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Introducción a los SLs
Introducción a los sistemas de EDOs lineales
Rafael Ramírez Ros
Métodos Matemáticos 1
Introducción a los SLs
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1 Definiciones
2 Problemas de concentracionesUn depósitoDos depósitosTres depósitos
3 Problemas de muellesMuelle clásicoPéndulo de Wilberforce
Introducción a los SLs
Definiciones
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1 Definiciones
2 Problemas de concentracionesUn depósitoDos depósitosTres depósitos
3 Problemas de muellesMuelle clásicoPéndulo de Wilberforce
Introducción a los SLs
Definiciones
Formulación inicial
Un sistema lineal (SL) de primer orden es un sistema deecuaciones diferenciales ordinarias lineales (EDOLs) deprimer orden de la forma
x ′1 = a11(t)x1 + · · · + a1n(t)xn + b1(t),x ′2 = a21(t)x1 + · · · + a2n(t)xn + b2(t),
......
......
x ′n = an1(t)x1 + · · · + ann(t)xn + bn(t),
donde t es la variable independiente y ′ = d/dt .Datos: Coeficientes aij(t) y términos no homogéneos bi(t),que son funciones continuas en algún intervalo I ⊂ R.Incógnitas: Funciones x1(t), . . . , xn(t).
Introducción a los SLs
Definiciones
Formulación matricial
Escribiremos el SL anterior como x ′ = A(t)x + b(t), donde
x =
x1...
xn
, A =
a11 · · · a1n...
. . ....
an1 · · · ann
, b =
b1...
bn
.
Introducción a los SLs
Definiciones
Tipos de SLs
El sistema es homogéneo si y sólo si b(t) ≡ 0.SLH = Sistema Lineal Homogéneo.SLNH = Sistema Lineal No Homogéneo.El sistema es a coeficientes constantes si y sólo si loscoeficientes aij(t) (y, por tanto, la matriz A(t)) sonconstantes (es decir, no dependen de t).n es la dimensión del sistema.
Introducción a los SLs
Problemas de concentraciones
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1 Definiciones
2 Problemas de concentracionesUn depósitoDos depósitosTres depósitos
3 Problemas de muellesMuelle clásicoPéndulo de Wilberforce
Introducción a los SLs
Problemas de concentraciones
Un depósito
Un único depósito: Unidades, parámetros & incógnita
Unidades: h (tiempo), kg (masa) y m3 (volumen).Parámetros: r = caudal salida/entrada, γ = concentraciónde una sustancia X en la entrada y V = volumen.Incógnita: c(t) = concentración de X en el instante t
- -
r m3/h
γ kg/m3
r m3/h
c(t) kg/m3
V m3
c(t) kg/m3
Figure: Un único depósito con una salida y una entrada.
Introducción a los SLs
Problemas de concentraciones
Un depósito
Un único depósito: Hipótesis & modelización
Primera hipótesis: El volumen V se mantiene constante,luego el caudal de salida es igual a r .Segunda hipótesis: La sustancia se distribuye de formainmediata y uniforme por todo el depósito, luego laconcentración de salida es igual a c(t).Cantidad dentro = Vc(t) kg→ variación = Vc′(t) kg/h.Entrada = rγ kg/h. Salida = rc(t) kg/h.Vc′ = variación = entrada− salida = rγ − rc, luego
c′ = −pc + pγ,
donde p = r/V = porción del depósito que se renueva porhora (tiene unidades 1/h).
Introducción a los SLs
Problemas de concentraciones
Un depósito
Un único depósito: PVI, solución & interpretación
Para encontrar la concentración c(t) necesitamos conocerla concentración inicial c(0) = c0.La solución del problema de valor inicial (PVI)
c′ = −pc + pγ, c(0) = c0,
esc(t) = γ + e−pt (c0 − γ).
Interpretación: Independientemente de cuál sea laconcentración inicial, la concentración dentro del depósitotiende a igualarse a la concentración de entrada.La EDO c′ = −pc + pγ es un SLNH 1D a coeficientesconstantes.
Introducción a los SLs
Problemas de concentraciones
Dos depósitos
Dos depósitos: Unidades, parámetros & incógnitas
Unidades: h (tiempo), kg (masa) y m3 (volumen).Parámetros: r = caudal trasvase, Vj = volumen depósito j .Incógnitas: cj(t) = concentración depósito j , instante t .
-r m3/h
r m3/h
c1(t) kg/m3
c2(t) kg/m3
V1 m3
c1(t) kg/m3V2 m3
c2(t) kg/m3
Figure: Dos depósitos conectados formando un circuito cerrado.
