Ing. Marcela Morales Quispe

Potencial Electrico en materiales no lineales

Ing. Marcela Morales Quispe

CIMAT

June 1, 2012

marcelamq@cimat.mx

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Indice

1 Introduccion

2 Marco TeoricoLey de CoulombEcuaciones Diferenciales para el campo electrostaticoMateriales no lineales

3 MetodologıaMetodo Iterativo

4 Ejemplos y ResultadosEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3

5 Conclusiones

6 Bibliografıa

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Introduccion

Es necesario implementar herramientas de soporte matematico solidopara el estudio de los fenomenos electromagneticos. Tales son lasdenominadas generalmente herramientas de Electromagnetismo Com-putacional. Una de estas herramientas es FEM, este basicamente dis-cretiza la region bajo analisis en elementos geometricos, sobre esteconjunto de elementos se generan un conjunto de funciones lineal-mente independientes que determinan el comportamiento particular delconjunto de manera que sea coherente con el comportamiento generaldel problema.

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Marco Teorico Ley de Coulomb

La ecuacion fundamental de la electrostatica es la ley de Coulomb quedescribe las fuerzas entre dos cuerpos cargados en posisicones cono-cidas. Supongamos que exiten dos pequenos objetos con cargas q1 yq2 (figura 1), la fuerza electrica en el objeto 1 desde el objeto 2 es:

F1 = n21q1q2

4πε0r221

(1)

donde ε0 es la permitividad del vacıo, ε0 = 8.854× 10−12farads/m

Figure: Fuerza entre dos cargas

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Marco Teorico Ley de Coulomb

El principio de superposicion nos permite extender la Ley de Coulomba multiples cargas. Supongamos que tenemos una carga de pruebaq0 en la posicion (x0, y0, z0) en presencia de un grupo de cargas qi , lafuerza total en la carga de prueba es:

F(x0, y0, z0) = q0

N∑i=1

niqi

4πε0r2i︸ ︷︷ ︸

E(x0,y0,z0)

(2)

donde E(x0, y0, z0) es el llamado campo electrico y tiene unidades voltspor metro (V/m). Dado el campo electrico de una distribucion de car-gas, la fuerzaen una carga de prueba q en la posicion x = (x , y , x)es:

F(x) = qE(x) (3)

El valor del campo electrico nos da la fuerza que una partıcula cargadasentirıa si entra en el campo electrico.

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Marco Teorico Ecuaciones Diferenciales para el campo electrostatico

La ley de Gauss establece que ”el flujo electrico total a traves de unasuperficie cerrada es proporcional a la carga electrica total encerradadentro de la superficie”. Matematicamente la Ley de Gauss toma laforma de una ecuacion integral∮

SE · dA =

∫V

ρ

ε0· dV (4)

o en forma difenrencial la ecuacion (4) es equivalente a:

∂Ex

∂x+∂Ey

∂y+∂Ez

∂z=

ρ

ε0(5)

donde ρ es la desidad de carga con unidades coulombs/m3

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Marco Teorico Ecuaciones Diferenciales para el campo electrostatico

Se define el potencial electrico como:

E = −εr∇φ (6)

donde φ es el potencial electrico es un escalar y se mide en volts (V),εr es la permitividad relativa del material. Sustituyendo la ecuacion (6)en (5) tenemos la expresion de la ecuacion de Poisson:

∂

∂x

(εr∂φ

∂x

)+

∂

∂y

(εr∂φ

∂y

)+

∂

∂z

(εr∂φ

∂z

)= − ρ

ε0(7)

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Marco Teorico Materiales no lineales

La permitividad relativa εr de los materiales dielectricos puedes variarcon respecto a la magnitud del campo electrico, es decir la ecuacion dePoisson (ecuacion 7) es no lineal ya que εr esta en funcion del potencialelectrico

εr = ‖∇φ‖2 (8)

La aproximacion estandar consiste en aplicar correcciones a εr en var-ios ciclos.

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Marco Teorico Materiales no lineales

Para la implementacion se considero la tabla 8.1 de [1], en la que nues-tra variable independiente es ‖∇φ‖2 y nuestra variable dependiente esεr

Figure: Comportamiento del material no lineal considerado en nuestraaplicacion

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Metodologıa Metodo Iterativo

En una primera instancia, se definen un numero maximo de iteracionesy la tolerancia porcentual permitida de error. La principal idea es partirde ε0r para todos los elementos de nuestro dominio, con estos valoresse resuelve la ecuacion de Poisson para el potencial electrico, luegocalculamos la magnitud del campo electrico en el punto de Gauss delos elementos ‖Epg‖2, con esta magnitud interpolamos el valor de ε1rcorrespondiente, luego calculamos el error porcentual de ε0r y ε1r y sieste error es menor que la tolerancia permitida nos detenemos, luegocon el ultimo valor εir encontrado calculamos los flujos en los nodos.

