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Nociones Topologicas
Intervalos en IR
Entorno
Intervalos y Bolas en IR2. Generalizacion a IRn
Punto interior de un conjunto.
Conjunto Abierto
Puntos: adherentes, aislados y de acumulacion.
Conjunto Cerrado.Conjunto Compacto.
Intervalos en IR
Se llama intervalo cerrado de extremos a y b, [a, b], alconjunto [a, b] = {x ∈ IR |a ≤ x ≤ b}Se llama intervalo abierto de extremos a y b, (a, b), alconjunto (a, b) = {x ∈ IR |a < x < b}Se llama intervalo semiabierto, cerrado por la izquierda yabierto por la derecha, de extremos a y b [a, b), alconjunto [a, b) = {x ∈ IR |a ≤ x < b}Se llama intervalo semiabierto, abierto por la izquierda ycerrado por la derecha, de extremos a y b (a, b], alconjunto (a, b] = {x ∈ IR |a < x ≤ b}Al numero b − a, se le llama longitud del intervalo.
a b[ ]
a b( )
a b[ )
a b( ]
a b a b a b a b
Entorno en IR
Un entorno abierto de x0 es cualquier intervalo abierto decentro x0 y radio ε, ε ∈ IR+, se representa por: E (x0; ε), ypodemos expresarlo de las tres formas, equivalentes,siguientes:
E (x0; ε) = {x ∈ R | x0 − ε < x < x0 + ε}E (x0; ε) = {x ∈ R | | x − x0 | < ε}E (x0; ε) = (x0 − ε, x0 + ε)
A la luz del concepto de distancia, y tomada comodistancia, demostrarlo, entre dos numeros reales:
∀ x , y ∈ IR : d (x , y) = |x − y |
un entorno es: E (x0; ε) = {x ∈ IR |d (x , x0) < ε}A la distancia definida se le denomina: euclıdea o usual.Entorno cerrado de centro x0:
E (x0; ε) = {x ∈ R | | x − x0 | ≤ ε} ≡ {x ∈ IR |d (x , x0) ≤ ε}
Entorno Reducido en IR
Un entorno reducido de x0 es cualquier intervalo abierto decentro x0 y radio ε, ε ∈ IR+ al que le hemos “quitado” elcentro. Las siguientes expresiones denotan el mismoconjunto:
E∗ (x0; ε) = {x ∈ R | x0 − ε < x < x0 }⋃{x ∈ R | x0 < x < x0 + ε}
E∗ (x0; ε) = {x ∈ R |0 < | x − x0 | < ε}E∗ (x0; ε) = (x0 − ε, x0 + ε)− {x0}E∗ (x0; ε) = {x ∈ IR |0 < d (x , x0) < ε}
Intervalos en IR2 y IR3
Un Intervalo Abierto en IR2 es el siguiente subconjunto{(x , y) ∈ IR2 |a < x < b, c < y < d ; a, b, c, d ∈ IR
}⊂ IR2
Es el area encerrada por un rectangulo sin los lados.Un Intervalo Cerrado en IR2 es el siguiente subconjunto deIR2{
(x , y) ∈ IR2 |a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d ; a, b, c, d ∈ IR}⊂ IR2
Es el area encerrada por un rectangulo incluidos los lados.Un Intervalo Abierto en IR3 es el siguiente subconjunto{
(x , y , z) ∈ IR3 |a < x < b, c < y < d , e < z < f ; a, b, c , d , e, f ∈ IR}
Es el volumen encerrado por un paralelepıpedo sin las caras.Un Intervalo Cerrado en IR3 es el siguiente subconjunto{
(x , y , z) ∈ IR3 |a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d , e ≤ z ≤ f ; a, b, c , d , e, f ∈ IR}
Es el volumen encerrado por un paralelepıpedo.
