View
218
Download
1
Category
Preview:
Citation preview
Instituto politécnico nacional
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERIA Y ARQUITECTURA
UNIDAD ZACATENCO
Análisis Sísmico POR DESEMPEÑO
TESIS
QUE PARA OBTENER EL Título DE:
INGENIERO Civil
PRESENTA:
MARIA REYES CASIMIRO
DIRIGIDA POR:
M. en C. ELIù ROSETE CARRANCO
México df., FEBRERO DEL 2014
Agradecimientos
Primero quiero agradecer a Dios quien me lleno de fuerzas para culminar una
meta tan importante en mi vida.
Agradezco a mi asesor el profesor Eliù Rosete Carranco quien confió en mí y
compartió sus conocimientos para concluir dicho trabajo.
Agradezco también a mi familia quienes me apoyaron en todas sus formas
posibles.
También de forma especial agradezco a mi amigo y compañero quien confió en mí
otorgándome así su tiempo para culminar esta etapa de mi vida con tal éxito
muchas gracias Ricardo Baltasar Flores Carranza.
Índice
I.- Relación Momento – Curvatura (Flexión)
I.1.- Definición
I.2.- Curvas esfuerzo – deformación de aceros de refuerzo y concreto
I.2.1.- Curva esfuerzo – deformación del acero de refuerzo
I.2.2.- Curvas esfuerzo – deformación para el concreto.
I.3.- Método de las franjas/dovelas
I.3.1.- Desarrollo del procedimiento del método de Franjas/ Dovelas
I.3.2.- Ejemplo de aplicación 1
I.3.3.- Programa Momento – Curvatura elaborado en Visual Basic
I.3.4.- Ejemplo de aplicación 2
I.4.- Desarrollo del programa de computadora que genera los valores de
Momento – curvatura para secciones de concreto reforzado.
II.- Aplicaciones de la relación Momento – Curvatura
II.1.-Obtención de la capacidad de ductilidad por curvatura
II.1.1.- Forma general de una diagrama Momento – Curvatura
II.1.2.- Método practico basado en formulas para vigas y columnas
II.1.3.- Ejemplo de aplicación de la obtención del diagrama Momento –
curvatura del ejemplo 1.
II.1.4.- Ejemplo de aplicación de la obtención del diagrama Momento –
curvatura del ejemplo 2.
II.1.5.- Ductilidad local por curvatura.
II.1.6.- Reserva de ductilidad por curvatura.
II.1.7.- Redistribución de Momentos.
II.1.8.- Inercias agrietadas.
II.1.9.- Índices de daño sísmico local.
II.2.- Sismos que deberán aplicarse a una estructura
II.2.1.- Sismos de análisis de acuerdo a Vision 2000.
II.2.2.- Comportamiento esperado.
III.- Técnica del Pushover utilizando un modelo de plasticidad
III.1.- Desarrollo del método
III.1.1.- Ejemplo de aplicación a un marco articulado con las siguientes
características:
III.2.- Obtención de la curva de capacidad resistente
III.3.- Matriz de rigidez condensada.
III.3.1.- Condensación estática de la matriz de rigidez.
III.4.- Matriz de rigideces lateral.
III.4.1.- Vigas y columnas axialmente rígidas.
III.5.- Determinación de la curva de capacidad resistente.
III.5.1.- Ejemplo de aplicación obtención de la curva de capacidad
resistente
IV.- Aplicación del Pushover a marcos de concreto reforzado mediante el programa del
Sap2000
V.- Análisis de resultados
V.1.- Esperados
V.2.- Obtenidos
V.3.- Interpretación de resultados
Conclusiones
Recomendaciones
Bibliografía
Índices de figuras
Índice de tablas
Índice de ejemplos
Anexo
Introducción
En la actualidad las estructuras solo se diseñan para la zona elástica o al inicio de
la zona plástica pero no en la zona platica en este trabajo se estudian ambos en
secciones de concreto reforzado para encontrar el comportamiento de cualquier
sección en dicha zona.
Con ayuda de un programa se pretende obtener el modelo para conocer el
comportamiento de un edificio de concreto reforzado como un elemento aplicando
cargas laterales hasta llevarlo a la falla por medio de la técnica del pushover.
La importancia de la relación Momento – curvatura es conocer la capacidad por
elemento y la ductilidad de la estructura, ya conocida dicha capacidad se requiere
conocer las fuerzas que se aplicaran a la estructura para poder hacerlo; se deben
conocer las excitaciones que se le deberán aplicar a la estructura para ello la
importancia de conocer los diferentes sismos que se mencionan en este trabajo, así
como los diferentes niveles de desempeño que estos son ocasionados por dichos
sismos.
Este trabajo consta de cuatro capítulos el primero es la “Relación de Momento –
curvatura (flexión)”, en este capítulo se define lo que es un dicha relación y lo
que es un diagrama de momento – curvatura, se menciona como se obtienen las
graficas de esfuerzo deformación tanto para el concreto como para el acero de
refuerzo, así también del método de dovelas y el desarrollo de un programa de
computadora que genera los valores de momento – curvatura para cualquier sección
de concreto reforzado.
En el segundo capítulo denominado “Aplicaciones de la relación momento –
curvatura” en este capítulo se obtiene la capacidad de ductilidad por curvatura aquí
se elaboraron algunos ejemplos.
El tercer capítulo titulado “Técnica del Pushover utilizando un modelo de
elasticidad”. En este capitulo se describe el desarrollo de dicho método, así también se
elaboran ejemplos cambiando el tipo de apoyo, uno cuando los apoyos son articulados y
otro donde los apoyos se consideran empotrados; así también para poder resolver dichos
marcos se resuelven por medio de dos métodos uno el método de las rigideces, elaborado
en una hoja de Excel y el otro usando el programa Staad, ambas formas se comparan y se
encuentran que existe una proximidad entre ambos métodos.
El cuarto capítulo “Aplicación del método del Pushover a marcos de concreto reforzado
mediante el programa del Sap2000; en este capítulo se aplica el método del Pushover a dos
marcos de concreto reforzado, mostrando las gráficas que se obtienen de este programa.
1
I.- Relación Momento – Curvatura (Flexión).
I.1.- Definición
La relación Momento – Curvatura de una sección transversal de un elemento, es la
capacidad del elemento entre la razón de la variación de la dirección de una curva entre dos
puntos; es el resultado de un análisis con respecto a las graficas esfuerzo – deformación
del concreto y del acero. En este trabajo se emplean modelos constitutivos para el
concreto (los de Park y Paulay) y para el acero se utilizaron las funciones que se
desarrollaron en el artículo de la Revista de Ingeniería sísmica N° 49, 39-50 (1995)
“Comportamiento sísmico de estructuras considerando propiedades mecánicas de aceros
de refuerzos mexicanos”. Mario E. Rodríguez y Juan Carlos Botero P. Instituto de
Ingeniería, UNAM. Dicho artículo es una investigación de tipo experimental que se
realizó a un grupo de barras del mercado nacional para conocer su comportamiento, a
base de marcos diseñados como marca el reglamento del DF., y los resultados arrojados
de dicha investigación mostraron sobre resistencias que podrían llevar a modos de falla del
tipo frágil, por lo que deben ser consideradas.
El diagrama Momento – Curvatura, nos permite conocer cuál es la capacidad de
ductilidad por curvatura y la máxima capacidad a flexión del elemento Mu .
I.2.- Curva esfuerzo – deformación del acero de refuerzo y concreto.
I.2.1.- Curva esfuerzo – deformación del acero de refuerzo
En el análisis de comportamiento sismo resistente y de deformación en estructuras de
concreto reforzado, el uso de la grafica esfuerzo – deformación es muy válida, por lo que
en este apartado se hace mención sobre el modelo elastoplastico. Este tipo de modelo se
puede apreciar en la figura (1), aquí se presentan tres zonas, la primera es la zona elástica
que se encuentra comprendida en el intervalo (0 ≤ es < ey) aquí se define el modulo de
elasticidad, la segunda zona es la de fluencia que se encuentra comprendida en el intervalo
(ey ≤ es < esh) y finalmente la zona de endurecimiento por deformación la cual está
comprendida en el intervalo (esh ≤ es ≤ esu).
Para determinar la zona de endurecimiento por deformación se utiliza la siguiente
expresión (Mander 1984):
ƒs = ƒsu + (ƒy - ƒsu) (esu - es/esu - esh)p
Donde:
ƒy = 4577 kg/cm2
esh = 0.0088
ƒsu = 7491 kg/cm2
2
εsu = 0.1171
p = 3.474
I.2.2.- Curvas esfuerzo – deformación para el concreto.
Algunos modelos para la obtención de la curva esfuerzo – deformación del concreto
confinado por estribos rectangulares han sido propuestos por investigadores que intentan
representar el comportamiento de dicho material, por lo que se pueden mencionar algunos.
En la figura (2) se muestra una curva trilineal propuesta por Chan, los puntos OAB
representan la curva para el concreto no confinado y los puntos BC depende del esfuerzo
transversal. En la figura (3) Blume y otros investigadores adoptan también una curva
trilineal, en esta curva el concreto no confinado se encuentra comprendido en los puntos
OA hasta 0.85ƒ´c y ABC que a veces se puede reemplazar por una línea recta, pero
depende de la cuantía y del esfuerzo del confinamiento transversal. En la figura (4) se
muestra una parábola recomendada por Baker, donde dicha parábola llega hasta un
esfuerzo máximo, el cual va a depender del gradiente de deformación a través de la sección
y luego una rama horizontal hasta una deformación que depende del gradiente de
deformación de la cuantía de acero transversal
En la figura (5) Roy y Sozen sugirieron reemplazar la rama descendente con una línea
recta con una deformación en 0.5ƒ´c relacionada linealmente con la cuantía de
acero transversal. La curva de Soliman y Yu se presenta en la figura (6), consiste en
una parábola y dos líneas rectas con esfuerzos y deformaciones en los puntos
críticos relacionados con la cuantía de acero transversal , con el espaciamiento y con
el área confinada. Sargin y otros en la figura (7), han propuesto una ecuación general
que proporciona una curva continua esfuerzo – deformación relacionada con la
cuantía, el espaciamiento y resistencia de fluencia del acero transversal y además
con el gradiente de deformación a través de la sección y la resistencia del concreto.
Figura 1.- Modelo constitutivo del acero
3
Figura 2.- Curva Trilineal propuesta por Chan.
Figura 3.- Curva trilineal propuesta por Blume y otros investigadores
Figura 2
Figura 4.- Parábola recomendada por Baker.
Figura 5.-Curva propuesta por Roy y Sozen
4
Los investigadores Kent y Park proponen un modelo en donde se reúnen muchas de las
características que se propusieron en las curvas anteriores y realizando una serie de
pruebas, en la figura (7) podemos apreciar dicho modelo.
Región AB: εc ≤ 0.002
ƒc = ƒ´c{2εs/0.002 – (εc/0.002)2}
Esta parte ascendente de la curva está representada por una parábola de segundo
grado y supone que el acero de confinamiento no afecta el perfil de esta parte de
la curva o la deformación del esfuerzo máximo. También se supone que el esfuerzo
máximo que alcanza el concreto confinado es la resistencia ƒ´c del cilindro. Hay
evidencia de que los estribos rectangulares provocan un aumento en la resistencia:
por ejemplo, véanse las figura (3), figura (6) y la figura (7). Sin embargo, este aumento
puede ser pequeño, al grado de que en las pruebas de Roy y Sozen figura (5) no se
encontró aumento alguno en la resistencia. En la mayoría de los casos, el refuerzo
máximo supuesto ƒ´c es conservador.
Región BC: 0.002 ≤ εc ≤ ε20c
Figura 6.- Curva propuesta por Soliman y Yu
Figura 7.- Modelo constitutivo del concreto propuesto por Kent y Park
5
ƒc =ƒ´c[1 – Z(εc – 0.002)]
Donde:
Z = 0.5/ ε50u + ε50h – 0.002
ε50u = 3 + 0.002 ƒ´c/ ƒ´c – 1000
ε50h = ¾ ps√(b´´/ sh)
Donde:
ƒ´c = resistencia del cilindro de concreto en lb/plg2 = 0.00689 N/mm
2 = 0.070278 kg/cm
2
ps = relación del volumen de refuerzo transversal al volumen del núcleo de concreto
medido al exterior de los estribos.
b´´ = ancho del núcleo confinado medido al exterior de los estribos.
sh = espaciamiento de los estribos.
El parámetro Z define la pendiente de la rama descendente recta. La pendiente de la
rama descendente se especifica por la deformación presente cuando el esfuerzo ha
caído hasta 0.5 ƒ´c, y se obtiene figura (7) de evidencia experimental existente. La
ecuación para ε50u toma en cuenta el efecto de la resistencia del concreto en la
pendiente de la rama descendente del concreto no confinado, ya que el concreto de
alta resistencia es más frágil que el concreto de baja resistencia. La ecuación para
ε50h da la ductilidad adicional debida a los estribos rectangulares y se obtuvo de los
resultados experimentales de tres investigaciones, figura (2), figura (5) y figura (6). Un
estudio ver figura (5) dio resultados que incluían el efecto del gradiente de
deformación a través de la sección (especímenes cargados excéntricamente), pero
como el efecto no fue marcado, no aparece en las ecuaciones. Al analizar los
resultados de las tres investigaciones se supuso que el recubrimiento se había
desconchado ya cuando el esfuerzo había caído hasta la mitad del esfuerzo
máximo. Se supuso que el núcleo confinado llega hasta los ejes centrales de los
lados de los estribos, aunque es evidente que se tendrá solo un pequeño error si se
considera que el núcleo confinado llega hasta el borde exterior de los estribos. Esto
podría explicar la presencia de cierto recubrimiento a deformaciones altas:
Región CD: εc ≥ ε20c
ƒ c = 0.2 ƒ´c
6
Esta ecuación toma en cuenta la capacidad del concreto de soportar ciertos
esfuerzos a deformaciones muy altas.
I.3.- Método de las franjas/dovelas
Este método sirve para encontrar las fuerzas en el concreto por medio de las franjas, y de
esta manera encontrar un equilibrio de fuerzas de las fuerzas a compresión y a tensión.
Conocidos los modelos se puede desarrollar el siguiente método.
I.3.1.- Desarrollo del procedimiento del método de Franjas/ Dovelas
1.- Se propone la deformación del concreto.
2.-Se propone la profundidad del eje neutro, a un tercio del peralte.
3.- Se calculan las deformaciones sucesivas, dividiendo la deformación entre el número
de franjas del área que trabaja a compresión.
4.- Ya obtenidas las deformaciones para cada franja en el área a compresión, se obtiene
la deformación en el área que trabaja a tensión, por medio de triángulos semejantes.
