View
229
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
1
Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural
INTEGRACIÓN NUMÉRICA REDUCIDA EN ANÁLISIS NO LINEALES DE ESTRUCTURAS CON
EL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS
Héctor Rodrigo Amezcua Rivera1, Amado Gustavo Ayala Milián2 y Jaime Retama Velasco3
RESUMEN
El uso de integración numérica reducida en análisis no lineales de estructuras con el método de elementos finitos
es atractivo por su velocidad y presición. En este artículo, se discuten y validan estas ventajas mediante la
aplicación de una estrategia de reducción del costo computacional requerido para llevar a cabo un análisis
estructural no-lineal. Esta alternativa se basa en el uso de un esquema de integración numérica reducida para el
cálculo, estabilización y enriquecimiento de la matriz de rigidez de elementos finitos cuadriláteros de 4 nodos.
ABSTRACT
The use of reduced numerical integration in nonlinear finite element analysis of structures is attractive for its
speed and accuracy. In this paper, this advantages are discussed and validated through the application of a
strategy for reducing the computational cost required to carry out a nonlinear structural analysis. This alternative
is based on the use of reduced numerical integration in the calculation, stabilization and enrichment of the
stiffness matrix of 4-node quadrilateral elements.
INTRODUCCIÓN
El uso de computadoras en la ejecución de análisis no lineales de estructuras mediante el método de elementos
finitos, tanto para la creación de mallas, como para el análisis numérico, ha facilitado el desarrollo de modelos
constitutivos sofisticados que presentan una mejor aproximación del comportamiento real de los materiales y
de las estructuras. Sin embargo, la aplicación de estos modelos al campo práctico de la ingeniería estructural
presenta incovenientes, ya que, a pesar de que las computadoras son cada vez más capaces, el costo
computacional de llevar a cabo un análisis no-lineal de una estructura compleja es muy alto. Generalmente, esto
lleva a establecer hipótesis que simplifican el comportamiento de la estructura y, en consecuenica, el análisis
numérico, que puede, sin embargo, afectar la calidad de los resultados. Es por esto que el desarrollo de
estrategias que reduzcan este costo computacional, con en el método de elementos finitos, es atractivo para
ingenieros especialistas en estructuras e investigadores. Un ejemplo de estas estrategias son las basadas en el
uso de integración numérica reducida para la obtención de la matriz de rigidez.
El elemento cuadrilátero de 4 nodos, estudiado en este artículo, es ampliamente usado en la mecánica
computacional. Sin embargo, la elección de un esquema óptimo de integración numérica representa un dilema
difícil (Flanagan y Belytschko, 1981). Una regla de orden inferior es deseable por dos razones: (1) La reducción
del costo computacional en la obtención de la matriz de rigidez, debida a la disminución en el número de
evaluaciones de la matriz de compatibilidad (Belytschko et al.,1984). (2) La tendencia a ablandar el elemento,
a consecuencia de que algunos de los modos característicos de la matriz de rigidez ofrecen poca rigidez a
1 Estudiante de doctorado, Instituto de Ingeniería, UNAM, Apdo: 70-642. México D.F. 04510 Teléfono
(55)5665-9784; Fax (55)562-23468; HAmezcuarR@iingen.unam.mx.
2 Profesor e investigador, Instituto de Ingeniería, UNAM, Apdo: 70-642. México D.F. 04510 Teléfono
(55)5665-9784; Fax (55)562-23468; GAyalaM@iingen.unam.mx.
3 Profesor, Centro de Investigación Multidisciplinaria Aragón, Facultad de Estudios Superiores de Aragón,
UNAM, Av. Rancho Seco s/n, Col. Impulsora, Nezahualcoyotl, Edo. de México 57130;
jretamav@comunidad.unam.mx
XX Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Mérida, Yucatán 2016.
2
deformación (Cook et al., 1989). Además de esto, fue demostrado por Wilson et al. (1973) que el empleo de un
elemento isoparamétrico, evaluado con una regla de integración completa, no representa con precisión la
deformación en los modos de deformación lineal o modos de flexión. Por estas razones, para análisis
estructurales de gran escala, el uso de una cuadratura numérica con un punto de integración, para elementos
cuadriláteros de 4 nodos, es atractivo por su bajo costo computacional y la precisión de los resultados obtenidos.
Sin embargo, la principal desventaja del uso de integración reducida estos elementos es la inestabilidad, debida
a la deficiencia de rango de la matriz de rigidez, que se presenta en algunos modos de deformación, comúnmente
llamado efecto hourglass (reloj de arena en español), requiriéndose para su correcto uso de un proceso de
estabilización (Amezcua, 2016). Este fenómeno apareció por primera vez en aplicaciones del método de
diferencias finitas (Belytschko et al., 2013) y, actualmente, en el método de elementos finitos los modos
hourglass son un inconveniente en códigos numéricos en los cuales la matriz de rigidez es obtenida con una
regla de integración reducida, por lo que se han desarrollado técnicas para su control (Belytschko et al., 1984).
