Lógica - ÁLGEBRA I UNSL 2014 (90...

Lógica

AplicacionesOrdenar el pensamiento

La escritura de programas de computación

Diseño de circuitos digitales

Es fundamental en matemáticas

Afrontar problemas de la vida cotidiana

Afrontar y resolver problemas de ingeniería.

() March 21, 2014 1 / 23

Lógica

() March 21, 2014 1 / 23

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() March 21, 2014 1 / 23

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() March 21, 2014 1 / 23

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() March 21, 2014 1 / 23

Lógica. Proposiciones

Una proposición es una aserción o enunciado expresado en lenguajenatural escrito o hablado, mediante una expresión declarativa; que puedeser cierta o falsa, pero no ambas a la vez.

Las proposiciones, en general, son denotadas con las letras p, q, r , etc.

() March 21, 2014 2 / 23

Una proposición es una aserción o enunciado expresado en lenguajenatural escrito o hablado, mediante una expresión declarativa; que puedeser cierta o falsa, pero no ambas a la vez.

Las proposiciones, en general, son denotadas con las letras p, q, r , etc.

() March 21, 2014 2 / 23

Ejemplo1 Oraciones que son proposiciones:

1 La educación perfecciona al hombre.

2 Fumar es bueno para la salud.

3 Las adicciones disminuyen la capacidad de aprendizaje.

2 Oraciones que no son proposiciones:

1 Deténgase.

2 ¿Es divertido este curso?

3 Si x2 = 9 entonces x = 3.

() March 21, 2014 3 / 23

1 Deténgase.

() March 21, 2014 3 / 23

1 Deténgase.

() March 21, 2014 3 / 23

1 Deténgase.

() March 21, 2014 3 / 23

1 Deténgase.

() March 21, 2014 3 / 23

1 Deténgase.

() March 21, 2014 3 / 23

1 Deténgase.

() March 21, 2014 3 / 23

1 Deténgase.

() March 21, 2014 3 / 23

Proposiciones Compuestas y Conectivos Lógicos

Una proposición compuesta es una proposición que está formada porproposiciones simples unida por conectivos lógicos.

EjemploDadas las proposiciones simples:p : Juan se preocupa para que su hijo estudie.q : El hijo debe estudiar.

Construimos, las siguientes proposiciones compuesta:

1 Si p entonces q: �Si Juan se preocupa para que su hijo estudieentonces el hijo de Juan debe estudiar�.

2 Si no p entonces no q: �Si el hijo de Juan no estudia entonces Juanno se preocupara para que su hijo estudie.�

() March 21, 2014 4 / 23

EjemploDada la proposición compuesta:

1 �Las compuertas lógicas son la base para el desarrollo de circuitosintegrados más complejos y el diseño de sistemas digitales��

Las proposiciones simples que la componen son:

p : Las compuertas lógicas son la base para el desarrollo de circuitosintegrados más complejos.

q : Las compuertas lógicas son la base para el diseño de sistemasdigitales.

() March 21, 2014 5 / 23

El valor de verdad de las proposiciones compuestas dependen del valor deverdad de las proposiciones simples que la componen y del conectivo quelas une.

Ley lógica o tautología si es verdadera independientemente de losvalores de verdad que se asignen a las proposiciones simples que lacomponen

Contradicción si es falsa independientemente de los valores deverdad que se asignen a las proposiciones simples que la componen.

Contingencia si no es una tautología ni una contradicción.

() March 21, 2014 6 / 23

Proposiciones Compuestas y Tablas de verdad

Negación de la proposición p, es la proposición v p (se lee no p)que es verdadera cuando p es falsa, y es falsa cuando p es verdadera.

La tabla de valores de verdad es

EjemploDada la proposición p : �Todo ser humano tiene derecho a vivir�.La negación de p es la proposición:vp : �No todo ser humano tiene derecho a vivir�.vp : No es cierto que todo ser humano tenga derecho a vivir.vp : hay seres humanos que no tienen derecho a vivir.vp : Existen seres humanos que no tiene derecho a vivir.

