INTEGRALES DEFINIDAS AREAS - WordPress.com

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INTEGRALES DEFINIDAS (ÁREAS) Ejercicio 1.- Hallar el valor de las siguientes integrales definidas (Inmediatas)

! (𝑥! + 2)𝑑𝑥"

#!

!4

√5𝑥 + 1

$

%

𝑑𝑥

! 𝑥-1 + 𝑥!√"

%

𝑑𝑥

! 𝑥 ∙ 𝑒#"'!())

%𝑑𝑥

!3𝑥! − 2𝑥 + 7"

#!

𝑑𝑥

!𝑥! + 1!

%

𝑑𝑥

!𝑑𝑥

(𝑥 − 1)"#)

#!

!𝑑𝑥

√1 + 𝑥

"

%

! 𝑥-𝑥! + 9𝑑𝑥*

%

!𝑥

√𝑥! − 1𝑑𝑥

"

!

!𝑥

𝑥! − 1 𝑑𝑥"

!

Ejercicio 2.- Calcula la siguiente integral definida utilizando primero la propiedad de los

logaritmos y después la integración por partes:

! ln 𝑥! 𝑑𝑥+

)

Ejercicio 3.- Resuelve las siguientes integrales definidas utilizando el método de integración por partes:

! arcsin 𝑥 𝑑𝑥)

%

! ln(-𝑥! + 1 − 𝑥))

%𝑑𝑥

! 𝑒!' ∙ cos 𝑥 𝑑𝑥,

%

Ejercicio 4.- Realiza la siguiente integral utilizando los conocimientos sobre integrales trigonométricas:

! 𝑠𝑒𝑛!𝑥,

%𝑑𝑥

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Ejercicio 5.- Calcular el área del recinto limitado por la gráfica de la función

𝑓(𝑥) = 𝑥! − 4, el eje OX y la recta 𝑥 = 3.

Ejercicio 6.- Calcular el área encerrada por la curva 𝑦 = 𝑥! − 4𝑥 y la recta 𝑦 = 2𝑥 − 5.

Ejercicio 7.- Determinar el área encerrada por las gráficas de las funciones:

𝑓(𝑥) = 6𝑥 − 𝑥!; 𝑔(𝑥) = 𝑥! − 2𝑥

Ejercicio 8.- Calcula el área de la región limitada por la curva de ecuación

𝑦 = 𝑥(𝑥 − 1)(𝑥 − 2) y la recta 𝑦 = 0. Hacer un dibujo de esta región.

Ejercicio 9.- Representar gráficamente el recinto plano limitado por la recta 𝑥 − 𝑦 = 1

y por la curva de ecuación 𝑦 = √𝑥 − 1. Calcular su área.

Ejercicio 10.- Calcular el área del triangulo de vértices 𝐴(3,0), 𝐵(6,3), 𝐶(8,0)

Ejercicio 11.- Hallar el área del recinto plano y limitado por la parábola 𝑦 = 4𝑥 − 𝑥! y las tangentes a la curva en los puntos de intersección con el eje OX.

Ejercicio 12.- Calcula el área encerrada por la curva 𝑦 = 𝑥(6 − 𝑥) y la recta de ecuación 𝑦 = 𝑥

Ejercicio 13.- Calcula el área que encierra la siguiente curva y la recta:

𝑦! = 𝑥; 𝑟-. 𝐴(1, −1)𝐵(4,2)

Ejercicio 14.- JUNIO 2020 A4.- Dibujar la región encerrada por

𝑓(𝑥) = 𝑥! − 2𝑥 + 1𝑦𝑔(𝑥) = −𝑥! + 5, y calcular el área de dicha región.

Ejercicio 15.- JULIO 2020 A4.- Representar la región finita del plano limitada por la curva 𝑦 = 3 − 𝑥! y por la recta 𝑦 = 2𝑥.Calcular su área.

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SOLUCIONES

Ejercicio 1.- Hallar el valor de las siguientes integrales definidas (Inmediatas)

! (𝒙𝟐 + 𝟐)𝒅𝒙𝟑

#𝟐

𝑥"

3 + 2𝑥O#!

"

= P3"

3 + 2(3)Q − R(−2)"

3 + 2(−2)S =273 + 6 +

83 + 4

=27 + 18 + 8 + 12

3 =653 𝑢!