5.-Para calcular esto ya podemos obtener los esfuerzos para cada deformación en cada
franja, tanto para compresión como para tensión, por medio de las graficas esfuerzo –
deformación, tanto para el concreto en el área a compresión como para el acero en el área a
tensión.
6.- Obtenidos los esfuerzos generados en el área a compresión, se obtienen las fuerzas y
para ello se calcula un promedio de los esfuerzos a compresión, se multiplica por el ancho
de la sección y por el ancho de la franja, hasta llegar al final de los esfuerzos que se
generan en el área a compresión.
7.- Para obtener la fuerza en el área a tensión, se multiplica el esfuerzo del acero por el
área de acero a tensión.
8.- Obtenidas las fuerzas tanto a compresión como a tensión se verifica si existe una
igualdad o aproximación, si es así la profundidad del eje neutro es el requerido y se
prosigue a calcular los momentos tanto en compresión como en tensión, de lo contrario se
reduce la profundidad del eje neutro hasta llegar a dicha igualdad o aproximadamente.
9.- Para obtener el momento provocado por la tensión se usa la siguiente expresión:
MT= (h/2 – r) * T
7
10.- Para obtener el momento provocado por la compresión se usa la siguiente ecuación:
Mcc= (h/2 – r´)*Cc
Para obtener el momento del acero en el área a compresión se usa la siguiente expresión:
MCa = (h/2- (0.85*c /2 )* Ca
Figura 8.- Sección y Fuerza del acero a tensión
Figura 9.- Sección y Fuerza del concreto a compresión
Figura 10.- Sección y Fuerza del acero a compresión
h/2 -r
r
h/2 -r
h/2
8
11.- Finalmente se hace la sumatoria de los momentos tanto a compresión como a tensión
para obtener el momento máximo.
I.3.2.- Ejemplo de aplicación 1
Se resuelve la siguiente sección utilizando el método de Franjas/Dovelas
Datos de la sección:
Peralte = 55 cm, base = 30 cm, As = 15 cm2, A’s = 5.8 cm
2, d’ = 5 cm, r = 5 cm,
f´c = 348 kg/cm2, fy = 4577 kg/cm
2.
Solución:
La primera profundidad del eje neutro se propone de 24 cm para este ejemplo como se
muestran en la figura 11.
Para calcular las deformaciones en el área a compresión se obtienen seis franjas/ dovelas
para obtener cada una de estas deformaciones se realiza lo siguiente:
Se toma la deformación máxima que para este ejemplo es 0.003 y se resta 0.003/6 de esta
manera se obtienen las siguientes deformaciones:
0.003- (0.003/6) = 0.0025
0.005-(0.003/6) = 0.002
0.002-(0.003/6) = 0.0015
Figura 11.- Distribución supuesta de deformaciones
9
0.0015-(0.003/6) =0.001
0.001-(0.003/6) =0.0005
Para obtener la deformación del acero en el área a compresión se le resta a 24 cm los 5 cm
del recubrimiento obtenido este valor se hace una interpolación como se muestra a
continuación:
24 cm = 0.003
19 cm = x
X = (19 cm * 0.003)/24 cm = 0.00237
Para obtener la deformación del acero a tensión se calcula por medio de triángulos
semejantes como se muestra a continuación:
24 cm = 0.003
26 cm = x
X = (26 * 0.003)/24 cm = 0.00325
Para obtener los esfuerzos de las deformaciones del concreto se usa la grafica
Grafica 1.- Esfuerzo – Deformación del concreto tomada del libro de Concreto
Reforzado de González Cuevas.
Para la deformación
0.0025 corresponde un
esfuerzo de 344 kg/cm2
10
Para obtener las fuerzas en el área a compresión se realiza lo siguiente:
Se suman los esfuerzos de la deformación 0,003 y 0 .0025, se dividen entre dos y se
multiplica por el ancho de franja y por el ancho de la sección.
(316 kg/cm2 + 344 kg/cm
2)/2 * 4 cm * 30 cm = 39600 kg = 39.6 Ton
(344 kg/cm2 + 348 kg/cm
2)/2* 4 cm * 30 cm = 41520 kg =41.5 ton
(348 kg/cm2 + 316 kg/cm
2)/2* 4 cm * 30 cm = 39840 kg =39.84 ton
(316 kg/cm2 + 250 kg/cm
2)/2* 4 cm * 30 cm = 33960 kg =33.96 ton
(250 kg/cm2 + 156 kg/cm
2)/2* 4 cm * 30 cm = 24360 kg =24.36 ton
(156 kg/cm2 + 0)/2* 4 cm * 30 cm = 9360 kg =9.36 ton
Grafica 2.- Esfuerzo – Deformación del acero.
Figura 12.- Presentación de los esfuerzos en el concreto y acero
Para la deformación
0.00325 corresponde un
esfuerzo de 2870 kg/cm2
11
Para obtener la fuerza en el acero a compresión, se multiplica el área de acero a
compresión por el esfuerzo correspondiente.
F = 5.8 cm2 * 4440 kg/cm
2 = 25752 kg = 25.7 ton
Para obtener la fuerza en el acero a tensión, se multiplica el área de acero a tensión por el
esfuerzo correspondiente.
F = 15 cm2 * 4870 kg/cm
2 = 73050 kg = 73.05 ton
Se suman las fuerzas correspondientes al área a compresión, como sigue:
39.6 + 41.5+39.84+33.96+24.36+9.36+25.7 = 214.3 ton
Ya obtenida la suma de las fuerzas a compresión como a tensión se comparan ambas
fuerzas.
214.3 ton > 73.05 ton
Se puede apreciar que las fuerzas son diferentes, por lo que se procede a bajar la
profundidad del eje neutro y se repite el procedimiento nuevamente, se detendrá el
procedimiento cuando las fuerzas sean iguales o aproximadas.
La profundidad del eje neutro a la que este ejemplo llega al equilibrio es de 6.7 cm
Figura 13.- Presentación de fuerzas en el concreto y acero.
12
De la misma manera se fija la deformación εcu = .0004
Figura 15.- Presentación de distribución de deformaciones, Esfuerzos y Fuerzas de la
deformación 0.0004.
Figura 16.- Presentación de distribución de deformaciones, Esfuerzos y Fuerzas de la
deformación 0.0008.
Figura 14.- Presentación de distribución de deformaciones, Esfuerzos y Fuerzas de la
deformación 0.003
13
Figura 17.- Presentación de distribución de deformaciones, Esfuerzos y Fuerzas de la
deformación 0.0012.
Figura 18.- Presentación de distribución de deformaciones, Esfuerzos y Fuerzas de la
deformación 0.0016.
Figura 19.- Presentación de distribución de deformaciones, Esfuerzos y Fuerzas de la
deformación 0.002.
14
Figura 20.- Presentación de distribución de deformaciones, Esfuerzos y Fuerzas de la
deformación 0.0024.
Figura 21.- Presentación de distribución de deformaciones, Esfuerzos y Fuerzas de la
deformación 0.0028.
Figura 22.- Presentación de distribución de deformaciones, Esfuerzos y Fuerzas de la
deformación 0.0032.
15
Calculo de momentos:
Deformación 0.0004
T = 7.14 ton – m
Cc = 6.45 ton – m
Ca = 0.67 ton – m
Mn = 14. 27 ton – m
Figura 23.- Presentación de distribución de deformaciones, Esfuerzos y
Fuerzas de la deformación 0.0036.
Figura 24.- Presentación de distribución de deformaciones, Esfuerzos y Fuerzas de la
deformación 0.004.
Figura 25.- Fuerzas obtenidas de las iteraciones hasta llegar al equilibrio
Para la deformación 0.0004.
16
Deformación 0.0008
T = 13.06 ton – m
Cc = 11.58 ton – m
Ca = 1.37 ton – m
Mn = 26.02 ton – m
Deformación 0.0012
T = 14.17 ton – m
Cc = 12.28 ton – m
Ca = 1.89 ton – m
Mn = 28.35 ton – m
Deformación 0.0016
T = 15.19 ton – m
Cc = 9.23 ton – m
Ca = 6.54 ton – m
Mn = 30.97 ton – m
Figura 26.- Fuerzas obtenidas de las iteraciones hasta llegar al equilibrio
Para la deformación 0.0008.
Figura 27.- Fuerzas obtenidas de las iteraciones hasta llegar al equilibrio
Para la deformación 0.0012.
Figura 28.- Fuerzas obtenidas de las iteraciones hasta llegar al equilibrio
Para la deformación 0.0016.
17
Deformación 0.0020
T = 15.52 ton – m
Cc = 9.55 ton – m
Ca = 6.60 ton – m
Mn = 31.6 ton – m
Deformación 0.0024
T = 16.03 ton – m
Cc = 13.62 ton – m
Ca = 2.69 ton – m
Mn = 32.5 ton – m
Deformación 0.0028
T = 17.5 ton – m
Cc = 11.5 ton – m
Ca = 6.56 ton – m
Mn = 35.62 ton – m
Figura 29.- Fuerzas obtenidas de las iteraciones hasta llegar al equilibrio
Para la deformación 0.002.
Figura 30.- Fuerzas obtenidas de las iteraciones hasta llegar al equilibrio
Para la deformación 0.0024.
Figura 31.- Fuerzas obtenidas de las iteraciones hasta llegar al equilibrio
Para la deformación 0.0028.
18
Deformación 0.0032
T = 17.75 ton – m
Cc = 14.6 ton – m
Ca = 3.52 ton – m
Mn = 35.67 ton – m
Deformación 0.0036
T = 18.42 ton – m
Cc = 14.70 ton – m
Ca = 3.80 ton – m
Mn = 36.93 ton – m
Deformación 0.004
T = 19.58 ton – m
Cc = 13.45 ton – m
Ca = 6.84 ton – m
Mn = 39.89 ton – m
Figura 32.- Fuerzas obtenidas de las iteraciones hasta llegar al equilibrio
Para la deformación 0.0032.
Figura 33.- Fuerzas obtenidas de las iteraciones hasta llegar al equilibrio
Para la deformación 0.0036.
Figura 34.- Fuerzas obtenidas de las iteraciones hasta llegar al equilibrio
Para la deformación 0.004.
19
A continuación se presenta la grafica de Momento vs Deformación del ejemplo 1
Ya obtenida la gráfica Momento – Deformación, se obtiene la gráfica de Momento –
Curvatura, para obtener la curvatura se divide la deformación entre la profundidad del eje
neutro, haciendo esto se logra a la siguiente gráfica:
Grafica 3.- Momento vs Deformación del ejemplo 1
Grafica 4.- Momento vs Curvatura del ejemplo 1
20
I.3.4.- Ejemplo de aplicación 2
Se resuelve la siguiente sección utilizando el método de Franjas/Dovelas,
utilizando las graficas que se obtienen con el programa que se elaboro pero que se
explicara a detalle en más adelante en el Capítulo I.3.3.
Datos de la sección:
Peralte = 80 cm, base = 40 cm, f´c = 250 kg/cm2, fy = 4577 kg/cm
2, As = 25 cm
2,
A´s = 15 cm2.
En primer lugar se obtiene del programa desarrollado la gráfica de esfuerzo – deformación
del acero, del modelo propuesto por Botero – Rodríguez.
En segundo lugar se obtiene del programa desarrollado la gráfica de esfuerzo –
deformación del concreto, del modelo de Park – Kent.
Grafica 5.- Esfuerzo – Deformación del ejemplo de aplicación 2.
Grafica 6.- Esfuerzo – Deformación del ejemplo de aplicación 2.
21
Se propone una deformación de 0.001
Para obtener las deformaciones del concreto se realiza lo
siguiente:
0.001 - (0.001/6) =0.000833333
0.00083333 - (0.001/6)=0.00066667
0.00066667 – (.001/6)= 0.0005
0.0005 – (0.001/6)=0.0003333
0.0003333 – (0.001/6)=0.00016667
0.00016667 - (0.001/6)=0
Tabla 1.- Resumen de valores obtenidos para las
deformaciones del concreto.
Eje
neutro
26.6666667
cm
Deformaciones Esfuerzos Fuerzas
Espesor de
la franja
0.001 187.5
4.44444444
0.00083333 160 30888.8889
0.00066667 136.0937 26319.44
0.0005 109.375 21819.44
0.00033333 69.37498 15888.8871
0.00016667 36.09374 9374.99733
0 0 3208.33244
Σ = 107499.986 kg
Los esfuerzos de cada una de estas deformaciones se obtienen de la siguiente tabla que son
los valores obtenidos del programa.
Deformación Esfuerzo
0 0
0.00005 12.34375
0.0001 24.37499
0.00015 36.09374
0.0002 47.49999
0.00025 58.59374
0.0003 69.37498
0.00035 79.84373
0.0004 89.99998
0.00045 99.84373
0.0005 109.375
0.00055 118.5937
0.0006 127.5
0.00065 136.0937
0.0007 144.375
0.00075 152.3437
22
0.0008 160
0.00085 167.3437
0.0009 174.375
0.00095 181.0937
0.001 187.5
Para obtener las fuerzas se realiza lo siguiente:
(187.5 + 160)/2 * 4.44444444*40 = 30888.889 kg
(160 + 136.0937)/2 * 4.44444444*40 = 26319.44 kg
(136.0937 + 109.375)/2 * 4.44444444*40 = 21819.44 kg
(69.37498+ 109.375)/2 * 4.44444444*40 = 15888.887 kg
(69.37498+ 36.09374)/2 * 4.44444444*40 = 9374.9973 kg
(36.09374)/2 * 4.44444444*40 =3208.3324 kg
Tabla 2.- Resumen del valor obtenido para la
deformación del acero a compresión.
Deformaciones Esfuerzos Fuerzas
A´s
compresión
0.00081 2100 31500 15
Σ = 138.999 ton
Esta grafica es la misma de la página 20.
La fuerza se obtiene al multiplicar el esfuerzo por el área de acero a compresión
Grafica 7.- Obtención del valor del acero a compresión marcado con una línea
de color negro.
23
2100 kg/cm2 * 15 cm
2 =31500 kg
Tabla 3.- Resumen del valor obtenido para la
deformación del acero a tensión.
Deformaciones Esfuerzos Fuerzas As tensión
0.0018 3150 78750 25
Σ = 78.75 ton
Para obtener la deformación del acero se hace una interpolación para obtener el valor
requerido
0.001= 26.666667
x = 48.333333
Por lo tanto x = (0.001*48.3333333)/26.66666667 = 0.0018
Para obtener el esfuerzo se usa la grafica del acero
La grafica 8 es la misma de la página 20
Grafica 8.- Obtención del valor del acero a tensión marcado con una línea de
color negro.
