier planteamiento es correcto. Para

resolver el problema manualmente, interesará el

planteamiento que tenga menos incógnitas

Estructura original

Interpretaciones de la estructura original

Observación

lazamient

Estructura original

Observación

lazamient

Estructura original

Observación

lazamient

No existe

Estructura original

Observación

lazamient

No existe

Estructura original

Observación

lazamient

No existe

Estructura original

Observación

lazamient

No existe

Estructura original

Observación

lazamient

No existe

Estructura original

Observación

lazamient

No existe

Estructura original

Observación

lazamient

No existe

)f(Δθ 1A

)f(Δθ 1B

)f(Δθ 1C

)f(Δθ 1D

Estructura original

Observación

lazamient

No existe

)f(Δθ 1A

)f(Δθ 1B

)f(Δθ 1C

)f(Δθ 1D

)f(Δθ 2A

)f(Δθ 2D

Estructura original

Observación

lazamient

No existe

)f(Δθ 1A

)f(Δθ 1B

)f(Δθ 1C

)f(Δθ 1D

)f(Δθ 2A

)f(Δθ 2D

No existe

Estructura original

Observación

lazamient

No existe

)f(Δθ 1A

)f(Δθ 1B

)f(Δθ 1C

)f(Δθ 1D

)f(Δθ 2A

)f(Δθ 2D

No existe

En general el giro total de cada nudo se descompone en una suma de giros:

uno por cada deformada parcial.

En el caso analizado, esto sólo se produce en la interpretación 3

Estructura original

Observación

lazamient

No existe

)f(Δθ 1A

)f(Δθ 1B

)f(Δθ 1C

)f(Δθ 1D

)f(Δθ 2A

)f(Δθ 2D

No existe

En general el giro total de cada nudo se descompone en una suma de giros:

uno por cada deformada parcial.

En el caso analizado, esto sólo se produce en la interpretación 3

Método de Cross

Proceso de cálculo

Planteamien-to

Método de Cross

Observaciones

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Observación

Desplaza-mientos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Sentido

Incógnitas

Descom-posición

Método de Cross

Proceso de cálculo

Planteamien-to

Método de Cross

Observaciones

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Observación

Desplaza-mientos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Sentido

Incógnitas

Descom-posición

Proceso de cálculo

Planteamien-to

Método de Cross

Observaciones

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Observación

Desplaza-mientos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Sentido

Incógnitas

Descom-posición

Descomposición

La deformada se interpreta como una suma de deformadas: las producidas por cada desplazamiento independiente y la debida a las acciones exteriores en los tramos

Descomposición

La deformada por el desplazamiento debe

ser simétrica

Descomposición

ser simétrica

La deformada por los asientos debe ser

simétrica

Descomposición

ser simétrica

La deformada por las cargas debe ser

simétrica

Descomposición

ser simétrica

Si la estructura tuviera un desplazamiento independiente, éste podría quedar invalidado por efecto

de la simetría. Esta situación tendría lugar siempre que la

deformada por dicho desplazamiento fuera asimétrica

simétrica

Descomposición

ser simétricaSi existieran varios desplazamientos independientes, podría suceder que hubiera alguna relación entre ellos que garantizara la simetría de la

deformada

simétrica

Descomposición

ser simétricaLa consideración de la simetría puede ayudar a

reducir el número de

desplazamientos incógnita del

problema

simétrica

Si existieran varios desplazamientos independientes, podría suceder que hubiera alguna relación entre ellos que garantizara la simetría de la

deformada

Descomposición

Proceso de cálculo

Planteamien-to

Método de Cross

Observaciones

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Observación

Desplaza-mientos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Sentido

Incógnitas

Descom-posición

Proceso de cálculo

Planteamien-to

Método de Cross

Observaciones

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Observación

Ejemplo 1

Desplaza-mientos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Sentido

Incógnitas

Descom-posición

Ejemplo 1

EIEI P

Ejemplo 1

Interpretación de la estructura

EIEI P

Ejemplo 1

EIEI P

Ejemplo 1

Se va a plantear la resolución del ejercicio de dos maneras:

EIEI P

Ejemplo 1

Sin considerar la simetría

Hipótesis de deformada:

