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FUNCIONES Y MODELOS Unidad 1: A.PR.11.2.2 Intercepto en y, valores máximos y mínimos en una parábola
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INTERCEPTO EN Y, VALOR MÁXIMO
Y VALOR MÍNIMO
UNIDAD IFUNCIONES Y TRANSFORMACIONES
A.PR.11.2.2
J. Pomales agosto 2010
¿Cuál es el grado de cada función?
f(x) = 2x
g(x) = x2 + x + 1
h(x) = x3 + x2 + x + 1
GRADO 1
GRADO 2
GRADO 3
¿Cómo es la forma de las gráficas de estas funciones?
Gráficas
f(x) = 2x
LINEAL
Gráficas
g(x) = x2 + x + 1
CUADRÁTICA
Gráficas
h(x) = x3 + x2 + x + 1
CÚBICA
INTERCEPTO EN Y
• Es el lugar donde la gráfica toca o corta el eje de y
• Es el valor de la función cuando la x = 0
• Veamos los interceptos en los ejemplos anteriores
¿Cómo calcular el intercepto en y?
INTERCEPTO EN Y
(0,0)
f(x) = 2x
Evaluamos
f(0)
f(0) = 2(0)
= 0
Por lo tanto el intercepto en y es (0,0)
Gráficas
(0,1)
g(x) = x2 + x + 1
Evaluamos
g(0)
g(0) = 02 + 0 + 1
= 1
Por lo tanto, el intercepto en y es (0,1)
Gráficas
h(x) = x3 + x2 + x + 1
Evaluamos
h(0)
h(0) = 03 + 02 + 0 + 1
= 1
Por lo tanto, el intercepto en y es (0,1)
(0,1)
Describe f(x) = - 2x2 + - 4x + 6
¿Dónde intersecan a los ejes?
¿Cómo se comporta la gráfica?
Datos de la función cuadrática
• Forma general:
f(x) = ax2 + bx + c ,
donde a ≠ 0
• Su gráfica es una curva en forma de U
• Se le conoce por el nombre de parábola
Datos de la función cuadrática
• Dependiendo del coeficiente de la variable cuadrada (a) será la forma en que abre la gráfica–Coeficiente (+) : U abre hacia
arriba, con un punto mínimo
–Coeficiente (–) : ∩ abre hacia abajo, con un punto máximo
Datos de la función cuadráticaf(x) = ax2 + bx + c , donde a ≠ 0
• El punto de intersección en la y de la parábola: el número c
• Eje de simetría: recta vertical que divide la gráfica en 2 partes iguales. Su ecuación es
• Esta ecuación me permite calcular los valores máximos o mínimos de la parábola
a
bx
2
¿Cómo calcular el valor máximo o mínimo en una
parábola?
¿Cómo calcular el valor máximo o mínimo en una parábola?
• La ecuación cuadrática debe estar en la forma estándar:
f(x) = ax2 + bx + c
¿Cómo calcular el valor máximo o mínimo en una parábola?
• Calcula el eje de simetría y sustituye ese valor en la función dada.
• El valor obtenido forma parte del par ordenado que corresponde al valor máximo o mínimo según sea el caso.
EJEMPLOS
f(x) = 3x2 – 5x + 2En la ecuación dada, c = 2, por lo tanto el
punto de intersección en y es 2
(0,2)En la ecuación dada, a = 3 y b = -5, por lo
tanto la ecuación del eje de simetría es
Halla el punto de intersección en y y el valor máximo o mínimo de
6
5
)3(2
5
2
xóa
bx
Halla el punto de intersección en y y el valor máximo o mínimo de
f(x) = 3x2 – 5x + 2
Sustituimos el valor del eje de simetría en la función y resolvemos
Como la función tiene a > 0, la gráfica abre hacia arriba y tiene un punto mínimo en
12
1
12
24
12
50
12
25
1
2
6
25
12
25
26
5
1
5
36
25
1
3
26
55)(
36
253
26
55
6
53
6
52
f
12
1,6
5
Halla el punto de intersección en y y el valor máximo o mínimo de
f(x) = 3x2 – 5x + 2
Por lo tanto,
Intersección en y = (0, 2)
Valor Mínimo =
12
1,6
5
g(x) = -1.5x2 + 6x + 3En la ecuación dada, c = 3, por lo tanto el
punto de intersección en y es 3
(0,3)En la ecuación dada, a = -1.5 y b = 6, por lo
tanto la ecuación del eje de simetría es
Halla el punto de intersección en y y el valor máximo o mínimo de
21
2
3
6
)5.1(2
6
2 a
bx
Halla el punto de intersección en y y el valor máximo o mínimo de
g(x) = -1.5x2 + 6x + 3
Sustituimos el valor del eje de simetría 2, en la función y resolvemos
Como la función tiene a < 0, la gráfica abre hacia abajo y tiene un punto máximo en
9
36
3126
31245.1
32625.12 2
f
9,2
Halla el punto de intersección en y y el valor máximo o mínimo de
g(x) = -1.5x2 + 6x + 3
Por lo tanto,
Intersección en y = (0, 3)
Valor Máximo = (2, 9)
EJERCICIOS DE PRÁCTICA
Halla el punto de intersección en y y el punto máximo o mínimo de las siguientes funciones cuadráticas
f(x) = x2 – 4
g(x) = –2x2 + 7
h(x) = –0.5x2 + 3x
j(x) = 0.25x2 – 2x – 1
k(x) = 3x2 – 12x – 10
m(x) = –0.75x2 + 4.5x + 6
Solución
Intercepto y Máx. o Mín. f(x) = x2 – 4 (0,-4) MIN (0, -4)
g(x) = –2x2 + 7 (0,7) MAX (0, 7)
h(x) = –0.5x2 + 3x (0,0) MAX (3, 4.5)
j(x) = 0.25x2 – 2x – 1 (0,-1) MIN (4, -5)
k(x) = 3x2 – 12x – 10 (0,-10) MIN (2, -22)
m(x) = –0.75x2 + 4.5x + 6 (0,6) MAX (3, 12.75)
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