Algunas de estas técnicas aparecieron por primera vez en el método de las diferencias finitas, donde Maenchen
y Sack (1963) añadieron una viscosidad artificial para inhibir el efecto; sin embargo, la viscosidad no era
independiente de los modos de deformación constante y de los movimientos de cuerpo rígido, lo cual puede
degradar la solución (Flanagan y Belytschko, 1981). Posteriormente, Wilkins et al. (1975) desarrollaron una
viscosidad triangular, pero resulto ser una técnica bastante compleja que involucra programación y tiempos de
cálculo considerables, además de ser dependiente de los modos de deformación y de los movimientos de cuerpo
rígido (Flanagan y Belytschko, 1981). Años más tarde, en el método de elementos finitos, Kosloff y Frazier
(1978) proponen un esquema simple para controlar el efecto hourglass mediante la adición de un término de
respuesta a la matriz de rigidez. Este esquema fue propuesto para el caso de un material isótropo elástico lineal
y, para la mayoría de los casos, es relativamente económico computacionalmente. Flanagan y Belytschko (1981)
presentaron una técnica precisa para aislar las formas modales ortogonales hourglass para elementos
cuadriláteros de geometría arbitraria. Esta técnica es estudiada en este artículo.
INTEGRACIÓN NUMÉRICA EN EL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS
Cuadratura es el nombre utilizado para evaluar una integral numéricamente, en lugar de analíticamente. Hay
varias reglas de cuadraturas, siendo las de Gauss-Legendre las más apropiadas para elementos cuadriláteros
(Cook et al., 1989). Para obtener la matriz de rigidez, K, de un elemento con espesor t y área A, se debe resolver
la integral de la ec. 1. Aquí, B es la matriz de compatibilidad del elemento y C es la matriz constitutiva que
depende de las propiedades del material y del tipo de problema a analizar: esfuerzo plano o deformación plana.
dAtA
T
BCBK (1)
Debido a la complejidad de resolver esta expresión de manera analítica, se recurre al uso de reglas de integración
numérica para evaluarla numéricamente. Ya que el costo computacional de esta evaluación es directamente
proporcional al número de puntos de integración utilizado, la selección de una regla óptima de integración es
altamente importante. Cuando la matriz de rigidez es evaluada con integración numérica, esta solo contiene
información que puede ser percibida en los puntos de muestreo de la cuadratura utilizada. Si ocurre que las
deformaciones, calculadas con ε = B d, son cero en todos los puntos de muestreo en cierto modo, d = φ, entonces
la energía de deformación, Ue, es nula para ese modo, en el sentido que Ue = (1/2) φT K φ es cero. Se espera
que esto ocurra cuando φ corresponda a un modo de cuerpo rígido. Si ocurre que Ue = 0 cuando φ no sea un
modo de cuerpo rígido, se presenta una inestabilidad numérica (Cook et al., 1989).
INTEGRACIÓN NUMÉRICA COMPLETA
Para elementos integrados numéricamente, se define como integración completa a la cuadratura suficiente para
obtener el valor exacto o suficientemente aproximado de las integrales de los términos en la matriz de rigidez
del elemento (Cook et al., 1989). En este caso, para un elemento cuadrilátero de 4 nodos, se necesita una
cuadratura de 2x2, como mínimo, para una integración completa. Considerando el elemento cuadrilátero de 4
nodos de la fig. 1 con un módulo de Young E = 2,000 MPa y una relación de Poisson ν = 0.20, y evaluando la
integral de la ec. 1 con una cuadratura de Gauss-Legendre de 2x2, se obtiene una matriz de rigidez integrada de
forma completa, K(4). A partir de aquí, el subíndice entre paréntesis indicará el número de puntos de integración
3
Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural
utilizados para la obtención de la matriz en cuestión. Los modos de deformación de este elemento,
completamente integrado, se obtienen resolviendo la ecuación característica de la matriz de rigidez, (K(4) – λ I)
Φ = 0, donde λ es la matriz de eigenvalores, I es la matriz identidad y Φ es la matriz de eigenvectores. En la
fig. 2 se observan los ocho modos de deformación de la matriz K(4).
Figura 1 Elemento cuadrilátero de 4 nodos
Figura 2 Modos de deformación de la matriz de rigidez con integración completa
Los tres primeros modos son de cuerpo rígido, para los cuales Ue = 0, como se esperaba. Los siguientes dos
modos son de deformación lineal o de flexión, con Ue > 0. Finalmente, los tres últimos modos son de
deformación constante, en los que Ue > 0 (Cook et al., 1989). Hay cinco modos que presentan deformación
(linealmente independientes) y tres modos de cuerpo rígido (linealmente dependientes). Por definición, el rango
de una matriz está dado por el número de filas o columnas que son linealmente independientes (Friedberg et
al., 1982). Por consiguiente, el rango de la matriz de rigidez integrada completamente es 5.