Intervalos en IRn
Un Intervalo Abierto en IRn es el siguiente subconjunto deIRn(x1, x2, · · · , xn) ∈ IRn
∣∣∣∣∣∣∣∣
a1 < x1 < b1
a2 < x2 < b2
· · · · · · · · · · · ·an < x1 < bn
ai , bi ∈ IR , 1 ≤ i ≤ n
Un Intervalo Cerrado en IRn es el siguiente subconjunto deIRn(x1, x2, · · · , xn) ∈ IRn
∣∣∣∣∣∣∣∣
a1 ≤ x1 ≤ b1
a2 ≤ x2 ≤ b2
· · · · · · · · · · · ·an ≤ x1 ≤ bn
ai , bi ∈ IR , 1 ≤ i ≤ n
Bolas en IR2
Bola abierta de centro x0 = (x01, x02) ≡ (x0, y0) y radior ∈ IR+ es: B (x0, r) =
{x = (x1, x2) ∈ IR2 |d (x, x0) < r
}.
Es el conjunto de puntos encerrado por la circunferencia de centro
x0 y radio r , sin considerar los puntos de la circunferencia.
Bola cerrada de centro x0 = (x01, x02) ≡ (x0, y0) y radior ∈ IR+ es: B (x0, r) =
{x = (x1, x2) ∈ IR2 |d (x, x0) ≤ r
}.
Es el conjunto de puntos encerrado por la circunferencia de centro
x0 y radio r , incluyendo los puntos de la circunferencia.
La metrica que usamos es la euclıdea: si a = (a1, a2) yb = (b1, b2), entonces
d (a, b) =
√(a1 − b1)
2 + (a2 − b2)2
Bolas en IRn
Bola abierta de centro x0 = (x01, x02, · · · , x0n) y radio r ∈ IR+
es: B (x0, r) = {x = (x1, x2, · · · , xn) ∈ IRn |d (x, x0) < r }.
Bola cerrada de centro x0 = (x01, x02, · · · , x0n) y radior ∈ IR+ es:B (x0, r) = {x = (x1, x2, · · · , xn) ∈ IRn |d (x, x0) ≤ r }.
La metrica que usamos es la usual, si a = (a1, a2, · · · , an) yb = (b1, b2, · · · , bn):
d (a, b) =
√(a1 − b1)
2 + (a2 − b2)2 + · · ·+ (an − bn)
2
Basandonos en el concepto de bola: A ⊂ IRn es acotado si∃k ∈ IR+ tal que:
A ⊂ B (0, k)
Punto Interior de un Conjunto
Un punto x0 ∈ A es interior de A si ∃r ∈ IR+ tal que:B (x0, r) ⊂ A
Si A = [1, 2], ni x0 = 1 ni x1 = 2, son interiores de ASon interiores de A los puntos del subconjunto{x ∈ IR |1 < x < 2}Si A = (1, 2) todos sus puntos son interiores.
Si A ={
x ∈ IR2 |1 < x ≤ 2, 3 ≤ y ≤ 4}
. Son interiores de A:{x ∈ IR2 |1 < x < 2, 3 < y < 4
}Al conjunto de los puntos interiores de un conjunto se le
llama interior del conjunto y se representa por0A y se cumple
0A ⊂ A.
Un conjunto se dice que es abierto si coincide con suinterior.
Punto Adherente de un Conjunto
Un punto x0 es adherente de A si ∀r ∈ IR+ se cumple:B (x0, r)
⋂A 6= ∅
Si A = [1, 2], todos sus puntos son adherentes.Si A = (1, 2), son puntos adherentes a A los del conjunto[1, 2].
Si A ={
x ∈ IR2 |1 < x ≤ 2, 3 ≤ y ≤ 4}
. Son adherentes a A:{x ∈ IR2 |1 ≤ x ≤ 2, 3 < y < 4
}Al conjunto de los puntos adherentes de un conjunto se lellama adherencia o y clausura y se representa por A y secumple A ⊂ A.
Un conjunto se dice que es cerrado si coincide con suadherencia.
Un punto x0 es de acumulacion de A si ∀r ∈ IR+ se cumple:(B (x0, r)− {x0})
⋂A 6= ∅
Un punto x0 es aislado de A si ∃r ∈ IR+ tal que:B (x0, r)
⋂A = {x0}
Si A = (1, 2]⋃{3} tenemos:
0A = (1, 2); A = [1, 2]
⋃{3}; Acumulacion de A = [1, 2];
Aislados de A = {3}.