24
Tabla 4.- Resumen de valores obtenidos para las
deformaciones del concreto.
Eje
neutro 20.5 cm
Deformaciones Esfuerzos Fuerzas
Espesor de la
franja
0.001 187.5
3.416666667
0.00083333 160 23745.8333
0.00066667 136.0937 20233.0695
0.0005 109.375 16773.6945
0.00033333 69.37498 12214.582
0.00016667 36.09374 7207.0292
0 0 2466.40557
Σ = 82640.6141 Kg
Tabla 5.- Resumen del valor obtenido para la
deformación del acero a compresión.
Deformaciones Esfuerzos Fuerzas
A´s
compresión
0.00081 2100 31500 15
Σ = 114.140614 Ton
Tabla 6.- Resumen del valor obtenido para la
deformación del acero a tensión.
Deformaciones Esfuerzos Fuerzas As tensión
0.0026 4577 114425 25
Σ = 114.425 ton
Obtención de momentos:
Momento en el área a tensión
MT = (80/2 – 5)* 114.425 ton = 4004.875 ton/cm = 40.048 Ton/m
Figura 35.- Fuerza del acero a tensión de la deformación 0.001
25
Momento en el concreto
MCc = (80/2 – 5)* 82.64 ton = 2892.4 ton/cm = 28.924 Ton/m
Momento en el acero a compresión
MCa = (80/2 – 20.5*0.85/2)* 31500kg = 985556.25kg/cm = 9.85 Ton/m
Mn =78.81 T-m
Para la deformación de 0.001 el momento es:
Mn= 78.82 Ton - m
A continuación se propone la deformación de 0.002
Tabla 7.- Resumen de valores obtenidos para las
deformaciones del concreto.
Eje
neutro 26.6666667
Deformaciones Esfuerzos Fuerzas
Espesor de la
franja
0.002 250
4.444444444
0.00166667 242.3437 43763.8844
0.00133333 219.375 41041.6622
0.001 187.5 36166.6667
0.00066667 136.0937 28763.8844
0.00033333 69.37498 18263.8827
0 0 6166.66489
Σ = 174166.645
Figura 36.- Fuerza del concreto a compresión de la deformación 0.001
Figura 37.- Fuerza del acero a compresión de la deformación 0.001
26
Tabla 8.- Resumen del valor obtenido para la
deformación del acero a compresión.
Deformaciones Esfuerzos Fuerzas
A´s
compresión
0.0016 3150 47250 15
Σ = 221.416645 Ton
Tabla 9.- Resumen del valor obtenido para la
deformación del acero a tensión.
Deformaciones Esfuerzos Fuerzas As tensión
0.0036 4577 114425 25
Σ = 114.425 Ton
Tabla 10.- Resumen de valores obtenidos para las
deformaciones del concreto.
Eje
neutro 11 cm
Deformaciones Esfuerzos Fuerzas
Espesor de la
franja
0.002 250
1.833333333
0.00166667 242.3437 18052.6023
0.00133333 219.375 16929.6857
0.001 187.5 14918.75
0.00066667 136.0937 11865.1023
0.00033333 69.37498 7533.8516
0 0 2543.74927
Σ = 71843.7412
Tabla 11.- Resumen del valor obtenido para la
deformación del acero a compresión.
Deformaciones Esfuerzos Fuerzas
A´s
compresión
0.0012 3150 47250 15
Σ = 119.093741 Ton
Tabla 12.- Resumen del valor obtenido para la
deformación del acero a tensión.
Deformaciones Esfuerzos Fuerzas As tensión
0.011 4777.527 119438.175 25
Σ = 119.438175 Ton
27
Obtención de momentos:
Momento en el área a tensión
MT = (80/2 – 5)* 119.43 ton = 4180.05 ton/cm = 41.80 Ton/m
Momento en el concreto
MCc = (80/2 – 5)* 71.84 ton = 2514.4 ton/cm = 25.144 Ton/m
Momento en el acero a compresión
MCa = (80/2 – 11*0.85/2)* 47250 kg = 1669106 kg/cm = 16.69106 Ton/m
Para la deformación de 0.002 se obtiene el momento:
Mn =83.61 T-m
Figura 38.- Fuerza del acero a compresión de la deformación 0.002
Figura 39.- Fuerza del concreto a compresión de la deformación 0.002
Figura 40.- Fuerza del acero a compresión de la deformación 0.002
28
Ahora se propone la deformación de 0.003
Tabla 13.- Resumen de valores obtenidos para las
deformaciones del concreto.
Eje
neutro 26.6666667
Deformaciones Esfuerzos Fuerzas Espesor de la franja
0.003 237.1391
4.444444444
0.0025 243.5696 42729.6622
0.002 250 43872.8533
0.0015 234.375 43055.5556
0.001 187.5 37500
0.0005 109.375 26388.8889
0 0 9722.22222
Σ = 203269.182
Tabla 14.- Resumen del valor obtenido para la deformación
del acero a compresión.
Deformaciones Esfuerzos Fuerzas A´s compresión
0.002549 4577 68655 15
Σ = 271.924182 Ton
Tabla 15- Resumen del valor obtenido para la deformación
del acero a tensión.
Deformaciones Esfuerzos Fuerzas As tensión
0.0054 4577 114425 25
Σ = 114.425 Ton
Tabla 16.- Resumen de valores obtenidos para las
deformaciones del concreto.
Eje
neutro 9.8
Deformaciones Esfuerzos Fuerzas
Espesor de la
franja
0.003 237.1391
1.633333333
0.0025 243.5696 15703.1509
0.002 250 16123.2736
0.0015 234.375 15822.9167
0.001 187.5 13781.25
0.0005 109.375 9697.91667
0 0 3572.91667
Σ = 74701.4245
29
Tabla 17.- Resumen del valor obtenido para la
deformación del acero a compresión.
Deformaciones Esfuerzos Fuerzas A´s compresión
0.0017 4200 63000 15
Σ = 137.701424 Ton
Tabla 18- Resumen del valor obtenido para la
deformación del acero a tensión.
Deformaciones Esfuerzos Fuerzas As tensión
0.0199 5496.703 137417.575 25
Σ = 137.417575 Ton
Obtención de momentos:
Momento en el área a tensión
MT = (80/2 – 5)* 137.41 ton = 4809.35 ton/cm = 48.09 Ton/m
Momento en el concreto
MCc = (80/2 – 5)* 74.7 ton = 2614 ton/cm = 26.14 Ton/m
Momento en el acero a compresión
MCa = (80/2 – 9.8*0.85/2)* 63000 kg = 2257605 kg/cm = 22.57 Ton/m
Figura 41.- Fuerza del acero a compresión de la deformación 0.003
Figura 42.- Fuerza del concreto a compresión de la deformación 0.003
30
Para la deformación de 0.003 se obtiene el momento:
Mn =96.8 T-m
Para la deformación de 0.004
Tabla 19.- Resumen de valores obtenidos para las
deformaciones del concreto.
Eje
neutro 26.6666667
Deformaciones Esfuerzos Fuerzas
Espesor de la
franja
0.004 224.2782
4.444444444
0.00333333 233.2809 40671.92
0.00266667 241.6404 42215.2267
0.002 250 43701.3689
0.00133333 219.375 41722.2222
0.00066667 136.0937 31597.2178
0 0 12097.2178
Σ = 212005.173
Tabla 20.- Resumen del valor obtenido para la
deformación del acero a compresión.
Deformaciones Esfuerzos Fuerzas
A´s
compresión
0.00255 4577 68655 15
Σ = 280.660173 Ton
Tabla 21- Resumen del valor obtenido para la
deformación del acero a tensión.
Deformaciones Esfuerzos Fuerzas As tensión
0.0054 4577 114425 25
Σ = 114.425 ton
Figura 43.- Fuerza del acero a compresión de la deformación 0.003
31
Tabla 22.- Resumen de valores obtenidos para las
deformaciones del concreto.
Eje
neutro 9.8
Deformaciones Esfuerzos Fuerzas
Espesor de la
franja
0.004 224.2782
1.633333333
0.00333333 233.2809 14946.9306
0.00266667 241.6404 15514.0958
0.002 250 16060.2531
0.00133333 219.375 15332.9167
0.00066667 136.0937 11611.9775
0 0 4445.72753
Σ = 77911.9012
Tabla 23.- Resumen del valor obtenido para la
deformación del acero a compresión.
Deformaciones Esfuerzos Fuerzas
A´s
compresión
0.0023 4577 68655 15
Σ = 146.566901 Ton
Tabla 24.- Resumen del valor obtenido para la
deformación del acero a tensión.
Deformaciones Esfuerzos Fuerzas As tensión
0.026 5893.072 147326.8 25
Σ = 147.3268 ton
Obtención de momentos:
Momento en el área a tensión
MT = (80/2 – 5)* 147.32 ton = 5156.2 ton/cm = 51.56 Ton/m
Figura 44.- Fuerza del acero a compresión de la deformación 0.004
32
Momento en el concreto
MCc = (80/2 – 5)* 77.91 ton = 2726.85 ton/cm = 27.26 Ton/m
Momento en el acero a compresión
MCa = (80/2 – 9.8*0.85/2)* 68655 kg =2460251 kg/cm = 24.60 Ton/m
Para la deformación de 0.004 el momento es:
Mn =103.42 T-m
Figura 45.- Fuerza del concreto a compresión de la deformación 0.004
Figura 46.- Fuerza del acero a compresión de la deformación 0.004
33
I.3.3.- Programa Momento – Curvatura elaborado en Visual Basic
Programa que obtiene el diagrama Momento – Curvatura de secciones de concreto
reforzado con área de acero en dos lechos.
Grafica 9.- Momento vs Deformación del ejemplo 2
Grafica 10.- Momento vs Curvatura del ejemplo 2
34
Datos introducidos por el usuario:
Peralte de la sección.
Recubrimiento inferior.
Recubrimiento superior.
Ancho de la sección.
f´c del concreto.
Recubrimiento izquierdo.
Recubrimiento derecho.
Diámetro de estribos.
Separación de estribos.
Espaciamiento para las deformaciones del concreto.
Espaciamiento para las deformaciones del acero.
Acero a compresión.
Acero a tensión.
Número de franjas.
Procedimiento:
1.- El programa comienza pidiendo los datos de entrada que se mencionaron al inicio de
este apartado, lo primero que calcula son las graficas de los esfuerzos y deformaciones
para el concreto y el acero.
2.- Con estos valores ya disponibles el programa comienza a calcular las deformaciones en
el concreto, en este programa esta propuesta la profundidad del eje neutro a un tercio del
peralte y la deformación del concreto se propone para .004/40, el 40 es el numero de
valores que se desean conocer, considerando una deformación máxima de .004 como la
deformación máxima del concreto a compresión.
3.- Obtenidas las deformaciones del concreto obtiene los esfuerzos y calcula las fuerzas.
4.- Así también calcula las deformaciones del acero primero en el área a compresión, así
como su esfuerzo y fuerza, de la misma manera calcula la deformación del acero a tensión,
su esfuerzo y su fuerza.
5.- Obtenidos estos valores realiza la sumatoria de las fuerzas a tensión y a compresión y si
son iguales o aproximadas calcula los momentos, de lo contrario vuelve al inicio
disminuyendo la profundidad del eje neutro hasta que obtenga dicha igualdad o
aproximación, encontrada esta igualdad, calcula los momentos y vuelve al inicio a calcular
para otra deformación, esto lo ejecutara hasta llegar a la deformación máxima que es de
.004 deformación máxima del concreto a compresión.
6.- Los valores de las deformaciones, de los momentos y de las profundidades de eje
neutro se guardan en un archivo.
35
II.- Aplicaciones de la relación Momento – Curvatura
Una de las aplicaciones es la obtención de ductilidad por curvatura y la máxima
capacidad a flexión del elemento MU.
II.1.- Obtención de la capacidad de ductilidad por curvatura
Si un elemento tiene muy poca capacidad de ductilidad por curvatura va a presentar
una falla frágil cuando la estructura ingrese al rango no lineal, lo cual no es deseable. Lo
ideal es que tenga un valor alto de μФ para que la edificación disipe la mayor cantidad
de energía, para que sea posible la redistribución de momentos y de esa manera
trabajen todos los elementos en una forma.
II.1.1.- Forma general de una diagrama Momento - Curvatura
El punto A, se alcanza cuando el concreto llega a su máximo esfuerzo a la tensión; es el
comienzo del rango elástico.
El punto Y, se determina cuando el acero a tensión alcanza el punto de fluencia, definido
por un esfuerzo fy, y una deformación εy.
El punto S, se obtiene cuando el acero a tensión se encuentra al inicio de la zona de
endurecimiento, es decir al final de la plataforma de fluencia.
El punto U, se halla cuando el concreto llega a su máxima deformación útil a compresión
εu. No es la falla de la sección del elemento.
Fórmulas aproximadas.
Grafica 11.- Puntos principales del diagrama Momento - Curvatura
A
Y S
U
36
Para encontrar los puntos principales A, Y, U del diagrama momento curvatura, existen
fórmulas aproximadas que se pueden utilizar cuando no se dispone de un programa
II.1.2.- Método practico basado en formulas para vigas y columnas de
concreto reforzado.
Punto A
MA = I/C1(ƒct + P0/A)
A = bh
ФA = MA/Ec I
Donde:
C1: Es la distancia del centro de gravedad de la sección a la fibra más tensionada.
ƒct: Es el esfuerzo máximo a tensión del concreto.
I: Es el momento de inercia de la sección.
P0: Es la fuerza axial a compresión.
Ec: Modulo de elasticidad del concreto.
A: Área de la sección.
Punto Y
MY = 0.5ƒ´c bd2[(1 + βc – η)η0 + (2 – η ) p1 + (η - 2βc)αcp1]
βc = d´/d
η = 0.75/1 + αy (εc / ε0)0.7
αy = εy / ε0
η0 = P0 / bdƒ´c
p1 = Asƒy / bdƒ´c
p´1= A´sƒy / bdƒ´c
εc = Фyd – εy ≤ εu
αc = (1 - βc ) εc / εy - βc ≤ 1
Фy = [ 1.05 + ( C2 – 1.05 ) η0 / 0.03 ] εy / (1- k)d
k= √( p1 + p´1 )2 1 / 4αy
2 + ( p1 + βc p´1) 1 / 2αy
37
C2 = 1 + (0.45 / (0.84 + p1))
Las formulas indicadas fueron propuestas por Y. Park tienen un respaldo teórico y
experimental basado en el ensayo de 400 elementos.
Donde:
d´= Es el recubrimiento del armado a compresión.
ε0 = Es la deformación del concreto asociado a la máxima resistencia.