INTEGRACIÓN NUMÉRICA REDUCIDA
Se llama integración reducida al uso de una cuadratura de orden inferior al necesario para una integración
completa. Como se describió anteriormente, este tipo de integración es atractivo por su bajo costo
computacional y la precisión de los resultados. Considerando el mismo elemento cuadrilátero de la fig. 1 con
las mismas propiedades mecánicas propuestas en la sección anterior, y resolviendo la integral de la ec. 1 con
una cuadratura de Gauss-Legendre de 1x1, se obtiene una matriz de rigidez sub-integrada, K(1). En la fig. 3 se
identifican los ocho modos de deformación de esta matriz.
Figura 3 Modos de deformación de la matriz de rigidez con integración reducida
XX Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Mérida, Yucatán 2016.
4
Los tres últimos modos son de deformación constante, para los cuales Ue > 0, como se esperaba, sin importar
el orden de la cuadratura utilizada. Para los cinco primeros modos Ue = 0, pero no corresponden a un
comportamiento de cuerpo rígido. Por lo tanto, se presenta una inestabilidad numérica y estos modos son
llamados espurios o hourglass, por la forma semejante a un reloj de arena cuando se realiza un ensamble de
elementos. Por consiguiente, el rango de la matriz sub-integrada es 3 (Friedberg et al., 1982). Esta inestabilidad
debe ser eliminada con la finalidad de poder tomar ventaja de este esquema de integración.
A través de una comparación entre las figs. 2 y 3, se puede observar que los modos afectados por el efecto
hourglass son los de cuerpo rígido y los de deformación lineal, mientras que los modos de deformación
constante se mantienen. Esta observación es importante para el desarrollo del método de control de este efecto.
CONTROL DEL EFECTO HOURGLASS
Un método de control del efecto hourglass desarrollado por Belytschko et al. (1981; 1984; 1986; 1991; 2013)
fue estudiado e implementado computacionalmente por Amezcua (2016), para un elemento cuadrilátero de 4
nodos. Este método consiste en la adición de una matriz estabilizadora, Kstab, a la matriz de rigidez sub-integrada
(ec. 2). Esta matriz, de rango 2, contiene el efecto de fuerzas agregadas para controlar los modos hourglass.
Matemáticamente, el objetivo es aumentar el rango de la matriz de rigidez K(1) de 3 a 5.
stab
T
stab A KBCBKKK )1()1()1( (2)
Aquí, K representa la matriz de rigidez estabilizada. El efecto de las fuerzas, utilizadas para estabilizar el
elemento, se distribuye en la matriz de rigidez mediante el vector de forma hourglass, γ, calculado con la ec. 3:
T
y
TT
x
TTTbyΓbxΓΓγ
4
1 (3)
donde Γ es el vector base que contiene los coeficientes de las funciones de forma que dan lugar a los modos
hourglass. Para el elemento en cuestión ΓT = [1,-1,1,-1] (Flanagan y Belytschko, 1981). Los vectores x y y
contienen las coordenadas locales del elemento, además bx y by son vectores compuestos por términos de la
matriz de compatibilidad evaluada en un punto de integración, B(1), calculados con las ecs. 4a y 4b.
312413422
1yyyyyyyy
A
T
x b (4a)
13423124
2
1xxxxxxxx
A
T
y b (4b)
La matriz de rigidez estabilizadora se obtiene con la ec. 5. Se puede notar que cada término de esta matriz
corresponde a una sub-matriz de 4x4. Aquí, las constantes C1,1, C3,3 y C1,2, corresponden a los términos de la
matriz constitutiva, C, ya sea de esfuerzo plano o de deformación plana. Para incluir elementos de deformación
asumida, Belytschko y Bindeman (1991) propusieron diferentes valores para estas constantes.
T
xxyy
T
xy
T
xy
T
yyxx
stabHCHCHCC
HCCHCHC
γγγγ
γγγγK
)()(
)()(
3,31,13,32,1
3,32,13,31,1 (5)
Los términos Hxx, Hyy y Hxy se calculan con la ec. 6, donde h = ξ η. La evaluación numérica de estas integrales
debe realizarse con una cuadratura de Gauss-Legendre de 2x2, de otra manera los términos son nulos. El sufijo
coma denota diferenciación respecto del sistema coordenado global x o y, representado a su vez por los sufijos
i y j, respectivamente.
Ajiij dAhhH ,, (6)
5
Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural
Con el esquema de estabilización numérica presentado en las ecuaciones anteriores, se puede resolver la ec. 2
y obtener una matriz de rigidez sub-integrada y estabilizada, K, para el mismo elemento analizado, con
integración completa y reducida, anteriormente. En la fig. 4 se identifican los ocho modos de deformación de
esta matriz de rigidez.