Un conjunto se dice que es compacto si es cerrado yacotado.
Concepto de aplicacion
Seaf : A ⊂ IR → B ⊂ IR
→ f (x)es una aplicacion si
1 ∀x ∈ A∃y ∈ B |y = f (x)Todos los elementos de A tienen su correspondiente en B.
2 x1 ∈ A −→ @y1 6= y2 |y1 = f (x1) ; y2 = f (x1)La imagen es unica
Si a x ∈ A le corresponden varios valores de y , por ejemplof : A → R
x → y = ±√
xno existe funcion real de variable real,
aunque se le califica como funcion multiforme o multivaluada.
Funcion Real: repaso de conceptos elementales
Dominio e Imagen
1 Dominio: Al conjunto A ⊂ IR en el que se define la aplicacion
2 Imagen: Al conjunto B = {y ∈ IR |y = f (x)}Imagen≡Rango≡Recorrido
3 Grafica: Al conjunto D ={
(x , y) ∈ IR2 |x ∈ A, y = f (x)}
Funcion Real: repaso de conceptos elementales
Igualdad
Dos funciones f y g,
f : A → Rx → y = f (x)
g : A → Rx → y = g (x)
se dice que son iguales si: ∀x ∈ A es:f (x) = g (x) → f = gHan de tener el mismo dominio de definicion y el mismo rango.Si las funciones f y g tienen el mismo dominio de definicion A,∀x ∈ A se define:
suma: (f ± g) (x) = f (x)± g (x)
producto: (fg) (x) = f (x) g (x)
cociente: si @x ∈ A |g (x) = 0 es fg (x) = f (x)
g(x)
Funcion Real: repaso de conceptos elementales
Funcion compuesta
Sea f definida en A y cuya Imagen es B ⊂ YSea g definida en Y y cuyo Imagen es C ⊂ ZSe llama funcion compuesta de f y g a una funcion h definida en Aque asocia a cada elemento x ∈ A el elemento z ∈ Z , tal que
z = h (x) = g (f (x)) y se escribe: h = g ◦ f
Ejemplosf (x) = x2 + 1; g (x) = sen x →h (x) = (g ◦ f ) (x) = sen
(x2 + 1
)(f ◦ g) (x) = sen2x + 1
Funcion Real: repaso de conceptos elementales
Funcion inversa
Si f : A → R es inyectiva, es decir, si ∀x1, x2 ∈ A tales quex1 6= x2 es f (x1) 6= f (x2), entonces existe una unica funcion hdefinida sobre la imagen de f, h : Img f → R que verificaque la funcion compuesta h ◦ f es la funcion identidad:
h ◦ f : A → Rx → y = h [f (x)] = x
esta funcion se denomina inversa de f y se denota por h = f−1.
Si los puntos de la grafica de la funcion f vienen definidos por elpar (x , f (x)), los de la funcion inversa vienen definidos por el par(f (x) , f−1 [f (x)] = x
), con lo que ambas graficas son simetricas
respecto a la recta y = x .
Funcion Real: repaso de conceptos elementales
Crecimiento. Decrecimiento
Sea B ⊂ A ⊂ R, y sea f : A → R decimos que f es{crecientedecreciente
}en B ⊂ A, si ∀x1, x2 ∈ B, x1 < x2, es{
f (x1) ≤ f (x2)f (x1) ≥ f (x2)
}Si se cumple
{f (x1) < f (x2)f (x1) > f (x2)
}el
{crecimientodecrecimiento
}se dice
que es en sentido estricto.Ejemplos:
y = k puede ser tomada como funcion
{crecientedecreciente
}.
y = x2 es
{crecientedecreciente
}estrictamente en
{[0, +∞)(−∞, 0]
}Funcion Monotona: Cuando es creciente o decreciente.
Funcion Real: repaso de conceptos elementales
Funcion acotada
Sea f : A → R , es
{acotada superiormenteacotada inferiormente
}si existe{
K ∈ Rk ∈ R
}tal que ∀x ∈ A es
{f (x) ≤ Kf (x) ≥ k
}.