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Problemas de concentraciones
Dos depósitos
Dos depósitos: Hipótesis & modelización
Primera hipótesis: Los caudales de trasvase coinciden,luego los dos volúmenes se mantienen constantes.Segunda hipótesis: La sustancia se distribuye de formainmediata y uniforme en cada depósito, luego lasconcentraciones de trasvase son c1(t) y c2(t).Variación depósito j : Vjc′j (t) kg/h.Entrada depósito j : rci(t) kg/h, con i 6= j .Salida depósito j : rcj(t) kg/h.Ecuaciones de balance en cada depósito:
Primero: V1c′1 = variación = entrada− salida = rc2 − rc1,
Segundo: V2c′2 = variación = entrada− salida = rc1 − rc2.
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Problemas de concentraciones
Dos depósitos
Dos depósitos: SL & PVI
pj = r/Vj = porción depósito j que se renueva por hora.La formulación matricial de las dos EDOs anteriores es unSLH 2D a coeficientes constantes: c′ = Ac, donde
c =
(c1c2
), A =
(−p1 p1
p2 −p2
).
Para encontrar el vector concentración c(t) necesitamosconocer el vector concentración inicial c(0) = c0.Queremos resolver el PVI
c′ = Ac, c(0) = c0 =
(γ1γ2
).
Si γ1 = γ2, entonces c0 es un punto de equilibrio: Ac0 = 0,luego c(t) ≡ c0.
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Problemas de concentraciones
Dos depósitos
Dos depósitos: Solución & interpretación
Solución:
c1(t) =V1γ1 + V2γ2
V1 + V2+
V2(γ1 − γ2)
V1 + V2e−(p1+p2)t ,
c2(t) =V1γ1 + V2γ2
V1 + V2+
V1(γ2 − γ1)
V1 + V2e−(p1+p2)t .
Interpretación: Como el circuito es cerrado, ambasconcentraciones tienden a igualarse al valor
V1γ1 + V2γ2
V1 + V2,
que es la media ponderada de las concentraciones γ1 y γ2.
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Problemas de concentraciones
Dos depósitos
Dos depósitos: Cantidad conservada
S(c1, c2) = V1c1 + V2c2 = cantidad total de sustancia X enel circuito (en kg).La función S(c1, c2) es una cantidad conservada, pues suderivada temporal es idénticamente nula:
dSdt
= (V1c1 + V2c2)′ = V1c′1 + V2c′2
= (rc2 − rc1) + (rc1 − rc2) ≡ 0.
Comprobación: Evaluamos la función S(c1, c2) usando lassoluciones c1(t) y c2(t) dadas en la página anterior:
S(c1(t), c2(t)) ≡ V1γ1 + V2γ2 = S(c1(0), c2(0)), ∀t ∈ R.
Interpretación: El circuito es cerrado, luego la sustancia Xno puede entrar en el (ni salir del) circuito.
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Problemas de concentraciones
Tres depósitos
Ejercicio: Tres depósitos en circuito cerrado cíclico
Unidades: h (tiempo), kg (masa) y m3 (volumen).Trasvases: 1→ 2, 2→ 3 y 3→ 1.Parámetros: r = caudal, Vj = volumen depósito j .Incógnitas: cj(t) = concentración depósito j , instante t .Primera hipótesis: Los caudales de trasvase coinciden,luego los volúmenes se mantienen constantes.Segunda hipótesis: La sustancia se distribuye de formainmediata y uniforme en cada depósito.Ejercicio: Escribir el SLH 3D a coeficientes constantes quemodela este problema, buscar sus puntos de equilibrio yconjeturar las concentraciones límite.
Introducción a los SLs
Problemas de concentraciones
Tres depósitos
Ejercicio: Tres depósitos en un circuito no cerrado
Suponiendo que los tres volúmenes se mantienen constantes,plantear el SLNH 3D a coeficientes constantes que modela elsiguiente circuito y conjeturar las concentraciones límite.
-
-
-
-
-
e1 kg/m3
r1 m3/h
e2 kg/m3
r2 m3/h
V1 m3
c1(t) kg/m3
V2 m3
c2(t) kg/m3
V3 m3
c3(t) kg/m3
Figure: Tres depósitos conectados en circuito no cerrado.
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Problemas de muelles
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1 Definiciones
2 Problemas de concentracionesUn depósitoDos depósitosTres depósitos
3 Problemas de muellesMuelle clásicoPéndulo de Wilberforce
Introducción a los SLs
Problemas de muelles
Muelle clásico
Muelle clásico: Descripción & hipótesis
Una masa cuelga de un muelle vertical y oscilaverticalmente.Hipótesis: La fuerza de recuperación del muelle esproporcional (y tiene sentido opuesto) al desplazamientodesde la posición de equilibrio (Ley de Hooke).Hipótesis: La fuerza de fricción es proporcional a lavelocidad y tiene sentido opuesto.
Introducción a los SLs
Problemas de muelles
Muelle clásico
Muelle clásico: Parámetros, incógnitas & modelización
Parámetros:m = masa,λ = constante de Hooke,µ = coeficiente de fricción.
Incógnita: y(t) = desplazamiento vertical desde elequilibrio (teniendo en cuenta la masa).Modelización (segunda ley de Newton):
my ′′ = masa × aceleración =∑
fuerzas = −µy ′ − λy .
