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LA PROGRAMACION LINEAL Y EJEMPLOS DE SU APLICACIONEN EL MANEJO DE BOSQUES
José Ciro HERNANDEZ DIAZ*
•Ing. Jefe deUCEF "Meango"'del Centro de Investigadonee .Forestdes del Norte (CIFONOR), IMF.SF-SARH. . . .
-=z9
. . .
r
1
I .
INTRODUCCION
La programación lineal es una parte de la técnica más ge-
neral llamada programación matemática y se usa para deter
minar la mejor asignación de recursos limitados de una em
presa ; dicha programación matemática comprende además de^
la lineal, la programación cuadrática, la entera, la diná
mica, la estocástica, etc . (1 :4 .).
La versión actual de la técnica de programación lineal es
de origen reciente ; en 1941 Hitchcock interpretó por pri-
mera vez un problema de transporte, tema que también estu
dio Koopmans seis años después . En 1945, Stigler estudió
el problema de la dieta y en 1947 el Dr . George D. Dant--
zing y sus colaboradores encabezados por Marshall Wood de
sarrollaron el método "Simplex" como un procedimiento de
solución que permite reducir el número de pasos necesarios
para optimizar un modelo de programación lineal .- Dantizing
aplicó ese enfoque a la búsqueda de estrategias militares
durante la Segunda Guerra Mundial, pero predijo que podría
aplicarse a los problemas de negocios y eso es lo que ocu-
rre actualmente (4).
Para poder áplicar programación lineal a la solución de un
problema de negocios, se requiere llenar nueve requisitos
básicos:
1) .
Se debe definir claramente una función objetivo, en
forma matemática (3 .4 .)
2). Debe haber cursos alternat3.vos de acción de entre -'-
los cuales se habrá de determinar una solución que
satisfaga la función objetivo (4).
3). Los• objetivos y restricciones de la empresa se debe
rdn expresar como ecuaciones y desigualdades linea-
les (3 .4)
4). El suministro de recursos ha de ser limitado (4)
5). Las variables del problema deberán estar interrela=
ciónadas como consecuencia de la condición anterior
(3)
6). La solución óptima debe contener solo variables con
valores finitos (3)
7). Los` insumos deben ser divisibles (1)
9) . No debe haber interacción entre procesos y activida
des, es decir que el resultado total del proceso de
be ser igual a la suma de las actividades que inter
vienen. (1) (Una misma porción de un recurso no -
puede ser usado para producir dos cosas distintas)
9) . Se deben conocer con exactitud los "precios netos"
(coeficientes de las variables en la función objeti
vo, que indican el ingreso neto de cada actividad -
en problemas de maximización o el costo neto en pro
blemas'de minimizeción), asf como los coeficientes
de producción (coeficientes de las variables en las
restricciones. que indican la cantidad que se necesi
ta de cada recurso para obtener una unidad de acti-
vidad) . También debe conocerse con exactitud la --
disponibilidad de cada recursos y todos esos datos
conocidos se deben considerar constantes en el perfo
do de análisis (1) .
6
Hl hecho de tener en cuenta los requisitos antes menciona''
dos, da idea de la gran cantidad de análisis previo que -
se requiere antes de decidir si un problema dado se puede
solucionar empleando programación lineal, pues cabe decir
que hay otros métodos de optimizaci6n entre los cuales deitacan el Análisis Marginal, aplicable cuando no bay res . -
tricci6n explícita de recursos y el método de Multiplicada
res de Lagrange que sí contempla la restricción, de recur-
sos y tiene la ventaja de poder usarse con funciones de --
producción de cualquier grado . La Programación Lineal, --
aunque se limita a funciones lineales, tiene la enorme ven
taja de poder utilizarse para analizar problemas muy gran-
des y complejos (3).
1 .1 .
Ventajas de'laProgramación Linea9,
Son varias las ventajas de la Programación Lineal que se -
pueden señalar algunas de ellas son más. evidentes que otras,
a continuación se enumeran las principales:
1). Permite comparar un amplio rango de soluciones a]teT
nativas y analizar sus consecuencias requiriendo pa-
ra ello poco tiempo gerencial (2).
