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Repaso: Juego estático con Información completa
§ Jugadores § Estrategias (acciones) § Pagos para cada combinación de
estrategias o preferencias sobre las combinaciones de estrategias
§ Todo ello es conocimiento común entre los jugadores.
El Juego Bayesiano
§ Los pagos no son conocimiento común.
§ Información Incompleta significa que al menos un jugador no conoce la función de pagos alguno de sus rivales.
§ Juego estático con información incompleta
= Juego bayesiano estático.
Ejemplos § Duopolio de Cournot pero sin saber los costes
marginales de la otra empresa. § Subasta sin saber las valoraciones de los
demás participantes. § Contribuciones privadas a un bien público sin
conocer costes o valoraciones de los demás. § Negociación con alguien sin conocer su factor
de descuento. § Batalla de los sexos sin saber si el otro prefiere
estar solo o acompañado.
En este tema se aprenderá a:
§ Identificar los elementos de un juego con información incompleta y representarlos
§ Entender un Juego Bayesiano como un Juego en Forma Extensiva con información imperfecta
§ Encontrar Equilibrios de Nash Bayesianos (ENB)
Ejemplo 1 § El Jugador 1 puede elegir entre dos acciones A y B. § El Jugador 2 puede elegir entre dos acciones I y D § Los pagos dependen de los tipos de jugadores. § El Jugador 1 es de un solo tipo y este es conocido por
el Jugador 2. § El Jugador 2 puede ser del tipo x o de tipo y. § El Jugador 2 sabe su tipo pero el Jugador 1 no sabe con
certeza el tipo del Jugador 2 (información incompleta asimétrica).
§ El Jugador 1 sabe que el Jugador 2 es del tipo x con probabilidad 2/3, y del tipo y con probabilidad 1/3.
Modelizamos “no conocer los pagos” como “no conocer los tipos”
2 tipo x (2/3) I D
A 4 , 3 3 , 1
B 3 , 6 2 , 3
2 tipo y (1/3) I D
A 3 , 3 1 , 6
B 1 , 1 5 , 3
Juego Bayesiano como Juego Dinámico con Información Incompleta
Azar
t2=x t2=y
2.1 2.2
I D D I
1 A A A AB B B B
El Jugador 1 tiene 1 conjunto de información por lo que su estrategias será una acción. El Jugador 2 tiene 2 Conjuntos de información, por tanto cuatro estrategias: II, ID, DI, DD.
Mejores respuestas J2 § Correspondencias de mejor respuesta. § El jugador 2 conoce su tipo (y el tipo del
jugador 1): Ø Si 2 es del tipo x:
• La estrategia D está estrictamente dominada por la estrategia I. Su mejor estrategia (acción) será I.
Ø Si 2 es del tipo y: • La estrategia I está estrictamente dominada
por la estrategia D. Su mejor estrategia será D.
Mejor respuesta del 1 § El Jugador 1 conoce su tipo pero no conoce el tipo del Jugador 2. § El Jugador 1 evalúa su pago esperado Jugando A y su pago
esperado jugando B para las posibles estrategias del Jugador 2, S2={II, ID, DI, DD}
Pago esperado de jugar A Pago esperado de jugar B: U (A, II) = (2/3) 4 + (1/3) 3 = 11/3 U (B, II) = (2/3) 3 + (1/3) 1= 7/3 U (A, ID) = (2/3) 4 + (1/3) 1 = 9/3 U (B, ID) = (2/3) 3 + (1/3) 5= 11/3 U (A, DI) = (2/3) 3 + (1/3) 3 = 9/3 U (B, DI) = (2/3) 2 + (1/3) 1= 5/3 U (A, DD) = (2/3) 3 + (1/3) 1= 7/3 U (B, DD) = (2/3) 2 + (1/3) 5= 9/3
II ID DI DD A 11/3 3 3 7/3 B 7/3 11/3 5/3 3
Equilibrio de Nash Bayesiano
§ Dado que el Jugador 2 tiene estrategias dominantes jugará I si es del tipo x y jugará D si es del tipo y.