!𝟒

√𝟓𝒙 + 𝟏

𝟕

𝟎

𝒅𝒙

! 4 ∙ (5𝑥 + 1)#)!𝑑𝑥

$

%=45! 5 ∙ (5𝑥 + 1)#

)!𝑑𝑥

$

%=45 ∙ X

(5𝑥 + 1))!

12

Y

%

$

=

45 ∙ XZ

(5(7) + 1))!

32

[ − Z(5(0) + 1)

)!

32

[Y =45 ∙ \2√36 − 2] = 8𝑢!

! 𝒙-𝟏 + 𝒙𝟐√𝟑

𝟎

𝒅𝒙

12! 2𝑥 ∙ -1 + 𝑥!𝑑𝑥√"

%

=12 ∙ X

(1 + 𝑥!)"!

32

Y

%

√"

=12 ∙ ^Z

\1 + (√3)!]"!

32

[ − Z(1 + 0!)

"!

32

[_

=73𝑢

!

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! 𝒙 ∙ 𝒆#𝟑𝒙𝟐(𝟏𝟏

𝟎𝒅𝒙

−16! −6𝑥 ∙

)

%𝑒#"'!()𝑑𝑥 = −

16 ∙ a𝑒

#"'!()b%

)= −

16 a\𝑒

#"())!()] − \𝑒#"(%)!()]b

=−16𝑒! +

𝑒6𝑢

!

!𝟑𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟕𝟑

#𝟐

𝒅𝒙

!3𝑥! − 2𝑥 + 7"

#!

𝑑𝑥 = [𝑥" − 𝑥! + 7𝑥]#!" =

= (3" − 3! + 7(3)) − ((−2)" − (−2)! + 7(−2)) = 65𝑢!

!𝒙𝟐 + 𝟏𝟐

𝟎

𝒅𝒙

!𝑥! + 1!

%

𝑑𝑥 = g𝑥"

3 + 𝑥O%

!

= P2"

3 + 2Q − P0"

3 + 0Q =143 𝑢

!

!𝒅𝒙

(𝒙 − 𝟏)𝟑#𝟏

#𝟐

!𝑑𝑥

(𝑥 − 1)"#)

#!= ! (𝑥 − 1)#"𝑑𝑥 = g

(𝑥 − 1)#!

−2 O#!

#)

= h1

−2(𝑥 − 1)!i#!

#)

=#)

#!

j1

−2(−1 − 1)!k − j1

−2(−2 − 1)!k = −572𝑢

!

!𝒅𝒙

√𝟏 + 𝒙

𝟑

𝟎

!𝑑𝑥

√1 + 𝑥

"

%= ! (1 + 𝑥)#

)!𝑑𝑥

"

%= a2√1 + 𝑥b%

"= \2√1 + 3] − \2√1 + 0] =

= 2𝑢!

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! 𝒙-𝒙𝟐 + 𝟗𝒅𝒙𝟒

𝟎

! 𝑥-𝑥! + 9𝑑𝑥*

%=12! 2𝑥-𝑥! + 9

*

%𝑑𝑥 =

12 X(𝑥! + 9)

"!

32

Y

%

*

=

12 XZ

(4! + 9)"!

32

[ − Z(0! + 9)

"!

32

[Y =983 𝑢!

!𝒙

√𝒙𝟐 − 𝟏𝒅𝒙

𝟑

𝟐

!𝑥

√𝑥! − 1𝑑𝑥

"

!= ! 𝑥 ∙ (𝑥! − 1)#

)!𝑑𝑥

"

!=12! 2𝑥 ∙ (𝑥! − 1)#

)!𝑑𝑥

"

!=

12 m2

-𝑥! − 1n!

"=12 mo2

-3! − 1p − o2-2! − 1pn = 2√2 − √3𝑢!

!𝒙

𝒙𝟐 − 𝟏 𝒅𝒙𝟑

𝟐

!𝒙

𝒙𝟐 − 𝟏 𝒅𝒙𝟑

𝟐=𝟏𝟐!