() March 21, 2014 7 / 23

EjemploDada la proposición p : �Todo ser humano tiene derecho a vivir�.

La negación de p es la proposición:vp : �No todo ser humano tiene derecho a vivir�.vp : No es cierto que todo ser humano tenga derecho a vivir.vp : hay seres humanos que no tienen derecho a vivir.vp : Existen seres humanos que no tiene derecho a vivir.

() March 21, 2014 7 / 23

EjemploDada la proposición p : �Todo ser humano tiene derecho a vivir�.La negación de p es la proposición:vp : �No todo ser humano tiene derecho a vivir�.

vp : No es cierto que todo ser humano tenga derecho a vivir.vp : hay seres humanos que no tienen derecho a vivir.vp : Existen seres humanos que no tiene derecho a vivir.

() March 21, 2014 7 / 23

EjemploDada la proposición p : �Todo ser humano tiene derecho a vivir�.La negación de p es la proposición:vp : �No todo ser humano tiene derecho a vivir�.vp : No es cierto que todo ser humano tenga derecho a vivir.

vp : hay seres humanos que no tienen derecho a vivir.vp : Existen seres humanos que no tiene derecho a vivir.

() March 21, 2014 7 / 23

EjemploDada la proposición p : �Todo ser humano tiene derecho a vivir�.La negación de p es la proposición:vp : �No todo ser humano tiene derecho a vivir�.vp : No es cierto que todo ser humano tenga derecho a vivir.vp : hay seres humanos que no tienen derecho a vivir.

vp : Existen seres humanos que no tiene derecho a vivir.

() March 21, 2014 7 / 23

Conjunción de p y q, denotada con p ^ q, (se lee p y q) es laproposición que es verdadera cuando ambas, p y q, son verdaderas, yes falsa, cuando p o q, o ambas son falsas.

p qV VV FF VF F

p ^ qVFFF

EjemploDadas las proposiciones p : �3 es un número impar�. q : �8 es un númeroimpar�.La conjunción de p y q, es: p ^ q : �3 y 8 son números impares�.Por ser p verdadera y q falsa la conjunción de p ^ q es falsa.

() March 21, 2014 8 / 23

p qV VV FF VF F

p ^ qVFFF

() March 21, 2014 8 / 23

p qV VV FF VF F

() March 21, 2014 8 / 23

p qV VV FF VF F

p ^ qV

() March 21, 2014 8 / 23

p qV VV FF VF F

p ^ qVF

() March 21, 2014 8 / 23

p qV VV FF VF F

p ^ qVFF

() March 21, 2014 8 / 23

p qV VV FF VF F

p ^ qVFFF

() March 21, 2014 8 / 23

p qV VV FF VF F

p ^ qVFFF

EjemploDadas las proposiciones p : �3 es un número impar�. q : �8 es un númeroimpar�.

La conjunción de p y q, es: p ^ q : �3 y 8 son números impares�.Por ser p verdadera y q falsa la conjunción de p ^ q es falsa.

() March 21, 2014 8 / 23

p qV VV FF VF F

p ^ qVFFF

EjemploDadas las proposiciones p : �3 es un número impar�. q : �8 es un númeroimpar�.La conjunción de p y q, es: p ^ q : �3 y 8 son números impares�.

Por ser p verdadera y q falsa la conjunción de p ^ q es falsa.

() March 21, 2014 8 / 23

p qV VV FF VF F

p ^ qVFFF

() March 21, 2014 8 / 23

Disyunción de p y q, denotada con p _ q, (se lee p o q) es laproposición que es verdadera cuando p o q o ambas son verdaderas, yes falsa, cuando ambas p y q son falsas.

p qV VV FF VF F

p _ qVVVF

EjemploDadas las proposiciones p : �3 es un número impar� y q : �8 es unnúmero impar�.La disyunción de p y q, es: p _ q : �3 o 8 son números impares�.Por ser p verdadera la conjunción es verdadera.

