Ley de los cosenos y ejercicios de exámenes anteriores

I n s t i t u t o G r i g o r y P e r e l m a n

E l i g i o A y a l a 8 4 4 c a s i T a c u a r y

4 4 1 - 3 2 0 C e l u l a r ( 0 9 7 1 ) 3 2 9 0 6 1

e m i l i o r t i z 1

h o t m a i l . c o m

0 8 / 0 5 / 2 0 1 0

Prof. Master Emilio Ortiz Trepowski

Ley de los cosenos con ejercicios resueltos de exámenes anteriores.

Apuntes de Ley de los Cosenos con Ejercicios Resueltos Ingreso a Medicina UNA

Instituto Grigory Perelman. Prof. Master Emilio Ortiz Trepowski. Eligio Ayala 844 casi Tacuary. Teléfono 441.320.

Celular (0971) 329 061. emiliortiz1@hotmail.com.

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Queridos Alumnos,

El propósito de estos apuntes es el de estudiar la ley de los cosenos y aplicarla a los temas que han aparecido en exámenes anteriores del ingreso a la Facultad de Ciencias Médicas de la UNA.

Ojalá les sea de utilidad.

Los esperamos para estudiar en el Instituto Grigory Perelman y asegurar su aprendizaje e ingreso a la Facultad.

Con los mejores deseos y saludos muy cordiales.

Prof. Emilio Ortiz Trepowski.

Ley de los cosenos

La ley de los cosenos es una herramienta importante para el cálculo de las medidas de los lados y de los ángulos de un triángulo cualquiera.

Para demostrarla, consideremos un triángulo ABC cualquiera y el ángulo A .

Consideremos el triángulo ABC isósceles, en el que todos los ángulos son menores que 90 grados.

En este caso, tendremos que el rectángulo BCH:

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22 2a h c m

En el rectángulo ACH:

2 2 2 2 2 2b h m h b m

Sustituyendo la última expresión en la primera:

22 2 2 2 2 2 2a b m c m a b c cm

También sabemos que en el rectángulo ACH, tenemos que:

cos cosm m bb

Sustituyendo:

2 2 2 2 cosa b c bc

La que es llamada la ley de los cosenos. Se puede demostrar también que esta ley rige también para los triángulos que tienen un ángulo obtuso.

Podemos repetir la ley de los cosenos en palabras:

En un triángulo cualquiera, el cuadrado de la medida de un lado es igual a la suma de los cuadrados de las medidas de los otros dos lados, menos dos veces el producto de las medidas de esos lados por el coseno del ángulo formado por ellos.

Tema de exámen

1. En el triángulo isósceles de la figura, el valor de cos es:

a) 29

b) 39

c) 59

d) 79

e) 49

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Por la ley del coseno:

2 2 2

2 22

2 22

22

22

2 cos

3 3 3 32 cos2 2 2 2

3 32 2 cos2 2

32 1 cos2

2 9 1 cos4

2 1 cos9

2 7cos 19 9

a b c bc

a a a aa

a aa

aa

aa

2. El valor de 2cos del ángulo , sabiendo que 2 2

sen ba b

, donde

2 2 0,a b es:

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a) 2 2

2a b

b) 2bc

c) 2 22a

a b

d) 2 2

2aa b

e) ab

2 2

22cos aa b