Si una funcion esta acotada superior e inferiormente decimos queesta acotada.Ejemplos:y = sen x esta acotada superiormente ∀x ∈ R.
y =1
x, x ∈ (0, 13] esta acotada inferiormente, pero no lo esta
superiormente.
Funcion Real: repaso de conceptos elementales
Maximo, Mınimo o extremo relativo
Si existe
{E (x1; r1)E (x2; r2)
}tal que es:
{f (x) ≤ f (x1)f (x) ≥ f (x2)
}∀x ∈
{E ∗ (x1; r1)E ∗ (x2; r2)
}decimos que la funcion tiene un{
maximo relativomınimo relativo
}en
{x1
x2
}en sentido amplio.
Si en vez de ser
{≤≥
}es
{<>
}decimos que la funcion tiene
un
{maximo relativomınimo relativo
}en sentido estricto.
Funcion Real: repaso de conceptos elementales
Funcion par o impar
Sea f : A → R , f es{
par\impar}
si ∀x0, −x0 ∈ A es{f (x0) = f (−x0) \f (x0) = −f (−x0)
}Ejemplos:
{y = x2\y = x3
}son
{par\impar
}• La suma de dos funciones pares es otra funcion par.• La suma de dos funciones impares es otra funcion impar.• El producto de dos funciones pares es otra funcion par.• El producto de dos funciones impares es otra funcion par.• El cociente de dos funciones pares es otra funcion par.• El cociente de dos funciones impares es otra funcion par.• El producto o el cociente de dos funciones una par y otra impares otra funcion impar.• La grafica de una par es simetrica respecto x = 0.• La grafica de una impar es simetrica respecto al origen.
Funcion Real: repaso de conceptos elementales
Funcion periodica
Sea f : A → R es periodica si∃h ∈ R+ |∀x , x + h ∈ A ⇒ f (x) = f (x + h)Si es periodica de perıodo h:f (x + 3h) = f ([x + 2h] + h) = f (x + 2h) = f ([x + h] + h) =f (x + h) = f (x) tambien lo es de preıodo k × h, k ∈ IN y sedefine Perıodo de una funcion periodica:al menor valor de h que verifica la propiedad anterior.Ejemplos:y = sen x : sen (x) = sen (x + 2kπ) si k ∈ N. El perıodo es 2π.y = tg x : tg (x) = tg (x + kπ) si k ∈ N. El perıodo es π.y = x − [x ]: x − [x ] = (x + n)− [x + n] si n ∈ N. El perıodo es 1.
Cero
Sea f : A → R . x0 ∈ A es un cero o raız de f si f (x0) = 0
Funcion Real: repaso de conceptos elementales
Funcion Potencial Entera
f : R → Rx → y = xn, n ∈ N
⋃{0} .
Si n = 2k, k ∈ IN , par, son funciones paressi n = 2k + 1, k ∈ IN , impar, son funciones impares.La combinacion lineal de funciones potenciales enteras nos da lugara las funciones polinomicas:
f (x) ≡ anxn + an−1xn−1 + · · ·+ ajxj + · · ·+ a1x + a0, an 6= 0
denominandose: grado del polinomio al valor de n, siendo{an, an−1, · · · a1, a0} los coeficientes del polinomio.A veces nos encontramos expresiones de la forma: (x + b)n dondeb ∈ R y n ∈ N, (por ejemplo: b =
√2 y n = 13), y es
(x + b)n =
j=n∑j=0
(nj
)xn−jbj ;
(nj
)=
n · (n − 1) · · · (n − [j − 1])
j!
Es: j! ≡ j · (j − 1) · · · 3 · 2 · 1. Se conviene: 0! = 0.Funcion Real: repaso de conceptos elementales
Potencia y raız
- 1 - 0. 5 0.5 1 1.5 2
- 1
- 0. 5
0.5
1
1.5
2
2.5
- 1 - 0. 5 0.5 1 1.5 2
- 1
- 0. 5
0.5
1
1.5
2
Figure: potencia y raız
A la izquierda potencia y a la derecha, su inversa: raız
Funcion Real: repaso de conceptos elementales
Funcion Racional
Son aquellas que son el cociente de dos polinomios:P (x)
Q (x). Se
denomina racional propiamente dicha o tambien fraccion propiacuando el grado del polinomio del numerador es menor que elgrado del polinomio del denominador.Obviamente las funciones racionales no estan definidas en aquellospuntos en los que la funcion del denominador se anula; es decir enaquellos puntos que sean raıces o ceros del denominador.Como
P(x)Q(x) = C (x) + R(x)
Q(x) si grado de P (x) ≥ que el de Q (x)
estudiaremos si grado de P (x) es < que el de Q (x).
