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Intentos de diálogo entre TOP y LOG Levantamientos Inquietudes
Cubrimientos, levantamientos y lógica mat.
Andrés Villaveces - Universidad Nacional de Colombia - Bogotá
Encuentro de Topología Carlos Ruiz - Universidad Nacional -
Bogotá - Septiembre de 2017
Intentos de diálogo entre TOP y LOG Levantamientos Inquietudes
Contents
Intentos de diálogo entre TOP y LOG
Levantamientos
f i gEjemplos en topología y álgebra
Urysohn, Tietze, reales, complejos simpliciales
Inquietudes
Negación polarizada
Ergosistemas
Intentos de diálogo entre TOP y LOG Levantamientos Inquietudes
“... maquinaba y escribía unos esquemas de pensamientoincreíbles, sencillos y minimalistas, que conectaban todas lasideas que transmitía en clase...”
Rafael Méndez, sobre el profesor Carlos Ruiz
“... exponer y escuchar.De exponer: resultados e inquietudes. Plantear
problemas...De escuchar: ... neutralizar... la soledad.... evitar la tentación de dejar en la reserva resultados
porque nos parezcan muy elementales o de exponerlos con elúnico objeto de impresionar al auditorio...”
Carlos Ruiz, sobre estos Encuentros de Topología
Intentos de diálogo entre TOP y LOG Levantamientos Inquietudes
“... maquinaba y escribía unos esquemas de pensamientoincreíbles, sencillos y minimalistas, que conectaban todas lasideas que transmitía en clase...”
Rafael Méndez, sobre el profesor Carlos Ruiz
“... exponer y escuchar.De exponer: resultados e inquietudes. Plantear
problemas...De escuchar: ... neutralizar... la soledad.... evitar la tentación de dejar en la reserva resultados
porque nos parezcan muy elementales o de exponerlos con elúnico objeto de impresionar al auditorio...”
Carlos Ruiz, sobre estos Encuentros de Topología
Intentos de diálogo entre TOP y LOG Levantamientos Inquietudes
Medianoche en San Petersburgo
Estas notas fueron inspiradas por varias conversaciones con Misha
Gavrilovich en el verano de 2015. Lo que sigue está (en un 85%)
basado en The unreasonable power of the lifting property inelementary mathematics.
Intentos de diálogo entre TOP y LOG Levantamientos Inquietudes
Algunos caminos anteriores
I Problema: gran parte de la lógica es demasiado “discreta” para
la topología.
I Lógica (segundo orden) topológica de Flum y Ziegler: un
camino clásico que no ha llegado muy lejos.
I Lógicas de haces/continuas/topos - Ellerman, Macintyre,
Lawvere, Caicedo... énfasis en propiedades de continuidad
lógica
I Zilber: control modelo-teórico de estructuras analíticas como
(C,+, ·, et) o invariantes modulares... cierta interacción
topológica implícita (Zariski)
I Gavrilovich: cubiertas, categoricidad como extendibilidad de
caminos en topología algebraica
I Hoy: algo nuevo, también debido a Gavrilovich - ¡en cierto
sentido más “básico” que todo lo anterior!
Intentos de diálogo entre TOP y LOG Levantamientos Inquietudes
Algunos caminos anteriores
I Problema: gran parte de la lógica es demasiado “discreta” para
la topología.
I Lógica (segundo orden) topológica de Flum y Ziegler: un
camino clásico que no ha llegado muy lejos.
I Lógicas de haces/continuas/topos - Ellerman, Macintyre,
Lawvere, Caicedo... énfasis en propiedades de continuidad
lógica
I Zilber: control modelo-teórico de estructuras analíticas como
(C,+, ·, et) o invariantes modulares... cierta interacción
topológica implícita (Zariski)
I Gavrilovich: cubiertas, categoricidad como extendibilidad de
caminos en topología algebraica
I Hoy: algo nuevo, también debido a Gavrilovich - ¡en cierto
sentido más “básico” que todo lo anterior!
Intentos de diálogo entre TOP y LOG Levantamientos Inquietudes
Algunos caminos anteriores
I Problema: gran parte de la lógica es demasiado “discreta” para
la topología.
I Lógica (segundo orden) topológica de Flum y Ziegler: un
camino clásico que no ha llegado muy lejos.
I Lógicas de haces/continuas/topos - Ellerman, Macintyre,
Lawvere, Caicedo... énfasis en propiedades de continuidad
lógica
I Zilber: control modelo-teórico de estructuras analíticas como
(C,+, ·, et) o invariantes modulares... cierta interacción
topológica implícita (Zariski)
I Gavrilovich: cubiertas, categoricidad como extendibilidad de
caminos en topología algebraica
I Hoy: algo nuevo, también debido a Gavrilovich - ¡en cierto
sentido más “básico” que todo lo anterior!