2). Indica al administrador como emplear más eficazmente
sus factores seleccionándolos y distribuyéndolos 4de
cuadamente (4).
3). Hace que el administrador sea más objetivo en sus de
cisiones al obtener todos los datos que puedan ser
dtiles para la formulación matemática del, problema -
(4).
4). Permite modificaciones a su solución matemática en .o
favor de la conveniencia, mediante la inclusión de . -
restricciones formuladas adecuadamente (4).
T
5) .
La Programación Lineal, ' permite indentificar los -
"cuellos de botella" en las operaciones actuales.
1 .2 .
LimitacionesdelaProgramaciónLineal
Cualquier métódo matemático por eficaz que resulte, estásujeto a limitaciones, la Programación Lineal no es unaexcepción . Éntrélas principales limitaciones de este.-.mátodo se encuentran las siguientes:
1). La Programación Lineal no puede auxiliar al geren-
te en la dificil tarea de formular expectativas de
precio ; sino que éstos deben ser conocidos para --
aplicar el proceso (2).
2). Es de poca utilidad para estimar relaciones de in-
snmo-producto .• El planificador debe contar con es-
timaciones de la cantidad y distribución de mano -de obra, tierra y capital necesarios' para producir.Estimaciones de este tipo resultan difíciles ; especialmenté cuando la empresa no lleva registros adecuados (2 .4).
3). La Programación Lineal se basa en el supuesto de -
que los precios y las `expectativas de insumo-pro--
ducto formuladas fueran igualmente confiables paratodos los productos. Es decir que no se toman en -
consideración situaciones de' riesgo en 'las decisio
nes (2).
4). Aveces resulta dificil especificar las restriccio-
nes (2).
5). No se toma en cuenta los rendimientos marginales -
fisicos decrecientes, sino que se trabaja como si
sólo se diera el caso de rendimientos constantes a
escala, situación muchas veces errónea en la reali
dad (2) .
aar.. .--rr+ :aes~~~.~M~~xx ._
6). Tampoco se puede» manejar adecuadamente las activida
des que involucran costos decrecientes (2).
7). Se requiere equipo de computación y rutinas de solu
ción bien probadas a fin de tener éxito en la apli-
cación de programación lineal a la planeación, pues
el logro de resultados realistas requiere utilizar
un gran número de actividades y restricciones que -
seria prácticamente imposible manejar con calculado
ra de escritorio (2).
2 .
Forma elemental de un problema de P . L.
a) .
Ejemplo de maximizaci6n:
1 .
Considere:
ma#cz= 3X1 + 5X 2
Función objetivo
S .a'.
X1 1 4 Recurso 1
X2 S 6 Recurso 2
3X1 + 2X2 c 18 Recurso 3
X1 '- 0
Cond . de no
X2 L 0
Negatividad
Este ejemplo por tener solo dos variables, se puede plantear
gráficamente, para ello:
Paso 1 Graficar las desigualdades como igualdades:
9
2
3
4
5
El área sombreada representa la "Región o Conjunto de Solu
ciones Factibles" . Esa región contiene todos los valores
de X1 y X2 (incógnitas) que satisfacen las restricciones.
Los puntos : 0, a, b, d, se llaman "Puntos Extremos" o -
"Soluciones Factibles Básicas", si hay una solución única
que maximize (o minimice) una función objetivo lineal, esa
solución se localizará en uno de los puntos extremos.
Paso 2 Encontrar los valores de X1 y X2 que maximicen la
función objetivo . Desde luego esos valores deben
ser parte de la región factible.
0 (0, 0) Z=3(0)+ 5 (0) 0
a (0, . 6) Z=3(0)* 5 (6) 30
b (2, 6) Zt3(2)+ 5 (6) 36 óptimo
c (4, 3) Z=3(4)+ 5 (3) 27
d(4, 0) Z=3(4)+ 5 {0) 12
1 6
10
Algunas veces relajando una de las restricciones es posi-
ble aumentar las ganancias (o disminuir los costos).
Note que el punto dado por X 1 = 2 y X2 = 6, es la deseada
solución única óptima y como antes se dijo es todavía un
punto de la región factible.