Punto U
MU = (1.24 – 0.15 p1 – 0.5 η0 )My
Фu = μФ Фy
μФ = (εp / ε0 )0.218pw – 2.15
exp(0.654 pw + 0.38)
εp = 0.5 εb + 0.5 √ εb2 + θs
2
εb = [ C1 + (C2 – C1) η0 / 0.3] Фy
C1 = 1.05 Para p´1 ≠0
C1 = 1 + 1.9 p12.4
Para p´1 =0
C2 = 1 + 0.45 / (0.85 + 2 p´1 - p1 )
θs = 0.002 / ((L/d ) – 0.05) u< 5 o L / d > 4
θs = 0.002 / ((L/d ) – 0.05) [1 + 0.27(u-5)] u>5 y 2.5< L / d < 4
θs = 0.002 / ((L/d ) – 0.05)[1 + 0.185(u-5)/√pw-0.4] u> 5 y L / d<2.5
u = Tb / ƒ´c
Donde:
pw: Es la cuantía de confinamiento transversal en porcentaje. Si pw > 2% se considera pw
= 2. Por otra parte la ductilidad por curvatura μФ será igual a 1 si el valor que
resulta al aplicar la respectiva ecuación es menor a la 1.
θs: Es la rotación por corte.
Tb: Es el esfuerzo de adherencia.
38
L: Es la longitud del elemento.
II.1.3.- Ejemplo de aplicación para la obtención del diagrama Momento –
curvatura del ejemplo 1.
Ocupando los mismos ejemplos de las secciones antes resueltas, se calcularon los puntos
notables del diagrama Momento – Curvatura. Por medio del formulario y después con el
programa que se diseño.
Datos de la sección:
H= 55 cm, b = 30 cm, As = 15 cm2, A´s = 5.8 cm
2, f´c = 348 kg/cm
2, d´= 5 cm.
Punto A
MA = I/C1(ƒct )
I = ((0.30 m * 0.553
m)/12) + (0.2252
m*0.00058 m2) + (0.225
2 m*0.0015 m
2)
I = 0.004264 m4
MA = 3480 T/m * 0.1*(0.004264 m4/0.275 m)
MA =5.39 T-m
ФA = 5.39 T-m/(2100000 * 0.004264 m4)
ФA = 0.000601 1/m
Punto Y
βc = d´/d
βc = 5.0 cm/55 cm
βc = 0.090
η = 0.75/1 + αy (εc / ε0)0.7
η = (0.75 / (1 +0.9523))*(0.001575/0.0021)0.7
η = 0.3140
αy = εy / ε0
αy = 0.002/0.0021
αy = 0.9523
39
p1 = Asƒy / bdƒ´c
p1 = (15 cm2 * 4577 kg/cm
2)/(30 cm * 50 cm * 348 kg/cm
2)
p1 = 0.1315
p´1= A´sƒy / bdƒ´c
p´1= (5.8 cm2 * 4577 kg/cm
2)/(30 cm * 50 cm * 348 kg/cm
2)
p´1= 0.0508
εc = Фyd – εy ≤ εu
εc = (0.0065 * 0.55 m) – 0.002
εc = 0.001575
αc = (1 - βc ) εc / εy - βc ≤ 1
Фy = εy / (1- k)d
Фy = 0.002/((1-0.4474)*0.55)
Фy = 0.0065 1/m
k= √( p1 + p´1 )2 1 / 4αy
2 + ( p1 + βc p´1) 1 / 2αy
k= (√(0.18232/4*0.9523
2) + ((0.1315 + 0.090 + 0.0508)/0.9523) ) – (0.1823 / 2*0.9523)
k= 0.4474
αc = ((1 – 0.090 ) (0.001575/0.0020)) – 0.090
αc = 0.6266
MY = 0.5ƒ´c bd2[(1 + βc – η)η0 + (2 – η ) p1 + (η - 2βc)αcp1]
MY = 0.5*3480 *0.30* 0.502*[((2-0.3140)*0.1315) + (0.3140 – (2*0.090)*0.6266*0.0508]
MY = 29.48 T-m
Punto U
C1 = 1.05
εb = [ C1 + (C2 – C1) η0 / 0.3] Фy
εb = (1.05 * 0.0062)
εb = 0.00651
εp = 0.5 εb + 0.5 √ εb2 + θs
2
40
εp = 0.5*0.00651 + 0.5 √ 0.006512 + 0.0001739
2 = 0.0065
θs = 0.002 / ((L/d ) – 0.05)
θs = 0.002 / ((6.0/0.50) - 0.5)
θs = 0.0001739
MU = (1.24 – 0.15 p1 – 0.5 η0 )My
MU = (1.24 – (0.15 *0.1315))
MU = 35.97 T-m
Фu = μФ Фy
Фu = 0.0065*
μФ = (εp / ε0 )0.218pw – 2.15
exp(0.645 pw + 0.38)
μФ = (0.0065 /0.0021 )0.218*3.5 – 2.15
exp(0.645 *3.5 + 0.38) =2.9
μФ = 2.9
Фu = 0.0065*2.9 = 0.0189 1/m
Con el programa se obtuvo la siguiente grafica donde se muestran los puntos
principales:
Grafica 12.- Grafica Momento – Curvatura generada en el programa elaborado para
el ejemplo 1
U
Y
A
41
II.1.4.- Ejemplo de aplicación de la obtención del diagrama Momento –
curvatura del ejemplo 2.
Datos de la sección:
H= 80 cm, b = 40 cm, As = 25 cm2, A´s = 15 cm
2, f´c = 250 kg/cm
2, d´= 4 cm.
Punto A
MA = I/C1(ƒct )
I = ((0.40 m * 0.803
m)/12) + (0.3552
m*0.0025 m2) + (0.355
2 m*0.0015 m
2)
I = 0.01757 m4
MA = 2500 T/m * 0.1*(0.01757 m4/0.40 m)
MA =10.98 T-m
ФA = 10.98 T-m/(2100000 * 0.01757 m4)
ФA = 0.000297 1/m
Punto Y
βc = d´/d
βc = 5.0 cm/80 cm
βc = 0.0625
Grafica 13.- Grafica comparativa de ambos métodos de los puntos principales
42
η = 0.75/1 + αy (εc / ε0)0.7
η = (0.75 / (1 +0.9523))*(0.00032/0.0021)0.7
η = 0.1029
αy = εy / ε0
αy = 0.002/0.0021
αy = 0.9523
p1 = Asƒy / bdƒ´c
p1 = (25 cm2 * 4577 kg/cm
2)/(40 cm * 75 cm * 250 kg/cm
2)
p1 = 0.1525
p´1= A´sƒy / bdƒ´c
p´1= (15 cm2 * 4577 kg/cm
2)/(40 cm * 76 cm * 250 kg/cm
2)
p´1= 0.09033
εc = Фyd – εy ≤ εu
εc = (0.0029 * 0.80 m) – 0.002
εc = 0.00032
Фy = εy / (1- k)d
Фy = 0.002/((1-0.4529)*0.80)
Фy = 0.0045 1/m
k= √( p1 + p´1 )2 1 / 4αy
2 + ( p1 + βc p´1) 1 / 2αy
k= (√(0.242832/4*0.9523
2) + ((0.1525 + 0.0625 + 0.09033)/0.9523) ) – (0.24283 /
2*0.9523)
k= 0.4529
αc = ((1 – 0.0625 ) (0.00032/0.0020)) – 0.0625
αc = 0.0875
MY = 0.5ƒ´c bd2[(1 + βc – η)η0 + (2 – η ) p1 + (η - 2βc)αcp1]
MY = 0.5*2500 *0.40* 0.752*[((2-0.1029)*0.1525) + (0.1029 –
(2*0.0625)*0.0875*0.09033]
MY = 81.39 T-m
43
Punto U
C1 = 1.05
εb = [ C1 + (C2 – C1) η0 / 0.3] Фy
εb = (1.05 * 0.0045)
εb = 0.004725
εp = 0.5 εb + 0.5 √ εb2 + θs
2
εp = 0.5*0.004725 + 0.5 √ 0.0047252 + 0.0001739
2 = 0.0045
θs = 0.002 / ((L/d ) – 0.5)
θs = 0.002 / ((6.0/0.50) - 0.5)
θs = 0.0001739
MU = (1.24 – 0.15 p1 – 0.5 η0 ) My
MU = (1.24 – (0.15 *0.1525)) 81.39
MU = 99.06 T-m
Фu = μФ Фy
μФ = (εp / ε0 )0.218pw – 2.15
exp(0.645 pw + 0.38)
μФ = (0.0045 / 0.0021)0.218*1.2 – 2.15
exp(0.645*3.5 + 0.38) = 4.85
μФ = 4.85
Фu = 0.0045 * 1 = 0.0218
Con el programa se obtuvo lo siguiente grafica donde se muestran los puntos
principales:
Grafica 14.- Grafica de Momento – Curvatura generada en el programa ejemplo
2
U
Y
A
44
II.1.5.- Ductilidad local por curvatura
II.1.5.- Ductilidad local por curvatura
La ductilidad por curvatura μФ, es el cociente de la curvatura última Фu y la curvatura de
fluencia Фy, también llamada capacidad de ductilidad de una sección.
La curvatura última se determina considerando la deformación máxima del concreto a la
compresión, en este trabajo se consideró a 0.004.
La curvatura de fluencia se determina cuando el acero fluye se busca que deformación
tiene el concreto cuando este tiene una deformación de 0.0021.
μФ = Фu / Фy
Para las secciones resueltas en los ejemplos anteriores se calcula su capacidad de
ductilidad por curvatura obteniendo los siguientes valores:
Primer ejemplo
μФ = Фu / Фy
μФ =0.00033 /.00019
μФ = 1.73
μФ = 0.00045/0.00019
μФ = 2.36
Grafica 15.- Grafica Comparativa de ambos métodos de los puntos principales
45
Segundo ejemplo
μФ = Фu / Фy
μФ = 0.000264/0.000144
μФ = 1.83
μФ = 0.000358/0.000144
μФ = 2.48
II.1.6.- Reserva de ductilidad por curvatura
En el siguiente apartado, se habla sobre los sismos de análisis con los cuales se debe
verificar el desempeño estructural de una edificación (el cual se puede definir como la
capacidad que tienen los elementos estructurales para soportar los sismos en relación al
tipo de especificaciones para la cual fueron diseñados). Ahora bien, ante los sismos
denominados raro y muy raro, por el Comité VISION 2000, en son muy severos la
estructura va ingresar al rango no lineal. Sea Md, el momento actuante debido a uno de
los dos sismos indicados, el cual es mayor que My, asociado a Md se tiene la curvatura
Фd. Se define la demanda de ductilidad por curvatura μd, con la siguiente ecuación:
μd = Фd / Фy
Por otra parte, se define la reserva de ductilidad por curvatura μ, como la
diferencia entre la capacidad de ductilidad y la demanda de ductilidad, por
curvatura:
μr = (Фu / Ф) /(Фd / Фy)
Mientras más alta sea la reserva de ductilidad por curvatura de los diferentes
elementos que conforman una estructura, mejor será el comportamiento sísmico que
se espera en la edificación, toda vez que se permitirá la redistribución de momentos,
se obligará a que otros elementos adyacentes a los que están sobrecargados absorban
parte de las cargas, aliviando de esta manera las zonas recargadas.
(El cual es un comité, que fue creado por la SEAOC, Asociación de Ingenieros Estructurales de California. Su finalidad fue saber cuál es el desempeño que se espera de una
estructura ante un determinado evento sísmico, desempeño que es función del uso que tenga la edificación. El trabajo realizado por el Comité Vision 2000 fue publicado
en dos volúmenes. El Volumen I, Se definen los sismo de análisis, Niveles de desempeño expresados en términos cualitativos para la estructura, para elementos no
estructurales y para diferentes sistemas de instalaciones que conforman la edificación. También define el marco conceptual para el diseño por desempeño. El Volumen II,
es un informe preliminar del sismo de Northirdge de 1994, que ratifica la necesidad de contar en el futuro con procedimientos de análisis sísmicos basados en el
desempeño)
46
II.1.7.- Redistribución de Momentos.
Para que se dé la redistribución de momentos (cuando a un elemento se le aplica una
carga se debe hacer una distribución en los extremos para que exista un equilibrio interno
provocado por las fuerzas externas y si se sigue incrementando esta distribución se seguirá
realizando) , es necesario que los elementos tengan suficiente reserva de ductilidad
por curvatura, en las secciones criticas que son los extremos de los elementos.
Un principio fundamental para la redistribución, es que la suma de momentos de las
vigas, antes de la redistribución, es igual a la suma de momentos de las vigas, después
de la redistribución. En consecuencia no se admite ninguna modificación a la sumatoria
de momentos. La redistribución, se puede realizar de la siguiente manera:
Redistribución de momentos a través de un nodo.
Aquí la redistribución se lleva cabo median de la siguiente forma, si el
momento negativo se reduce en un porcentaje en ese mismo porcentaje se
debe incrementar el momento positivo para que el nodo no se altere.
Redistribución de momentos en vigas que involucran redistribución de
acciones entre las columnas.
En este caso se realiza lo anterior para las vigas, ya obtenido eso busca el
equilibrio en el nodo en cual se modifica los momentos en las columnas lo
que nos lleva a encontrar nuevos cortantes sobre las columnas.
Para lograr el equilibrio ante cargas verticales la viga se considera como
simplemente apoyada.
Las secciones de las vigas, cuyos elementos se han reducido debido a las redistribución,
ingresan al rango no lineal, en forma anticipada pero tienen suficiente reserva de
ductilidad por rotación, lo que permite que el concreto trabaje a grandes deformaciones
y la sección rote inelásticamente transmitiendo las acciones a otros elementos.
II.1.8.- Inercias agrietadas.
Una vez que se tiene la relación momento – curvatura de una sección, definida por un
modelo numérico, se puede encontrar la rigidez a flexión EI, para diferentes
condiciones a las cuales puede estar sujeto el elemento.
Si la sección no experimenta daño, significa que estrictamente el momento
actuante es menor que el Momento de agrietamiento (MA), en este caso se tiene:
EI = MA/ФA = EIg
Donde Ig es la inercia no agrietada de la sección transversal del elemento y E es el
modulo de elasticidad del material.
Si en la grafica anterior, se une el punto Y, con el origen se determina la rigidez a
flexión agrietada EIcr.
47
EIcr = My/Фy
Ante un sismo muy severo, la estructura va a sufrir daño. En consecuencia, el
análisis sísmico para estos eventos se realiza considerando la inercia agrietada Icr.
Los códigos establecen estos valores en función del nivel de desempeño estructural
esperado de la edificación.