() March 21, 2014 9 / 23

p qV VV FF VF F

p _ qVVVF

() March 21, 2014 9 / 23

p qV VV FF VF F

() March 21, 2014 9 / 23

p qV VV FF VF F

p _ qV

() March 21, 2014 9 / 23

p qV VV FF VF F

p _ qVV

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p qV VV FF VF F

p _ qVVV

() March 21, 2014 9 / 23

p qV VV FF VF F

p _ qVVVF

() March 21, 2014 9 / 23

p qV VV FF VF F

p _ qVVVF

EjemploDadas las proposiciones p : �3 es un número impar� y q : �8 es unnúmero impar�.

La disyunción de p y q, es: p _ q : �3 o 8 son números impares�.Por ser p verdadera la conjunción es verdadera.

() March 21, 2014 9 / 23

p qV VV FF VF F

p _ qVVVF

EjemploDadas las proposiciones p : �3 es un número impar� y q : �8 es unnúmero impar�.La disyunción de p y q, es: p _ q : �3 o 8 son números impares�.

Por ser p verdadera la conjunción es verdadera.

() March 21, 2014 9 / 23

p qV VV FF VF F

p _ qVVVF

() March 21, 2014 9 / 23

El �o� exclusivo se denota por p Y q, también se lo llama diferenciasimétrica. La proposición compuesta p Y q es verdadera si una o laotra pero no ambas proposiciones p, q son verdaderas.

p qV VV FF VF F

p Y qFVVF

EjemploDada la proposición �Esta tarde estudio ó visito a mis padres�.Tenemos que p : �Esta tarde estudio�y q : �Esta tarde visito a mis padres.Observamos que las proposiciones p y q no pueden ser simultáneamente,verdaderas.

() March 21, 2014 10 / 23

p qV VV FF VF F

p Y qFVVF

() March 21, 2014 10 / 23

p qV VV FF VF F

() March 21, 2014 10 / 23

p qV VV FF VF F

p Y qF

() March 21, 2014 10 / 23

p qV VV FF VF F

p Y qFV

() March 21, 2014 10 / 23

p qV VV FF VF F

p Y qFVV

() March 21, 2014 10 / 23

p qV VV FF VF F

p Y qFVVF

() March 21, 2014 10 / 23

p qV VV FF VF F

p Y qFVVF

EjemploDada la proposición �Esta tarde estudio ó visito a mis padres�.

Tenemos que p : �Esta tarde estudio�y q : �Esta tarde visito a mis padres.Observamos que las proposiciones p y q no pueden ser simultáneamente,verdaderas.

() March 21, 2014 10 / 23

p qV VV FF VF F

p Y qFVVF

EjemploDada la proposición �Esta tarde estudio ó visito a mis padres�.Tenemos que p : �Esta tarde estudio�y q : �Esta tarde visito a mis padres.

Observamos que las proposiciones p y q no pueden ser simultáneamente,verdaderas.

() March 21, 2014 10 / 23

p qV VV FF VF F

p Y qFVVF

() March 21, 2014 10 / 23

El condicional p ) q (se lee �si p entonces q�) signi�ca que laverdad de p implica la verdad de q. Es decir, si p es verdadera,entonces q debe ser verdadera. La única manera de la implicaciónp ) q sea falso es que p sea verdadera y q es falsa.

p qV VV FF VF F

p ) qVFVV

La proposición p se la denomina antecedente y a q consecuente.

() March 21, 2014 11 / 23

p qV VV FF VF F

p ) qVFVV

() March 21, 2014 11 / 23

p qV VV FF VF F

() March 21, 2014 11 / 23

p qV VV FF VF F

p ) qV

() March 21, 2014 11 / 23

p qV VV FF VF F

p ) qVF

() March 21, 2014 11 / 23

p qV VV FF VF F

p ) qVFV

() March 21, 2014 11 / 23

p qV VV FF VF F

p ) qVFVV

() March 21, 2014 11 / 23

p qV VV FF VF F

p ) qVFVV

() March 21, 2014 11 / 23

EjemploConsideremos la proposición

�Si apruebo el exámen entonces te presto los apuntes� (1)

El antecedente es p : �Apruebo el examen�y el consecuente es q : �Tepresto los apuntes�.

