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Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 1/15
Álgebra LinealMa1010
Matrices ElementalesDepartamento de Matemáticas
ITESM
Matriz ElementalEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3OperacionesInversasEjemplo 4Operacion vsMatrizEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7Inversa deElementalesEjemplo 8EquivalenciaResultado Clave
Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 2/15
Matriz Elemental
Una matriz n× n se llama matriz elemental sipuede obtenerse de la matriz identidad In×n pormedio de sólo una operación elemental derenglón, es decir:■ intercambiando los renglones i y j,■ multiplicando el renglón i por una constante c
diferente de cero, o■ sumando al renglón i el renglón j multiplicado
por la constante c.
Matriz ElementalEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3OperacionesInversasEjemplo 4Operacion vsMatrizEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7Inversa deElementalesEjemplo 8EquivalenciaResultado Clave
Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 3/15
Ejemplo
Son matrices elementales de intercambio:
E1 =
[
0 1
1 0
]
, E2 =
0 1 0
1 0 0
0 0 1
, E3 =
1 0 0
0 0 1
0 1 0
Porque
Matriz ElementalEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3OperacionesInversasEjemplo 4Operacion vsMatrizEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7Inversa deElementalesEjemplo 8EquivalenciaResultado Clave
Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 3/15
Ejemplo
Son matrices elementales de intercambio:
E1 =
[
0 1
1 0
]
, E2 =
0 1 0
1 0 0
0 0 1
, E3 =
1 0 0
0 0 1
0 1 0
Porque■ E1 corresponde a R1 ↔ R2 sobre I2×2;
Matriz ElementalEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3OperacionesInversasEjemplo 4Operacion vsMatrizEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7Inversa deElementalesEjemplo 8EquivalenciaResultado Clave
Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 3/15
Ejemplo
Son matrices elementales de intercambio:
E1 =
[
0 1
1 0
]
, E2 =
0 1 0
1 0 0
0 0 1
, E3 =
1 0 0
0 0 1
0 1 0
Porque■ E1 corresponde a R1 ↔ R2 sobre I2×2;■ E2 corresponde a R1 ↔ R2 sobre I3×3; y
Matriz ElementalEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3OperacionesInversasEjemplo 4Operacion vsMatrizEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7Inversa deElementalesEjemplo 8EquivalenciaResultado Clave
Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 3/15
Ejemplo
Son matrices elementales de intercambio:
E1 =
[
0 1
1 0
]
, E2 =
0 1 0
1 0 0
0 0 1
, E3 =
1 0 0
0 0 1
0 1 0
Porque■ E1 corresponde a R1 ↔ R2 sobre I2×2;■ E2 corresponde a R1 ↔ R2 sobre I3×3; y■ E3 corresponde a R2 ↔ R3 sobre I3×3.
Matriz ElementalEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3OperacionesInversasEjemplo 4Operacion vsMatrizEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7Inversa deElementalesEjemplo 8EquivalenciaResultado Clave
Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 4/15
Ejemplo
Son matrices elementales de multiplicación:
E4 =
[
5 0
0 1
]
, E5 =
1 0 0
0 −7 0
0 0 1
, E6 =
1 0 0
0 1 0
0 0 2/5
Porque
Matriz ElementalEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3OperacionesInversasEjemplo 4Operacion vsMatrizEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7Inversa deElementalesEjemplo 8EquivalenciaResultado Clave
Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 4/15
Ejemplo
Son matrices elementales de multiplicación:
E4 =
[
5 0
0 1
]
, E5 =
1 0 0
0 −7 0
0 0 1
, E6 =
1 0 0
0 1 0
0 0 2/5
Porque■ E4 corresponde a R1 ← 5R1 sobre I2×2;
Matriz ElementalEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3OperacionesInversasEjemplo 4Operacion vsMatrizEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7Inversa deElementalesEjemplo 8EquivalenciaResultado Clave
Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 4/15
Ejemplo
Son matrices elementales de multiplicación:
E4 =
[
5 0
0 1
]
, E5 =
1 0 0
0 −7 0
0 0 1
, E6 =
1 0 0
0 1 0
0 0 2/5
Porque■ E4 corresponde a R1 ← 5R1 sobre I2×2;■ E5 corresponde a R2 ← −7R2; sobre I3×3 y
Matriz ElementalEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3OperacionesInversasEjemplo 4Operacion vsMatrizEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7Inversa deElementalesEjemplo 8EquivalenciaResultado Clave
Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 4/15
Ejemplo
Son matrices elementales de multiplicación:
E4 =
[
5 0
0 1
]
, E5 =
1 0 0
0 −7 0
0 0 1
, E6 =
1 0 0
0 1 0
0 0 2/5
Porque■ E4 corresponde a R1 ← 5R1 sobre I2×2;■ E5 corresponde a R2 ← −7R2; sobre I3×3 y■ E6 corresponde a R3 ←
2
5R3 sobre I3×3.
