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Integrales por Sustitución Trigonométrica
Cuando calculamos áreas de un círculo o una elipse encontraremos integrales que tengan la forma
de:
Nota
Generalmente se traza el dibujo de un diagrama en donde aparezca un triángulo rectángulo,
colocando un que vamos a interpretar como uno de los ángulos de este triángulo. Para evaluar
la integral se colocan los datos recibidos en ella en los catetos/hipotenusa correspondientes, y es
allí en donde utilizamos las sustituciones trigonométricas, por medio de las identidades
trigonométricas para expresar de la manera que mejor convenga , , , etc.
Es parecido a utilizar el método de Sustitución, solo que aquí sustituimos con las identidades
trigonométricas.
Sustitución #1
despejar la x de la siguiente manera:
Sustitución #2
despejamos X de tal manera que y
Sustitución # 3
despejamos X y nos quedaría de la siguiente manera
y por lo tanto
entonces :
Ejemplo # 1
Utilizamos nuestro triangulo para obtener función trigonométrica:
Despejamos luego le sacamos su diferencial y nos quedaría de la siguiente manera:
Luego tenemos:
Despejamos nos queda asi:
Luego sustituimos nuestros datos en la integral y queda de la siguiente manera:
En esta parte se eliminan y y nos queda:
Como el es una constante lo podemos sacar de la integral, y utilizamos la identidad
trigonométrica
La integral de
Ya por ultimo sacamos de nuestro triangulo y el resultado final es:
Ejemplo # 2
Utilizamos nuestro triangulo para obtener nuestras funciones trigonométricas:
luego despejamos y le sacamos su diferencial:
Para intentamos buscar una función trigonométrica para que sea mas fácil sustituirla en
la integral, la que se va utilizar seria :
Ahora que tenemos nuestros datos lo podemos sustituir en la integral, y operamos:
Sabemos que la
Luego solo buscamos una función trigonométrica de nuestro triangulo y el resultado final es:
Ejemplo #3
Resuelva.
Como se puede notar esta función no tiene ninguna de las formas (a+x, a-x,x-a)
pero podemos complementar al cuadrado.
formamos el triangulo.
tenemos que:
Sustituyendo.
Resolvemos.
bucamos la funcion trigonometrica en el triangulo.
--Jorgetr 16:01 31 jul 2009 (UTC)
Ejemplo # 4
Demuestre
IMAGEN
derivamos.
elevamos al cuadrado.
Sustituios.
Simplificando
despejamos \Theta .
Sustituimos.
--Jorgetr 17:15 31 jul 2009 (UTC)
Ejemplo # 5
elevamos al Cubo
Sustituimos en la Integral
Integramos y nos queda
Sustituimos el Seno por Opuesto que es x y la hipotenusa. --Antonio Moran 19:04 31
jul 2009 (CST)tonymoran
Ejemplo # 6
--Antonio Moran 23:07 31 jul 2009 (CST)tonymoran
Ejemplo # 7
Derivamos esta ecuacion y nos queda....
Sustituimos nuestras funciones trigonometricas en la integral...
Integramos....
--Antonio Moran 13:02 16 ago 2009 (CST)tonymoran
Ejemplo # 8
Derivamos la ecuacion.....
Sustituimos las funciones trigonometricas en la Integral...
Eliminamos los Senos y las constantes...
Integramos...
--Antonio Moran 13:15 16 ago 2009 (CST)tonymoran
Ejemplo # 9
Derivamos la ecuacion...
Sustituimos las funciones trigonometricas en la Integral...
Hacemos esta integral por partes...
Aplicamos leyes de logaritmos y nos queda.....
Tomamos a C -ln(a) como una constate K....
--Antonio Moran 15:35 16 ago 2009 (CST)tonymoran
Ejemplo #10
Resuelva.
tenemos que nuestra
sustituimos
la primitiva
esto lo multiplicamos por
Ejemplo #11
Resuelva.
tenemos que nuestra
sustituimos
la primitiva
esto lo multiplicamos por
Ejemplo #12
Resuelva.
tenemos que nuestra
sustituimos
la primitiva
esto lo multiplicamos por
obtenemos de resultado que
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