• La producida por el desplazamiento

• La producida por la carga P

Ejemplo 1

)(fθC )(fθD

)(fθB )(fθE

)(fθA )(fθF

Ejemplo 1

EIEI P

Ejemplo 1

P)P(fB

)P(fC )P(fD

)P(fA )P(fF

Ejemplo 1

Incógnitas: Δ

Ejemplo 1

Incógnitas: Δ

Ejemplo 1

Incógnitas: Δ

Ejemplo 1

Considerando la simetría

Incógnitas: Δ

Ejemplo 1

Incógnitas: Δ

Ejemplo 1

Incógnitas: Δ

No existe por ser simétrica la deformada

Ejemplo 1

Incógnitas: Δ

Ejemplo 1

Incógnitas: Δ

Ejemplo 1

Incógnitas: Δ

Ejemplo 1

Incógnitas: Δ

Ejemplo 1

Incógnitas: Δ

P)P(fB

)P(fC )P(fD

)P(fA )P(fF

Ejemplo 1

Incógnitas: Δ

Ejemplo 1

Incógnitas: Δ

No tiene incógnitas

Ejemplo 1

Incógnitas: Δ

No tiene incógnitas

Ejemplo 1

Proceso de cálculo

Planteamien-to

Método de Cross

Observaciones

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Observación

Ejemplo 1

Desplaza-mientos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Sentido

Incógnitas

Descom-posición

Método de Cross

Proceso de cálculo

Planteamien-to

Método de Cross

Observaciones

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Observación

Ejemplo 1

Desplaza-mientos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Sentido

Incógnitas

Descom-posición

Ejemplo 2

• La producida por el desplazamiento 1

• La producida por la carga q

Ejemplo 2

)(f 1D )(f 1B )(f 1C

Ejemplo 2

)(f 2D )(f 2B

)(f 2C 1

Ejemplo 2

)q(fD )q(fB 0C

Ejemplo 2

Incógnitas: 21 Δ ,Δ

Ejemplo 2

(tiene que respetar la simetría)

Ejemplo 2

)(fD )(fB

Ejemplo 2

)q(fD )q(fB 0C

Ejemplo 2

Incógnita:Δ

Ejemplo 2

Incógnita:Δ

Ejemplo 2

Método de Cross

Proceso de cálculo

Planteamien-to

Observaciones

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Observación

Ejemplo 1

Desplaza-mientos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Sentido

Incógnitas

Descom-posición

Ejemplo 2

Método de Cross Índice

Proceso de cálculo

Planteamien-to

Observaciones

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Observación

Ejemplo 1

Desplaza-mientos

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Sentido

Incógnitas

Descom-posición

Ejemplo 2

Anexos

Proceso

1- Convertir la estructura que se analiza en una indesplazable fijando los desplazamientos de todos los nudos movibles con el mínimo número de restricciones, que llamaremos topes. Cada tope evita el movimiento de un nudo en una dirección del plano de la estructura y se representa en forma de un apoyo deslizante. Para disponer adecuadamente estos topes en la estructura, puede procederse de la siguiente forma:

Proceso

1.1- Proponer el desplazamiento de un nudo A movible que esté próximo a los apoyos fijos de la estructura

Proceso

1.2- Realizar el movimiento de los nudos restantes en función del movimiento de A utilizando la técnica de los diagramas de Williot

Proceso

1.2- Realizar el movimiento de los nudos restantes en función del movimiento de A utilizando la técnica de los diagramas de Williot

1.3- Cuando no se pueda calcular el movimiento de algún nudo, impedir con un “tope” el movimiento propuesto de A. De esta manera se reduce el número de los nudos desplazables de la estructura

Repetir los pasos 1.1 y 1.2 proponiendo una nueva hipótesis de desplazamiento para otro nudo B que se encuentre próximo a A. Si no se puede definir la posición de algún otro nudo, fijar con otro “tope” el movimiento de B y repetir los pasos 1.1 y 1.2 planteando el desplazamiento de un nuevo nudo C próximo al segundo tope. De esta manera se van limitando los desplazamientos de todos los nudos de la estructura. Llega un momento en el que se pueden dibujar los desplazamientos de los nudos restantes. En esta situación, colocando un último “tope” en el último nudo que hemos propuesto desplazar, se consigue limitar totalmente los movimientos de todos los nudos de la estructura con el mínimo número de topes

Proceso

2- Una vez fijados todos los nudos con los topes, el número de desplazamientos independientes coincidirá con el número de topes colocados en el modelo. Para conocer cada uno de estos desplazamientos se realizarán los siguientes pasos:

Proceso

2.1- Eliminar un tope y plantear una hipótesis de desplazamiento tipo 1

2.3- Eliminar otro tope y plantear otro desplazamiento tipo 1

2.5- etc

2.2- Colocar nuevamente el tope eliminado

Proceso

2.1- Eliminar un tope y plantear una hipótesis de desplazamiento tipo 1

2.3- Eliminar otro tope y plantear otro desplazamiento tipo 1

2.5- etc

Proceso

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