Funcion Real: repaso de conceptos elementales
Factorizacion de Q (x)
Estudio sus ceros o raıces
Todas son reales y simples. Sus factores son de la forma(x − b1)
Todas son reales, alguna con multiplicidad mayor que 1. Susfactores son de la forma (x − b1), (x − b2)β
Raıces reales, simples o multiples, y complejas simples. Sus
factores son de la forma (x − b1), (x − b2)β,[(x − r)2 + s2
]Raıces reales y complejas multiples. Sus factores son de la
forma (x − b1), (x − b2)β,[(x − r)2 + s2
],[(x − r1)2 + s2
1
]γ
Funcion Real: repaso de conceptos elementales
Ejemplo todas la raıces reales simples
x − 1
5 (x + 1) (x − 2) (x − 3)=
1
5
[A
x + 1+
B
x − 2+
C
x − 3
]x − 1 = A (x − 2) (x − 3) + B (x + 1) (x − 3) + C (x + 1) (x − 2)
Si en la igualdad anterior hacemos, sucesivamente, x = −1, x = 2y x = 3, obtenemos, respectivamente, A, B, Cx = −1 → −1− 1 = A (−1− 2) (−1− 3)x = 2 → 2− 1 = B (2 + 1) (2− 3)x = 3 → 3− 1 = C (3 + 1) (3− 2)
Funcion Real: repaso de conceptos elementales
Ejemplo todas la raıces reales
x − 1
5 (x + 1) (x − 2)2=
1
5
[A
x + 1+
B
x − 2+
C
(x − 2)2
]x − 1 = A (x − 2)2 + B (x + 1) (x − 2) + C (x + 1)
Si en la igualdad anterior hacemos, sucesivamente, x = −1, x = 2,obtenemos, respectivamente, A, Cx = −1 → −1− 1 = A (−1− 2)2
x = 2 → 2− 1 = C (2 + 1)Resta por determinar B, que, por ejemplo, si analizamos loscoeficientes de x2, tenemos
0 = A + B
Funcion Real: repaso de conceptos elementales
Raıces imaginarias
Si x = a + i b es raız de una ecuacion con coeficientes reales,tambien lo ha de ser x = a − i b. Es decir si un ecucion concoeficientes reales tiene como raız un numero complejo tambien esraız el complejo conjugado.Trabajamos con ambas conjuntamente, con lo que en ladescomposicion en factores nos aparecera uno de la forma
[x − (a + i b)] [x − (a − i b)] ≡[(x − a)2 + b2
]La aportacion de las raıces imaginarias
[(x − a)2 + b2
]nes
A1x + B1[(x − a)2 + b2
]n +A2x + B2[
(x − a)2 + b2]n−1
+ · · · Anx + Bn[(x − a)2 + b2
]1
Funcion Real: repaso de conceptos elementales
x4 + 5x3 + 7x2 + 9x + 2
(x − 1)2 (x2 + 4)3=
=24
125 (x − 1)2+
66
625 (x − 1)+
+13x + 118
25 (x2 + 4)3+− 114x + 109
125 (4 + x2)2− 11x + 31
625 (4 + x2)
Funcion Real: repaso de conceptos elementales
A veces se comete, en las funciones racionales, el error de haceriguales las expresiones:
f1 (x) + f2 (x)
g1 (x) + g2 (x)=
f1 (x) + f2 (x)
g1 (x)+
f1 (x) + f2 (x)
g2 (x)
o
f1 (x)
g1 (x)+
f2 (x)
g2 (x)
o hacer uso de la “igualdad”
f1 (x) + f2 (x)
g1 (x) g2 (x)=
f1 (x)
g1 (x)+
f2 (x)
g2 (x)
Funcion Real: repaso de conceptos elementales
Funciones Circulares: seno
-10 -5 5 10
-1
-0.5
0.5
1
Figure: seno
y = sen x
Dominio IRImagen [−1, 1]Impar y periodica 2π
Funcion Real: repaso de conceptos elementales
Funcion Coseno
-10 -5 5 10
-1
-0.5
0.5
1
Figure: coseno
y = cos x
Dominio IRImagen [−1, 1]Par y periodica 2π
Funcion Real: repaso de conceptos elementales
Funcion tangente
-4 -2 2 4
-7.5
-5
-2.5
2.5
5
7.5
Figure: tangente
y = tg x ≡ sen x
cos x
Dominio IR −
{(2k−1)π
2
}, k ∈ ZZ
Imagen [−∞, ∞]Impar y periodica π
Funcion Real: repaso de conceptos elementales
Otras funciones circulares
• Cotangente: es la recıproca de la tangente:
cotg x =1
tg x=
cos x
sen x.