Para los ejemplos resueltos anteriormente
EIcr = My/Фy
EIcr = 31.45/.0234
EIcr = 1344.01
EIcr = 83.98/.0171
EIcr = 4911.11
Código ecuatoriano de la construcción CEC – 2000
Icr = 0.5 Ig Para Vigas
Icr = 0.8 Ig Para Columnas
Icr = 0.2 Ig Para Muros estructurales
Normativa Sismo Resistente de Colombia NSR – 98
Estado limite de Servicio.
o Icr = 0.5 Ig Para Vigas
o Icr = 1.0 Ig Para Columnas
o Icr = 1.0 Ig Para Muros no fisurados
o Icr = 0.5 Ig Para Muros fisurados
o Icr = 0.35 Ig Para Losas, en sistema losa – columna
Estado limite de Resistencia.
o Icr = 0.35 Ig Para Vigas
o Icr = 0.70 Ig Para Columnas
o Icr = 0.70 Ig Para Para Muros no fisurados
o Icr = 0.35 Ig Para Muros fisurados
o Icr = 0.25 Ig Para Losas, en sistemas losa – columna
En la norma NSR – 98 se puede apreciar que el valor de Icr depende del Estado de
Diseño, si se espera poco daño (Estado limite de servicio) los valores de Icr son
más altos en relación a cuando se espera más daño (Estado limite de Resistencia).
En el Reglamento de Construcción del Distrito Federal se menciona lo siguiente:
48
Icr = 0.5 Ig Para Vigas
Icr = 0.5 Ig Para Muros agrietados
Icr = 1 Ig Para Columnas
Icr = 1 Ig Para Muro no agrietados
II.1.9.- Índices de daño sísmico local.
La tendencia del diseño sísmico resistente es cuantificar el comportamiento no lineal
que se espera de una edificación y esto entre otras cosas significa, calcular el índice
de daño a nivel sección de los elementos, a nivel de piso y a nivel de la estructura.
En el presente aparatado se estudia la evaluación del índice de daño a nivel de sección,
también denominado índice de daño local y se desea presentar un modelo muy
sencillo basado únicamente en las relaciones momento curvatura.
Si el momento actuante Md, indicado anteriormente es igual al momento de fluencia
My, el índice de daño es igual a cero y si el momento actuante Md es igual a Mu, el
índice de daño es igual a uno. Por otra parte, si se considera una variación lineal del
índice de daño, hipótesis del modelo de daño, se tiene que:
ID = (Md - My) /(Mu - My)
En forma similar, se puede definir otro modelo de cálculo del índice de daño ID, en
función de la curvatura:
ID = (Фd - Фy) /(Фu - Фy)
Se necesita conocer las excitaciones que va a recibir la estructura, por conocer el índice de
daño, para ello es importante conocer los tipos de sismos que se pueden presentar por lo
que a continuación se presentan dichos sismos.
II.2.- Sismos que deberán aplicarse a una estructura
II.2.1.- Sismos de análisis de acuerdo a Vision 2000.
Se definen los sismos de análisis, niveles de desempeño expresados en términos
cualitativos para la estructura, para elementos no estructurales y para diferentes sistemas
de instalaciones que conforman la edificación. También define el marco conceptual para el
diseño por desempeño. El Volumen II, es un informe preliminar del sismo de Northirdge
de 1994, que ratifica la necesidad de contar en el futuro con procedimientos de análisis
sísmicos basados en el desempeño.
49
Las Normas que están vigentes en la mayoría de los códigos y normativas sísmicas,
tienen un objetivo principal, que la estructura tengan buen comportamiento inelástico
ante un sismo severo, el mismo que se define mediante estudios de peligrosidad
sísmica, considerando una vida útil de la estructura de 50 años con un 10% de
probabilidad de excedencia. Este sismo tiene un periodo de retorno que esta
alrededor de los 475 años. Para este evento, que tiene muy poca probabilidad de
registrarse durante la vida útil de la estructura, se desea que la edificación disipe la
mayor cantidad de energía y no colapse, de tal forma que el objetivo principal de
la mayor parte de los códigos es salvar vidas para el sismo severo.
El objetivo mencionado en el párrafo anterior se cumple en la práctica en estructuras bien
diseñadas, pero solo cuando se presentan sismos de menor magnitud con aceleraciones
menores a las esperadas, pero cuando se presentan sismos severos el daño estructural y no
estructural es demasiado grande; de tal manera que las pérdidas registradas han sido
cuantiosas. Por este motivo es fundamental una vez que se ha terminado de diseñar
los elementos estructurales verificar el desempeño que va a tener la edificación
ante sismos de menor intensidad y que de seguro se van a registrar durante la vida
útil de la estructural, hay que verificar el desempeño en términos estructurales y
económicos.
El comité Vision 2000, definió cuatro sismos de análisis, los mismos que se
presentan en la siguiente tabla.
Tabla 25.-Sismos de análisis con base a la clasificación de
VISION 2000
Sismo Vida útil
Probabilidad
de excedencia
Periodo de
retorno
Frecuente 30 años 50% 43 años
Ocasional 50 años 50% 72 años
Raro 50 años 10% 475 años
Muy raro 100 años 10% 970 años
Desde un punto de vista riguroso lo que se estableció son los parámetros para
definir los estudios de peligrosidad sísmica tendientes a obtener 4 eventos,
denominados sismos: frecuente, ocasional, raro y muy raro.
Al observar el periodo de retorno del sismo frecuente, se aprecia que este evento
si se va a registrar durante la vida útil de una edificación que por lo regular es de
50 años.
50
II.2.2.- Comportamiento esperado.
Las siguientes definiciones se presentan en el FEMA con la finalidad de conocer el nivel
de desempeño
Nivel de desempeño: Intención después del sismo, condición de un edificio. Es un punto
bien definido sobre una escala midiendo cuanta perdida es causada, por el daño del
sismo. Además de damnificados, la perdida puede ser en términos de propiedades y
capacidad operacional.
Rango de desempeño: Rango o banda de Desempeño, es decir, un nivel esperado.
Designación de rangos y niveles de desempeño. El Desempeño está separado en
descripciones de daño de sistemas Estructurales y No – Estructurales.
Designaciones estructurales de S-1 al S-5
S-1: Nivel de Desempeño Inmediatamente Ocupacional.
S-2: Rango de Desempeño Control de daño (entre los niveles de Seguridad de Vida y
el Inmediatamente Ocupacional).
S-3: Nivel de Desempeño Seguridad de Vida.
S-4: Rango de Desempeño Seguridad Limitada (entre los niveles de Seguridad de
Vida y Prevención de Colapso).
S-5: Nivel de desempeño Prevención de Colapso.
S-6: Desempeño estructural No considerado.
Designación No estructural de N-A asta N-D:
N-A: Nivel de Desempeño Operacional.
N-B: Nivel de Desempeño Inmediatamente Ocupacional,
N-C: Nivel de Desempeño Seguridad de Vida.
N-D: Nivel de Desempeño Peligro Reducido.
N-E: Desempeño No considerado.
Nivel de Desempeño de un edificio.
La combinación de un nivel de Desempeño Estructural y un nivel de Desempeño
No Estructural para una completa descripción de un nivel de daño general.
51
Nivel Operacional
Reserva de utilidad de servicios
mantiene funciones: daño muy pequeño
(S1 + NA)
Nivel Inmediatamente Ocupacional
El edificio recibe una "Etiqueta verde"
Seguro
para ocupar, indice de inspeccion;
alguna
reparación menor.
(S1 + NB)
Nivel Seguridad de Vida
La estructura permanece estable
y tiene significante reserva de capacidad
el daño No estructural peligroso es
controlado.
(S3 + NC)
Nivel Prevención de Colapso
El edificio permanece vertical pero
solo escasamente: algún otro daño
o perdida es aceptable.
(S5 + NE)
Desempeño mas alto,
perdidas menores
Desempeño mas bajo
En la siguiente tabla se indica una descripción de acuerdo a la FEMA (Federal
Emergency Management Agency) sobre los diferentes niveles de desempeño,
expresado en términos de los efectos que un sismo puede dejar en las edificaciones.
Cuadro 1.- Niveles de desempeño
52
Tabla 26.- NEHRP Guidelines for the Seismic Rehabilitation of Buildings
Nivel de desempeño Descripción
Inmediatamente Ocupacional (S-1)
Estado de daño después del sismo en el cual el daño estructural muy limitado ha ocurrido. Las columnas y sistemas resisten la fuerza lateral del edificio todos conservan su rigidez y resistencia muy cercana antes del sismo. El riesgo de amenaza de vida es muy bajo, aunque pueden ser apropiadas algunas reparaciones menores, esto generalmente no es importante para ser ocupada.
Seguridad de vida (S-3)
Estado de daño antes del sismo, en el cual ha ocurrido un daño estructural significante, pero existe un margen contra cualquiera de los dos colapsos estructurales parcial o total permanece. Algunos elementos y componentes estructurales son severamente dañados, pero esto no ha resultado en grandes fallas ni escombros peligrosos dentro o fuera del edificio. Los daños pueden ocurrir durante el sismo, de cualquier modo eso es esperado para el riesgo general de amenaza de vida, así tal un resultado de daño estructural muy bajo eso deberá ser posible para reparar la estructura. De cualquier modo por razones económicas esto no puede ser práctico, mientras el daño de la estructura no tiene un riesgo de colapso inminente. Es prudente implementar reparaciones estructurales o instalar apuntalamiento temporal preferentemente para reocuparlo.
Prevención de Colapso (S-5)
Significa que el edificio está sobre el borde experimentando el colapso parcial o total. El daño inicial de la estructura ha ocurrido. Incluyendo potencialmente una degradación significante en la rigidez y la resistencia en el sistema resistiendo la fuerza lateral. Una gran deformación permanente lateral de la estructura para un grado más limitado de degradación en la capacidad cargando la carga vertical. De cualquier modo todos los componentes significantes del sistema deberán continuar para cargar demandas de cargas de gravedad. Riesgo significante de lesiones debido a los riegos de caídas de escombros estructurales pueden existir. La estructura no puede ser técnicamente practica para reparar y no es segura para re ocupar, así tal como la actividad de réplica puede inducir al colapso.
53
Control de daño (S-2)
Significa que el rango continuo que implica menos daño que el definido para el nivel de seguridad de vida, pero más que el definido para el nivel inmediatamente ocupacional. El diseño para desempeño de Control de daño puede ser deseable para minimizar el tiempo de reparación y la interrupción de operación. Así tal como un significado parcial para protección de equipo valioso y contenidos o para preservar características históricas importantes cuando el costo de diseño de ocupación inmediata es excesivo. El criterio de aceptación para este rango puede ser obtenido por interpolación entre los valores provistos para el nivel inmediatamente ocupacional (S-1) y el nivel de seguridad de vida (S-3).
Seguridad limitada (S-4)
Rango continuo del estado de daño entre el nivel de Seguridad de vida y Prevención de colapso. El diseño de los parámetros para este rango pueden ser obtenidos por interpolación entre el valor de valores provistos para los niveles de Seguridad de vida (S-3) y Prevención de Colapso (S-5).
No considerado (S-6)
Algunos propietarios pueden desear la dirección exacta de vulnerabilidades no estructurales en un programa de rehabilitación, por ejemplo parapetos vigorizantes o anclaje de contenedores de almacenamiento de materiales peligrosos, sin direccionamiento del desempeño de la propia estructura. Semejantes programas de rehabilitación son a veces atractivos porque pueden permitir una reducción significante en el riesgo sísmico para un costo relativamente bajo. El desempeño actual de la estructura con respecto a los requisitos de las guías no es conocido y puede variar desde un colapso potencial de peligro para una estructura capaz de alcanzar el nivel de desempeño inmediatamente ocupacional.
De acuerdo al uso que va a tener una estructura, el Comité Vision 2000, ha
presentado un nivel mínimo de desempeño, el mismo en la tabla siguiente, para tres
tipos de edificaciones: básica, esencial y de seguridad critica.
La visión a futuro del diseño sísmico de estructuras, consiste en verificar el
desempeño en términos estructurales y económicos que va a tener la edificación
para cada uno de los sismos indicados en la siguiente tabla, de acuerdo al uso de la
misma. Esta verificación se realiza sobre la base de las distorsiones máximas
permitidas, en base al grado de daño local y global de la estructura y en base al
índice de desempeño. El costo de construcción es una variable importante que no se
debe descuidar en las decisiones que se adopten, es muy probable que inicialmente
se tenga una estructura con un bajo costo pero que va a sufrir demasiado daño en
elementos no estructurales ante un sismo frecuente y el costo de reparación sea
tan grande a más de las molestias que esto conlleva que quizás se decida en hacer
una estructura más resistente.
54
Tabla 27.- Tipos de sismos de análisis y su desempeño
Sismo de
análisis Operacional
Inmediatamente
operacional
Seguridad de
vida
Prevención
de colapso
Frecuente ♦
Ocasional ● ♦
Raro ♣ ● ♦
Muy raro ♣ ● ♦
♦ Edificaciones básicas, como residencias y oficinas
● Edificaciones esenciales, como hospitales, cuarteles, estaciones de bomberos, etc.
♣ Edificaciones de seguridad critica
En la nueva filosofía de diseño sísmico, el análisis estático no lineal, es el soporte
de varias metodologías que se han propuesto para encontrar la respuesta sísmica de
una edificación y dentro de este análisis la determinación de la capacidad resistente,
es la base del análisis.
55
Capitulo III.- Técnica del Pushover utilizando un modelo de plasticidad
El análisis estático no lineal es una alternativa muy práctica para encontrar la respuesta
sísmica de una estructura, en lugar que un análisis no lineal dinámico que sería lo
más adecuado pero a la vez es bastante complejo. El análisis estático no lineal es
realmente un gran avance.
El análisis estático no lineal, en comparación con la forma de análisis actual en que
se utiliza teoría lineal y se espera daño en las estructuras
Para realizar el análisis no lineal estático, lo que más se utiliza es la técnica del
Pushover para encontrar la curva de capacidad resistente de las estructuras ante
acciones sísmicas, curva que relaciona el cortante basal V con el desplazamiento
lateral máximo en azotea Dl.
III.1.- Desarrollo del método
1.- Se obtienen los puntos principales del diagrama momento – curvatura de los
elementos estructurales.
2.- Se obtienen las rigideces de los elementos y de la estructura.
3.- Se obtiene el desplazamiento lateral.
4.- Se obtienen las deformaciones para cada elemento
p = A*q
5.- Se obtienen los momentos en la parte superior de las columnas.
6.- Se comparan los momentos el de agrietamiento y el de los elementos estructurales
obtenidos. Si estos momentos superan el momento MA (Momento de agrietamiento), se
realiza una interpolación para obtener la carga que se debe aplicar para llegar a este
momento, Obtenida esta nueva fuerza lateral se vuelve a realizar el cálculo para esta
fuerza.