Matriz ElementalEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3OperacionesInversasEjemplo 4Operacion vsMatrizEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7Inversa deElementalesEjemplo 8EquivalenciaResultado Clave
Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 5/15
Ejemplo
Son matrices elementales de eliminación:
E7 =
[
1 1/3
0 1
]
, E8 =
1 0 0
0 1 −5
0 0 1
, E9 =
1 0 0
0 1 0
0 7 1
Porque
Matriz ElementalEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3OperacionesInversasEjemplo 4Operacion vsMatrizEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7Inversa deElementalesEjemplo 8EquivalenciaResultado Clave
Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 5/15
Ejemplo
Son matrices elementales de eliminación:
E7 =
[
1 1/3
0 1
]
, E8 =
1 0 0
0 1 −5
0 0 1
, E9 =
1 0 0
0 1 0
0 7 1
Porque■ E7 corresponde a R1 ← R1 + 1/3R2 sobre I2×2;
Matriz ElementalEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3OperacionesInversasEjemplo 4Operacion vsMatrizEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7Inversa deElementalesEjemplo 8EquivalenciaResultado Clave
Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 5/15
Ejemplo
Son matrices elementales de eliminación:
E7 =
[
1 1/3
0 1
]
, E8 =
1 0 0
0 1 −5
0 0 1
, E9 =
1 0 0
0 1 0
0 7 1
Porque■ E7 corresponde a R1 ← R1 + 1/3R2 sobre I2×2;■ E8 corresponde a R2 ← R2 − 5R3 sobre I3×3; y
Matriz ElementalEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3OperacionesInversasEjemplo 4Operacion vsMatrizEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7Inversa deElementalesEjemplo 8EquivalenciaResultado Clave
Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 5/15
Ejemplo
Son matrices elementales de eliminación:
E7 =
[
1 1/3
0 1
]
, E8 =
1 0 0
0 1 −5
0 0 1
, E9 =
1 0 0
0 1 0
0 7 1
Porque■ E7 corresponde a R1 ← R1 + 1/3R2 sobre I2×2;■ E8 corresponde a R2 ← R2 − 5R3 sobre I3×3; y■ E9 corresponde a R3 ← R3 + 7R2 sobre I3×3.
Matriz ElementalEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3OperacionesInversasEjemplo 4Operacion vsMatrizEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7Inversa deElementalesEjemplo 8EquivalenciaResultado Clave
Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 6/15
NotasLas operaciones elementales sobre los renglonesde una matriz son reversibles, es decir es posibleretornar a la matriz inicial haciendo otra operaciónelemental.
Matriz ElementalEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3OperacionesInversasEjemplo 4Operacion vsMatrizEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7Inversa deElementalesEjemplo 8EquivalenciaResultado Clave
Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 6/15
NotasLas operaciones elementales sobre los renglonesde una matriz son reversibles, es decir es posibleretornar a la matriz inicial haciendo otra operaciónelemental.En general:
Operación Elemental Operación inversa correspondiente
Ri ↔ Rj Ri ↔ Rj
Ri ← cRi Ri ← (1/c)Ri
Ri ← Ri + cRj Ri ← Ri − cRj
Matriz ElementalEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3OperacionesInversasEjemplo 4Operacion vsMatrizEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7Inversa deElementalesEjemplo 8EquivalenciaResultado Clave
Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 7/15
Ejemplo
■ La inversa de R1 ↔ R4 es R1 ↔ R4,
Matriz ElementalEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3OperacionesInversasEjemplo 4Operacion vsMatrizEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7Inversa deElementalesEjemplo 8EquivalenciaResultado Clave
Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 7/15
Ejemplo
■ La inversa de R1 ↔ R4 es R1 ↔ R4,■ La inversa de R2 ↔ R3 es R2 ↔ R3,