Figura 4 Modos de deformación de la matriz de rigidez sub-integrada y estabilizada
Como en el caso de integración completa, los tres primeros modos son de cuerpo rígido, para los cuales Ue = 0.
Los siguientes dos modos son de deformación lineal, con Ue > 0. Finalmente, los tres últimos modos son de
deformación constante, en los que Ue > 0. Hay cinco modos que presentan deformación y tres modos de cuerpo
rígido, por lo tanto el rango de la matriz de rigidez de forma reducida y estabilizada es 5 (Friedberg et al., 1982).
El cálculo de las deformaciones, ε, en el elemento se realiza con la ec. 7 (Belytschko y Bindeman, 1991). Puede
notarse que las deformaciones son calculadas en cada punto de integración de una cuadratura de Gauss-
Legendre de 2x2.
stab
y
x
T
x
T
x
T
y
T
y
T
y
T
y
T
x
T
x
stab
hh
h
h
εεd
d
γbγb
γb0
0γb
ε
BB
)1(
,,
,
,
)1(
(7)
En esta ecuación, dx y dy son los vectores que contienen los desplazamientos en x y y respectivamente. Además,
el primer término de esta ecuación se compone por la suma de la matriz de compatibilidad, evaluada en un
punto de integración, más la matriz de compatibilidad estabilizadora, B(1) + Bstab . De esta manera las
deformaciones contienen las contribuciones en un punto de integración más la estabilización en cuatro puntos
de integración. Los esfuerzos, σ, se calculan dependiendo del modelo constitutivo empleado (ec. 8).
stabσσεCσ )1( (8)
El residuo se debe obtener considerando las fuerzas generadas por las contribuciones antes mencionadas (ec.
9).
A
stab
T
stab
T
stab dAA σBσBdKK )1()1()1( (9)
Aquí, d es el vector que contiene los desplazamientos. Esta formulación fue implementada dentro del programa
de elementos finitos FEAP (Taylor, 2014) por Amezcua (2016) para análisis lineales y no lineales de sólidos
en dos dimensiones.
XX Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Mérida, Yucatán 2016.
6
EJEMPLOS DE VALIDACIÓN
Para fines de validación, se seleccionó el problema de la membrana de Cook (Cook, 1974), debido a que se
conoce su solución analítica para un caso lineal. La geometría y restricciones propuestas se muestran en la fig.
5.
Figura 5 Geometría propuesta de la membrana de Cook
MEMBRANA DE COOK (CASO LINEAL)
En el análisis lineal de la membrana se propusieron las siguientes propiedades mecánicas: un módulo de Young
E = 1,000 MPa, una relación de Poisson ν = 0.33 y una carga aplicada P = 1,000 N en el extremo libre. Esta
carga tiene una distribución parabólica, como se muestra en la fig. 5. Se realizaron cinco mallas con 2, 4, 8, 16
y 32 elementos cuadriláteros de 4 nodos en el extremo donde se aplica la carga. Un problema de esfuerzo plano
fue analizado con integración completa, reducida y con la formulación de estabilización descrita en la sección
anterior. Estos problemas se analizaron en el programa FEAP (Taylor, 2014) con la rutina implementada por
Amezcua (2016). La ecuación característica de la matriz de rigidez global, (K – λ I) Φ = 0, también fue resuelta,
con la finalidad de realizar una comparación de los modos de deformación obtenidos por los tres esquemas de
integración numérica utilizados. En las figs. 6, 7 y 8 se muestran los primeros tres modos de deformación de la
malla compuesta por 16 elementos.
(a)
(b)
(c)
Figura 6 Modo de deformación 1 de la membrana de Cook, analizado con integración: (a) completa,
(b) reducida y (c) reducida y estabilizada
Para efectos de comparación, en estas representaciones gráficas se usó el mismo factor de escala. Aquí, se puede
observar una notoria similitud en la configuración deformada y un claro control del efecto hourglass, el cual es
más evidente en el extremo libre de la membrana y a lo largo de las líneas verticales de la malla. Además de
validar el control del efecto hourglass, se llevó a cabo un análisis de convergencia. En la fig. 9 se muestra la
convergencia a la solución analítica en energía de deformación, para cada malla mencionada anteriormente. En
esta figura, MEF significa método el elemento finito, IC integración completa, IR integración reducida e IRE
integración reducida y estabilizado.
7
Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural
(a)
(b)
(c)
Figura 7 Modo de deformación 2 de la membrana de Cook, analizado con integración: (a) completa,
(b) reducida y (c) reducida y estabilizada
(a)
(b)
(c)
Figura 8 Modo de deformación 3 de la membrana de Cook, analizado con integración: (a) completa,
(b) reducida y (c) reducida y estabilizada
Se pueden realizar algunas observaciones a partir de la fig. 9. Primero, se puede apreciar un cambio en la
dirección de convergencia cuando se utiliza integración reducida sin ningún procedimiento de estabilización.