7.- Se obtiene la carga axial del equilibrio de momentos en las columnas.
Con esta fuerza axial se obtiene la nueva relación momento – curvatura y por consiguiente
la nueva matriz de rigidez de cada uno de los elementos y de la estructura.
56
III.1.1.- Ejemplo de aplicación a un marco articulado con las siguientes
características:
Nota: Para este ejemplo de marco solo se considera la aportación de las columnas en la
matriz de rigideces, ya que la viga se supone totalmente rígida y no contribuye a dicha
matriz.
Obtenidos los armados y la geometría de los elementos se prosigue a lo siguiente:
En primer lugar se determina la relación momento - curvatura en columnas.
La relación momento – curvatura en columnas depende de la carga axial para iniciar el
cálculo se considera una carga axial nula.
Los puntos principales del diagrama momento – curvatura que se obtienen al utilizar
el programa que se elaboró y los resultados se muestran en la siguiente tabla 28.
Tabla 28.- Puntos principales del diagrama para el marco articulado
MA (Tm)
My (Tm)
Mu (Tm)
ФA (1/m)
Фy (1/m)
Фu (1/m)
0.94130036 7.9167432 10.7362423 1.27E-03 1.10E-02 1.00E-01
Figura 46.- Marco articulado
Figura 47.- Marco articulado características geométricas
Figura 48.- Momentos y curvaturas del marco articulado
57
Para iniciar el cálculo se tiene que la rigidez al inicio (EI)a es igual a la rigidez en
el centro (EI)0 y al final (EI)b su cálculo se muestra a continuación:
(EI)0 = MA / ФA
(EI)0 =94130036/.00127
(EI)0 =743.62
Se denomina columna uno a la de la izquierda de la figura 48 y dos a la de la derecha.
Basándose en el reglamento del D.F. se obtiene la fuerza lateral que se aplicara a nuestro
ejemplo considerándose de 1740 kg.
Las matrices de rigidez de cada una de ellas al inicio del Pushover son las siguientes:
K1=
k2 = k1 = 555.11
Por otro lado la matriz de rigidez de la estructura, resulta:
A continuación aplicando las fórmulas para el ejemplo se obtiene lo siguiente:
Figura 3.1.3
Figura 49.- Nombramiento de columnas
58
K= 123.35
Esta matriz de rigidez es válida siempre y cuando el momento actuante en la parte
superior de las columnas no superen el momento MA indicado en la tabla 28.
Para iniciar el cálculo se aplica una carga de 1.74 toneladas, en el primer piso como se
ilustra en la figura 49.
Por ser un sistema de un grado de libertad el desplazamiento lateral “q” se obtiene
dividiendo el vector de cargas Q= 1740 kg para la rigidez de la estructura.
Desarrollo del cálculo:
Obtención de deformaciones de la estructura para cada columna:
p(1)
=A(1)
q
p(1)
=
p(2)
=A(2)
q
p(1)
=
Finalmente los momentos en las columnas valen:
M(1)
= P(1)
= k(1)
p(1)
Figura 50.- Primer fuerza lateral tentativa para la determinación de la curva de capacidad
59
M(1)
=2.61 Ton/m
M(2)
= P(2)
= k(2)
p(2)
M(2)
=2.61 Ton/m
Los momentos encontrados superan el momento de agrietamiento MA en consecuencia se
debe determinar la carga lateral que se debe aplicar para llegar exactamente al momento
MA.
Esto se obtiene mediante una interpolación como se muestra a continuación:
1.74 Ton = 2.61 Ton/m
X = 0.79302622 Ton/m
X =0 .5286 Ton
La fuerza lateral que se debe aplicar es de 0.5286 Ton. Entonces se debe repetir el cálculo para
esta fuerza lateral.
En la figura 50, se indica el nuevo estado de carga que en realidad es el estado de carga inicial,
se indica además las fuerzas axiales N que actúan en las columnas. Nótese que la columna
izquierda está trabajando a tensión y la columna derecha a compresión.
Del equilibrio de momentos, se obtiene la fuerza axial N en las columnas, esta resulta de:
317.21 kg
Con esta carga axial se determina la nueva relación momento – curvatura y por
consiguiente la nueva matriz de rigidez de cada uno de los elementos de la estructura. En
la tabla 29 y la tabla 30, se indican los valores de momento y curvatura para la columna
izquierda y derecha, y en la última columna la rigidez del elemento.
Figura 51.- Fuerza lateral inicial para determinar la curva de capacidad resistente
60
Tabla 29.- Valores de momento y curvatura de la columna 1
Fuerza lateral
(t)
Fuerza axial (t)
MA (Tm)
My (Tm)
Mu (Tm)
ФA (1/m)
Фy (1/m)
Фu (1/m)
(EI)b1 (Tm2 )
k de miembro
734 -0.495 0.9837 7.084 8.072 0.0017 0.013 0.069 570.68 562.69
Tabla 30.- Valores de momento y curvatura de la columna 2
Fuerza lateral
(t)
Fuerza axial (t)
MA (Tm)
My (Tm)
Mu (Tm)
ФA (1/m)
Фy (1/m)
Фu (1/m)
(EI)b1 (Tm2 )
k de miembro
734 0.495 1.0029 6.90 8.072 0.0018 0.013 0.069 534.90 544.77
Tabla 31.- Resumen del análisis estático para el primer incremento de carga lateral
Lateral (T)
K (T/m)
q (m)
M(1) (T*m)
M(2) (T*m)
0.734 123.05 0.0053 1.0071 0.975
Desde un punto de vista riguroso, la columna izquierda supero el momento MA, se debería
volver a repetir el análisis con una menor carga lateral hasta llegar exactamente al
momento MA. Po otra parte la columna derecha todavía no supera al momento MA. Por
consiguiente para el próximo ciclo de carga, si se trabajara con cargas laterales muy
pequeñas las rigideces a flexión serian:
De igual forma se realizaran los incrementos sucesivos hasta llegar al punto My, y de la
misma forma cuando pasen ese punto cada una de las columnas se trabajara con la nueva
rigidez que para la último punto será:
Resumen del cálculo de inercias y rigidez del elemento
En la tabla 32 y 33 se muestran el resumen de los cálculos efectuados para encontrar la
rigidez a flexión de las columnas uno (izquierda) y dos (derecha), de acuerdo a la relación
momento – curvatura en la que se encuentran:
61
Tabla 32.-Valores obtenidos de las iteraciones del Pushover para la Columna 1 (izquierda)
Fuerza lateral
(t)
Fuerza axial (t)
MA (Tm)
My (Tm)
Mu (Tm)
ФA (1/m)
Фy (1/m)
Фu (1/m)
(EI)b1 (Tm2 )
k de miembro
1.740 0 9.91E-01 7.08 8.07 1.79E-03 1.38E-02 6.93E-02 555.5 555
0.660 -0.396 9.84E-01 7.08 8.07 1.72E-03 1.38E-02 6.93E-02 571 563
1.740 -1.440 9.68E-01 7.12 8.22 1.56E-03 1.35E-02 6.81E-02 516 535
0.665 -0.780 9.78E-01 7.10 8.22 1.67E-03 1.36E-02 6.81E-02 512 532
1.740 -1.839 9.65E-01 7.14 8.22 1.52E-03 1.33E-02 6.81E-02 522 545
1.740 -2.883 9.65E-01 7.33 8.37 1.52E-03 1.37E-02 6.69E-02 521 533
1.740 -3.927 9.65E-01 7.37 8.51 1.52E-03 1.34E-02 6.58E-02 537 546
1.258 -3.638 9.65E-01 7.35 8.51 1.52E-03 1.36E-02 6.58E-02 529 536
1.740 -4.682 9.65E-01 7.39 8.64 1.52E-03 1.33E-02 6.48E-02 244 417
1.216 -4.368 9.65E-01 7.37 8.51 1.52E-03 1.34E-02 6.58E-02 217 418
Tabla 33.-Valores obtenidos de las iteraciones del Pushover para la Columna 2 (derecha)
Fuerza lateral
(t)
Fuerza axial (t)
MA (Tm)
My (Tm)
Mu (Tm)
ФA (1/m)
Фy (1/m)
Фu (1/m)
(EI)b1 (Tm2 )
k de miembro
1.740 0 0.99 7.08 8.07 1.79E-03 1.38E-02 6.93E-02 555.02 555.02
0.660 0.396 1.00 6.90 8.07 1.88E-03 1.32E-02 6.93E-02 534.90 544.78
1.740 1.440 1.03 6.87 7.92 2.05E-03 1.35E-02 7.05E-02 501.42 526.86
0.665 0.780 1.01 6.89 8.07 1.92E-03 1.34E-02 6.93E-02 525.11 539.65
1.740 1.839 1.05 6.51 7.92 2.14E-03 1.24E-02 7.05E-02 534.90 544.78
1.740 2.883 1.09 6.66 7.76 2.59E-03 1.33E-02 7.18E-02 512.18 532.74
1.740 3.927 1.13 6.46 7.60 2.59E-03 1.28E-02 7.31E-02 521.53 537.76
1.258 3.638 1.11 6.46 7.60 2.59E-03 1.28E-02 7.31E-02 518.88 536.34
1.740 4.682 1.11 6.28 7.60 2.68E-03 1.22E-02 7.31E-02 21.68 41.73
1.216 4.368 1.13 6.28 7.60 2.59E-03 1.22E-02 7.31E-02 21.68 41.73
Calculo de la Estructura
Al ser un análisis incremental se van sumando las acciones que se produzcan en la
estructura como son las fuerzas axiales y los momentos, los momentos se comparan para
ajustarse con la relación momento – curvatura, como se ha indicado cuando se pasa uno
de los puntos que definen esa relación se debe hacer una regla de tres para determinar el
valor de la fuerza lateral con la cual se llegara al punto principal del diagrama momento -
curvatura.
62
En la tabla 34 se muestra un resumen de la carga lateral aplicada, la matriz de rigidez de la
estructura, el desplazamiento lateral que se obtiene para la fuerza lateral indicada, los
momentos en el nudo superior de las columnas y el momento acumulado.
En las dos últimas columnas de la tabla 34 se indican los momentos acumulados que son
los que realmente se comparan con los momentos MA, My y Mu del respectivo diagrama
momento – curvatura,
Tabla 34.- Resultados del análisis estructural ante las cargas laterales
Fuerza lateral
(t) k Q M(1) (T*m)
M(2) (T*m)
M(1)
acumulado (T*m)
M(2)
acumulado (T*m)
1740 123.34 0.01411 2.61 2.61
660 123.05 0.00537 1.0071 0.975077 1.007146146 0.975077455
1740 117.96 0.02543 4.5336 4.466409
665 119.12 0.00559 0.9918 1.005286 1.998991024 1.980363907
1740 120.32 0.01446 2.594 2.62605 4.592941364 4.606413567
1740 118.92 0.01463 2.6217 2.598331 7.214610494 7.204744437
1740 120.41 0.01445 2.6296 2.590417
1258 119.78 0.01051 1.897 1.878208 9.1116531 9.082952356
1740 9.8288 0.17703 2.7578 2.462231
1216 9.2768 0.13114 1.8258 1.824006 10.93742775 10.90695877
III.2.- Obtención de la curva de capacidad resistente
En base a los resultados indicados en la tabla 34 se obtiene la curva de capacidad
resistente que relaciona el cortante basal V y el desplazamiento lateral Dl, pero estos
valores son determinados de manera acumulada.
En la tabla 35 se presenta la fuerza lateral aplicada, el desplazamiento lateral debido al
incremento de carga y en las dos últimas columnas V y Dl.
Tabla 36.- Resumen del cálculo de capacidad resistente
Fuerza lateral
(t)
Fuerza axial (t) Q
V ton
D (cm)
0 0 0 0 0
660 396 0.536356 0.66 0.53635619
665 780 0.558254 1.325 1.0946098
1740 1839 1.446125 3.065 2.54073453
1740 2883 1.463192 4.805 4.00392698
1258 3638 1.050217 6.063 5.05414401
1216 4368 13.10798 7.279 18.1621237
63
III.5.- Determinación de la curva de capacidad resistente
Esta se determina de la siguiente manera:
Una vez desarrollado el método del Pushover de la estructura, obtenidos los valores
correspondientes para cada una de las columnas como se muestra a continuación:
Tabla 36.- Resumen del cálculo de capacidad resistente
Fuerza lateral
(t)
Fuerza axial (t) Q
V ton
D (cm)
0 0 0 0 0
660 396 0.536356 0.66 0.53635619
665 780 0.558254 1.325 1.0946098
1740 1839 1.446125 3.065 2.54073453
1740 2883 1.463192 4.805 4.00392698
1258 3638 1.050217 6.063 5.05414401
1216 4368 13.10798 7.279 18.1621237
En esta tabla se muestran la fuerza lateral, esta fuerza se obtuvo mediante el método del
Pushover, el desplazamiento “q” se obtuvo al dividir la carga lateral entre la rigidez
correspondiente a esta carga lateral.
El cortante basal es la fuerza lateral acumulada en la estructura, así como el
desplazamiento lateral “D”, este se obtienen mediante la acumulación de los
desplazamientos
Grafica 16.- Cortante Vs Desplazamiento
64
III.5.1.- Ejemplo de aplicación obtención de la curva de capacidad resistente
El armado para las columnas y las trabes son las siguientes:
En la tabla 37 y tabla 38 se muestran los resultados de los puntos principales del diagrama
momento – curvatura, obtenido con el programa.
Tabla 37.- Puntos principales de las columnas
MA ФA MY ФY MU ФU
0.725 0.0009 7.614 0.0122 9.11 0.0816
Tabla 38.- Puntos principales de la trabe en los extremos
MA ФA MY ФY MU ФU
0.57814 0.00145 4.33 0.011 5.613 0.0952
En el centro
0.553 0.00141 4.15 0.0107 5.55 0.093
Figura 52.- Marco con secciones de las columnas y trabe, así como claro y altura
Figura 53.- Armado de columna y trabe
65
La carga gravitacional para este ejemplo se propuso de 1.1 Ton /m y los incrementos de
carga lateral que se aplican a dicho marco son de 0.5 Ton como se muestra en la siguiente
figura 56.
El marco se resuelve por dos métodos el primero por el método de rigideces y se obtienen
los siguientes resultados en la siguiente figura 55.