Matriz ElementalEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3OperacionesInversasEjemplo 4Operacion vsMatrizEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7Inversa deElementalesEjemplo 8EquivalenciaResultado Clave
Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 7/15
Ejemplo
■ La inversa de R1 ↔ R4 es R1 ↔ R4,■ La inversa de R2 ↔ R3 es R2 ↔ R3,■ La inversa de R1 ← 2R1 es R1 ← 1/2R1,
Matriz ElementalEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3OperacionesInversasEjemplo 4Operacion vsMatrizEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7Inversa deElementalesEjemplo 8EquivalenciaResultado Clave
Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 7/15
Ejemplo
■ La inversa de R1 ↔ R4 es R1 ↔ R4,■ La inversa de R2 ↔ R3 es R2 ↔ R3,■ La inversa de R1 ← 2R1 es R1 ← 1/2R1,■ La inversa de R4 ← −2/3R4 es R4 ← −3/2R4,
Matriz ElementalEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3OperacionesInversasEjemplo 4Operacion vsMatrizEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7Inversa deElementalesEjemplo 8EquivalenciaResultado Clave
Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 7/15
Ejemplo
■ La inversa de R1 ↔ R4 es R1 ↔ R4,■ La inversa de R2 ↔ R3 es R2 ↔ R3,■ La inversa de R1 ← 2R1 es R1 ← 1/2R1,■ La inversa de R4 ← −2/3R4 es R4 ← −3/2R4,■ La inversa de R4 ← −2/3R4 es R4 ← −3/2R4,
Matriz ElementalEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3OperacionesInversasEjemplo 4Operacion vsMatrizEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7Inversa deElementalesEjemplo 8EquivalenciaResultado Clave
Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 7/15
Ejemplo
■ La inversa de R1 ↔ R4 es R1 ↔ R4,■ La inversa de R2 ↔ R3 es R2 ↔ R3,■ La inversa de R1 ← 2R1 es R1 ← 1/2R1,■ La inversa de R4 ← −2/3R4 es R4 ← −3/2R4,■ La inversa de R4 ← −2/3R4 es R4 ← −3/2R4,■ La inversa de R3 ← R3 + 5R1 esR3 ← R3 − 5R1,y
Matriz ElementalEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3OperacionesInversasEjemplo 4Operacion vsMatrizEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7Inversa deElementalesEjemplo 8EquivalenciaResultado Clave
Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 7/15
Ejemplo
■ La inversa de R1 ↔ R4 es R1 ↔ R4,■ La inversa de R2 ↔ R3 es R2 ↔ R3,■ La inversa de R1 ← 2R1 es R1 ← 1/2R1,■ La inversa de R4 ← −2/3R4 es R4 ← −3/2R4,■ La inversa de R4 ← −2/3R4 es R4 ← −3/2R4,■ La inversa de R3 ← R3 + 5R1 esR3 ← R3 − 5R1,y
■ La inversa de R2 ← R2 − 4R3 es R2 ← R2 − 4R3.
Matriz ElementalEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3OperacionesInversasEjemplo 4Operacion vsMatrizEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7Inversa deElementalesEjemplo 8EquivalenciaResultado Clave
Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 8/15
Matrices y operaciones elementales
Si E corresponde a la operación elemental Opentonces:
Matriz ElementalEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3OperacionesInversasEjemplo 4Operacion vsMatrizEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7Inversa deElementalesEjemplo 8EquivalenciaResultado Clave
Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 8/15
Matrices y operaciones elementales
Si E corresponde a la operación elemental Opentonces:
Si AOp−→ A1, entonces EA = A1
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Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 8/15
Matrices y operaciones elementales
Si E corresponde a la operación elemental Opentonces:
Si AOp−→ A1, entonces EA = A1
Es decir que
El resultado de aplicarle a la matriz A laoperación elemental Op equivale a multiplicarla matriz A por la izquierda por la matrizelemental asociada a Op.