Por lo tanto, se puede concluir que mientas en integración completa a mayor número de elementos más flexible
es la membrana, en integración reducida ocurre lo contrario. Segundo, cuando se aplica el procedimiento de
estabilización, la dirección de convergencia es la misma que en integración completa. Tercero, se alcanza una
solución aceptable con un menor número de elementos en comparación con integración completa.
Figura 9 Convergencia a la solución analítica de energía de deformación de la membrana de Cook
XX Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Mérida, Yucatán 2016.
8
Estas observaciones implican que el procedimiento de estabilización no solo es más rápido en términos de una
comparación malla a malla, además es más preciso y no se necesitan mallas finas para obtener el mismo grado
de aproximación que con integración completa; lo que significa una reducción de costo computacional aún
mayor. En vista de los resultados obtenidos, la formulación queda validada para análisis lineales. Las ventajas
estudiadas en este ejemplo son mayormente atractivas para análisis no lineales, especialmente cuando el
problema involucra volúmenes de cálculo demasiado grande. Por ejemplo en el estudio de estructuras masivas
de mampostería.
MEMBRANA DE COOK (CASO NO-LINEAL)
Para validar el funcionamiento de este esquema de integración reducida en análisis no lineales, se propuso un
problema con la misma membrana de Cook estudiada en la sección anterior. En lugar de cargas, se impusieron
desplazamientos en el extremo libre, con la finalidad de evitar problemas de convergencia. Se seleccionaron
dos mallas de las cinco empleadas en el ejemplo anterior, llamadas A y B. La malla A se compone de 64
elementos cuadriláteros de 4 nodos y la malla B por 1,024. Estas mallas se muestran en la fig. 10.
(a)
(b)
Figura 10 Membrana de Cook: (a) malla A y (b) malla B
Para el análisis del problema de esfuerzo plano, se consideraron las siguientes propiedades mecánicas del
material: un módulo de Young E = 2,000 MPa, una relación de Poisson ν = 0.20, un esfuerzo de falla Y0 = 50
MPa y una variable de endurecimiento H = 1. El comportamiento no-lineal del material fue simulado utilizando
el algoritmo propuesto por Simo y Taylor (1986). Este modelo de elasto-plasticidad para esfuerzo plano
considera endurecimiento no-lineal isótropo y el criterio de falla de Von Mises. El problema matemático no-
lineal fue aproximado mediante la aplicación del método de Newton-Raphson modificado, imponiendo un
desplazamiento de 5 mm en 200 pasos a todos los nodos del extremo libre. Ambas mallas fueron analizadas
con integración completa y reducida con el procedimiento de estabilización descrito anteriormente. La fig. 11
muestra las zonas en las que se alcanzó el esfuerzo de falla con el criterio de Von Mises. Se puede notar que las
distribuciones de esfuerzos de la membrana de Cook son similares para ambos casos de integración y ambas
mallas, especialmente en las zonas donde se alcanzó el esfuerzo de falla considerado.
(a)
(b)
9
Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural
(c)
(d)
Figura 11 Distribuciones de esfuerzo de Von Mises para la malla A con integración (a) reducida y (b)
completa; y para la malla B con integración (c) reducida y (d) completa
Con la finalidad de validar de una manera más representativa el comportamiento general de la membrana, en la
fig. 12 se muestran diagramas reacción-desplazamiento. Se pueden hacer algunas observaciones a partir de esta
figura. Primero, los resultados entre ambos esquemas de integración numérica son muy similares. Segundo, la
similitud en una comparación malla a malla es mejor cuando la malla está compuesta por un mayor número de
elementos. Tercero, el comportamiento aproximado con la malla A utilizando integración reducida es más
cercano a los alcanzados con la malla B. La diferencia más alta entre estos dos resultados es del 2.96 %.
Figura 12 Diagrama reacción-desplazamiento para la membrana de Cook
Esta última observación es la ventaja más atractiva del uso de integración numérica reducida en la aproximación
de problemas no lineales. Esto se debe a que el costo computacional de analizar este tipo de problemas es
proporcional al número de elementos que componen la malla, por lo tanto el análisis es sustancialmente más
rápido. En este ejemplo, la reducción en tiempo de cálculo es del 40.73 %. El principal impacto de esta
reducción de costo computacional, es la posibilidad de emplear modelos constitutivos más sofisticados para
aplicaciones en la ingeniería práctica y no solo en trabajos de investigación.
A pesar de que la solución real del problema no-lineal es desconocida, se sabe que una aproximación por el
método de elementos finitos es más cercana a la solución exacta cuando el número de elementos es más alto.
XX Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Mérida, Yucatán 2016.