Si p es falso, es decir, �Si no apruebo el examen�, nuestra proposiciónno dice nada y la consideramos como verdadera independientementesi presto o o el examen.

Si p es verdadera, es decir �si apruebo el examen�y no te presto losapuntes ( q es falsa) el compromiso no se cumple, y la proposición esfalsa.

Por último, si p y q son verdaderas entonces la implicación esverdadera porque el compromiso se cumple.

() March 21, 2014 12 / 23

Al igual que en el lenguaje coloquial un condicional puede expresarse dedistintas formas,

\Si apruebo el examen entonces te presto el apunte� es equivalente a

1 Si apruebo el examen, te presto el apunte.2 Te presto el apunte si apruebo el examen.

() March 21, 2014 13 / 23

Al igual que en el lenguaje coloquial un condicional puede expresarse dedistintas formas,\Si apruebo el examen entonces te presto el apunte� es equivalente a

() March 21, 2014 13 / 23

1 Si apruebo el examen, te presto el apunte.

2 Te presto el apunte si apruebo el examen.

() March 21, 2014 13 / 23

La proposición �p sí y sólo sí q�denotada con p , q, es verdaderasi ambas p y q, son verdaderas o si ambas p y q son falsas, es decirque ambas tienen el mismo valor de verdad.

p qV VV FF VF F

p , qVFFV

EjemploDadas las proposiciones simples p : �Te presto el apunte�y q : �Aprueboel examen�.La doble implicación de p y q, es: p , q : � Te presto el apunte si y sólosi apruebo el examen�.

() March 21, 2014 14 / 23

p qV VV FF VF F

p , qVFFV

() March 21, 2014 14 / 23

p qV VV FF VF F

() March 21, 2014 14 / 23

p qV VV FF VF F

p , qV

() March 21, 2014 14 / 23

p qV VV FF VF F

p , qVF

() March 21, 2014 14 / 23

p qV VV FF VF F

p , qVFF

() March 21, 2014 14 / 23

p qV VV FF VF F

p , qVFFV

() March 21, 2014 14 / 23

p qV VV FF VF F

p , qVFFV

EjemploDadas las proposiciones simples p : �Te presto el apunte�y q : �Aprueboel examen�.

La doble implicación de p y q, es: p , q : � Te presto el apunte si y sólosi apruebo el examen�.

() March 21, 2014 14 / 23

p qV VV FF VF F

p , qVFFV

() March 21, 2014 14 / 23

Proposiciones Compuestas y equivalencia lógica

Dos proposiciones (compuestas) p y q son lógicamenteequivalentes, lo denotamos p � q, si tienen la misma tabla deverdad.

Proposición

v(vp) es lógicamente equivalente a p.

Demostración. Para veri�car esta a�rmación analicemos todos losposibles valores de verdad:

p vpV FF V

v(vp)VF

() March 21, 2014 15 / 23

Proposición

p vpV FF V

v(vp)VF

() March 21, 2014 15 / 23

Proposición

p vpV FF V

v(vp)VF

() March 21, 2014 15 / 23

Proposición

p vpV FF V

() March 21, 2014 15 / 23

Proposición

p vpV FF V

v(vp)V

() March 21, 2014 15 / 23

Proposición

p vpV FF V

v(vp)VF

() March 21, 2014 15 / 23

ProposiciónProbar que p ) q es lógicamente equivalente a vp _ q.

Demostración. Para probarlo construyamos las tablas de verdad de lasdos proposiciones.

p q vpV V FV F FF V VF F V

vp _ q p ) qV VF FV VV V

() March 21, 2014 16 / 23

vp _ q p ) q

V VF FV VV V

() March 21, 2014 16 / 23

vp _ q p ) qV

VF FV VV V

() March 21, 2014 16 / 23

vp _ q p ) qV V

F FV VV V

() March 21, 2014 16 / 23

vp _ q p ) qV VF

FV VV V

() March 21, 2014 16 / 23

vp _ q p ) qV VF F

V VV V

() March 21, 2014 16 / 23

vp _ q p ) qV VF FV

() March 21, 2014 16 / 23

vp _ q p ) qV VF FV V

() March 21, 2014 16 / 23

vp _ q p ) qV VF FV VV

() March 21, 2014 16 / 23

Condicionales AsociadosDado el condicional p ) q, diremos que la proposición

q ) p es el recíproco,v p )v q es la contrariav q )v p es la contrarecíprocaEjemploConsideremos la proposición compuesta: p ) q �Si está lloviendoentonces hay nubes en el cielo�. Ésta proposición es verdadera.