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Algunos caminos anteriores
I Problema: gran parte de la lógica es demasiado “discreta” para
la topología.
I Lógica (segundo orden) topológica de Flum y Ziegler: un
camino clásico que no ha llegado muy lejos.
I Lógicas de haces/continuas/topos - Ellerman, Macintyre,
Lawvere, Caicedo... énfasis en propiedades de continuidad
lógica
I Zilber: control modelo-teórico de estructuras analíticas como
(C,+, ·, et) o invariantes modulares... cierta interacción
topológica implícita (Zariski)
I Gavrilovich: cubiertas, categoricidad como extendibilidad de
caminos en topología algebraica
I Hoy: algo nuevo, también debido a Gavrilovich - ¡en cierto
sentido más “básico” que todo lo anterior!
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Algunos caminos anteriores
I Problema: gran parte de la lógica es demasiado “discreta” para
la topología.
I Lógica (segundo orden) topológica de Flum y Ziegler: un
camino clásico que no ha llegado muy lejos.
I Lógicas de haces/continuas/topos - Ellerman, Macintyre,
Lawvere, Caicedo... énfasis en propiedades de continuidad
lógica
I Zilber: control modelo-teórico de estructuras analíticas como
(C,+, ·, et) o invariantes modulares... cierta interacción
topológica implícita (Zariski)
I Gavrilovich: cubiertas, categoricidad como extendibilidad de
caminos en topología algebraica
I Hoy: algo nuevo, también debido a Gavrilovich - ¡en cierto
sentido más “básico” que todo lo anterior!
Intentos de diálogo entre TOP y LOG Levantamientos Inquietudes
Algunos caminos anteriores
I Problema: gran parte de la lógica es demasiado “discreta” para
la topología.
I Lógica (segundo orden) topológica de Flum y Ziegler: un
camino clásico que no ha llegado muy lejos.
I Lógicas de haces/continuas/topos - Ellerman, Macintyre,
Lawvere, Caicedo... énfasis en propiedades de continuidad
lógica
I Zilber: control modelo-teórico de estructuras analíticas como
(C,+, ·, et) o invariantes modulares... cierta interacción
topológica implícita (Zariski)
I Gavrilovich: cubiertas, categoricidad como extendibilidad de
caminos en topología algebraica
I Hoy: algo nuevo, también debido a Gavrilovich - ¡en cierto
sentido más “básico” que todo lo anterior!
Intentos de diálogo entre TOP y LOG Levantamientos Inquietudes
TOP/LOG
Recubrimientos Vecindades
Intentos de diálogo entre TOP y LOG Levantamientos Inquietudes
TOP/LOG
��Recubrimientos
Vecindades
Intentos de diálogo entre TOP y LOG Levantamientos Inquietudes
TOP/LOG
��Recubrimientos
//Vecindades
oo
Intentos de diálogo entre TOP y LOG Levantamientos Inquietudes
TOP/LOG
�� %%
$$?
Recubrimientos//Vecindades
oo
OO
Intentos de diálogo entre TOP y LOG Levantamientos Inquietudes
TOP/LOG
�� &&
&&Levantamientos
Recubrimientos//Vecindades
oo
OO
Intentos de diálogo entre TOP y LOG Levantamientos Inquietudes
f i g
Intentos de diálogo entre TOP y LOG Levantamientos Inquietudes
Propiedad de levantamiento - la definición básica
f i g
“f tiene la propiedad de levantamiento a izquierda con respecto a g”
Dadas f : A→ B, g : X → Y ,
si para todo i : A→ X , j : B→ Y tales
que gi = jf (i, j hacen que el cuadrado conmute) existe j′ : B→ X tal
que j′f = i y gj′ = j (una diagonal ascendente que corta el diagrama
de manera conmutativa)
Intentos de diálogo entre TOP y LOG Levantamientos Inquietudes
Propiedad de levantamiento - la definición básica
f i g
“f tiene la propiedad de levantamiento a izquierda con respecto a g”
Dadas f : A→ B, g : X → Y ,
si para todo i : A→ X , j : B→ Y tales
que gi = jf (i, j hacen que el cuadrado conmute) existe j′ : B→ X tal
que j′f = i y gj′ = j (una diagonal ascendente que corta el diagrama
de manera conmutativa)
A
f
��
X
g
��B Y
Intentos de diálogo entre TOP y LOG Levantamientos Inquietudes
Propiedad de levantamiento - la definición básica
f i g
“f tiene la propiedad de levantamiento a izquierda con respecto a g”
Dadas f : A→ B, g : X → Y , si para todo i : A→ X , j : B→ Y tales
que gi = jf (i, j hacen que el cuadrado conmute)
existe j′ : B→ X tal
que j′f = i y gj′ = j (una diagonal ascendente que corta el diagrama
de manera conmutativa)
A
f
��
∀i // X
g
��B ∀j
// Y
Intentos de diálogo entre TOP y LOG Levantamientos Inquietudes
Propiedad de levantamiento - la definición básica
f i g
“f tiene la propiedad de levantamiento a izquierda con respecto a g”
Dadas f : A→ B, g : X → Y , si para todo i : A→ X , j : B→ Y tales
que gi = jf (i, j hacen que el cuadrado conmute) existe j′ : B→ X tal
que j′f = i y gj′ = j (una diagonal ascendente que corta el diagrama
de manera conmutativa)
A
f
��
∀i // X
g
��B ∀j
//
j′
??