𝟐𝒙𝒙𝟐 − 𝟏

𝟑

𝟐𝒅𝒙 =

𝟏𝟐 a𝒍𝒏s𝒙

𝟐 − 𝟏sb𝟐𝟑 =

𝟏𝟐 a\𝒍𝒏s𝟑

𝟐 − 𝟏s] − \𝒍𝒏s𝟐𝟐 − 𝟏s]b =𝟏𝟐[𝒍𝒏𝟖 − 𝒍𝒏𝟑] =

𝟏𝟐 ∙ 𝒍𝒏

𝟖𝟑𝒖

𝟐

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Ejercicio 2.- Calcula la siguiente integral definida utilizando primero la propiedad de los

logaritmos y después la integración por partes:

! ln 𝑥! 𝑑𝑥+

)= ! 2 ln 𝑥

+

)𝑑𝑥 = 2! ln 𝑥 𝑑𝑥 =

+

)

𝑢 = ln 𝑥𝑑𝑣 = 𝑑𝑥 →

𝑑𝑢 =1𝑥𝑑𝑥

𝑣 = 𝑥

! ln 𝑥𝑑𝑥 = 𝑥 ∙ ln 𝑥 − !𝑥 ∙1𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 ∙ ln 𝑥 − 𝑥 + 𝑘

2! ln 𝑥 𝑑𝑥 =+

)2(𝑥 ∙ ln 𝑥 − 𝑥))+ = 2[(𝑒 ∙ ln 𝑒 − 𝑒) − (1 ∙ ln 1 − 1)] = 2𝑢!

Ejercicio 3.- Resuelve las siguientes integrales definidas utilizando el método de integración por partes:

! 𝐚𝐫𝐜𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝒅𝒙𝟏

𝟎

!𝑎𝑟𝑐 sin 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 ∙ arcsin 𝑥 − !𝑥

√1 − 𝑥!𝑑𝑥 = 𝑥 ∙ arcsin 𝑥 +

12!−2𝑥

(1 − 𝑥!)#)!𝑑𝑥

𝑥 ∙ arcsin 𝑥 + -1 − 𝑥! + 𝑘

𝑢 = arcsin 𝑥 → 𝑑𝑢 =1

√1 − 𝑥!𝑑𝑥

𝑑𝑣 = 𝑑𝑥 → 𝑣 = 𝑥

! arcsin 𝑥 𝑑𝑥)

%= m𝑥 ∙ arcsin 𝑥 + -1 − 𝑥!n

%

)= (𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛1) − (1) =

𝜋2 − 1𝑢

!

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! 𝐥𝐧(-𝒙𝟐 + 𝟏 − 𝒙)𝟏

𝟎𝒅𝒙

𝑢 = ln(-𝑥! + 1 − 𝑥) → 𝑑𝑢 =

2𝑥2√𝑥! + 1

− 1

√𝑥! + 1 − 𝑥𝑑𝑥 → 𝑑𝑢 =

𝑥 − √𝑥! + 1√𝑥! + 1 − 𝑥

𝑑𝑥 → 𝑑𝑢 = −1𝑑𝑥

𝑑𝑣 = 𝑑𝑥 → 𝑣 = 𝑥

= ! ln(-𝑥! + 1 − 𝑥) 𝑑𝑥 = x ∙ ln(-𝑥! + 1 − 𝑥) − !−𝑥 𝑑𝑥 =

= x ∙ ln o-𝑥! + 1 − 𝑥p +𝑥!

2 + 𝑘

! ln o-𝑥! + 1 − 𝑥p)

%𝑑𝑥 = gx ∙ ln o-𝑥! + 1 − 𝑥p +

𝑥!

2 O𝟎

𝟏

=

= P1 ∙ ln o-1! + 1 − 1p +1!

2 Q − P0 ∙ ln o-0! + 1 − 0p +

0!

2 Q =

𝐿𝑛2 −12𝑢

!

! 𝒆𝟐𝒙 ∙ 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝒅𝒙𝝅

𝟎

!𝑒!' cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 ∙ 𝑒!' − 2!𝑒!' ∙ 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥

= 𝑠𝑒𝑛𝑥 ∙ 𝑒!' − 2 h−𝑒!' cos 𝑥 + 2!𝑒!' cos 𝑥 𝑑𝑥i =

En la solución encontramos nuevamente la integral del enunciado, se trata de una integral cíclica.