Como graficar la función objetivo:
La pendiente de cualquier linea con respecto a la horizon
tal está dada por:
Pendiente_ lo que sube _ S
lo que corre - C
La pendiente de la función objetivo está dada por P 1 /P2 -
lo cual se demuestra como sigue:
Suponemos una Ganancia "G" cualquiera y la reemplazamos
en la Función objetivo.
G = P1X1 + P2X2(1)
Sabemos que:
X1 = C
X2 = S
El máximo valor que puede tener X1 es cuando X2 = 0
Luego reemplazando X 2 = 0 en (1)
G = P1X1 + P2 (0) = P1X1
X1 = G = C
p1
11
r,.
De manera similar, reemplazando `X1-= 0 - eh (1)
G = P1 (0) + 2X2
X2 = G =P2
S
Luego:
Entonces en el ejmplo que estamos viendo, la pendiente de -
la fuiici$n objetivo esta dada . por 3/5:, es decir, el coefi-
ciente de X1 se grafica en el eje-de X2 .y el coeficiente de
X2 se grafica en el eje de X1 y se unen esos puntos ; por -
lo tantó se dice que la pendiente' de la f.o. es la inversa
de la relación de precios.
b . Ejemplo de minimización
Considere:
Min. C = 40X1 + 200X2
S.a.
(1) 4X1 + '0X2 a 160
(2) 3X1 + 9OX2 a 60
(3) 8X1 + 1OX2 80
X1 a 0
X2 t 0
Conociendo la pendiente de la
función pbjetivo, se grafica
y es sencillo estimar cuales
son los puntos extremos más -
probables de constituir una -
soluci6n óptima, asf que solo
a esos puntos se enfoca el --
análisis, encontrando los va-
lores de las X's y reemplazáis
dolos en la función objetivo . En este caso la intersección
de las restricciones (1) y (2) constituye la solución de --
costo mfnimo con C = 1000, (demostrarlo).
3 .
Casos especiales
1 . Solución ilimitada. Es cuando un problema no tie-
ne máximo finito para la función objetivo . Esto
normalmente significa que el modelo matemático ha
sido formulado incorrectamente.
Regiónfactible
Ejemplo :
X 2
Z'max = 10X1 +20X2
S .a .
10
X1 +5X2
1
0
5
X2
C
Región factible
ba
5
Soluciones infinitas . Ocurre algunas veces, cúeñdó' - lá"-'`'función objetivo coincide con una restricción.
Restricciones redundantes . Son aquéllas que no limi-
tan la región factible y que por lo tanto se podrían
eliminar del modelo sin alterarlo.
4 . Solución no factible . Puede resultar si el modelo no
está correctamente planteado.
El método gráfico tiene la limitante de que no se pue
de trabajar con más de 3 variables . Un método alter-
no es el "Simplex" que sirve pata cualquier ndmero de
variables . ,
En problemas prácticos por lo general las variables -
y restricciones son numerosas, por lo que tienen que
manejarse con equipo de computaci8n . Existen diver-
sos paquetes listos para usarse y quebasan su solu-
ción también en el método "Simplex"
4 .
La Programación Lineal en el Manejo de Bosques.
Ejemplo 1 : Regulación de Bosques con P .L.
El propietario de un predio boscoso desea aplicar 4 siste-
mas de manejo para establecer rendimientos iguales durante
los próximos 50 afios.
Su objetivo es maximizar el ingreso presente neto de su --
bosque mientras desarrolla ese sistema de control . .
Dada la siguiente información L Como se debería formular -
el problema matemáticamente para determinar el ndmero de -
hectáreas manejado con cada esquema?.
14
° -PLAN-'DE' -MANEJO
Ingreso neto descontado
por ha durante los pró-
ximos 50 años.
N° de hectáreas en don-
de el plan es aplicable
(datos de inv .)
MPD/ha posibles durante
los siguientes 50 años .
1
2
3
4
523 538 303 310
300 250 400 550
34 39 27 28
El propietario desea que al menos 1 000 ha sean sometidas a
alguno de los sistemas de manejo, pero cuando mucho 1 400 -
ha se pueden intervenir, debido a problemas de accesibili-
dad.