Y
Intentos de diálogo entre TOP y LOG Levantamientos Inquietudes
Dos operadores en propiedades de flechas
Considere una propiedad C de �echas de una categoría y considere
las clases (propiedades) derivadas siguientes:
I C` := {f | ∀g ∈ C(f i g)},I Cr := {g | ∀f ∈ C(f i g)}.
Podemos incluso iterar:
C`r := (C`)r ,Cr` := (Cr)`,Cr`r = (Cr`)r , . . .
Intentos de diálogo entre TOP y LOG Levantamientos Inquietudes
Dos operadores en propiedades de flechas
Considere una propiedad C de �echas de una categoría y considere
las clases (propiedades) derivadas siguientes:
I C` := {f | ∀g ∈ C(f i g)},I Cr := {g | ∀f ∈ C(f i g)}.
Podemos incluso iterar:
C`r := (C`)r ,Cr` := (Cr)`,Cr`r = (Cr`)r , . . .
Intentos de diálogo entre TOP y LOG Levantamientos Inquietudes
Observación de Gavrilovich
“Muchas propiedades elementales (en topología, enálgebra, ...) se pueden obtener tomando repetidamenteortogonales (levantamientos) a izquierda, derechaC`,Cr ,C`r ,C``, ... si se inicia de una clase simple demor�smos C - muchas veces un único contraejemplo ala propiedad que se quiere atrapar.”
I ¿Qué diablos es esto??
I ¿A qué se re�ere Gavr. con propiedad elemental?
I ¿Iniciar... de un contraejemplo?
Intentos de diálogo entre TOP y LOG Levantamientos Inquietudes
Observación de Gavrilovich
“Muchas propiedades elementales (en topología, enálgebra, ...) se pueden obtener tomando repetidamenteortogonales (levantamientos) a izquierda, derechaC`,Cr ,C`r ,C``, ... si se inicia de una clase simple demor�smos C - muchas veces un único contraejemplo ala propiedad que se quiere atrapar.”
I ¿Qué diablos es esto??
I ¿A qué se re�ere Gavr. con propiedad elemental?
I ¿Iniciar... de un contraejemplo?
Intentos de diálogo entre TOP y LOG Levantamientos Inquietudes
Observación de Gavrilovich
“Muchas propiedades elementales (en topología, enálgebra, ...) se pueden obtener tomando repetidamenteortogonales (levantamientos) a izquierda, derechaC`,Cr ,C`r ,C``, ... si se inicia de una clase simple demor�smos C - muchas veces un único contraejemplo ala propiedad que se quiere atrapar.”
I ¿Qué diablos es esto??
I ¿A qué se re�ere Gavr. con propiedad elemental?
I ¿Iniciar... de un contraejemplo?
Intentos de diálogo entre TOP y LOG Levantamientos Inquietudes
Observación de Gavrilovich
“Muchas propiedades elementales (en topología, enálgebra, ...) se pueden obtener tomando repetidamenteortogonales (levantamientos) a izquierda, derechaC`,Cr ,C`r ,C``, ... si se inicia de una clase simple demor�smos C - muchas veces un único contraejemplo ala propiedad que se quiere atrapar.”
I ¿Qué diablos es esto??
I ¿A qué se re�ere Gavr. con propiedad elemental?
I ¿Iniciar... de un contraejemplo?
Intentos de diálogo entre TOP y LOG Levantamientos Inquietudes
Un ejemplo básico
Sea C = {∅ −→ {•}} en CONJ o en TOP. Calculemos Cr:
∅
��
// X
∴(sobre)
��{•}
∀j//
j′>>
Y
(∅ → {•})i g ssi g es sobre: la función
j : B = {•} → Y elige UN punto de Y .
j′ : B = {•} → X se ve entonces obligada a escoger
una preimagen, pues gj′ = j; la otra condición
j′f = i : ∅ → {•} se cumple trivialmente.
Así, (∅ → {•})r es la clase de las sobreyectivas.
