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Muchos problemas importantes en cálculo dependen de la determinación de la recta tangente a una curva dada, en un punto específico de la misma. Si consideramos la gráfica de una circunferencia, la recta tangente en punto P de está curva se define como la recta que corta la circunferencia únicamente en el punto P ver la figura 1. Para cualquier otra curva la recta que debería ser la recta tangente en el punto P, corta la curva en otro punto Q; ver figura 2
Veamos esas figuras
Recta tangente
Punto de tangencia
Figura 1
Q
P
Figura 2
P
Recta secante
Consideremos una función f continua en “a” .Para definir la pendiente de la tangente a la gráfica de f en el punto . Consideremos a I un intervalo abierto que contiene al número “a” en el cual f está definida . Sea otro punto sobre la gráfica de f tal que también está en I y sea S la recta que pasa por los puntos P y Q es decir, S es una recta secante.
Veamos la gráfica
)(, afaP
)(, hafhaQ
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Podemos observar en la gráfica que h denota una variación en el valor de “a” cuando x cambia de “a” a a+h y puede ser positiva o negativa, esa variación se llama incremento de x .
La recta secante que pasa por los puntos P y Q de la gráfica su pendiente está dada por:
Siempre que la recta no sea vertical
Acuérdate de la definición de pendientehafhafmPQ
)()(
Para dos puntos cualesquiera en una recta R digamos 111 , yxP 22,2
yxP
La pendiente está dada por : 12
12 xxyymR
Observación :
Si entonces no existe pendiente (Rectas Verticales)
Si entonces la pendiente es cero (Rectas Horizontales)
21 xx
21 yy
Ahora si imaginamos el punto P como un punto fijo y el punto Q moviéndose a lo largo de la curva en dirección hacia P ( Q se aproxima a P ).
Lo que estamos diciendo es que el valor de h se aproxima a cero . Mientras esto sucede, la recta secante gira sobre el punto fijo P y el ángulo tiende a ser . La posición límite de la recta secante es la que deseamos sea la recta tangente a la curva en el punto P. Este análisis nos lleva a la definición de recta tangente.
Veamos entonces la definición de Recta tangente
Supongamos que la función f es continua en “a”; entonces la recta tangente a la gráfica de f en el punto es:
)(, afaP
hafhaf
hlímtm
)()(0
si este límite existe
La recta si
1.-
2.-1xx
h
afhafhlím )()(0
h
afhafhlím )()(0
y
La pendiente de la tangente a la curva en un punto es igual a la derivada de la función en ese punto.
)(' aftm
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