10
Por lo tanto, una comparación entre los resultados con ambos esquemas de integración numérica debe ser
suficiente para fines de validación.
EJEMPLOS DE APLICACIÓN
Se seleccionaron dos ejemplos de aplicación para mostrar las ventajas del uso de integración numérica reducida
en análisis no lineales de estructuras. El primero corresponde a un muro de cortante con aberturas y el segundo
es una representación de una parte de la arcada del monasterio de San Vicente de Fora, ubicado en Lisboa,
Portugal. Ambos ejemplos fueron analizados con propiedades mecánicas de mampostería y con un
comportamiento no-lineal, mediante dos mallas con diferente nivel de refinamiento, i.e., el número de elementos
finitos se incrementa de una malla a la otra. Estos ejemplos se analizaron en el programa FEAP (Taylor, 2014)
con la rutina implementada por Amezcua (2016). En cada uno de ellos se compararon la distribución de
esfuerzos de Von Mises obtenidas y los diagramas de reacción-desplazamiento.
MURO DE CORTANTE CON ABERTURAS
Este muro de mampostería fue ensayado por Bono et al. (1998) y estudiado con Modelos de Bloques Rígidos
por Orduña (2003). El muro mide 5.80 m de largo y 3.60 m de altura. Presenta dos aberturas para puertas de
1.0x2.20 m. Para la mampostería, se propuso un módulo de Young E = 1,750 MPa, una relación de Poisson ν
= 0.20 y un esfuerzo de falla Y0 = 3.50 MPa. Estas propiedades mecánicas fueron propuestas de acuerdo a las
Normas Técnicas Complementarias del Reglamento de Construcciones del Distrito Federal (G.D.F., 2004). Se
elaboraron dos mallas, llamadas A y B, con 1,284 y 5,140 elementos finitos cuadriláteros de 4 nodos
respectivamente (fig. 13). Se impuso un desplazamiento de 50 mm a todos los nodos de la parte superior del
muro.
(a)
(b)
Figura 13 Muro con aberturas: (a) malla A y (b) malla B
En la fig. 14 se incluyen los diagramas de reacción-desplazamiento para cada malla y para integración completa
y reducida. La máxima diferencia entre ambos casos de integración numérica para la malla A es de 1.57 % y
para la malla B es de 0.79 %. Como se esperaba, el tiempo de cálculo es menor con integración numérica
reducida. A pesar de que la curva de la malla A resuelta con integración reducida es ligeramente más cercana a
las obtenidas con la malla B, para este caso particular ambas mallas tienen comportamientos similares, sin
importar el tipo de integración utilizado.
Otro punto importante de analizar es que los modos de deformación lineal o de flexión no contribuyen
significativamente al comportamiento global del muro. Esta es la razón de la gran similitud entre ambos
esquemas de integración numérica. En otros casos, donde los modos de flexión son más participativos en la
configuración deformada de la estructura, los resultados con integración numérica reducida son mejores en
comparación con los de integración completa. Como en el caso de membrana de Cook descrita anteriormente.
En la fig. 15 se muestran la distribución de esfuerzos de Von Mises para todos los casos analizados. Se puede
apreciar una clara similitud en todos ellos. Sin embargo el costo computacional con integración reducida es
significativamente menor que con integración completa.
11
Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural
Figura 14 Diagrama reacción-desplazamiento del muro con aberturas
(a)
(b)
(c)
(d)
Figura 15 Distribuciones de esfuerzo de Von Mises para la malla A con integración (a) reducida y (b)
completa; y para la malla B con integración (c) reducida y (d) completa
ARCADA DEL MONASTERIO DE SAN VICENTE DE FORA
Otro ejemplo de aplicación corresponde a una parte de la arcada del monasterio de San Vicente de Fora. Este
monasterio, fundado en 1147 por D. Alfonso Henriques, fue construido en una de las colinas del Este de la
ciudad de Lisboa, en Portugal. El terremoto de 1755 causó un daño severo a la iglesia y al monasterio (Correia
et al., 2007). Debido a la importancia histórica de este edificio y a su belleza arquitectónica, hay un alto interés
en preservarlo.
La estructura principal está conformada por columnas y arcos de bloques de piedra unidos con mortero. En el
Laboratorio ELSA, se han llevado a cabo varios experimentos en un modelo a escala real de una sección del
XX Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Mérida, Yucatán 2016.
12
monasterio que incluye tres columnas, dos arcos y dos semi-arcos (Pegon et al., 2001; Correia et al., 2007). En
la fig. 16 se muestra una fotografía del modelo descrito.
Figura 16 Fotografía del modelo a escala real de una parte de la arcada del monasterio de San Vicente
de Fora (Pegon et al., 2001)
Varios investigadores han utilizado los resultados de estos experimentos para validar o aplicar modelos
constitutivos, propuestos para simular el comportamiento mecánico de la mampostería como material
estructural, por ejemplo Orduña et al. (2004) y Meza et al. (2008). En este trabajo, no se incluye una
comparación con resultados experimentales, debido a que el objetivo principal es validar el esquema de
integración numérica reducida y no el modelo constitutivo empleado.