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Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 9/15
Ejemplo
Una operación del método de eliminacióngaussiana es
3 6 −9 3
0 0 −2 −2
0 1 −2 1
R2↔R3
−−−−→
3 6 −9 3
0 1 −2 1
0 0 −2 −2
Matriz ElementalEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3OperacionesInversasEjemplo 4Operacion vsMatrizEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7Inversa deElementalesEjemplo 8EquivalenciaResultado Clave
Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 9/15
Ejemplo
Una operación del método de eliminacióngaussiana es
3 6 −9 3
0 0 −2 −2
0 1 −2 1
R2↔R3
−−−−→
3 6 −9 3
0 1 −2 1
0 0 −2 −2
Esta corresponde a
1 0 0
0 0 1
0 1 0
3 6 −9 3
0 0 −2 −2
0 1 −2 1
=
3 6 −9 3
0 1 −2 1
0 0 −2 −2
Matriz ElementalEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3OperacionesInversasEjemplo 4Operacion vsMatrizEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7Inversa deElementalesEjemplo 8EquivalenciaResultado Clave
Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 10/15
Ejemplo
Una operación del método de eliminacióngaussiana es
3 6 0 12
0 1 0 3
0 0 1 1
R1←R1−6R2
−−−−−−−−→
3 0 0 −6
0 1 0 3
0 0 1 1
Matriz ElementalEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3OperacionesInversasEjemplo 4Operacion vsMatrizEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7Inversa deElementalesEjemplo 8EquivalenciaResultado Clave
Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 10/15
Ejemplo
Una operación del método de eliminacióngaussiana es
3 6 0 12
0 1 0 3
0 0 1 1
R1←R1−6R2
−−−−−−−−→
3 0 0 −6
0 1 0 3
0 0 1 1
Esta corresponde a
1 −6 0
0 1 0
0 0 1
3 6 0 12
0 1 0 3
0 0 1 1
=
3 0 0 −6
0 1 0 3
0 0 1 1
Matriz ElementalEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3OperacionesInversasEjemplo 4Operacion vsMatrizEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7Inversa deElementalesEjemplo 8EquivalenciaResultado Clave
Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 11/15
Ejemplo
Una operación del método de eliminacióngaussiana es
3 0 0 −6
0 1 0 3
0 0 1 1
R1←1/3R1
−−−−−−→
1 0 0 −2
0 1 0 3
0 0 1 1
Matriz ElementalEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3OperacionesInversasEjemplo 4Operacion vsMatrizEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7Inversa deElementalesEjemplo 8EquivalenciaResultado Clave
Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 11/15
Ejemplo
Una operación del método de eliminacióngaussiana es
3 0 0 −6
0 1 0 3
0 0 1 1
R1←1/3R1
−−−−−−→
1 0 0 −2
0 1 0 3
0 0 1 1
Esta corresponde a
1
30 0
0 1 0
0 0 1
3 0 0 −6
0 1 0 3
0 0 1 1
1 0 0 −2
0 1 0 3
0 0 1 1
Matriz ElementalEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3OperacionesInversasEjemplo 4Operacion vsMatrizEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7Inversa deElementalesEjemplo 8EquivalenciaResultado Clave
Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 12/15
Las matrices elementales son invertibles
Toda matriz elemental es matriz invertible. Másaún, si E es una matriz elemental, E−1 se obtieneal invertir la operación elemental que produjo a Ea partir de la identidad I.
operación elemental operación elemental
matriz elemental matriz elemental
operación inversa
matriz asociada
matriz inversa
matriz asociada
Matriz ElementalEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3OperacionesInversasEjemplo 4Operacion vsMatrizEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7Inversa deElementalesEjemplo 8EquivalenciaResultado Clave
Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 13/15
Ejemplo
Si
E1 =
[
1 −3
0 1
]
, E2 =
[
0 1
1 0
]
, E3 =
[
1 0
0 −4
]
Matriz ElementalEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3OperacionesInversasEjemplo 4Operacion vsMatrizEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7Inversa deElementalesEjemplo 8EquivalenciaResultado Clave
Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 13/15
Ejemplo
Si
E1 =
[
1 −3
0 1
]
, E2 =
[
0 1
1 0
]
, E3 =
[
1 0
0 −4
]
entonces:
E1−1 =
[
1 3
0 1
]
, E2−1 =
[
0 1
1 0
]
, E3−1 =
[
1 0
0 −1
4
]
Matriz ElementalEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3OperacionesInversasEjemplo 4Operacion vsMatrizEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7Inversa deElementalesEjemplo 8EquivalenciaResultado Clave
Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 14/15
Matrices elementales en la equivalencia de matrices
1. A ≡ B si y sólo si existen matrices elementalesE1,...,Ek tales que:
B = Ek Ek−1 . . . , E1 A
2. La forma escalonada de una matriz cuadrada A
es In×n o bien tiene un renglón de ceros.3. Sean A y B matrices n× n, si A o B no son
invertibles entonces AB tampoco es invertible.