Con los planes 1 y 2 se deben cosechar 11 000 MPD para esta
blecer rendimiento sostenido, mientras que en los planes 3
y 4 requieren por lo menos 15 000 MPD.
Es de esperarse que el mercado no pueda absorber más de - -
30 000 MPD.
Formulación:
Xi = hectáreas tratadas con el plan i
F.O . max Z = 523X 1 + 538X2 + 303X3 + 3.10X4
S .a.
X1 + X2 + X3 + X4 >- 1 000 ha
X1+X2 +X3 +X4
: 1400ha
34X1 + 39X2 = 11 000 MPD
27X3 + 28X4 s 15 000 MPD
15
34 X1 + 39 X2 + 2 X3 _+ 28 X4 30 000 MPD
X1 .. 300
X2 = 250
.
X3 400
550
Ejemplo 2 . Regulación de bosques con P .L.
Optimización de la conversión hacia cosecha obtenida
Consideremos un bosque dividido en 4 compartimentos sobre
la base de calidad de estación, E .R .T . y edad, el intérva
lo de tiempo entre cortas es de 5 afios, el periodo de con
versión es de 20 años . Deseamos maximizar el volumen - -
aprovechado durante esos 20 años dadas ciertas restriccio
nes que incluyen el criterio de cosecha sostenida . La si
guíente información se basa en tablas locales . de produc--
ci6n :
Volumen/ha (pies)Periodo de corta
Compartimiento 1 2 3 4
1 982 1100 1240 1300 . 650 ha
2 300 950 1200 . 1240 400 ha
3 1300 1390 1385 1200 710 ha
4 1500 1510 .1200 1000 550 ha
Los compartimentos i y 2 están ahora completamente pobla-
dos: Los compartimentos 3 y 4 están sobrepoblados . A --
fin de mantener los compartimentos 1 y 2 en esa condición
16
CALCULO DEL VALOR DE UN ARBOL POR
EL 111ETOD0 DE REPOSICION AJUSTADO.
r,
COSTO BASE DE
% FACTOR
% FACTOR
% FACTOR
VALOR ESTIMADO
REPOSICION
X ESPECIE
X CONDICION X UBICACION =
DEL ARBOL
EJEMPLO:
34 000
X 85%
X 90 %
X 85%
22108
BIBLIOGRAFIA
DOYDEN, Stephen y John Celecia . 1981. Ecología de las ' megal6polis . El
correo de la UNESCO. Abril, año XXXIV. Pág. 24-27
INTERNATIONAL Society of Arboriculture . 1983. Guide for establishing
values of trees and other plants . Council of tree and Landscape - -
Appraisers .
367
se requiere establecer cosechas iguales en cada período.
Dado que los compartimentos 3 y 4 estén sobremaduros ( o
sobrepoblados) para es blecer la relación apropiada de
crecimiento-corta, la corta se debe incrementar en 10% -
cada período.
El encargado del manejo del bosque considera necesario -
que cada hectárea de cada compartimento se coseche al me
nos una vez durante el período de conversión.
Cuando menos 100 ha habrán de cortarse durante cada c i -
clo de corta, a fin de poder negociar un contrato de - -
abastecimiento.
Formulación:
Xij = N° de hectáreas del compartimento i, aprovechadas
en el período de corta j.
F .O . Max Z = 982 X11
+' 1100 X1+ 1240 X13 + 1300 X14
+ 300 X21 + 4 . . + 1240 X24
+ 1300 X31 + . . . + 1200 X34
+ 1500 X41 + . .. +. 1.000 X44
S . a .
=
0982 X11
1100 X12
01100 XZ2
1240 X13
1240 X
0-
1300 X14
13
300 X21
950 X22
=
0
950 X2 2-
1200 X23
0
1200 X23
-
1240 X24
Cosechas iguales en
el comp . 1, en cada
período.
Cosechas iguales en
el comp . 2, en cada
▪ período.
17
1 .1 . (1300 X31 ) - 1390 X32 _. v0_ =
_ _
~Increm. de 10% por
1 .1 . (1390 X32 ) - 1385 X33 = 0
periodo en el comp.
1 .1 . (1385 X33 ) - 1200 X34 = 0
3.