• Cosecante: es la recıproca del seno: cosec x =1
sen x.
• Secante: es la recıproca del coseno: sec x =1
cos x.
Relaciones fundamentales
sen2 x + cos2 x = 1
sen (a± b) = sen a cos b ± cos a sen b
cos (a± b) = cos a cos b ∓ sen a sen b
De estas relaciones se deducen otras de interes, como pueden ser:
cos2 a =1 + cos 2a
2, sen2 a =
1− cos 2a
2, tg (a± b) =
tg a± tg b
1∓ tg a tg b
Funcion Real: repaso de conceptos elementales
Funciones Circulares Inversas: Arco seno
-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
Como en la funcion seno un valor del seno lo podemos obtenermediante infinitos valores de la variable x en general no existirafuncion inversa, ahora bien si el seno lo estudiamos en el intervalo[−π
2,π
2
]si existira funcion inversa:
y = arc sen x
Dominio [−1, 1]
Imagen[−π
2,π
2
]Impar
Funcion Real: repaso de conceptos elementales
Arco coseno
-1 1 2 3
-1
1
2
3
Como en la funcion coseno un valor del coseno lo podemos obtenermediante infinitos valores de la variable x en general no existirafuncion inversa, ahora bien si el coseno lo estudiamos en elintervalo [0, π] si existira funcion inversa:
y = arc cos x
{Dominio [−1, 1]Imagen [0, π]
Funcion Real: repaso de conceptos elementales
Arco tangente
-2 -1 1 2
-6
-4
-2
2
4
6
Como en la funcion tangente un valor de la tangente lo podemosobtener mediante infinitos valores de la variable x en general noexistira funcion inversa, ahora bien si la tangente la estudiamos en
el intervalo(−π
2,π
2
)si existira funcion inversa:
y = arc tg x
Dominio (−∞, ∞)
Imagen(−π
2,π
2
)Impar
Funcion Real: repaso de conceptos elementales
Exponencial
-2 2 4 6
2
4
6 exponencial
logarítmica
Exponencial: y = ax
{Dominio IRImagen IR+; {1} si a = 1
a ∈ IR+ Es
creciente estrictamente si a > 1 y decreciente estrictamente sia < 1. Sus propiedades fundamentales:
a0 = 1, ∀a ∈ IR+
axay = ax+y , ∀a ∈ IR+, x , y ∈ IR(ax)y = ax y , ∀a ∈ IR+, x , y ∈ IR
a−x =1
ax, ∀a ∈ IR+, x ∈ IR
Funcion Real: repaso de conceptos elementales
Logarıtmica
y = loga x es la inversa de y = ax , a ∈ IR+ − {1} y es la potenciaa la que hay que elevar a para obtener x
x = ac ⇔ loga x = c : y = loga x
{Dominio IR+
Imagen IREs creciente
estrictamente si a > 1 y decreciente estrictamente si a < 1. Suspropiedades fundamentales:
loga 1 = 0, ∀a ∈ R+ − {1}loga x y = loga x + loga y , ∀a ∈ R+ − {1}, x , y ∈ R+; six , y ∈ R−: loga x y = loga |x |+ loga |y |loga xy = y loga x , ∀a ∈ R+ − {1}, x ∈ R+, y ∈ R
logax
y= loga x − loga y , ∀a ∈ R+ − {1}, x , y ∈ R+; si
x , y ∈ R−: logax
y= loga |x | − loga |y |
(logb x) (loga b) = loga x
Funcion Real: repaso de conceptos elementales
Si escribimos log x estamos denotando el logaritmo neperiano onatural de x .