Así,
I Cres entonces la clase de las funciones sobre,
I Crres la clase de los subconjuntos,
I Cr`es la clase de las inyecciones...
Intentos de diálogo entre TOP y LOG Levantamientos Inquietudes
Un ejemplo básico
Sea C = {∅ −→ {•}} en CONJ o en TOP. Calculemos Cr:
∅
��
// X
∴(sobre)
��{•}
∀j//
j′>>
Y
(∅ → {•})i g ssi g es sobre: la función
j : B = {•} → Y elige UN punto de Y .
j′ : B = {•} → X se ve entonces obligada a escoger
una preimagen, pues gj′ = j; la otra condición
j′f = i : ∅ → {•} se cumple trivialmente.
Así, (∅ → {•})r es la clase de las sobreyectivas.
Así,
I Cres entonces la clase de las funciones sobre,
I Crres la clase de los subconjuntos,
I Cr`es la clase de las inyecciones...
Intentos de diálogo entre TOP y LOG Levantamientos Inquietudes
Un ejemplo básico
Sea C = {∅ −→ {•}} en CONJ o en TOP. Calculemos Cr:
∅
��
// X
∴(sobre)
��{•}
∀j//
j′>>
Y
(∅ → {•})i g ssi g es sobre: la función
j : B = {•} → Y elige UN punto de Y .
j′ : B = {•} → X se ve entonces obligada a escoger
una preimagen, pues gj′ = j; la otra condición
j′f = i : ∅ → {•} se cumple trivialmente.
Así, (∅ → {•})r es la clase de las sobreyectivas.
Así,
I Cres entonces la clase de las funciones sobre,
I Crres la clase de los subconjuntos,
I Cr`es la clase de las inyecciones...
Intentos de diálogo entre TOP y LOG Levantamientos Inquietudes
Más ejemplos básicos
De manera similar, para D = {{•, •} −→ {•}},
{•, •}
��
// X
∴(1-1)
��{•}
∀//
==
Y
Dres la clase de las inyecciones, ...
Intentos de diálogo entre TOP y LOG Levantamientos Inquietudes
Más ejemplos
Antes de enfocar de nuevo, tomemos vuelo y veamos una primera
lista de ejemplos (¡ejercicios!):
I (∅ → {•})r , (0→ Z)r son las clases de epis en CONJ y en
GRUP.
I Un módulo P es proyectivo ssi 0→ P está en (0→ R)r` y un
módulo I es inyectivo ssi I → 0 está en (R→ 0)rr (en R-MOD).
I En GRUP, por ejemplo un grupo �nito H es un p-grupo ssi
H → 0 está en (Z/pZ)→ 0)rr , un grupo �nito es de orden
primo rel. con p ssi H → 0 está en (Z/pZ)→ 0)r , etc.
I En METR (con mor�smos UNIF CONT), un espacio métrico Xes completo ssi {1/n}n → {1/n}n ∪ {0}i X → {0} (con
métricas inducidas de R).
Intentos de diálogo entre TOP y LOG Levantamientos Inquietudes
Más ejemplos
Antes de enfocar de nuevo, tomemos vuelo y veamos una primera
lista de ejemplos (¡ejercicios!):
I (∅ → {•})r , (0→ Z)r son las clases de epis en CONJ y en
GRUP.
I Un módulo P es proyectivo ssi 0→ P está en (0→ R)r` y un
módulo I es inyectivo ssi I → 0 está en (R→ 0)rr (en R-MOD).
I En GRUP, por ejemplo un grupo �nito H es un p-grupo ssi
H → 0 está en (Z/pZ)→ 0)rr , un grupo �nito es de orden
primo rel. con p ssi H → 0 está en (Z/pZ)→ 0)r , etc.
I En METR (con mor�smos UNIF CONT), un espacio métrico Xes completo ssi {1/n}n → {1/n}n ∪ {0}i X → {0} (con
métricas inducidas de R).
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Más ejemplos
Antes de enfocar de nuevo, tomemos vuelo y veamos una primera
lista de ejemplos (¡ejercicios!):
I (∅ → {•})r , (0→ Z)r son las clases de epis en CONJ y en
GRUP.
I Un módulo P es proyectivo ssi 0→ P está en (0→ R)r` y un
módulo I es inyectivo ssi I → 0 está en (R→ 0)rr (en R-MOD).
I En GRUP, por ejemplo un grupo �nito H es un p-grupo ssi
H → 0 está en (Z/pZ)→ 0)rr , un grupo �nito es de orden
primo rel. con p ssi H → 0 está en (Z/pZ)→ 0)r , etc.
I En METR (con mor�smos UNIF CONT), un espacio métrico Xes completo ssi {1/n}n → {1/n}n ∪ {0}i X → {0} (con
métricas inducidas de R).