La geometría propuesta para el análisis es consistente con el experimento (fig. 16). El modelo tiene una altura
de 7.45 m y una longitud de 10.80 m. Las tres columnas de 0.80 m de ancho están espaciadas a cada 3.60 m.
La mampostería tiene un módulo de Young E = 1,000 MPa, una relación de Poisson ν = 0.20 y un esfuerzo de
falla Y0 = 100 kPa. Estas propiedades mecánicas se seleccionaron de acuerdo a los reportes del experimento,
resumidos por Meza et al. (2008). Al igual que en los ejemplos anteriores, se emplearon dos mallas, llamadas
A y B, para mostrar las ventajas de utilizar el esquema de integración reducida estudiado. Ambas mallas fueron
elaboradas con elementos finitos de 4 nodos. Mientras que la malla A está compuesta por 1,323 elementos, la
malla B cuenta con 5,352 elementos (fig. 17).
(a)
(b)
Figura 17 Arcada del monasterio de San Vicente de Fora: (a) malla A y (b) malla B
Se impusieron desplazamientos de 50 mm en todos los nodos de la parte superior de la arcada. Los diagramas
de reacción-desplazamiento se muestran en la fig. 18 para amabas mallas y ambos esquemas de integración
numérica, i.e., completa y reducida. A partir de esta figura, se pueden hacer algunas observaciones. Primero,
los resultados entre ambos casos de integración numérica son muy similares. Segundo, la similitud en una
comparación malla a malla es mejor cuando la malla tiene mayor número de elementos. Tercero, el
comportamiento aproximado con la malla A, utilizando integración reducida, es más cercano a los alcanzados
con la malla B. La diferencia más alta entre estos dos resultados es del 3.04 %, y la diferencia promedio es de
0.80 %.
13
Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural
Figura 18 Diagrama reacción-desplazamiento de la arcada del monasterio de San Vicente
de Fora
Como se mencionó anteriormente, está ultima observación es la ventaja más atractiva de utilizar integración
reducida en el análisis de estructuras con comportamiento no-lineal. En este caso, la reducción de tiempo de
computo es del 73.65 %. Lo que significa que cuando el problema involucra un tiempo de cálculo mayor, la
reducción de tiempo es igualmente mayor, lo que lo hace más atractivo. En la fig. 19 se muestra la distribución
de esfuerzos de Von Mises obtenida para los cuatro casos analizados. Se aprecia una clara similitud entre los
estados de esfuerzos para ambos casos; especialmente en la zonas donde se alcanza el esfuerzo de falla.
(a)
(b)
(c)
(d)
Figura 19 Distribuciones de esfuerzo de Von Mises para la malla A con integración (a) reducida y (b)
completa; y para la malla B con integración (c) reducida y (d) completa
XX Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Mérida, Yucatán 2016.
14
CONCLUSIONES
En este artículo se validó un esquema de integración numérica reducida en elementos finitos cuadriláteros de 4
nodos para problemas lineales y no-lineales. Además, se aplicó a un problema de interés histórico como lo es
la Arcada del Monasterio de San Vicente de Fora. Este esquema de integración permitió reducir el costo
computacional requerido para llevar a cabo un análisis estructural no-lineal con el método de los elementos
finitos. Esta estrategia se basa en la obtención y enriquecimiento de la matriz de rigidez, restaurando su rango,
controlando los modos hourglass, y mejorando la representación de los modos de deformación lineal; dando
como resultado, un algoritmo óptimo computacionalmente.
Se mostró que con esta estrategia de integración, se posibilita el uso de mallas gruesas para problemas de análisis
no-lineal, ya que se obtienen resultados que convergen a la solución de manera más rápida que con un esquema
de integración completa, lo que implica una reducción significativa de tiempo de cómputo. A pesar de que el
uso de este tipo de mallas es sensible a su configuración, ya que la contribución de los modos de deformación
lineal, al comportamiento global de la estructura, debe ser significativa, el esquema de integración reducida es
más rápido que el de integración completa en una comparación malla a malla. Por esta razón la reducción de
costo computacional está garantizada, sin importar la configuración de malla empleada.
Con relación a los resultados presentados en este artículo, y a la reducción del costo computacional asociado a
la solución de problemas no-lineales, es importante hacer énfasis en la aplicación de este tipo de elementos
finitos, con integración reducida, a problemas de interés practico en la ingeniería práctica, particularmente de
estructuras continuas: estructuras históricas de mampostería, estructuras de concreto masivo, entre otras. La
consecuencia directa de esta reducción del tiempo de cómputo, es en la mejora y/o aplicación de modelos
constitutivos más aproximados al comportamiento real de este tipo de estructuras.