𝐼 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 ∙ 𝑒!' + 2𝑒!' cos 𝑥 − 4𝐼 → 5𝐼 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 ∙ 𝑒!' + 2𝑒!' cos 𝑥 →

𝐼 =𝑠𝑒𝑛𝑥 ∙ 𝑒!' + 2𝑒!' cos 𝑥

5 + 𝑘

𝑢 = 𝑒!'𝑑𝑣 = cos 𝑑𝑥

→ 𝑑𝑢 = 𝑒!'𝑑𝑥𝑣 = 𝑠𝑒𝑛𝑥

PROCEDIMIENTO

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𝑢 = 𝑒!'𝑑𝑣 = 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥

→ 𝑑𝑢 = 2𝑒!'𝑑𝑥𝑣 = −cos 𝑥

! 𝒆𝟐𝒙 ∙ 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝒅𝒙𝝅

𝟎= g

𝑠𝑒𝑛𝑥 ∙ 𝑒!' + 2𝑒!' cos 𝑥5 O

𝟎

𝝅

=

P𝑠𝑒𝑛𝜋 ∙ 𝑒!, + 2𝑒!, cos 𝜋

5 Q − P𝑠𝑒𝑛0 ∙ 𝑒!(%) + 2𝑒!(%) cos 0

5 Q = −2𝑒!, + 2

5

Ejercicio 4.- Realiza la siguiente integral utilizando los conocimientos sobre integrales trigonométricas:

! 𝑠𝑒𝑛!𝑥,

%𝑑𝑥

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Ejercicio 5.- Calcular el área del recinto limitado por la gráfica de la función

𝑓(𝑥) = 𝑥! − 4, el eje OX y la recta 𝑥 = 3.

Representamos la curva 𝑦 = 𝑥! − 4 , para ello podemos calcular el vértice, que coincidirá con el valor de máximo o el mínimo de la función:

𝑦9 = 2𝑥 → 𝑦9 = 0 → 2𝑥 = 0 → 𝑥 = 0

Para saber la imagen de este vértice, debemos de sustituir este valor en la función:

𝑓(0) = 0! − 4 = −4 → (0,−4)𝑉𝐸𝑅𝑇𝐼𝐶𝐸

Ahora debemos de calcular los puntos de corte de la función con los ejes:

𝑥 𝑦 0 𝑦 = 0! − 4 = −4

0 = 𝑥! − 4 → 𝑥 = �+2−2 0

! 𝑥! − 4"

!𝑑𝑥 =

g𝑥"

3 − 4𝑥O!

"

=

R3"

3 − 4(3)S − R2"

3 − 4(2)S =

=73𝑢

!

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Ejercicio 6.- Calcular el área encerrada por la curva 𝑦 = 𝑥! − 4𝑥 y la recta 𝑦 = 2𝑥 − 5.

Representamos cada función:

𝑦 = 𝑥! − 4𝑥

→ 𝑦9 = 2𝑥 − 4

𝑦9 = 0 → 2𝑥 − 4 = 0 → 𝑥 = 2

En el punto 𝑥 = 2vamos a tener un máximo o un mínimo (vértice), debemos de calcular su imagen:

𝑓(2) = 2! − 4(2) = −4

En el punto (2, −4)𝑒𝑠𝑒𝑙𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒𝑑𝑒𝑙𝑎𝑝𝑎𝑟𝑎𝑏𝑜𝑙𝑎.

Calculamos los puntos de corte:

𝑥 𝑦 0 𝑦 = 0! − 4(0) = 0

0 = 𝑥! − 4𝑥 → 𝑥 = �04 0

𝑦 = 2𝑥 − 5

𝑥 𝑦 0 −5 1 −3

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Ahora debemos de calcular los puntos de corte entre las dos funciones para saber entre

que dos valores tienen que estar definida la integral.

�𝑦 = 𝑥! − 4𝑥𝑦 = 2𝑥 − 5 → 𝑥! − 4𝑥 = 2𝑥 − 5 → 𝑥! − 6𝑥 + 5 = 0 → �𝑥 = 1

𝑥 = 5

! 2𝑥 − 5 − (𝑥! − 4𝑥):

)𝑑𝑥 = ! −𝑥! + 6𝑥 − 5𝑑𝑥 =

:

)

g−𝑥"

3 + 3𝑥! − 5𝑥O)

:

= R−5"

3 + 3(5)! − 5(5)S − P−(1)"

3 + 3(1)! − 5Q =

323 𝑢!