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Más ejemplos
Antes de enfocar de nuevo, tomemos vuelo y veamos una primera
lista de ejemplos (¡ejercicios!):
I (∅ → {•})r , (0→ Z)r son las clases de epis en CONJ y en
GRUP.
I Un módulo P es proyectivo ssi 0→ P está en (0→ R)r` y un
módulo I es inyectivo ssi I → 0 está en (R→ 0)rr (en R-MOD).
I En GRUP, por ejemplo un grupo �nito H es un p-grupo ssi
H → 0 está en (Z/pZ)→ 0)rr , un grupo �nito es de orden
primo rel. con p ssi H → 0 está en (Z/pZ)→ 0)r , etc.
I En METR (con mor�smos UNIF CONT), un espacio métrico Xes completo ssi {1/n}n → {1/n}n ∪ {0}i X → {0} (con
métricas inducidas de R).
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El caso de la topología general
Aunque estas ideas provienen realmente de la topología algebraica
“à la Quillen”, muchas ideas de topología básica se pueden expresar
en términos de i, C`, Cr
, etc.
La lista de propiedades a continuación muestra de manera
interesante (creo) el poder de expresar propiedades interesantes a
partir de propiedades de levantamiento, más allá de las originales de
las model-categories.
Intentos de diálogo entre TOP y LOG Levantamientos Inquietudes
Ejemplos en TOP
I D es discreto ssi ∅ −→ D está en (∅ −→ {•})r`.
I D es antidiscreto ssi D −→ {•} está en ({a↔ b} −→ {a = b})`r
I K es conexo o vacío ssi K −→ {•} está en ({a, b} −→ {a = b})`
I K es totalmente disconexo y no vacío ssi K −→ {•} está en
({a, b} −→ {a = b})`r
I X es no vacío ssi X −→ {•} está en (∅ −→ {•})`
I X es vacío ssi X −→ {•} está en (∅ −→ {•})``
I X es T0 ssi X −→ {•} está en ({a↔ b} −→ {a = b})r
I X es T1 ssi X −→ {•} está en ({a↘ b} −→ {a = b})r
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Ejemplos en TOP
I D es discreto ssi ∅ −→ D está en (∅ −→ {•})r`.I D es antidiscreto ssi D −→ {•} está en ({a↔ b} −→ {a = b})`r
I K es conexo o vacío ssi K −→ {•} está en ({a, b} −→ {a = b})`
I K es totalmente disconexo y no vacío ssi K −→ {•} está en
({a, b} −→ {a = b})`r
I X es no vacío ssi X −→ {•} está en (∅ −→ {•})`
I X es vacío ssi X −→ {•} está en (∅ −→ {•})``
I X es T0 ssi X −→ {•} está en ({a↔ b} −→ {a = b})r
I X es T1 ssi X −→ {•} está en ({a↘ b} −→ {a = b})r
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Ejemplos en TOP
I D es discreto ssi ∅ −→ D está en (∅ −→ {•})r`.I D es antidiscreto ssi D −→ {•} está en ({a↔ b} −→ {a = b})`r
I K es conexo o vacío ssi K −→ {•} está en ({a, b} −→ {a = b})`
I K es totalmente disconexo y no vacío ssi K −→ {•} está en
({a, b} −→ {a = b})`r
I X es no vacío ssi X −→ {•} está en (∅ −→ {•})`
I X es vacío ssi X −→ {•} está en (∅ −→ {•})``
I X es T0 ssi X −→ {•} está en ({a↔ b} −→ {a = b})r
I X es T1 ssi X −→ {•} está en ({a↘ b} −→ {a = b})r
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Ejemplos en TOP
I D es discreto ssi ∅ −→ D está en (∅ −→ {•})r`.I D es antidiscreto ssi D −→ {•} está en ({a↔ b} −→ {a = b})`r
I K es conexo o vacío ssi K −→ {•} está en ({a, b} −→ {a = b})`
I K es totalmente disconexo y no vacío ssi K −→ {•} está en
({a, b} −→ {a = b})`r
I X es no vacío ssi X −→ {•} está en (∅ −→ {•})`
I X es vacío ssi X −→ {•} está en (∅ −→ {•})``
I X es T0 ssi X −→ {•} está en ({a↔ b} −→ {a = b})r
I X es T1 ssi X −→ {•} está en ({a↘ b} −→ {a = b})r
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Ejemplos en TOP
I D es discreto ssi ∅ −→ D está en (∅ −→ {•})r`.I D es antidiscreto ssi D −→ {•} está en ({a↔ b} −→ {a = b})`r
I K es conexo o vacío ssi K −→ {•} está en ({a, b} −→ {a = b})`
I K es totalmente disconexo y no vacío ssi K −→ {•} está en