Su recíproca q ) p se lee: �Si hay nubes en el cielo entonces estálloviendo�. Ésta es una proposición que puede ser verdadera o falsa.

La contraria v p )v q, dice: �Si no está lloviendo entonces no haynubes en el cielo�. Ésta es una proposición que puede ser verdadera ofalsa.

La contrarecíproca v q )v p dice: �Si no hay nubes en el cieloentonces no está lloviendo�. Es una proposición es verdadera.

() March 21, 2014 17 / 23

Condicionales AsociadosDado el condicional p ) q, diremos que la proposiciónq ) p es el recíproco,

v p )v q es la contrariav q )v p es la contrarecíprocaEjemploConsideremos la proposición compuesta: p ) q �Si está lloviendoentonces hay nubes en el cielo�. Ésta proposición es verdadera.

() March 21, 2014 17 / 23

Condicionales AsociadosDado el condicional p ) q, diremos que la proposiciónq ) p es el recíproco,v p )v q es la contraria

v q )v p es la contrarecíprocaEjemploConsideremos la proposición compuesta: p ) q �Si está lloviendoentonces hay nubes en el cielo�. Ésta proposición es verdadera.

() March 21, 2014 17 / 23

Condicionales AsociadosDado el condicional p ) q, diremos que la proposiciónq ) p es el recíproco,v p )v q es la contrariav q )v p es la contrarecíproca

EjemploConsideremos la proposición compuesta: p ) q �Si está lloviendoentonces hay nubes en el cielo�. Ésta proposición es verdadera.

() March 21, 2014 17 / 23

Condicionales AsociadosDado el condicional p ) q, diremos que la proposiciónq ) p es el recíproco,v p )v q es la contrariav q )v p es la contrarecíprocaEjemploConsideremos la proposición compuesta: p ) q �Si está lloviendoentonces hay nubes en el cielo�. Ésta proposición es verdadera.

() March 21, 2014 17 / 23

TeoremaLos contrarecíprocos son lógicamente equivalentes, es decir

(p ) q) � (v q )v p)(q ) p) � (v p )v q) .

Demostración. Para demostrarlo construimos las tablas de verdad de lasdos implicaciones:

p q vp vqV V F FV F F VF V V FF F V V

p ) q v q )v pV VF FV VV V

() March 21, 2014 18 / 23

(p ) q) � (v q )v p)

(q ) p) � (v p )v q) .

() March 21, 2014 18 / 23

(p ) q) � (v q )v p)(q ) p) � (v p )v q) .

() March 21, 2014 18 / 23

(p ) q) � (v q )v p)(q ) p) � (v p )v q) .

() March 21, 2014 18 / 23

(p ) q) � (v q )v p)(q ) p) � (v p )v q) .

p ) q v q )v p

V VF FV VV V

() March 21, 2014 18 / 23

(p ) q) � (v q )v p)(q ) p) � (v p )v q) .

p ) q v q )v pV

VF FV VV V

() March 21, 2014 18 / 23

(p ) q) � (v q )v p)(q ) p) � (v p )v q) .

p ) q v q )v pV V

F FV VV V

() March 21, 2014 18 / 23

(p ) q) � (v q )v p)(q ) p) � (v p )v q) .

p ) q v q )v pV VF

FV VV V

() March 21, 2014 18 / 23

(p ) q) � (v q )v p)(q ) p) � (v p )v q) .

p ) q v q )v pV VF F

V VV V

() March 21, 2014 18 / 23

(p ) q) � (v q )v p)(q ) p) � (v p )v q) .

p ) q v q )v pV VF FV

() March 21, 2014 18 / 23

(p ) q) � (v q )v p)(q ) p) � (v p )v q) .

p ) q v q )v pV VF FV V

() March 21, 2014 18 / 23

(p ) q) � (v q )v p)(q ) p) � (v p )v q) .

p ) q v q )v pV VF FV VV

() March 21, 2014 18 / 23

(p ) q) � (v q )v p)(q ) p) � (v p )v q) .