1 .1 . (1500 X41 ) - 1510 X42 = 0
1 .1 . (1510 X42 ) - 1200 X43 = 0
1 .1 . (1200 X43 ) - 1000 X44 = 0
X11 + X 21 + X31 + X41 e 100 ha
X12+122 + X32 + X42 e. 100 ha
X13 + X23 + X 33 + X43 s 100 ha
X14 + X24 + X34 + X44 = 100 ha
Todas las Xij >0 (cosechar c/ha al menos una vez)
982 X11 + 300 X21 + 1300 X31 + 1500 X 41 - (1100 X12 +
+ 950 X22 + 1300 X32 + .1510 X42 ) = 0
Cosecha igual perío
dos 1 y 2.
1100 X12 + 950 X22 + 1390 X32 + 1510 X42 - (1240 X13 +
+ 1200 X23 + 1385 X 33 + 1200 X43 ) = 0 Cosecha igual pe-
ríodos 2 y 3.
Hacer lo mismo para los periodos 3 y 4.
Ejemplo 3 . Manejo de bosques con P .L.
El bosque de la región de El Salto, P .N ., Dgo ., esta suje
to a un programó de regulación que durará 60 afios . Duran-
te ese periodo se aplicarán diversos tratamientos a cada
subrodal segdn sus condiciones .
.
Increm. de 10% por
periodo en el comp.
4.
Cosechar al menos
100 ha por período.
18
Se tiene el objetivo de cortar el máximo volumen posible
al mismo tiempo que se regulariza el bosque y se cumple
con ciertos requisitos:
Se aplicarán 5 tratamientos al bosque que son:
Tratamiento I .C .
$
ter . Aclareo 1 20
2do . Aclareo 2 22
3er . Aclareo 3 25
Corta de regeneración 4 50
Corta de liberación con
preaclareo 5 10
Las E .R .T . por sección y su distribución de productos --
son como sigue :
ERTMill.m3r
Distribución en valumen
Sección Area (ha) Triplay Aserrío
Durmiente
Cajas
Estacas
1 21,000 2 .5 3 %
20 %
15 %
15 $
25 %
2 27,000 3 .0 2 %
25 $
10 $
20 %
25 $
3 25,000 4 .5 4 $
35 $
20 $
10 $
15 $
4 16,000 1 .5 1 %
15 51
10 $
15 %
20 $
Suma:- 89,000 11 .5
El resto del volumen representa desperdicios.
Es intención de la D .T.F . regularizar el bosque en 6 pe--
riodos dé corta de 10 años c/u, por lo cual en cada sec--
ción se deberán aplicar los tratamientos como sigue:
19
En las secciones 1 y 2 es posible comenzar desde el pri-
mer periodo cortando igual superficie por cada tratamien
to, en cada período de corta, aunque esto no es indispen
sable.
La sección 3 presenta bosque sobremaduro, por lo que en
los primeros 3 periodos se deberá cortar igual volumen -
en los tratamientos 1, 2 y 3 ; al menos 40 % más en el --
tratamiento 4 que en cualquiera de los 3 primeros y cuan
do mucho 50 % del volumen en el 5° tratamiento con res-
pecto al 4° tratamiento.
La sección 4 sufrió hace 10 años un incendio por lo que
ahora hay mucho renuevo pero no mucho arbolado grueso.
A ello se debe que como corta de liberación se tenga que
extraer más de 40 % del volumen aprovechable, mientras -
que el resto se repartirá en partes iguales en los otros
4 tratamientos . (solo en el primer período).
Hay una industria local establecida que debe abastecerse
al menos en un 80% de su capacidad instalada, la cual es
como sigue :
-
. Aserrio
400,000 m a r/año
Caja clavada-y alambrada
280,000 m 3 r/año
'680,000 m3 r/año
Así mismo la demanda de estaca para tutor de viñedo que
se calcula será del orden de 100,000 m3r/año (mas de 10
millones de estacas) deberá surtirse cuando menos en un
90%.
El aserrio y la .madera para cajas-se obtiene de los tra-
tamientos 1,2, 3 y 4 y 1a mitad del volumen del tratamien
to 5 .