({a, b} −→ {a = b})`r
I X es no vacío ssi X −→ {•} está en (∅ −→ {•})`
I X es vacío ssi X −→ {•} está en (∅ −→ {•})``
I X es T0 ssi X −→ {•} está en ({a↔ b} −→ {a = b})r
I X es T1 ssi X −→ {•} está en ({a↘ b} −→ {a = b})r
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Ejemplos en TOP
I D es discreto ssi ∅ −→ D está en (∅ −→ {•})r`.I D es antidiscreto ssi D −→ {•} está en ({a↔ b} −→ {a = b})`r
I K es conexo o vacío ssi K −→ {•} está en ({a, b} −→ {a = b})`
I K es totalmente disconexo y no vacío ssi K −→ {•} está en
({a, b} −→ {a = b})`r
I X es no vacío ssi X −→ {•} está en (∅ −→ {•})`
I X es vacío ssi X −→ {•} está en (∅ −→ {•})``
I X es T0 ssi X −→ {•} está en ({a↔ b} −→ {a = b})r
I X es T1 ssi X −→ {•} está en ({a↘ b} −→ {a = b})r
Intentos de diálogo entre TOP y LOG Levantamientos Inquietudes
Ejemplos en TOP
I D es discreto ssi ∅ −→ D está en (∅ −→ {•})r`.I D es antidiscreto ssi D −→ {•} está en ({a↔ b} −→ {a = b})`r
I K es conexo o vacío ssi K −→ {•} está en ({a, b} −→ {a = b})`
I K es totalmente disconexo y no vacío ssi K −→ {•} está en
({a, b} −→ {a = b})`r
I X es no vacío ssi X −→ {•} está en (∅ −→ {•})`
I X es vacío ssi X −→ {•} está en (∅ −→ {•})``
I X es T0 ssi X −→ {•} está en ({a↔ b} −→ {a = b})r
I X es T1 ssi X −→ {•} está en ({a↘ b} −→ {a = b})r
Intentos de diálogo entre TOP y LOG Levantamientos Inquietudes
Ejemplos en TOP
I D es discreto ssi ∅ −→ D está en (∅ −→ {•})r`.I D es antidiscreto ssi D −→ {•} está en ({a↔ b} −→ {a = b})`r
I K es conexo o vacío ssi K −→ {•} está en ({a, b} −→ {a = b})`
I K es totalmente disconexo y no vacío ssi K −→ {•} está en
({a, b} −→ {a = b})`r
I X es no vacío ssi X −→ {•} está en (∅ −→ {•})`
I X es vacío ssi X −→ {•} está en (∅ −→ {•})``
I X es T0 ssi X −→ {•} está en ({a↔ b} −→ {a = b})r
I X es T1 ssi X −→ {•} está en ({a↘ b} −→ {a = b})r
Intentos de diálogo entre TOP y LOG Levantamientos Inquietudes
Más propiedades interesantes en TOP
I ({b} −→ {a↘ b})` es la clase de funciones con imagen densa,
I (∅ −→ {•})``` es la clase de funciones A −→ B que rompen,
I ({a↘ b} −→ {a = b})` es la clase de funciones X :−→ Y tales
que la topología de X es inducida por Y ,
I Las �bras de ({a↔ b} −→ {a = b})r son los espacios T0,
I Las �bras de ({a↘ b} −→ {a = b})r son los espacios T0.
Menos directo (usando teoremas de Taimanov y Engelking), un
espacio de Hausdor� K es compacto ssi K −→ {•} está en{{a↔ b} → {a = b}, {a↘ b} → {a = b},
{b} → {a↘ b}, {a↙ o↘ b} → {a = o = b}}`r
Intentos de diálogo entre TOP y LOG Levantamientos Inquietudes
Más propiedades interesantes en TOP
I ({b} −→ {a↘ b})` es la clase de funciones con imagen densa,
I (∅ −→ {•})``` es la clase de funciones A −→ B que rompen,
I ({a↘ b} −→ {a = b})` es la clase de funciones X :−→ Y tales
que la topología de X es inducida por Y ,
I Las �bras de ({a↔ b} −→ {a = b})r son los espacios T0,
I Las �bras de ({a↘ b} −→ {a = b})r son los espacios T0.
Menos directo (usando teoremas de Taimanov y Engelking), un
espacio de Hausdor� K es compacto ssi K −→ {•} está en{{a↔ b} → {a = b}, {a↘ b} → {a = b},
{b} → {a↘ b}, {a↙ o↘ b} → {a = o = b}}`r
Intentos de diálogo entre TOP y LOG Levantamientos Inquietudes
Más propiedades interesantes en TOP
I ({b} −→ {a↘ b})` es la clase de funciones con imagen densa,
I (∅ −→ {•})``` es la clase de funciones A −→ B que rompen,
I ({a↘ b} −→ {a = b})` es la clase de funciones X :−→ Y tales
que la topología de X es inducida por Y ,
I Las �bras de ({a↔ b} −→ {a = b})r son los espacios T0,
I Las �bras de ({a↘ b} −→ {a = b})r son los espacios T0.
