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Integral definida
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Mgtr. Julio César Moreno Descalzi
INGENIERÍA CIVILY AMBIENTAL
Mgtr. Julio César Moreno Descalzi
Mgtr. Julio César Moreno Descalzi
ANÁLISIS MATEMÁTICO IIINTEGRAL DEFINIDA 1
Mgtr. Julio César Moreno Descalzi
Uno de los problemas que más repercusión ha tenido en la historia de las matemáticas es el del estudio del área encerrada bajo una curva, pues tiene una aplicación inmediata en algunos problemas de física.
INTRODUCCIÓN
Área
Mgtr. Julio César Moreno Descalzi
n: entero positivo
nabx
x3
x3 = a + 3Δx
f: continua en [a, b] y
xa b
x1 = a + Δxx1
x2 = a + 2Δx
x2x0 = a x0
xn = a + nΔx = b
xnx4 x5
iii xxx *
1
n
ii xxf
1
* )( Suma de Riemann
xi-1 xi
Δx
*ix
f(xi*)
LA INTEGRAL DEFINIDA
Mgtr. Julio César Moreno Descalzi
f: continua en [a, b]y
x
n: entero positivo
nabx
x0 = ax1 = a + Δx
x2 = a + 2Δxx3 = a + 3Δx
xn = a + nΔx = b
a bx1 x2 x3 xnx0
x4 x5
iii xxx *
1
n
ii xxf
1
* )( Suma de Riemann
n
iin
xxf1
* )(lim b
adxxf )(
Integral definida de f en [a, b]
LA INTEGRAL DEFINIDA
Mgtr. Julio César Moreno Descalzi
Aproximación bajo Sumas Inferiores
bxyaxentrefbajoÁreanfS n ),(inf
n
kkk xfxxfxxfxxfxxfxnfS
1321inf ........,
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Aproximación bajo Sumas Superiores
bxyaxentrefbajoÁreanfS n ),(sup
n
kkk xfxxfxxfxxfxxfxnfS
1321sup ........,
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Aproximación al Área bajo la curva
Mgtr. Julio César Moreno Descalzi
LA INTEGRAL DEFINIDADada una función f(x) de una variable real x y un intervalo [a,b] de la recta real, la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las líneas verticales x = a y x = b. Se representa por:
∫ es el signo de integración. a límite inferior de la integración. b límite superior de la integración. f(x) es el integrando o función a integrar. dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la
función que se integra.
dxxfb
a
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Propiedades de la Integral Definida
El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de integración.
Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero.
dxxfdxxfa
b
b
a
0 dxxfa
a
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Propiedades de la Integral Definida
Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].
La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales·
dxxfdxxfdxxfb
c
c
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxfb
a
b
a
b
a )(
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Propiedades de la Integral Definida
La integral definida del producto de un escalar por una función:
La integral definida de una constante:
dxxfcdxxcfb
a
b
a
abcdxcb
a
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REGLA DE BARROW
La regla de Barrow dice que la integral definida de una función continua f(x) en un intervalo cerrado [a, b] es igual a la diferencia entre los valores que toma una función primitiva G(x) de f(x), en los extremos de dicho intervalo.
)()()()( aGbGxGdxxf ba
b
a
(Teorema Fundamental del Cálculo Integral)
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Ejercicios
381
21
31
431
21
31
43
2343)13(
13
1
1
2341
1
23
1
1
23
xxxxdxxxx
dxxxxEjemplo 3:
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EjerciciosEjemplo 4:
3
0
1
0
3
1
2 dx)1x(dxxdx)x(f
Si
Hallar:
31 1 - 10 x
)(2
xxx
xf
3
0
dxxf
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EjerciciosEjemplo 5: Calcular:
xx
xxxf
2- 22 2-x-
2 )(
dxx
3
32
Como el valor absoluto es:
dxxdxxdxx
3
2
2
3
3
3222
1323
3
dxx
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EjerciciosEjemplo 6: Calcular:
2,3, 6)-xx(
,2[]3, , 6-xx 6 )(
2
22
x
xxxxf
dxxx 4
4
2 6
La variación de signos de es: )2)(3(62 xxxx
-3 2
+ +-
dxxxdxxxdxxxdxxx
4
2
22
3
23
4
24
4
2 )6()6()6(6
3109
338
6125
6176
4
4
2
dxxx
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UN PROBLEMALa función costo marginal de un medicamento contra la diabetes a un nivel de producción x es:Calcule el incremento en el costo total cuando el nivel de producción se incrementa de 1000 a 1500 unidades del medicamento.
xC 01.05.23´
Solución:El incremento en el costo está dado por:
1500
1000
1500
1000)01.05.23()´( dxxdxxC
1500
1000
2
201.05.23
xx
)1000(005.0)1000(5.23)1500(005.0)1500(5.23 22
5005
El incremento en el costo es por consiguiente de: 5005$ Rpta.
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Ejercicios para Resolver
1
2
3
Calcular el Valor de:
4
5
b
a
Rbmcondxbmx ,,
dxx
1
0 11
dxx
1
0 11
dyyy
4
1 2
1
dxsenxex
1.
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Ejercicios para Resolver
6
7
8
9
10
11
12
13
dxx 6
22
dxx
3
0 3251
dxxx
e
e
2
)ln(1
dxxxsene
1
ln
dxee
x
x
1
0 21
dxxx20
cos
dxxe
1 )ln(
dxex x1
0
22
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Valor promedio de una función
Sea f integrable en . Entonces el valor promedio de f en es
dxxfab
b
a1
ba,
ba,
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01 Concentración de un medicamento en el cuerpo.La cantidad de cierto medicamento varía en el cuerpo de un paciente, t días después de su administración, es:
unidades. Determinar la cantidad promedio del medicamento presente en el cuerpo del paciente durante los primeros cuatro días posteriores a su administración.
02 Temperatura Promedio La variación de la temperatura (en grados Farenheit) en Boston durante un período de 12 horas cierto día de Diciembre está dada por:
Donde t se mide en horas, con t=0 correspondiente a las 6A.M. Determine la temperatura promedio de ese día durante el período de 12 horas, de las 6 A.M a las 6 P.M.
tetC 2.05)´(
)120(6.58.34.005.0´ 23 ttttT
PROBLEMAS
Rpta. 3.44
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PROBLEMAS
03 Costo de Materia Prima.La tonelada de una materia prima utilizada para elaborar un medicamento cuesta US$ 46. Los estudios indican que dentro de x semanas, el precio estará cambiando a una tasa de 0,09 + 0,006 X2 US$/semana.¿Cuál fue el incremento del costo de la tonelada de esta materia prima de la segunda a la sexta semana?.
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Información:La Integral Definida y sus Aplicaciones
(PARTE I)
Presentación realizada por:
Julio César Moreno Descalzi Univ. Santo Toribio de Mogrovejo
ANÁLISIS MATEMÁTICO II
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