AGRADECIMIENTOS
El primer autor desea agradecer al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (CONACyT) la beca otorgada
para realizar sus estudios de maestría. También se agradece al Instituto de Ingeniería de la Universidad Nacional
Autónoma de México (IIUNAM) por financiar el proyecto de colaboración internacional titulado “Análisis
sísmico multi-escala de estructuras de concreto reforzado”.
REFERENCIAS
Amezcua H. R. (2016), “Formulation and numerical implementation of an improved finite elment model
and its application to the study of ancient masonry constructions”, Tesis de maestría, Universidad Nacional
Autónoma de México, Distrito Federal, agosto, 69 pp.
Belytschko T., y Bindeman L. P. (1991), “Assumed strain stabilization of the 4-node quadrilateral with 1-
point quadrature for nonlinear problems”, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, vol.
88, julio, pp. 311-340.
Belytschko T., Liu W. K., Moran B., y Elkhodary K. (2013), “Nonlinear finite elements for continua and
structures”, John Wiley and Sons, 832 pp.
Belytschko T., Ong J. S.-J., Liu W. K., y Kennedy J. M. (1984), “Hourglass control in linear and nonlinear
problems”, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, vol. 43, mayo, pp. 251-276.
Bono F., Tirelli D., Verzeletti G., Molina J., y Renda V. (1998), “Shape Memory Alloy Crossbracing of Brick
Masonry Walls: Cyclic Test of a Large Scale Model And Numerical Analyses”, Workshop on Seismic
Performance of Monuments, Lisboa, pp. 239-248.
Cook R. D. (1974), “Improved two-dimensional finite element”, Journal of the Structural Division, vol. 100,
diciembre, pp. 1851-1863.
15
Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural
Cook R. D., Malkus D. S., y Plesha M. E. (1989), “Concepts and applications of finite element method”,
John Willey and Sons, 736 pp.
Correia J. R., Branco F. A., y de Brito J. (2007), “Analysis of Sao Vicente de Fora church, Portugal”,
Proceedings of the Institution of Civil Engineers-Structures and Buildings, vol. 160, agosto , pp. 187-196.
Flanagan D. P., y Belytschko T. (1981), “A uniform strain hexaedron and quadrilateral with hourglass
control”, International journal for numerical methods in engineering, vol. 17, mayo , pp. 679-706.
Friedberg, S. H., Insel, A. J., y Spence, L. E. (1982), “Algebra lineal”. Publicaciones Cultural S. A., 543 pp.
GDF. (2004), “Normas Técnicas Complementarias del Reglamento de Construcciones del Distrito
Federal”, Gobierno del Distrito Federal, México.
Kosloff D., y Frazier G. A. (1978), “Treatment of hourglass patterns in low order finite element codes”,
International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics, vol. 2, enero, pp. 57-72.
Maenchen G., y Sack S. (1963), “The tensor code”, Reporte técnico, Laboratorio de Radiación de la
Universidad de Lawrence, Estados Unidos, abril.
Meza J. M., Orduña A., y Ayala A. G. (2008), “Método simplificado para la evaluación de la capacidad
sísmica de edificios históricos de mampostería”, Memorias del XVI Congreso Nacional de Ingeniería
Estructural, Veracruz, México.
Orduña A. (2003), “Seismic Assesment of Ancient Masonry Structures by Rigid Blocks Limit Analysis”,
Tesis doctoral, Universidad del Minho, Portugal, noviembre, 145 pp.
Orduña A., Peña F., y Roeder G. (2004), “Un estado del arte del análisis estructural de edificios históricos
de mampostería. Parte II: modelos de análisis”, Memorias del XIV Congreso Nacional de ingeniería
Estructural, Guerrero, México.
Pegon P., Pinto V. P., y Géradin, M. (2001), “Numerical modeling of stone-block monumental structures”,
Computers and Structures, 79(22), 2165-2181.
Simo J. C., y Taylor R. L. (1986), “A return mapping algorithm for plane stress elastoplasticity”,
International Journal for Numerical Methods in Engineering, vol. 79, septiembre, pp. 649-670.
Taylor R. L. (2014), “A Finite Element Analysis Program, Programmers Manual”, Manual de programa,
Departamento de Ingenieria Civil y Ambiental de la Universidad de California, Berkeley, Estados Unidos.
Wilkins M. L., Blum R. E., Cronshagen E., y Grantham, P. (1975), “Method for computer simulation of
problems in solid mechanics and gas dynamics in three dimensions and time”, Reporte técnico, Laboratorio
de Radiación de la Universidad de Lawrence, Estados Unidos, mayo.
Wilson E. L., Taylor R. L., Doherty W. P., y Ghaboussi, J. (1973), “Incompatible displacement models”,
Numerical and computer methods in structural mechanics, vol. 43, pp. 43-57.
Recommended