Tres errores muy frecuentes son los siguientes:
Decir que loga (x ± y) es igual a loga x ± loga y
Decir que loga (x y) es igual a (loga x) (loga y)
Decir que loga
(x
y
)es igual a
loga x
loga y
Funcion Real: repaso de conceptos elementales
Hiperbolicas
-2 -1 1 2
-3
-2
-1
1
2
3
coseno
seno
tangente
Seno hiperbolico: y = sh x = ex−e−x
2
Dominio IRImagen IRImpar
Coseno hiperbolico: y = ch x = ex +e−x
2
Dominio IRImagen [1, ∞)Par
Tangente hiperbolica: y = th x =sh x
ch x
Dominio IRImagen (−1, 1)Impar
Funcion Real: repaso de conceptos elementales
Otras funciones hiperbolicas
Cotangente hiperbolica, recıproca de la tangente,
coth x =1
th x=
ch x
sh x.
Cosecante hiperbolica: recıproca del seno, cosech x =1
sh x.
Secante hiperbolica: recıproca del coseno, sech x =1
ch x.
Funcion Real: repaso de conceptos elementales
Relaciones fundamentales
ch2 x − sh2 x = 1
sh (a± b) = sh a ch b ± ch a sh b
ch (a± b) = ch a ch b ± sh a sh b
De estas relaciones se deducen otras de interes:
ch2a =1 + ch 2a
2, sh2a =
ch 2a− 1
2, th (a± b) =
th a± th b
1± th a th b
Funcion Real: repaso de conceptos elementales
Hiperbolicas Inversas: Argumento seno hiperbolico
A cada valor del seno le corresponde un unico valor de x , existirafuncion inversa:
y = arg sh x
Dominio (−∞, +∞)Imagen (−∞, +∞)Impar
Expresion logarıtmica del Argumento cuyo seno hiperbolico esf (x):
y = arg sh f (x)⇒ f (x) = sh y
∀y → ch y > 0→ ch y = +
√1 + sh2y = +
√1 + (f (x))2
entonces
ch y + sh y = ey = f (x) +
√1 + (f (x))2 →
→ y = log
(f (x) +
√1 + (f (x))2
)Funcion Real: repaso de conceptos elementales
Argumento coseno hiperbolico
Un valor del coseno lo podemos obtener mediante dos valores de lavariable x , luego en general no existira funcion inversa.Si el coseno lo estudiamos en el intervalo [0, +∞] si existirafuncion inversa:
y = arg ch x
{Dominio [1, +∞)Imagen [0, +∞)
Expresion logarıtmica del Argumento cuyo coseno hiperbolicoes f (x):
y = arg ch f (x)⇒ f (x) = ch y
∀y ≥ 0→ sh y > 0→ sh y = +
√ch2y − 1 = +
√(f (x))2 − 1
entonces:ch y + sh y = ey = f (x) +
√(f (x))2 − 1→
→ y = log
(f (x) +
√(f (x))2 − 1
)Funcion Real: repaso de conceptos elementales
Argumento tangente hiperbolica
A un valor de la tangente le corresponde un unico valor de x :
y = arg th x
Dominio (−1, +1)Imagen (−∞, +∞)Impar
Expresion logarıtmica del Argumento cuyo tangente hiperbolicaes f (x):
y = arg th f (x)⇒ f (x) = th y =e2y − 1
e2y + 1→
→ e2y f (x) + f (x) = e2y − 1⇒ e2y =1 + f (x)
1− f (x)→
→ y =1
2log
1 + f (x)
1− f (x)
Funcion Real: repaso de conceptos elementales
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