Ejercicio 7.- Determinar el área encerrada por las gráficas de las funciones:

𝑓(𝑥) = 6𝑥 − 𝑥!; 𝑔(𝑥) = 𝑥! − 2𝑥

Cuando trabajamos con dos funciones polinómicas de grado dos, es muy sencillo

determinar que función actúa como tapa superior y cual como tapa inferior en el calculo

del área, ya que, conocemos con es la representación de cada función.

La función que tiene el signo menos con la x elevada al cuadrado es la tapa superior, por

el contrario, la que tiene la x al cuadrado positiva, es la tapa inferior. Lo único que

necesitamos saber, son los puntos de corte entre ambas funciones para determinar el

área:

�𝑦 = 6𝑥 − 𝑥!

𝑦 = 𝑥! − 2𝑥→ 6𝑥 − 𝑥! = 𝑥! − 2𝑥 → −2𝑥! + 8𝑥 = 0 → 2𝑥(−𝑥 + 4) = 0 →

→ �𝑥 = 0𝑥 = 4

Estos son los valores entre los que estará el área:

! 6𝑥 − 𝑥! − (𝑥! − 2𝑥)*

%𝑑𝑥 = ! −2𝑥! + 8𝑥

*

%𝑑𝑥

= g−2𝑥"

3 + 4𝑥!O%

*

=

P−2(4)"

3 + 4(4)!Q − P−2(0)"

3 + 4(0)!Q =643 𝑢!

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Ejercicio 8.- Calcula el área de la región limitada por la curva de ecuación

𝑦 = 𝑥(𝑥 − 1)(𝑥 − 2) y la recta 𝑦 = 0. Hacer un dibujo de esta región.

Para realizar la representación gráfica de estas funciones, quizás puedas tener algún

problema con 𝑦 = 𝑥(𝑥 − 1)(𝑥 − 2) pero veras lo sencillo que es:

Primero calculamos los puntos de corte con los ejes:

𝑥 𝑦

0 𝑦 = 0(0 − 1)(0 − 2) = 0

0 = 𝑥(𝑥 − 1)(𝑥 − 2) → 𝑥 = �𝑥 = 0𝑥 = 1𝑥 = 2

0

Cuando ya tenemos los cálculos de los puntos de corte hechos, deberemos de calcular

los máximos y mínimos de la función:

𝑦 = 𝑥(𝑥 − 1)(𝑥 − 2) → 𝑦 = (𝑥! − 𝑥)(𝑥 − 2) → 𝑦 = 𝑥" − 3𝑥! + 2𝑥

𝑦9 = (2𝑥 − 1)(𝑥 − 2) + (𝑥! − 𝑥)(1) → 𝑦9 = 2𝑥! − 4𝑥 − 𝑥 + 2 + 𝑥! − 𝑥

𝑦9 = 3𝑥! − 6𝑥 + 2

Tenemos que igualar ahora la derivada a cero para poder hallar los puntos de los

posibles máximos o mínimos:

𝑦9 = 0 → 3𝑥! − 6𝑥 + 2 = 0 → 𝑥 =

⎩⎪⎨

⎪⎧3 + √3

33 − √33

Vamos a calcular la segunda derivada para comprobar cada punto si es un máximo o un

mínimo:

𝑦99 = 6𝑥 − 6

𝑓′′ P3 + √33 Q > 0 → 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜

𝑓′′ P3 − √33 Q < 0 → 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜

Con esta información podemos hacer una representación de la función aproximada:

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Como puedes comprobar, vamos a tener dos áreas. Una que se encuentra por encima

del eje OX que esta definida desde 𝑥 = 0; ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎𝑥 = 1 y otra función que esta por

debajo del eje OX que esta definida desde 𝑥 = 1; ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎𝑥 = 2

! 𝑓(𝑥) − 0𝑑𝑥 +)

%! 0 − 𝑓(𝑥)!

)𝑑𝑥

! 𝑥(𝑥 − 1)(𝑥 − 2)dx)

%+! −[𝑥(𝑥 − 1)(𝑥 − 2)]

!