() March 21, 2014 18 / 23

No son lógicamente equivalentes los recíprocos ni los contrarios, es decir

(p ) q) �/ (q ) p)

(p ) q) �/ (v p )v q) .

() March 21, 2014 19 / 23

No son lógicamente equivalentes los recíprocos ni los contrarios, es decir

(p ) q) �/ (q ) p)

(p ) q) �/ (v p )v q) .

() March 21, 2014 19 / 23

Proposición

(p ) q) ^ (q ) p) � p , q

Demostración.p q p ) q q ) pV V V VV F F VF V V FF F V V

(p ) q) ^ (q ) p) p , qV VF FF FV V

() March 21, 2014 20 / 23

Proposición

(p ) q) ^ (q ) p) � p , q

(p ) q) ^ (q ) p) p , q

V VF FF FV V

() March 21, 2014 20 / 23

Proposición

(p ) q) ^ (q ) p) � p , q

(p ) q) ^ (q ) p) p , qV

VF FF FV V

() March 21, 2014 20 / 23

Proposición

(p ) q) ^ (q ) p) � p , q

(p ) q) ^ (q ) p) p , qV V

F FF FV V

() March 21, 2014 20 / 23

Proposición

(p ) q) ^ (q ) p) � p , q

(p ) q) ^ (q ) p) p , qV VF

FF FV V

() March 21, 2014 20 / 23

Proposición

(p ) q) ^ (q ) p) � p , q

(p ) q) ^ (q ) p) p , qV VF F

F FV V

() March 21, 2014 20 / 23

Proposición

(p ) q) ^ (q ) p) � p , q

(p ) q) ^ (q ) p) p , qV VF FF

() March 21, 2014 20 / 23

Proposición

(p ) q) ^ (q ) p) � p , q

(p ) q) ^ (q ) p) p , qV VF FF F

() March 21, 2014 20 / 23

Proposición

(p ) q) ^ (q ) p) � p , q

(p ) q) ^ (q ) p) p , qV VF FF FV

() March 21, 2014 20 / 23

Proposición

(p ) q) ^ (q ) p) � p , q

(p ) q) ^ (q ) p) p , qV VF FF FV V

() March 21, 2014 20 / 23

Proposiciones Compuestas y Condición Necesaria ySu�ciente

Si p ) q es siempre V , diremos que "p ) q" es una implicación yque:

p es condición su�ciente para q y q es condición necesaria para p.

Si un número es múltiplo de 6 entonces es múltiplo de 3.

Donde el antecedente es: p : �Un número es múltiplo de 6�y elconsecuente es q : �Un número es múltiplo de 3�.Podemos observar que nunca se puede dar el caso que p sea verdad yq sea falso (hacer...) por lo tanto la proposición condicional p ) q,siempre será verdadera

() March 21, 2014 21 / 23

EjemploSe puede leer:

Si un número es múltiplo de 6 implica que es múltiplo de 3.Un número múltiplo de 6 es condición su�ciente para que seamúltiplo de 3.

Un número es múltiplo de 3 es condición necesaria para ser múltiplode 6.

Un número es múltiplo de 6 solo si es múltiplo de 3

() March 21, 2014 22 / 23

Si un número es múltiplo de 6 implica que es múltiplo de 3.

Un número múltiplo de 6 es condición su�ciente para que seamúltiplo de 3.

() March 21, 2014 22 / 23

Si p , q es siempre V , decimos que �p es condición necesaria ysu�ciente para q�.

() March 21, 2014 23 / 23

Lógica - ÁLGEBRA I UNSL 2014 (90...

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