Matriz ElementalEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3OperacionesInversasEjemplo 4Operacion vsMatrizEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7Inversa deElementalesEjemplo 8EquivalenciaResultado Clave
Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 15/15
Resultado Clave
Sea A una matriz n× n. Las siguientes afirmaciones sonequivalentes:1. A es invertible
Matriz ElementalEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3OperacionesInversasEjemplo 4Operacion vsMatrizEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7Inversa deElementalesEjemplo 8EquivalenciaResultado Clave
Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 15/15
Resultado Clave
Sea A una matriz n× n. Las siguientes afirmaciones sonequivalentes:1. A es invertible
2. A es el producto de matrices elementales.
Matriz ElementalEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3OperacionesInversasEjemplo 4Operacion vsMatrizEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7Inversa deElementalesEjemplo 8EquivalenciaResultado Clave
Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 15/15
Resultado Clave
Sea A una matriz n× n. Las siguientes afirmaciones sonequivalentes:1. A es invertible
2. A es el producto de matrices elementales.
3. Al reducir A, en cada columna queda un pivote.
Matriz ElementalEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3OperacionesInversasEjemplo 4Operacion vsMatrizEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7Inversa deElementalesEjemplo 8EquivalenciaResultado Clave
Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 15/15
Resultado Clave
Sea A una matriz n× n. Las siguientes afirmaciones sonequivalentes:1. A es invertible
2. A es el producto de matrices elementales.
3. Al reducir A, en cada columna queda un pivote.
4. Al reducir A, en cada renglón queda un pivote.
Matriz ElementalEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3OperacionesInversasEjemplo 4Operacion vsMatrizEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7Inversa deElementalesEjemplo 8EquivalenciaResultado Clave
Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 15/15
Resultado Clave
Sea A una matriz n× n. Las siguientes afirmaciones sonequivalentes:1. A es invertible
2. A es el producto de matrices elementales.
3. Al reducir A, en cada columna queda un pivote.
4. Al reducir A, en cada renglón queda un pivote.
5. Las columnas de A son linealmente independientes.
Matriz ElementalEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3OperacionesInversasEjemplo 4Operacion vsMatrizEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7Inversa deElementalesEjemplo 8EquivalenciaResultado Clave
Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 15/15
Resultado Clave
Sea A una matriz n× n. Las siguientes afirmaciones sonequivalentes:1. A es invertible
2. A es el producto de matrices elementales.
3. Al reducir A, en cada columna queda un pivote.
4. Al reducir A, en cada renglón queda un pivote.
5. Las columnas de A son linealmente independientes.
6. Las columnas de A generan a Rn.
Matriz ElementalEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3OperacionesInversasEjemplo 4Operacion vsMatrizEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7Inversa deElementalesEjemplo 8EquivalenciaResultado Clave
Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 15/15
Resultado Clave
Sea A una matriz n× n. Las siguientes afirmaciones sonequivalentes:1. A es invertible
2. A es el producto de matrices elementales.
3. Al reducir A, en cada columna queda un pivote.
4. Al reducir A, en cada renglón queda un pivote.
5. Las columnas de A son linealmente independientes.
6. Las columnas de A generan a Rn.
7. El sistema A ~x = ~b tiene al menos una solución para todo vector~b ∈ R
n.
Matriz ElementalEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3OperacionesInversasEjemplo 4Operacion vsMatrizEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7Inversa deElementalesEjemplo 8EquivalenciaResultado Clave
Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 15/15
Resultado Clave
Sea A una matriz n× n. Las siguientes afirmaciones sonequivalentes:1. A es invertible
2. A es el producto de matrices elementales.
3. Al reducir A, en cada columna queda un pivote.
4. Al reducir A, en cada renglón queda un pivote.
5. Las columnas de A son linealmente independientes.
6. Las columnas de A generan a Rn.
7. El sistema A ~x = ~b tiene al menos una solución para todo vector~b ∈ R
n.
8. El sistema A ~x = ~b tiene solamente una solución para todovector ~b ∈ R
n.
Matriz ElementalEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3OperacionesInversasEjemplo 4Operacion vsMatrizEjemplo 5Ejemplo 6Ejemplo 7Inversa deElementalesEjemplo 8EquivalenciaResultado Clave
Matrices Elementales Álgebra Lineal - p. 15/15
Resultado Clave
Sea A una matriz n× n. Las siguientes afirmaciones sonequivalentes:1. A es invertible
2. A es el producto de matrices elementales.
3. Al reducir A, en cada columna queda un pivote.
4. Al reducir A, en cada renglón queda un pivote.
5. Las columnas de A son linealmente independientes.
6. Las columnas de A generan a Rn.
7. El sistema A ~x = ~b tiene al menos una solución para todo vector~b ∈ R
n.
8. El sistema A ~x = ~b tiene solamente una solución para todovector ~b ∈ R
n.
9. El sistema homogéneo A ~x = ~0 tiene sólo la solución trivial~x = ~0.
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