Obtenidos los momentos en cada elemento del marco se comparan los momentos de estos
elementos con el primer momento del diagrama Momento – Curvatura que corresponde al
momento de agrietamiento MA, si este momento no es superado en el primer incremento de
carga en ninguno de los elementos, se realiza un incremento de carga lateral y se resuelve
el marco con las mismas características como se muestra a continuación:
Figura 55.- Resultados obtenidos a partir del método de rigideces
Tabla 39.- Resultados de Fuerzas y momentos obtenidos en el programa
Staad para el primer incremento de carga lateral.
Figura 54.- Cargas aplicadas al marco con apoyos articulados
66
La siguiente figura muestra el incremento de carga lateral.
Si alguno de los momentos que resultan del nuevo incremento de carga lateral supera el
momento de agrietamiento se disminuye la rigidez y para el siguiente incremento de carga
lateral se resuelve con la nueva rigidez.
Dicha rigidez se calcula de la siguiente manera:
Suponiendo que la rigidez se obtiene:
EI = MA/ФA
Se despeja el momento de inercia, quedando de la siguiente forma:
I = MA/ ФA /E
Para simular como la rigidez va disminuyendo se obtiene una nueva sección y
para ello se despeja del momento de inercia un lado de la sección ya que para este
ejemplo se considera una sección cuadrada quedando de la siguiente forma:
I = b*h3 /12
Si la sección es cuadrada se considera que b*h3 = a
Figura 56.- Incremento de carga lateral
Figura 57.- Resultados obtenidos por el método de rigideces y con el incremento de
carga lateral
67
I = a4/12
a=4√I*12
Obtenida la nueva sección se calcula nuevamente los momentos de cada elemento,
resolviendo el marco este proceso se sigue realizando para cada uno de los
siguientes puntos del diagrama de Momento – Curvatura.
A continuación se presentan los esquemas de las siguientes iteraciones así de las
nuevas secciones que simularan como va disminuyendo la rigidez en los
elementos y que servirán para ir obteniendo los nuevos diagramas de Momento –
curvatura para los siguientes puntos.
Para el incremento de 1.5 Ton el esquema de la figura 58 muestra los resultados de
la solución del marco.
Para el incremento de 2 Ton el esquema de la figura 59 muestra los resultados de
la solución del marco.
Para el incremento de 2.5 Ton el esquema de la figura 60 muestra los resultados de
la solución del marco.
Figura 58.- Resultados del marco con una incremento de carga de 1.5 Ton
Figura 59.- Resultados del marco con una incremento de carga de 2 Ton
68
Para el incremento de 3 Ton el esquema de la figura 61 muestra los resultados de
la solución del marco.
Para el incremento de 3.5 Ton el esquema de la figura 62 muestra los resultados de
la solución del marco.
Para el incremento de 4 Ton el esquema de la figura 63 muestra los resultados de
la solución del marco.
Figura 60.- Resultados del marco con una incremento de carga de 2.5 Ton
Figura 61.- Resultados del marco con una incremento de carga de 3 Ton
Figura 62.- Resultados del marco con una incremento de carga de 3.5 Ton
69
Para el incremento de 4.5 Ton el esquema de la figura 64 muestra los resultados de
la solución del marco.
Para el incremento de 5 Ton el esquema de la figura 65 muestra los resultados de
la solución del marco.
Para el incremento de 5.5 Ton el esquema de la figura 66 muestra los resultados de
la solución del marco.
Figura 63.- Resultados del marco con una incremento de carga de 4 Ton
Figura 64.- Resultados del marco con una incremento de carga de 4.5 Ton
Figura 65.- Resultados del marco con una incremento de carga de 5 Ton
70
Para el incremento de 6 Ton el esquema de la figura 67 muestra los resultados de
la solución del marco.
Para el incremento de 6.5 Ton el esquema de la figura 68 muestra los resultados de
la solución del marco.
Para el incremento de 7 Ton el esquema de la figura 69 muestra los resultados de
la solución del marco.
Figura 66.- Resultados del marco con una incremento de carga de 5.5 Ton
Figura 67.- Resultados del marco con una incremento de carga de 6 Ton
Figura 68.- Resultados del marco con una incremento de carga de 6.5 Ton
71
Para el incremento de 7.5 Ton el esquema de la figura 70 muestra los resultados de
la solución del marco.
Para el incremento de 8 Ton el esquema de la figura 71 muestra los resultados de
la solución del marco.
Los datos que permiten graficar los diagramas Momento – Curvatura de las
secciones, se presentan en las siguientes tablas:
Figura 69.- Resultados del marco con una incremento de carga de 7 Ton
Figura 70.- Resultados del marco con una incremento de carga de 7.5Ton
Figura 71.- Resultados del marco con una incremento de carga de 8 Ton
72
Tabla 40.-Momentos y curvaturas obtenidas cambiando sección y disminuyendo la rigidez
MA ФA MY ФY MU ФU
0.60604515 9.01E-04 6.9428045 1.36E-02 8.45072091 7.69E-02
Columna negativa
MA ФA MY ФY MU ФU
0.50099025 9.71E-04 6.5099733 1.61E-02 7.60741708 7.41E-02
Tabla 41.-Trabe extremos y centro
MA ФA MY ФY MU ФU
0.4075481 1.05E-03 5.68254898 1.76E-02 6.65984805 7.27E-02
Figura 72.- Puntos principales del diagrama Momento – curvatura de las vigas
Figura 73.- Puntos principales del diagrama Momento – Curvatura para las columnas
73
III.3.- Matriz de rigidez condensada
Hay dos formas de realizar el análisis la primera trabajando con la matriz de rigidez
del elemento como se indica en la siguiente ecuación:
(3.1)
k =
6(EI)0 (1 + Sa ) 1
1 (1 + Sb) L(1 + Sa ) (1 + Sb)
Que es una matriz dos por dos y la otra forma es con una matriz condensada
únicamente al giro izquierdo del elemento, para el efecto se debe encontrar primero
la matriz de rigidez condensada:
(3.2) k*= kAA - kAB kBB
-1 kBA
Al aplicar la condensación estática en la matriz definida en la ecuación (3.1) se tiene:
(3.3)
Al reemplazar las submatrices indicadas en la ecuación (3.3), se tiene la matriz de
rigidez del elemento consensada al giro izquierdo, esta resulta:
KAA = 6(EI)0 (1 + Sb)
L[(1 + Sa ) (1 + Sb ) - 1] KAB = 6(EI)0
L[(1 + Sa) (1 + Sb) - 1]
KBA = 6(EI)0
L[(1 + Sa) (1 + Sb) - 1] KBB =
6(EI)0 (1 + Sa)
L[(1 + Sa ) (1 + Sb) - 1]
Grafica 17.- Cortante vs Desplazamiento del marco empotrado
74
(3.4)
En forma similar se puede encontrar la matriz de rigidez del elemento condensada
al nudo derecho o nudo final. Esta resulta:
(3.5)
III.3.1.- Condensación estática de la matriz de rigidez.
En la figura (3.3.1), se presenta una estructura cuyos grados de libertad se indican
en la figura (3.3.2). Ahora, primero se enumeran los grados de libertad con los cuales
se desea realizar el análisis sísmico y luego se enumeran los demás grados de
libertad. Lo importante es destacar que se separan los grados de libertad.
Figuras (74 y 75 (coordenadas “a“y “b”, de estructura )
(3.6)
En el sistema de coordenadas de una estructura, se puede diferenciar un grupo de
coordenadas a las que se denomina “coordenadas a”, de la estructura figura 74 es la
uno y las restantes, a las que se denomina “coordenadas b”. Al hacer esto, tanto el vector
de cargas generalizadas Q, como el vector de coordenadas generalizadas q, están
particionados de la siguiente forma:
(3.7)
k = 6(EI)0
L(1 + Sa)
k = 6(EI)0
L(1 + Sb)
Qa = K aa kab
qa
Qb Kba kbb
qb
Q = Qa
Qb
Figura 74.- Coordenadas generalizadas “a” Figura 75.- Coordenada lateral “b”
75
(3.8)
Por otra parte, la ecuación básica de análisis estático, que relaciona el vector de cargas
generalizadas Q, con el vector de coordenadas generalizadas q, por medio de la matriz
de rigidez de la estructura K, viene definida por la ecuación:
Q = kq (3.9)
Al reemplazar en las ecuaciones (3.7) y (3.8) en la ecuación (3.9) y al trabajar con
submatrices, la matriz de rigidez de la estructura, también estará particionada de la
siguiente forma:
(3.10)
La condensación estática de la matriz de rigidez se da cuando Qa o Qb son ceros,
los dos casos se muestran a continuación:
Condensación a las coordenadas “a”
Este caso se presenta cuando el vector Qb = 0
De donde:
Qa = Kaa qa + kab qb
0 = Kba qa + kbb qb
Luego:
qb = -Kbb-1 kba qa (3.11)
q = qa
qb
Qa = K aa kab
qa
0 Kba kbb
qb
76
Qa = (Kaa -kab kbb-1 kba)qa (3.12)
Sea k* la matriz de rigidez condensada a las coordenadas “a”.
k* = kaa - kab kbb
.1 kba (3.13)
Condensación a las coordenadas “b”
Se presenta cuando el vector de cargas Qa = 0. Procediendo de forma
similar se obtiene:
qa = -Kaa-1 kab qb (3.14)
Qb = (Kbb -kba kaa-1 kab)qb ( 3.15)
Sea k+ la matriz de rigidez condensada a las coordenadas “b”.
k+ = kbb - kba kaa
.1 kab (3.16)
III.4.- Matriz de rigideces lateral
Se define matriz de rigidez lateral, kL… a la matriz de rigidez asociada a las
coordenadas laterales de piso. Cuando en el análisis sísmico de marcos planos se
considera un solo grado de libertad por piso, a este modelo se le denomina piso
rígido y sirve únicamente para el análisis ante la componente horizontal de
movimiento del suelo.
Existen dos formas de modelar los elementos de un marco plano, ante la acción
sísmica horizontal. En la primera forma se considera que únicamente las vigas son
axialmente rígidas y las columnas totalmente flexibles. En cambio, en la segunda
forma se considera que todos los elementos son axialmente rígidos.
III.4.1.- Vigas y columnas axialmente rígidas.
Cuando todos los elementos de un marco plano, conformado por vigas y columnas, se
consideran axialmente rígidos, se disminuye notablemente el número de grados de
libertad y el cálculo es más rápido. Para el caso de que no se considere nudo rígido, las
matrices de rigidez, son:
Elemento viga
k = k a
a k'
77
Elemento columna
k =
t – b – t – b'
– b K b a
– t B t b'
– b' A b´ k´
Ejemplo de aplicación: Encontrar la matriz de rigidez lateral para una estructura con dos
claros y dos niveles, considerando que todos los elementos son axialmente rigidos:
Estructura.
Numeración de los elementos
Figura 76.- Propiedades geométricas de la estructura
Figura 77.- Numeración de los elementos
78
Solución:
La estructura se condensa a ocho grados de libertad
La matriz de rigidez de cada uno de los elementos son las siguientes:
Para el elemento viga es:
k = 1304.2239 652.11195
652.11195 1304.2239
Para el elemento columna es:
k =
2671.05 -3338.81 -2671.05 -3338.81
-3338.81 5564.69 3338.81 2782.34
-2671.05 3338.81 2671.05 3338.81
-3338.81 2782.34 3338.81 5564.69
Figura 80.- Condensación de la estructura
Figura 78.- Numeración de grados de
libertad Figura 79.- Desplazamientos laterales
79
Los vectores de colocación de las vigas son:
Vc7 = [3 4]
Vc8 = [4 5]
Vc9 = [6 7]
Vc10
= [7 8]
Los vectores de colocación de las columnas son:
Vc1 = [0 0 1 3]
Vc2 = [0 0 1 4]
Vc3 = [0 0 1 5]
Vc4 = [1 3 2 6]
Vc5 = [1 4 2 7]
Vc6 = [1 5 2 8]
Utilizando estos vectores de colocación la matriz de la estructura queda de la siguiente
manera:
-8013.15 0.00 0.00 0.00 -3338.81 -3338.81 -3338.81
8013.15 3338.81 3338.81 3338.81 3338.81 3338.81 3338.81
3338.81 12433.60 652.11 0 2782.34 0 0
3338.81 652.11 13737.83 652.11195 0 2782.34 0
3338.81 0 652.11195 12433.60 0.00 0 2782.34
3338.81 2782.34 0 0.00 6868.91 652.11195 0
3338.81 0 2782.34 0 652.11195 8173.14 652.11
3338.81 0 0 2782.34 0 652.11 6868.91
Cada una de las submatrices se muestra a continuación:
K=
16026.30 -8013.15
-8013.15 8013.15
Kab=
5.00 0.00 0.00 8.00 0.00 0.00
5564.69 0.00 0.00 2782.34 0.00 0.00
Kbb=
12433.6012 652.11195 0 2782.34432 0 0
652.11195 13737.8251 652.11195 0 2782.34432 0
0 652.11195 12433.6012 0 0 2782.34432
2782.34432 0 0 6868.91254 652.11195 0
80
0 2782.34432 0 652.11195 8173.13644 652.11195
0 0 2782.34432 0 652.11195 6868.91254
Kba=
0 3338.81318
0 3338.81318
0 3338.81318
-3338.813184 3338.81318
-3338.813184 3338.81318
-3338.813184 3338.81318
Ahora solo resolvemos las operaciones matricialmente
Kaa –kab *kbb-1
*kba
Resolviendo la multiplicación de matrices se llega a:
4484.251555 -3561.047927
-3561.047927 5275.688599
-
Por lo que la matriz de rigidez lateral es:
11542.05 -4452.10
-4452.10 2737.46
16026.30 -8013.15
-8013.15 8013.15
4484.251555 -3561.047927
-3561.047927 5275.688599
81
IV.- Aplicación del Pushover a marcos de concreto reforzado mediante el programa
del Sap2000
En este capítulo se lleva a cabo el método del Pushover a dos marcos de concreto reforzado
con distintas características y propiedades geométricas.
IV.1.- Marco de concreto reforzado con apoyos articulados
Marco calculado en la página 63
Grafica 16.- Cortante Vs Desplazamiento
Figura 47.- Marco articulado características geométricas
82
Grafica Cortante vs desplazamiento
V.2.- Marco de concreto reforzado con apoyos empotrados
Marco calculado en la página 64
Grafica 18.- Grafica Cortante vs desplazamiento marco articulado obtenido del programa de
Sap2000
Figura 52.- Marco con secciones de las columnas y trabe, así como claro y altura
83
Grafica 19.- Grafica Cortante vs desplazamiento marco empotrado obtenido del
programa de Sap2000
Grafica 17.- Cortante vs Desplazamiento del marco empotrado
84
Conclusiones
El análisis sísmico por desempeño estudia el comportamiento de los elementos que
conforman una estructura en el rango no lineal. Se observa como la rigidez disminuye en
cada etapa. Además, es posible fijar el desplazamiento lateral de la estructura.