)𝑑𝑥

! 𝑥" − 3𝑥! + 2𝑥)

%𝑑𝑥 +! −𝑥" + 3𝑥! − 2𝑥

!

)𝑑𝑥 =

g𝑥*

4 − 3𝑥"

3 + 𝑥!O%

)

+ g−𝑥*

4 + 3𝑥"

3 − 𝑥!O)

!

=

14 +

14 =

12𝑢

!

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Ejercicio 9.- Representar gráficamente el recinto plano limitado por la recta 𝑥 − 𝑦 = 1

y por la curva de ecuación 𝑦 = √𝑥 − 1. Calcular su área.

Recuerda que para representar una ecuación de este tipo 𝑦 = √𝑥 − 1 tenemos que calcular el dominio:

𝑥 − 1 ≥ 0 → 𝑥 ≥ 1

𝐷𝑜𝑚𝑦 = [1,∞)

Ahora solamente debemos de hacer una tabla de valores, sabiendo cual es el dominio:

𝑥 𝑦 1 0 5 2 10 3

Para representar la otra función 𝑥 − 𝑦 = 1 → 𝑦 = 𝑥 − 1 tenemos que hacer una tabla de valores y ya estaría hecha la representación:

𝑥 𝑦 1 0 5 4 10 9

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Ahora debemos de calcular los puntos entre los que estará definida la integral, para eso

debemos de igualar las dos funciones y resolver el sistema:

�𝑦 = √𝑥 − 1𝑦 = 𝑥 − 1

→ √𝑥 − 1 = 𝑥 − 1 → 𝑥 − 1 = (𝑥 − 1)! →

𝑥 − 1 = 𝑥! − 2𝑥 + 1 → 𝑥! − 3𝑥 + 2 = 0 → 𝑥 = �12

! √𝑥 − 1)

%∙ (𝑥 − 1)𝑑𝑥 = ! (𝑥 − 1)

)! ∙ (𝑥 − 1)𝑑𝑥

)

%= ! (𝑥 − 1)

"!𝑑𝑥

)

%=

X(𝑥 − 1)

:!

52

Y

%

)

= Z(1 − 1)

:!

52

[ − Z(0 − 1)

:!

52

[ =25𝑢

!

Ejercicio 10.- Calcular el área del triangulo de vértices 𝐴(3,0), 𝐵(6,3), 𝐶(8,0)

Para realizar este ejercicio debemos de representar los puntos sobre los ejes y unir

dichos puntos para crear el triángulo.

Cuando ya tienes la representación

hecha, tienes que fijarte en lo siguiente:

El área que representa el triángulo por

debajo siempre esta definida la misma

función ( 𝑦 = 0) . Pero por encima,

primero tenemos la recta que une los

puntos A y B y después la recta que une

los puntos B y C.

Como ya te estarás dando cuenta, debemos de calcular las dos rectas 𝐴𝐵𝑦𝐵𝐶:

Recta AB:

𝐴𝐵¥¥¥¥¥⃗ = (3,3) → 𝑚 =33 = 1

Sabiendo la pendiente, y recordando que la ecuación de una recta tiene esta estructura:

𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛

Calculamos el valor de 𝑛 sustituyendo uno de los dos puntos en la ecuación, es decir,

𝑦 = 𝑥 + 𝑛 → 𝐴(3,0) → 0 = 3 + 𝑛 → 𝑛 = −3

La ecuación: 𝑦 = 𝑥 − 3

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Hacemos el mismo procedimiento con los puntos B y C:

𝐵𝐶¥¥¥¥¥⃗ = (2, −3) → 𝑚 =−32

Sabiendo la pendiente, y recordando que la ecuación de una recta tiene esta estructura:

𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛

Calculamos el valor de 𝑛 sustituyendo uno de los dos puntos en la ecuación, es decir,

𝑦 = −32𝑥 + 𝑛 → 𝐴(8,0) → 0 = −

32 (8) + 𝑛 → 𝑛 = 12

La ecuación: 𝑦 = − "!𝑥 + 12

Vamos ahora a calcular las integrales definidas, una de 𝑥 = 3𝑎𝑥 = 6 y la otra integral

de 𝑥 = 6𝑎𝑥 = 8.

! 𝑥 − 3𝑑𝑥 +! −32𝑥 + 12𝑑𝑥

;

<

<

"

g𝑥!