Ejercicio: ¿Por qué no aparece el peso P = mg en laanterior suma de fuerzas?
Introducción a los SLs
Problemas de muelles
Muelle clásico
Muelle clásico: SLH 2D & tipos de oscilaciones
Introduciendo la nueva incógnita z = y ′, transformamos laanterior EDOLH de segundo orden en el SLH 2D
y ′ = zz ′ = −λy/m − µz/m
Escribiremos el SLH 2D anterior como x ′ = Ax , donde
x =
(yz
), A =
(0 1
−λ/m −µ/m
).
Los VAPs de A determinan el comportamiento del muelle:oscilaciones armonicas (VAPs imaginarios puros),sub-amortiguadas (VAPs complejos conjugados),criticamente amortiguadas (VAP real doble) ysobre-amortiguadas (VAPs reales simples).
Introducción a los SLs
Problemas de muelles
Muelle clásico
Muelle clásico: Conservación de la energía
La energía mecánica total del muelle es
E(y , z) =m2
z2 +λ
2y2.
donde mz2/2 es la energía cinética y λy2/2 es la energíapotencial elástica.Ejercicio: Comprobar que si no hay fricción: µ = 0,entonces el sistema conserva la energía mecánica.Indicación: Derivar la energía mecánica E(y , z) respecto ty comprobar, usando las dos ecuaciones del sistema, quesu derivada es idénticamente nula.Consecuencia: Cuando la energía cinética crece/decrece,la energía potencial elástica decrece/crece.
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Problemas de muelles
Péndulo de Wilberforce
Péndulo de Wilberforce: Descripción & hipótesis
Descripción: Una masa cuelga de un muelle flexible enforma de espiral, luego puede oscilar verticalmente otorsionalmente (girando).Hipótesis: El acoplamiento entre los dos tipos demovimiento consiste en que cada uno de ellos ejerce sobreel otro un efecto proporcional a su propio desplazamiento,con una constante de proporcionalidad común ε.
Introducción a los SLs
Problemas de muelles
Péndulo de Wilberforce
Péndulo de Wilberforce: Parámetros & incógnitas
Parámetros:m = masa,I = momento de inercia,λ1 = constante de Hooke del movimiento vertical,λ2 = constante de Hooke del movimiento torsional,µ1 = coeficiente de fricción del movimiento vertical,µ2 = coeficiente de fricción del movimiento torsional,ε = pequeño parámetro de acoplamiento.
Incógnitas:y(t) = desplazamiento vertical desde el equilibrio,θ(t) = desplazamiento torsional desde el equilibrio.
Introducción a los SLs
Problemas de muelles
Péndulo de Wilberforce
Péndulo de Wilberforce: Modelización & reducción
Modelización (segunda ley de Newton):my ′′ = −µ1y ′ − λ1y + εθ
Iθ′′ = −µ2θ′ − λ2θ + εy
Introduciendo las dos incógnitas auxilaresz = y ′ = velocidad vertical,Ω = θ′ = velocidad angular,
reducimos el anterior sistema de segundo orden al SLH4D de primer orden a coeficientes constantes
y ′ = zz ′ = −λ1y/m − µ1z/m + εθ/mθ′ = ΩΩ′ = −λ2θ/I − µ2Ω/I + εy/I
Introducción a los SLs
Problemas de muelles
Péndulo de Wilberforce
Péndulo de Wilberforce: Formulación matricial
Escribiremos el SLH 4D anterior como x ′ = Ax , donde
x =
yzθΩ
, A =
0 1 0 0
−λ1/m −µ1/m ε/m 00 0 0 1ε/I 0 −λ2/I −µ2/I
.
Los VAPs de A determinan el comportamiento del péndulo.Por ejemplo, si m = I = 1, λ1 = λ2, µ1 = µ2 = 0, ε espequeño y fijamos los valores iniciales
y(0) = 1, θ(0) = z(0) = Ω(0) = 0,
se obtiene una transferencia de energía entre los modosvertical y torsional, como se ve en este video de Youtube.
Introducción a los SLs
Problemas de muelles
Péndulo de Wilberforce
Péndulo de Wilberforce: Ejercicio
La energía mecánica total del péndulo de Wilberforce es
E(y , z, θ,Ω) =m2
z2 +I2
Ω2 +λ1
2y2 +
λ2
2θ2 − εyθ.
Ejercicio: Reconocer cada uno de los cinco sumandos dela expresión anterior.Ejercicio: Comprobar que si no hay fricción: µ1 = µ2 = 0,entonces el sistema conserva la energía mecánica.Indicación: Derivar la energía mecánica E(y , z, θ,Ω)respecto t y comprobar, usando las cuatro ecuaciones delsistema, que su derivada es idénticamente nula.Consecuencia: Cuando la energía del modo verticalmz2/2 + λ1y2/2 es grande/pequeña, la energía del modotorsional IΩ2/2 + λ2θ
2/2 es pequeña/grande.
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