Una alternativa en el análisis sísmico por desempeño es el método del Pushover, que
permite aplicar una fuerza lateral hasta llegar a la falla de la estructura.
Adicionalmente, el método del Pushover proporciona graficas cortante contra
desplazamiento, referidas al último nivel de la estructura, que permiten conocer el
comportamiento ante el incremento de carga.
El análisis sísmico por desempeño a comparación del análisis estático lineal, permite
establecer un desplazamiento en las estructuras, para alcanzar un nivel de desempeño que
puede ser: Ocupacional, Inmediatamente ocupacional o que falle completamente ante un
evento sísmico.
85
Bibliografía
Concreto reforzado – Oscar M. González Cuevas
Concreto Reforzado Park and Paulay
Análisis sísmico por desempeño - Roberto Aguiar Falconi
Revista de Ingeniería sísmica N° 49, 39-50 (1995) “Comportamiento sísmico de
estructuras considerando propiedades mecánicas de aceros de refuerzos mexicanos”.
Mario E. Rodríguez y Juan Carlos Botero P. Instituto de Ingeniería, UNAM.
Earthquake Engineering from Engineering Seismology to Performance Based Engineering
Yousef Bozorgnia Vitelmo V. Bertero 2004 by CRC Press LLC
INDICE DE FIGURAS pág.
Figura 1.- Curva de tipo elastoplastico-------------------------------------------------------- 2
Figura 2.- Curva trilineal de Chan ------------------------------------------------------------ 3
Figura 3.- Curva trilineal de Blume y otros 3 ----------------------------------------------- 3
Figura 4.- Parábola recomendada por Baker ------------------------------------------------ 3
Figura 5.- Curva propuesta por Roy y Sozen ---------------------------------------------- 3
Figura 6.- Curva de Soliman y Yu ----------------------------------------------------------- 4
Figura 7.- Curva por Sargin y otros ----------------------------------------------------------- 4
Figura 8.- Sección y Fuerza del acero a tensión --------------------------------------------- 7
Figura 9.- Sección y Fuerza del concreto a compresión------------------------------------- 7
Figura 10.-Sección y Fuerza del acero a compresión ---------------------------------------- 8
Figura 11.- Distribución supuesta de deformaciones ------------------------------------------ 8
Figura 12.- Presentación de los esfuerzos en el concreto y acero ---------------------------10
Figura 13.- Presentación de fuerzas en el concreto y acero ---------------------------------11
Figura 14.-Presentación de distribución de deformaciones, Esfuerzos y Fuerzas de la
deformación 0.003 ----------------------------------------------------------------------------------12
Figura 15.- Presentación de distribución de Deformaciones, Esfuerzos y Fuerzas de la
deformación 0.0004 ---------------------------------------------------------------------------------12
Figura 16.- Presentación de distribución de Deformaciones, Esfuerzos y Fuerzas de la
deformación 0.0008 ---------------------------------------------------------------------------------12
Figura 17.- Presentación de distribución de Deformaciones, Esfuerzos y Fuerzas de la
deformación 0.0012 ---------------------------------------------------------------------------------13
Figura 18.- Presentación de distribución de Deformaciones, Esfuerzos y Fuerzas de la
deformación 0.0016 ---------------------------------------------------------------------------------13
Figura 19.- Presentación de distribución de Deformaciones, Esfuerzos y Fuerzas de la
deformación 0.002 ----------------------------------------------------------------------------------13
Figura 20.- Presentación de distribución de Deformaciones, Esfuerzos y Fuerzas de la
deformación 0.0024 --------------------------------------------------------------------------------14
Figura 21.- Presentación de distribución de Deformaciones, Esfuerzos y Fuerzas de la
deformación 0.0028 --------------------------------------------------------------------------------14
Figura 22.- Presentación de distribución de Deformaciones, Esfuerzos y Fuerzas de la
deformación 0.0032 -------------------------------------------------------------------------------14
Figura 23.- Presentación de distribución de Deformaciones, Esfuerzos y Fuerzas de la
deformación 0.0036 -------------------------------------------------------------------------------15
Figura 24.- Presentación de distribución de Deformaciones, Esfuerzos y Fuerzas de la
deformación 0.004 ---------------------------------------------------------------------------------15
Figura 25.- Fuerzas obtenidas de las iteraciones hasta llegar al equilibrio para la
deformación 0.0004 ------------------------------------------------------------------------------15
Figura 26.- Fuerzas obtenidas de las iteraciones hasta llegar al equilibrio para la
deformación 0.0008 ------------------------------------------------------------------------------16
Figura 27.- Fuerzas obtenidas de las iteraciones hasta llegar al equilibrio para la
deformación 0.0012 ------------------------------------------------------------------------------16
Figura 28.- Fuerzas obtenidas de las iteraciones hasta llegar al equilibrio para la
deformación 0.0016 ------------------------------------------------------------------------------16
Figura 29.- Fuerzas obtenidas de las iteraciones hasta llegar al equilibrio para la
deformación 0.002--------------------------------------------------------------------------------16
Figura 30.- Fuerzas obtenidas de las iteraciones hasta llegar al equilibrio para la
deformación 0.0024 ------------------------------------------------------------------------------17
Figura 31.- Fuerzas obtenidas de las iteraciones hasta llegar al equilibrio para la
deformación 0.0028 ------------------------------------------------------------------------------17
Figura 32.- Fuerzas obtenidas de las iteraciones hasta llegar al equilibrio para la
deformación 0.0032 ------------------------------------------------------------------------------18
Figura 33.- Fuerzas obtenidas de las iteraciones hasta llegar al equilibrio para la
deformación 0.0036 ------------------------------------------------------------------------------18
Figura 34.- Fuerzas obtenidas de las iteraciones hasta llegar al equilibrio para la
deformación 0.004 --------------------------------------------------------------------------------18
Figura 35.- Fuerza del acero a tensión de la deformación 0.001 ---------------------------24
Figura 36.- Fuerza del concreto a compresión de la deformación 0.001 ------------------25
Figura 37.- Fuerza del acero a compresión de la deformación 0.001 ----------------------25
Figura 38.- Fuerza del acero a tensión de la deformación 0.002 ---------------------------27
Figura 39.- Fuerza del concreto a compresión de la deformación 0.002 ------------------27
Figura 40.- Fuerza del acero a compresión de la deformación 0.002 ----------------------28
Figura 41.- Fuerza del acero a tensión de la deformación 0.003 --------------------------29
Figura 42.- Fuerza del concreto a compresión de la deformación 0.003 -----------------29
Figura 43.- Fuerza del acero a compresión de la deformación 0.003----------------------30
Figura 44.- Fuerza del acero a tensión de la deformación 0.004 ---------------------------31
Figura 45.- Fuerza del concreto a compresión de la deformación 0.004 ------------------32
Figura 46.- Fuerza del acero a compresión de la deformación 0.004 ----------------------32
Figura 47.- Marco articulado --------------------------------------------------------------------56
Figura 48.-Marco articulado características geométricas-----------------------------------56
Figura 49.-Nombramiento de columnas--------------------------------------------------------58
Figura 50.- Primer fuerza lateral tentativa para la determinación de la
curva de capacidad--------------------------------------------------------------------------------58
Figura 51.- Fuerza lateral inicial para determinar la curva de capacidad resistente------60
Figura 52- Marco con secciones de las columnas y trabe, así como claro y altura --------65
Figura 53.- Armado de columna y trabe ---------------------------------------------------------65
Figura 54.- Cargas aplicadas al marco con apoyos articulados-------------------------------66
Figura 55.- Resultados obtenidos a partir del método de rigideces--------------------------66
Figura 56.- Incremento de carga lateral ---------------------------------------------------------67
Figura 57.- Resultados obtenidos por el método de rigideces y con el incremento de
carga lateral -----------------------------------------------------------------------------------------68
Figura 58.- Resultados del marco con una incremento de carga de 1.5 Ton ---------------65
Figura 59.- Resultados del marco con una incremento de carga de 2 Ton -----------------66
Figura 60.- Resultados del marco con una incremento de carga de 2.5 Ton --------------66
Figura 61.- Resultados del marco con una incremento de carga de 3 Ton-----------------66
Figura 62.- Resultados del marco con una incremento de carga de 3.5 Ton--------------67
Figura 63.- Resultados del marco con una incremento de carga de 4 Ton ----------------67
Figura 64.- Resultados del marco con una incremento de carga de 4.5 Ton--------------67
Figura 65.- Resultados del marco con una incremento de carga de 5 Ton----------------68
Figura 66.- Resultados del marco con una incremento de carga de 5.5 Ton----------------68
Figura 67.- Resultados del marco con una incremento de carga de 6 Ton ------------------68
Figura 68.- Resultados del marco con una incremento de carga de 6.5 Ton----------------69
Figura 69- Resultados del marco con una incremento de carga de 7 Ton ------------------69
Figura 70.- Resultados del marco con una incremento de carga de 7.5 Ton----------------69
Figura 71.- Resultados del marco con una incremento de carga de 8 Ton------------------70
Figura 72.- Coordenadas generalizadas “a” ----------------------------------------------------71
Figura 73.- Coordenada lateral “b” ---------------------------------------------------------------71
Figura 74.- Propiedades geométricas de la estructura ------------------------------------------74
Figura 75.- Numeración de los elementos -------------------------------------------------------75
Figura 76.- Numeración de grados de libertad de la estructura.-------------------------------75
Figura 77.- Desplazamientos laterales ------------------------------------------------------------75
Figura 78.- Condensación de la estructura ------------------------------------------------------75
INDICE DE GRAFICAS pag.
Grafica 1.- Grafica esfuerzo – deformación del concreto --------------------------------------9
Grafica 2.- Grafica esfuerzo – deformación del acero ------------------------------------------10
Grafica 3.- Grafica esfuerzo – deformación del concreto del ejemplo de
aplicación 2 -------------------------------------------------------------------------------------------20
Grafica 4.- Grafica esfuerzo – deformación del acero ejemplo de aplicación 2 -------------20
Grafica 5.- Obtención del valor del acero a compresión marcado con una línea de
Color negro -------------------------------------------------------------------------------------------22
Grafica 6.- Obtención del valor del acero a tensión marcado con una línea de
Color negro -------------------------------------------------------------------------------------------23
Grafica 7.- Grafica de Momento – Curvatura generada en el programa ejemplo 1---------37
Grafica 8.- Grafica comparativa de ambos métodos de los puntos principales
del ejemplo 1 ----------------------------------------------------------------------------------------37
Grafica 9.- Grafica de Momento – Curvatura generada en el programa ejemplo 2-------40
Grafica 10.- Grafica comparativa de ambos métodos de los puntos principales
Del ejemplo 2 --------------------------------------------------------------------------------------40
Grafica 11.- Grafica Cortante vs desplazamiento marco articulado obtenido del programa
de Sap2000 ------------------------------------------------------------------------------------------82
Grafica 12.- Grafica Cortante vs desplazamiento marco empotrado obtenido del programa
de Sap2000 -------------------------------------------------------------------------------------------83
INDICE DE TABLAS pag.
Tabla 1.- Resumen de valores obtenidos para las deformaciones del concreto -------------21
Tabla 2.- Resumen del valor obtenido para la deformación del acero a compresión –-----22
Tabla 3.- Resumen del valor obtenido para la deformación del acero a tensión –----------22
Tabla 4.- Resumen de valores obtenidos para las deformaciones del concreto ------------23
Tabla 5.- Resumen del valor obtenido para la deformación del acero a compresión –----23
Tabla 6.- Resumen del valor obtenido para la deformación del acero a tensión –---------24
Tabla 7.- Resumen de valores obtenidos para las deformaciones del concreto -----------25
Tabla 8.- Resumen del valor obtenido para la deformación del acero a compresión –---25
Tabla 9.- Resumen del valor obtenido para la deformación del acero a tensión –--------25
Tabla 10.- Resumen de valores obtenidos para las deformaciones del concreto ---------25
Tabla 11.- Resumen del valor obtenido para la deformación del acero a compresión –-26
Tabla 12.- Resumen del valor obtenido para la deformación del acero a tensión –------26
Tabla 13.- Resumen de valores obtenidos para las deformaciones del concreto ---------27
Tabla 14.- Resumen del valor obtenido para la deformación del acero a compresión –-27
Tabla 15.- Resumen del valor obtenido para la deformación del acero a tensión –------27
Tabla 16.- Resumen de valores obtenidos para las deformaciones del concreto ---------27
Tabla 17.- Resumen del valor obtenido para la deformación del acero a compresión –-28
Tabla 18.- Resumen del valor obtenido para la deformación del acero a tensión –------28
Tabla 19.- Resumen de valores obtenidos para las deformaciones del concreto ----------29
Tabla 20.- Resumen del valor obtenido para la deformación del acero a compresión –--29
Tabla 21.- Resumen del valor obtenido para la deformación del acero a tensión –-------29
Tabla 22.- Resumen de valores obtenidos para las deformaciones del concreto ----------30
Tabla 23.- Resumen del valor obtenido para la deformación del acero a compresión –--30
Tabla 24.- Resumen del valor obtenido para la deformación del acero a tensión –-------30
Tabla 25.- Sismos de análisis -------------------------------------------------------------------46
Tabla 26.-NEHRP Guidelines for the Seismic Rehabilitation of Buildings --------------48
Tabla 27.-Tipos de sismos de análisis y su desempeño --------------------------------------50
Tabla 28.-Puntos principales del diagrama para el marco articulado-----------------------53
Tabla 29.- Valores de momento y curvatura de la columna 1 -------------------------------56
Tabla 30.- Valores de momento y curvatura de la columna 2 ------------------------------- 56
Tabla 31.-Resumen del análisis estático para el primer incremento de carga lateral-----57
Tabla 32.-Valores obtenidos de las iteraciones del Pushover para la
Columna 1 (izquierda) ----------------------------------------------------------------------------57
Tabla 33.- Valores obtenidos de las iteraciones del Pushover para la
Columna 2 (derecha) ----------------------------------------------------------------------------58
Tabla 34.-Resultados del análisis estructural ante las cargas laterales --------------------58
Tabla 35.-Resumen del cálculo de la curva de capacidad resistente -----------------------59
Tabla 36.- Resumen del cálculo de la curva de capacidad resistente ----------------------63
Tabla 37.- Puntos principales de las columnas -----------------------------------------------64
Tabla 38.- Puntos principales de la trabe en los extremos ----------------------------------64
Tabla 39.- Resultados de Fuerzas y momentos obtenidos en el programa Staad para el
primer incremento de carga lateral. --------------------------------------------------------------------------64
Recommended