2 − 3𝑥O"

<

+ g−3𝑥!

4 + 12𝑥O<

;

=92 + 3 =

152 𝑢!

Ejercicio 11.- Hallar el área del recinto plano y limitado por la parábola 𝑦 = 4𝑥 − 𝑥! y las tangentes a la curva en los puntos de intersección con el eje OX.

Lo primero que haremos será calcular los puntos de corte de la función con el eje OX, ya

que en esos puntos será donde debamos de calcular las rectas tangentes para

posteriormente realizar el calculo del área:

Puntos de corte eje 𝑂𝑋(𝑦 = 0) → 0 = 4𝑥 − 𝑥! → 0 = 𝑥(4 − 𝑥) → 𝑥 = �04

Ahora tenemos que realizar el calculo de las rectas tangentes, tal y como hemos

aprendido en temas anteriores, puedes encontrar el esquema en la pagina web de la

academia c2academia.com

𝑒𝑛𝑥 = 0 →

𝑦 = 𝑓(0) + 𝑓9(0)(𝑥 − 0) →

𝑦 = 4𝑥

𝑒𝑛𝑥 = 4 →

𝑦 = 𝑓(4) + 𝑓9(4)(𝑥 − 4) →

𝑦 = −4𝑥 + 16

Ahora hacemos la representación de las

tres funciones:

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Date cuenta ahora de lo siguiente; por encima del área que encierran las tres funciones

tenemos dos funciones, y por debajo siempre tenemos una única función:

Por tanto, vamos a tener que diferenciar dos integrales: una de 𝑥 = 0𝑎𝑥 = 2 y otra

integral de 𝑥 = 2𝑎𝑥 = 4

! 4𝑥 −!

%(4𝑥 − 𝑥!)𝑑𝑥 +! −4𝑥 + 16 − (

*

!4𝑥 − 𝑥!)𝑑𝑥

! 𝑥!𝑑𝑥!

%+! 𝑥! − 8𝑥 + 16

*

!𝑑𝑥

= g𝑥"

3 O%

!

+ g𝑥"

3 − 4𝑥! + 16𝑥O!

*

=83 +

83 =

163 𝑢!

Ejercicio 12.- Calcula el área encerrada por la curva 𝑦 = 𝑥(6 − 𝑥) y la recta de ecuación 𝑦 = 𝑥

Cuando el enunciado no nos diga que debemos de representar las gráficas podemos realizar el ejercicio interpretando y sabiendo como se comportan las funciones:

𝑦 = 6𝑥 − 𝑥!

Esta función es una parábola en la que las ramas van hacia abajo ya que el signo del monomio 𝑥! es negativo, por lo tanto, esta función a la hora de realizar el calculo del área actuara como función que va por encima (tapa).

Por tanto, la recta actuara como función que va por debajo:

Para saber entre que dos valores esta definida la integral, debemos de igualar las dos funciones:

�𝑦 = 6𝑥 − 𝑥!𝑦 = 𝑥 → 6𝑥 − 𝑥! = 𝑥 → 5𝑥 − 𝑥! = 0 → �𝑥 = 0

𝑥 = 5

Ahora que ya sabemos entre que dos valores esta definida la integral, y también sabemos que función va por encima y cual por debajo, entonces;

! 6𝑥 − 𝑥! − 𝑥:

%𝑑𝑥 = ! 5𝑥 − 𝑥!

:

%𝑑𝑥 = g

5𝑥!

2 −𝑥"

3 O%

:

=

P5(5)!

2 −(5)"

3 Q − P5(0)!

2 −(0)"

3 Q =1252 −

1253 =

375 − 2506 =

1256 𝑢!

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Ejercicio 13.- Calcula el área que encierra la siguiente curva y la recta:

𝑦! = 𝑥; 𝑟-. 𝐴(1, −1)𝐵(4,2)

Lo primero que podemos hacer es crear la recta que pasa por los puntos A y B:

𝐴𝐵¥¥¥¥¥⃗ = (3,3) → 𝑚 =33 = 1

Sabiendo que la pendiente es tres y que la expresión de una recta es: 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛

𝑦 = 𝑥 + 𝑛 → 𝐴(1,−1) → −1 = 1 + 𝑛 → 𝑛 = −2

Por tanto,

𝑦 = 𝑥 − 2

Ahora vamos a representar la curva con la que estamos trabajando:

𝑦! = 𝑥 → 𝑦 = ±√𝑥

Lo primero que debemos de hacer para representar esta función es, calcular el dominio.