Con este sistema silvícola se desea incrementar el volumen
total cortado por período, en un 10% con respecto al perio
do anterior hasta llegar al 6°, después del cual se estabi
lizará el volumen aprovechado por ciclo ya que para enton-
ces se espera haber regularizado la totalidad del bosque.
Como información adicional se conoce que cada hectárea por
tratamiento y por sección produce la siguiente cantidad de
madera en rollo total en cualquiera de los períodos de cor
ta .
Volumen de corta/ha en m.r .t.
Tratamiento1 2 3 4 5
24 26 30 60 12
22 24 28 55 11
36 39 45 90 18
19 20 23 46 10
Sección
Definición de variables:
Xijk = N° de hectáreas a las que se aplica el tratamiento
i en la sección j, durante el período k.
i =
1,2,3,4,5 j
=
1,2,3,4 k =
1,2,3,4,5,6
Función objetivo
Max Z
= 24X111 + 22X 121 + 36X
131 + 19X141
26X211 + 24X221 + 39X
231 + 20X241
21
Período 1 = 30X311 +
28X321 + 45X
331 + 23X341
60X
+411
55X421 + 90X431 + .46X441
12X511 + 11X
521 + 18X531
+ 10X541
24X112
+
. . . + 19X 142
26X212 + + 20X
242
Período 2 = 30X312 +
+ 23X342
6OX412 + + 46X442
12X512
+
,•, + 1 0X 542
Se colocan las variables correspondientes a los otros 4 -
períodos de corta . En total serán 120 variables (5 trat.
X 4 secciones X 6 períodos).
Restricciones
24X131
= 26X231
26X231
= 30X331
Igual volumen en los trat.
24X132
= 26X232
1,2,3 en la secc . 3 en los 3
26X232
= 30X332
primeros períodos.
24X133
= 26X233
26X233
= 30X333
1 .4(30X331) 4 60X431
1 .4(30X332)4 60X432
1 .4(30X333) < 60X433
Al menos 40% más volumen en el
trat . 4 que en los 3 primeros
en la secc . 3.
22
.5(60X431 ) ~12X
531
.5(60X012 )
> 12X532
.5(60X433 ) °— 12X 533
19X141
- 20X 241
20X241
= 23X341
23X341= 46X441
Cuando mucho 50% del volumen en
el trat . 5° con respecto al 4°
en la secc . 3 en los 3 primeros
períodos.
Igual volumen en los trat . 1,2,
3 y 4 en la secc . 4, período 1.
. 40(19X141
+20X241
+23X341
+46X 441 +10X 541 ) —10X
541
Más de 40% del volumen en trat.
5 en la secc . 4, en el período
1.
24X111+22X121+36X131+19X141+
Cumplir con al menos 80% -
+26X
+24X
+39X
+20X
+ de la industria en el perro211
221
231
241
do 1.+30X311+28X321+45X331 +23X341+
+60X411
+55X421
+90X431
+46X441+
+ .5(12X511+11X521+18X531+10X541) ?= .80 (6 800 000)
Hacer lo adecuado para cada periodo restante.
.5(12X511+11X521+18X531+10X541)
.90 (1 000 000)
Demanda de estacas en el período 1.
Hacer lo propio para los demás períodos.
23
Esta restricción re-
presenta que en el -
período 2 se cortará
10% mayor volumen .--
con respecto al peno
do 1.
Hay que hacer lo mis-
mo entre los períodos
2 y 3, 3 y 4, 4 y 5,
5 y 6.
1 .10(24X 111+22X121+36X
131+19X
141+
+26X211 +24X 221+39X 231
+20X241 +
+30X311
+28X321
+45X331
+23X341 +
+60X411+ . . .
+46X441 +
+12X511 + . ,+10X541 )
= 24X112
+22X122
+36132
+19X 142 +
+ 26X212 + . ' +20X242 +
+ 30X312+ +23X
342 +
+ 60X412+ ,, . +46X442+
+ 12X512+ +10X542
NOTA: Los datos del ejemplo anterior son supuestos y po
siblemente haya incongruencia entre ellos . El ob
jetivo del ejemplo es únicamente ilustrar el posi
ble uso de la programación lineal en un problema
del manejo de bosques.
24
BIBLIOGRAFIA
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