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Metodologıa Metodo Iterativo

Codigo del metodo iterativo

void Discre teSur face : : i t e r a t i v e N o n L i n e a r ( i n t &MAXITER, double &to le rance )2 {

for ( unsigned i n t i t e r = 0 ; ; i t e r ++)4 {

assemblySystem ( ) ;6 a p p l y D i r i c h l e t C o n d i t i o n s ( ) ;

applyNeumannConditions ( ) ;8 GCRSolver ( ) ;

10 for ( unsigned i n t kk =0; kk<elems ; kk ++){ / / update D on Ds by element

12 e l t o . updateD ( phi , mesh ,DD[ kk ] ,DDs[ kk ] , tab le , kk ,B) ;}

14i f ( e r r o r (D, Ds , to le rance , i t e r ) | | i t e r ==MAXITER−1)

16 { / / i f e r r<to le rance , stop the methodbreak ;

18 }else

20 {for ( unsigned i n t k =0;k<D. s ize ( ) ; k++)

22 D[ k ]=Ds [ k ] ;}

24 }assemblySystemFluxes ( ) ;

26 cout<<"Electric Field calculated"<<endl ;doPostResFi le ( ) ;

28 cout<<"Files wrote"<<endl ;}

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Metodologıa Metodo Iterativo

Codigo de metodo que calcula el error

bool Discre teSur face : : e r r o r ( vector<Matr ix> &D, vector<Matr ix> Ds , double &to le rance )2 {

bool f l a g = true ;4

for ( unsigned i n t i =0; i<D. s ize ( ) ; i ++)6 {

norm1=D[ i ] . normDiag ( ) ;8 norm2=Ds [ i ] . normDiag ( ) ;

10 den=( fabs ( norm1 ) <0.00001)? 0.00001: fabs ( norm1 ) ;e r r =fabs ( ( norm1−norm2 ) / den ) ∗100;

12 out<<i+1<<" "<<err<<endl ; / / element ’ s percentage e r r o r

14 norm1v+=(pow(D[ i ] [ 0 ] [ 0 ] , 2 ) +pow(D[ i ] [ 1 ] [ 1 ] , 2 ) ) ;norm2v+=(pow(Ds [ i ] [ 0 ] [ 0 ] , 2 ) +pow(Ds [ i ] [ 1 ] [ 1 ] , 2 ) ) ;

16 }

18 den=( fabs ( norm1v ) <0.00001)? 0.00001: fabs ( norm1v ) ;e r r =fabs ( ( norm1v−norm2v ) / den ) ∗100; / / sur face ’ s percentage e r r o r

20 i f ( er r>t o le rance ){

22 f l a g = fa lse ;}

24 elsecout<<"Potential calculated"<<endl<<"Final percentage error:"<<e r r ;

26return f l a g ;

28 }

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Ejemplos y Resultados Ejemplo 1

Geometrıa, Materiales

Figure: Geometrıa, superficie de 10× 10cm

Figure: Materiales, ε1 = 1.00058986, ε2 = 7.75, ε3 = 12.5, ε4 = 2.25, ε5 =2.285, ε6 = 3.9, ε7 = 7.0 y ε8 = 11.68Ing. Marcela Morales Quispe (CIMAT) Potencial Electrico en materiales no lineales June 1, 2012 13 / 24

Ejemplos y Resultados Ejemplo 1

Condiciones de frontera

Figure: Condiciones tipo Dirichlet (Volts)

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Ejemplos y Resultados Ejemplo 1

Potencial Electrico

Figure: Potencial Electrico en la primera iteracion

Figure: Potencial Electrico en la ultima iteracion, tolerancia=0.3%

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Ejemplos y Resultados Ejemplo 1

Campo Electrico

Figure: Campo electrico obtenido con el valor de εt de la ultima iteracion,t = 13

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Ejemplos y Resultados Ejemplo 2

Geometrıa, Materiales

Figure: Geometrıa, superficie de 5× 8cm

Figure: Materiales ε1 = 1.00058986

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Ejemplos y Resultados Ejemplo 2

Condiciones de frontera

Figure: Condiciones tipo Dirichlet (Volts)

Figure: Condiciones tipo Neumann (Volts/metro)

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Ejemplos y Resultados Ejemplo 2

Potencial Electrico

Figure: Potencial Electrico en la primera iteracion

Figure: Potencial Electrico en la ultima iteracion, tolerancia=0.6%

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Ejemplos y Resultados Ejemplo 2

Campo Electrico

Figure: Campo electrico obtenido con el valor de εt de la ultima iteracion,t = 19

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Ejemplos y Resultados Ejemplo 3

Condiciones de frontera-Campo Electrico

Figure: Condiciones tipo Dirichlet (Volts)

Figure: Campo electrico obtenido con el valor de εt de la ultima iteracion,t = 35

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Ejemplos y Resultados Ejemplo 3

Potencial Electrico

Figure: Potencial Electrico en la primera iteracion

Figure: Potencial Electrico en la ultima iteracion, tolerancia=0.3%

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Conclusiones

Los resultados obtenidos son muy aceptables y logicos,lamentablemente no existe mucho material bibliografico quedescriban ejemplos reales de electrostatica, la mayor parte deejemplos reales que existen son para problemaselectromagneticos, pero una vez resuelto los problemas basicosde electrostatica se tiene un buen inicio para abordar problemasde electromagnetismo.En el trabajo realizado no se tienen las graficas de las lıneas decampo electrico debido a que se tiene el vector de campoelectrico en puntos espaciales unicos lo que dificulta lavisualizacion de lıneas contiguas de campo electrico.

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Bibliografıa

[1] Stanley Humphries,Jr. Finite-element methods for Electromagnet-ics. Albuquerque and New Mexico and U.S.A., 1nd Edition, 2010

[2] Josep Sarrate and Ramon Clariso. El metodo de los elementosfinitos en problemas electromagneticos: planteamiento y aplica-ciones. Universidad Politecnica de Cataluna, Barcelona, Espana.Julio 2000

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