𝑥 ≥ 0 → 𝐷𝑜𝑚𝑦 = [0,∞)

Por lo tanto, lo último que debemos de hacer es crear una tabla de valores.

𝑥 𝑦

4 ±2

9 ±3

16 ±4

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Como puedes comprobar, vamos a tener que calcular dos integrales definidas, ya que

por debajo del área que encierran las funciones tenemos dos funciones diferentes;

primero la azul y después la verde.

Para saber los puntos entre los que estará definida cada integral debemos de igualar las

funciones:

� 𝑦 = √𝑥𝑦 = 𝑥 − 2 →√𝑥 = 𝑥 − 2 → 𝑥 = (𝑥 − 2)! → 𝑥 = 𝑥! − 4𝑥 + 4 →

𝑥! − 5𝑥 + 4 = 0 → 𝑥 = �14

! √𝑥)

%𝑑𝑥 +! √𝑥 − (𝑥 − 2)

*

)𝑑𝑥 = X

𝑥" !=

32Y

%

)

+ X𝑥" !=

32

−𝑥!

2 + 2𝑥Y

)

*

=

g2√𝑥"

3 O%

)

+ g2√𝑥"

3 −𝑥!

2 + 2𝑥O)

*

=23 +

196 =

236 𝑢!

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Ejercicio 14.- JUNIO 2020 A4.- Dibujar la región encerrada por

𝑓(𝑥) = 𝑥! − 2𝑥 + 1𝑦𝑔(𝑥) = −𝑥! + 5, y calcular el área de dicha región.

Lo primero que debemos hacer es representar las dos funciones, al ser polinomios de segundo grado son muy sencillas de representar. Únicamente con calcular el máximo o mínimo de cada función y los puntos de corte con los ejes es mas que suficiente.

La representación de estas funciones es la siguiente:

Cuando ya tienes la representación de las curvas y tienes determinado el área, debemos de calcular entre que valores habrá que realizar la integral, para eso debemos de igualar las dos funciones:

�𝑦 = 𝑥! − 2𝑥 + 1𝑦 = −𝑥! + 5

→ 𝑥! − 2𝑥 + 1 = −𝑥! + 5 → 2𝑥! − 2𝑥 − 4 = 0 → � 𝑥 = 2𝑥 = −1

Recuerda que cuando vas a calcular un área que encierran dos funciones siempre es la integral de la función que va por encima menos la que va por debajo:

! (−𝑥! + 5) − (𝑥! − 2𝑥 + 1)!

#)𝑑𝑥

= ! −2𝑥! + 2𝑥 + 4𝑑𝑥 = g−2𝑥"

3 + 𝑥! + 4𝑥O#)

!

=!

#)

h−2(8)3 + 4 + 8i − g

−2(−1)3 + 1 − 4O =

−16 + 12 + 243 −

+2 + 3 − 123 = 9𝑢!

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Ejercicio 15.- JULIO 2020 A4.- Representar la región finita del plano limitada por la curva 𝑦 = 3 − 𝑥! y por la recta 𝑦 = 2𝑥.Calcular su área.

En este ejercicio lo primero que tenemos que hacer es representar las funciones que nos da el enunciado, por un lado, una función de primer grado que la representamos con una tabla de valores y la otra función, de segundo grado, que se representa calculando su máximo o mínimo y sus puntos de corte con los ejes.

Cuando ya tienes la representación y sabes cual es el área que debes de calcular, únicamente necesitas saber, entre que valores tenemos que calcular la integral, para eso hacemos un sistema con las dos funciones:

�𝑦 = 2𝑥

𝑦 = 3 − 𝑥! → 2𝑥 = 3 − 𝑥! → 𝑥! + 2𝑥 − 3 = 0 → �𝑥 = −3𝑥 = 1

! 3 − 𝑥! − 2𝑥𝑑𝑥 = g3𝑥 −𝑥"

3 − 𝑥!O#"

)

= h3 −13 − 1i − h−9 −

−273 − 9i =

323 𝑢

!)

#"