§ Ante la estrategia ID la mejor respuesta del jugador 1 es B.
El único equilibrio Bayesiano de este juego
es (B, ID).
Representación de un JB
§ El conjunto de jugadores, N={1,2,…,n}. § Los tipos de los jugadores. § La distribución de probabilidades sobre
combinaciones de tipos, (un conjunto de creencias sobre los tipos de los rivales)
§ Las acciones/estrategias posibles. § Unas funciones de pagos que ahora
dependen no sólo de las acciones sino también de los tipos.
Pagos, creencias y estrategias ! La función de pagos del Jugador i se escribirá como:
. , , , donde ), ; ,( iiiiiiiiiiiii TtTtAaAattaau −−−−−− ∈∈∈∈
! Creencias:
" Cada jugador conoce su tipo y por tanto su función de pagos.
" Cada jugador que desconoce la función de pagos de algunos de sus rivales tiene creencias (una distribución de probabilidad) sobre sus tipos, que las denotaremos por
. , para ) |( iiiiiii TtTtttp ∈∈ −−−
! Estrategias: Una acción para cada posible tipo del jugador.
En el ejemplo 1 § Jugadores, N={1,2}. § Los tipos de los jugadores: el jugador 1 tiene un
tipo y el 2 tiene dos: x, y. § Probabilidades sobre tipos: Cada uno de los tres
tipos tiene creencias sobre los demás.
§ Estrategias de 1: {A, B}. De 2: {II, ID, DI, DD} § Los pagos: las 2 matrices (transparencia 7).
(p(t2 = x / t1) = 2 / 3, p(t2 = y / t1) =1/ 3).(p( t1 / t2 = x) =1).(p( t1 / t2 = y) =1).
La Batalla de los Sexos con información incompleta
§ Una pareja: ella forofa del Fútbol y él forofo de la Ópera.
§ Las preferencias de Él dependen de si está agobiado o no. Si está agobiado prefiere pasar la noche sin su pareja. Si está tranquilo (normal) prefiere la ópera al fútbol, y prefiere pasar la noche con ella en el fútbol que solo en la ópera
§ Ella cree que es igual de probable que Él esté agobiado como que no lo esté.
Pagos
Pagos si Él agobiado Prob. = 1/2
Él F O
Ella F 2 , 0 0 , 2
O 0 , 1 1 , 0
Pagos si Él normal Prob. = 1/2
Él F O
Ella F 2 , 1 0 , 0
O 0 , 0 1 , 2
Mejor Respuesta de ÉL Él Normal
F O
Ella F 2 , 1 0 , 0
O 0 , 0 1 , 2
Él Agobiado F O
Ella F 2 , 0 0 , 2
O 0 , 1 1 , 0
MR de Él (F) = FO MR de Él (O) = OF
Si ella elige fútbol la mejor respuesta de ÉL es: fútbol si normal y ópera si agobiado.
Si ella elige ópera la mejor respuesta de ÉL es: ópera si normal, y fútbol si agobiado
Mejor Respuesta de Ella
FF FO OF OO
F 2 1 1 0
O 0 0.5 0.5 1
MR(FF) = F MR(F) = FO MR(FO) = F MR(O) = OF MR(OF) = F MR(OO) = O
Ø ENB: (fútbol, (fútbol si normal, y ópera si agobiado))
La Batalla de los Sexos con información incompleta. Análisis alternativo.
Azar
Él.Normal Él.Agobiado
F O O F
Ella
F F F FO O O O
1
2
Pagos de Él
Pagos de Ella
0
0
2
1
0
2
1
0
2
0
0
1
0
0
1/2 1/2
ENPS en la forma extensiva
FF FO OF OO F 2, 0.5 1, 1.5 1, 0 0, 1 O 0, 0.5 0.5, 0 0.5, 1.5 1, 1
§ No hay subjuegos, por tanto el ENPS coincide con el EN
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