Menos directo (usando teoremas de Taimanov y Engelking), un
espacio de Hausdor� K es compacto ssi K −→ {•} está en{{a↔ b} → {a = b}, {a↘ b} → {a = b},
{b} → {a↘ b}, {a↙ o↘ b} → {a = o = b}}`r
Intentos de diálogo entre TOP y LOG Levantamientos Inquietudes
Más propiedades interesantes en TOP
I ({b} −→ {a↘ b})` es la clase de funciones con imagen densa,
I (∅ −→ {•})``` es la clase de funciones A −→ B que rompen,
I ({a↘ b} −→ {a = b})` es la clase de funciones X :−→ Y tales
que la topología de X es inducida por Y ,
I Las �bras de ({a↔ b} −→ {a = b})r son los espacios T0,
I Las �bras de ({a↘ b} −→ {a = b})r son los espacios T0.
Menos directo (usando teoremas de Taimanov y Engelking), un
espacio de Hausdor� K es compacto ssi K −→ {•} está en{{a↔ b} → {a = b}, {a↘ b} → {a = b},
{b} → {a↘ b}, {a↙ o↘ b} → {a = o = b}}`r
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Más propiedades interesantes en TOP
I ({b} −→ {a↘ b})` es la clase de funciones con imagen densa,
I (∅ −→ {•})``` es la clase de funciones A −→ B que rompen,
I ({a↘ b} −→ {a = b})` es la clase de funciones X :−→ Y tales
que la topología de X es inducida por Y ,
I Las �bras de ({a↔ b} −→ {a = b})r son los espacios T0,
I Las �bras de ({a↘ b} −→ {a = b})r son los espacios T0.
Menos directo (usando teoremas de Taimanov y Engelking), un
espacio de Hausdor� K es compacto ssi K −→ {•} está en{{a↔ b} → {a = b}, {a↘ b} → {a = b},
{b} → {a↘ b}, {a↙ o↘ b} → {a = o = b}}`r
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Más propiedades interesantes en TOP
I ({b} −→ {a↘ b})` es la clase de funciones con imagen densa,
I (∅ −→ {•})``` es la clase de funciones A −→ B que rompen,
I ({a↘ b} −→ {a = b})` es la clase de funciones X :−→ Y tales
que la topología de X es inducida por Y ,
I Las �bras de ({a↔ b} −→ {a = b})r son los espacios T0,
I Las �bras de ({a↘ b} −→ {a = b})r son los espacios T0.
Menos directo (usando teoremas de Taimanov y Engelking), un
espacio de Hausdor� K es compacto ssi K −→ {•} está en{{a↔ b} → {a = b}, {a↘ b} → {a = b},
{b} → {a↘ b}, {a↙ o↘ b} → {a = o = b}}`r
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Más allá...
Otros temas naturalmente expresables de manera corta y sencilla
usando i incluyen el Lema de Urysohn, el teorema de extensión de
Tietze, “caracterizaciones” de la recta real, por ejemplo
({a↙ U ↘ x ↙ V ↘ b} −→ {a↙ U = x = V ↘ b})`r .
También explora Gavrilovich la tensión entre categorías simpliciales
en topología algebraica y nociones métricas - por ejemplo
un espacio métrico M es completo ssi vale en sTOP
E(Ncof −→ Ncof ∪ {∞})i s(M −→ pt).
Intentos de diálogo entre TOP y LOG Levantamientos Inquietudes
Más allá...
Otros temas naturalmente expresables de manera corta y sencilla
usando i incluyen el Lema de Urysohn, el teorema de extensión de
Tietze, “caracterizaciones” de la recta real, por ejemplo
({a↙ U ↘ x ↙ V ↘ b} −→ {a↙ U = x = V ↘ b})`r .
También explora Gavrilovich la tensión entre categorías simpliciales
en topología algebraica y nociones métricas - por ejemplo
un espacio métrico M es completo ssi vale en sTOP
E(Ncof −→ Ncof ∪ {∞})i s(M −→ pt).
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Más allá...
Otros temas naturalmente expresables de manera corta y sencilla
usando i incluyen el Lema de Urysohn, el teorema de extensión de
Tietze, “caracterizaciones” de la recta real, por ejemplo
({a↙ U ↘ x ↙ V ↘ b} −→ {a↙ U = x = V ↘ b})`r .
