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INTERPOLACIÓN DE HERMITE
INTEGRANTES:
ARIANA PAZ CIRILO
LADY DIANA ARELLANO AGUILAR
Interpolación de Hermite
Sean x0 ,x1,….,xn y n+1 números distintos en [a,b] y mi un entero no negativo asociado a xi para i=0,1, …, n. Supóngase que f ϵ a,b] y que m=max0<=i<=n mi.
El polinomio osculante que aproxima f es el polinomio P(x) de menor grado tal que
Interpolación de Hermite Cuando n=0 el polinomio osculante que aproxima f es el polinomio de Taylor m0-esimo
para f en x0. Cuando mi =0 para cada i, el polinomio osculante es el polinomio de Lagrange de grado n que interpola f en x0,x1,….,xn . Cuando mi =1 para cada i=0,1,….,n
Se produce una clase de polinomio denominado polinomio de Hermite.
Interpolación de Hermite
En una función dada f, estos últimos concuerdan con f en x0 ,x1,….,xn.
Como sus primeras derivadas concuerdan con las de f tendrán la misma forma que la función en (xi, f(xi)), en el sentido de que las líneas tangentes al polinomio coinciden con la función.
Polinomio de Hermite
Si f ϵ a,b] y si x0 ,x1,….,xn ϵ [a,b] son distintos, el polinomio único de menor grado que concuerda con f y f’ en x0 ,x1,….,xn es el polinomio de Hermite de grado a lo mas 2n+1 que esta dado por
Polinomio de Hermite
Dentro de este contexto Ln,j(x) denota el j-esimo polinomio de Lagrange de grado n.
Si f ϵ a,b] entonces para x ϵ [a,b]
Algoritmo de Hermite
ENTRADA Los números x0 ,x1,….,xn; valores f(x0) ,…,f(xn) y f’(x0)….f’(xn)
SALIDA los números Q 0,0 ,Q 1,1,…,Q 2n+1,2n+1 donde
H(x)= Q 0,0 + Q 1,1 (x- x0 )+Q 2,2 (x- x0)^2+ Q 3,3 (x- x0)^2 (x- x1 )+Q 4,4 (x- x0)^2 (x- x1 )^2+…+Q
2,n+1,2n+1 (x- x0)^2 (x- x1 )^2…..(x- xn-1 )^2(x-xn)
Paso 1: Para i=0,1,…,n haga paso 2 y3
paso 2 Sea z2i =xi
z2i+1 =xi
Q2i,0= f(xi)
Q2i+1,0= f(xi)
Q2i+1,1= f’(xi)
paso 3 Si i ≠ 0 entonces tome
Q2i,1= Q2i,0-Q2i-1,0 / z2 - z2i-1
Paso 4 Para i=2,3,…,2n+1
para j=2,2,….i tomar
Qi,j= Qi,j-1-Qi-1,j-1 / zi - zi-j
Paso 5 Salida (Q0,0 , Q1,1,…..,Q2n+1,2n+1)
pare
Ejemplo Utiliza el polinomio de Hermite que concuerda con los datos de la
siguiente tabla para obtener una aproximación de f(1.5)
Paso 1 Calcule el polinomio de Lagrange y sus derivadas
Paso 2. Desarrolle el polinomio de Hermite y su derivado
Programa en Matlab de Interpolación de Hermite
X=input('Ingrese los valores de x='); % en forma de vector Y=input('Ingrese los valores de f(x)='); % en forma de vector DF=input('Ingrese los valores de la derivada de f(x)='); % en forma de vector x=input(‘Ingrese el valor a interpolar’ = ); n=length(X); Q=zeros(2,n); for i=1:n z(2*i-1)=X(i); z(2*i)=X(i); Q(2*i-1,1)=Y(i); Q(2*i,1)=Y(i); Q(2*i,2)=DF(i); if i~=1 Q(2*i-1,2)=(Q(2*i-1,1)-Q(2*i-2,1))/(z(2*i-1)-z(2*i-2)); end end for i=3:2*n for j=3:i Q(i,j)=(Q(i,j-1)-Q(i-1,j-1))/(z(i)-z(i-j+1)); end end
syms x Fx=Q(1,1); %Diferencias divididas for p=1:numel(X)-1 L=1; %Multiplicación de los polinomios for k=1:p L=L*(x-X(k)); end Fx=Fx+L*Q(p+1,p+1); end %Aproximacion del Polinomio resultante val=eval(Fx); disp(val);
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