También explora Gavrilovich la tensión entre categorías simpliciales
en topología algebraica y nociones métricas - por ejemplo
un espacio métrico M es completo ssi vale en sTOP
E(Ncof −→ Ncof ∪ {∞})i s(M −→ pt).
Intentos de diálogo entre TOP y LOG Levantamientos Inquietudes
Inqietudes
De alguna manera hablar con Gavrilovich durante esas noches
blancas de San Petersburgo y luego leer con cuidado algunas de sus
notas me hicieron pensar en tableros de Carlos Ruiz, de hace varias
décadas ya. A continuación indico algunas inquietudes - nada muy
cercano a lo que trabajo pero posiblemente ahí.
If you are a mathematician you ought to look ateverything around, including mathematics itself, from amathematical viewpoint. But to see something interesting,something new, something you had no preconception of, youhave to distance yourself from what you try to discern.
Misha Gromov
Intentos de diálogo entre TOP y LOG Levantamientos Inquietudes
Inqietudes
De alguna manera hablar con Gavrilovich durante esas noches
blancas de San Petersburgo y luego leer con cuidado algunas de sus
notas me hicieron pensar en tableros de Carlos Ruiz, de hace varias
décadas ya. A continuación indico algunas inquietudes - nada muy
cercano a lo que trabajo pero posiblemente ahí.
If you are a mathematician you ought to look ateverything around, including mathematics itself, from amathematical viewpoint. But to see something interesting,something new, something you had no preconception of, youhave to distance yourself from what you try to discern.
Misha Gromov
Intentos de diálogo entre TOP y LOG Levantamientos Inquietudes
Negación polarizada e iterada
¿Cuál es la lógica implícita? Una lógica que arranca con una
“negación” con comportamiento muy interesante - pero
¿cómo juega
con las lógicas de topos, de haces, de recubrimientos, las otras
lógicas sensibles a estructura topológica?
En biología, química hay muchas propiedades y varias lógicas
“armadas” a dedo. Algunas corresponden a nociones no muy lejanas
de conexidad, separación.
Intentos de diálogo entre TOP y LOG Levantamientos Inquietudes
Negación polarizada e iterada
¿Cuál es la lógica implícita? Una lógica que arranca con una
“negación” con comportamiento muy interesante - pero¿cómo juega
con las lógicas de topos, de haces, de recubrimientos, las otras
lógicas sensibles a estructura topológica?
En biología, química hay muchas propiedades y varias lógicas
“armadas” a dedo. Algunas corresponden a nociones no muy lejanas
de conexidad, separación.
Intentos de diálogo entre TOP y LOG Levantamientos Inquietudes
Teoría de modelos / teoría de conjuntos
I Las model-categories de Quillen han sido usadas para
re-demostrar un lema de cubrimiento de Shelah en teoría de
conjuntos (Gavrilovich, Hasson).
I La conversación de San Petersburgo surgió por una pregunta
concreta que me hizo Gavrilovich sobre �braciones asociadas a
“clases elementales abstractas dependientes” (trabajo en curso
con Shelah) y acciones de grupoides.
I ¿Lógica in�nitaria y partes “�nitísticas”?
Intentos de diálogo entre TOP y LOG Levantamientos Inquietudes
Ergosistemas - MG
Misha Gromov en [Memorandum Ergo] postula los ergosistemas
para entender procesos de aprendizaje en biología y describir el
surgimiento de comportamiento complejo en términos matemáticos.
Misha Gavrilovich sugiere que aquí hay ejemplos nuevos de
ergosistemas. Un ergosistema es un “motor” que produce
comportamiento interesante matemática o estructuralmente y que
después es “robado” o “incorporado ilícitamente” por un sistema
biológico para extraer comportamiento útil.
Las categorías “interesante” o “útil” aparecen en biología y en
�losofía pero no suelen aparecer de manera explícita en matemática.
Intentos de diálogo entre TOP y LOG Levantamientos Inquietudes
Ergo 2
Un “comportamiento” es entonces una interacción con un �ujo de
señales. El “motor” (ErgoSist) produce comportamiento “interesante”
sin preocuparse por usos posteriores. Interactúa con un �ujo de
señales - reconoce y selecciona (i) lo “interesante” (para él) y lo usa
para construir su estructura.
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Misha Gromov
Foto: María Clara Cortés
“Category/functor modulated structures
cannot be directly used by ergosystems
e.g. because the morphism sets between
even moderate objects become unlistable.
But the ideas of category theory show
that thre are certain (often non-obvious)
rules for generating proper concepts.
(Your ergobrain would not function if it
had followed the motto: “in my theory I
use whichever de�nitions I like”.)
Category theory provides a (rough so far)
hing on a possible nature of such rules...”
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