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7/16/2019 LIBRO UNI Mate Financiera
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Hernán B. Garrafa araGón
M A T E M Á T I C A F I N A N C I E R A
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Rector AurelioPadillaRíos
PrimerVicerrector JoséS.MartínezTalledo
SegundoVicerrector LuisCabelloOrtega
yPresidentedelaComisióndelProgramaEditorial
EduardodeHabich-TextosUNI
Primeraedición,juniode2008
MateMática Financiera
ImpresoenelPerú/PrintedinPeru
© HernánB.GarrafaAragón
Derechos reservados
EditorialUniversitariadela
UniversidadNacionaldeIngeniería
Av.TupacAmaru210,Rímac-Lima
PabellónCentral/SótanoTelf.:481-1070anexo240
E-mail:eduni@uni.edu.pe
JefeEDUNI:Pf. Áv Mñ Fi
DiseñoyDiagramación:EDUNI
Impresopor...................................
ISBN:..............................................
HechoelDepósitoLegalenlaBibliotecaNacional
delPerúNº.........................................
Prohibidalareproduccíóndeestelibroporcualquiermedio,
totaloparcialmente,sinpermisoexpresodelautor.
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A mi esposa, Jessica
A mi hija, Yemitsu
A mis padres: Braulio y Margarita
A mi hermana, Inés
A mis hermanos: José, Franck, Tino
A mi sobrina, Vanesa.
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ConTEnIdo
Prólogoyagradecimientos 13
Introducción 15
Interés sIMPle
1.1.Introducción 17
1.2.Elinteréssimple 20
1.3.Períododetiempo 23
1.4.Interésexactoeinterésordinario 23
1.5.Normacomercial 24 1.6.Valorpresente 24
1.7.Monto 24
1.8.Variacionesdetasas 26
1.9.Ecuacionesdevalor 28
Problemasresueltos 32
Problemaspropuestos 39
Interés CoMPuesto
2.1.Introducción 43
2.2.Interéssimpleeinteréscompuesto 43
2.3.Monto 45
2.4.Valoractual 47
2.5.Montoconvariacionesdetasas 49
2.6.Ecuacionesdevalor 51
Problemasresueltos 55 Problemaspropuestos 68
DesCuento
3.1.Introducción 73
3.2.Descuentoracional 74
3.3.Descuentobancario 76
3.4.Descuentocomercial 80
1
2
3
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8 Hernán B. G arrafa araGón
Problemasresueltos 83
Problemaspropuestos 90
tasas
4.1.Introducción 93 4.2.Tasanominalytasaproporcional 94
4.3.Tasaefectiva 96
4.4.Tasasequivalentes 98
4.5.Tasaactivaypasiva 103
4.6.Tasadeinteréscompensatorio 106
4.7.Tasadeinterésmoratorio 107
4.8.Tasadeinteréslegal 109 4.9.Tasadeinflación 110
4.10.Tasareal 113
4.11.Tasadedevaluación 114
4.12.Tasasconcapitalizacióncontinua 118
Problemasresueltos 120
Problemaspropuestos 131
anualIDaDes 5.1.Introducción 137
5.2.Montodeunaanualidadvencida 138
5.3.Valorpresentedeunaanualidadvencida 140
5.4.Montodeunaanualidadanticipada 143
5.5.Valorpresentedeunaanualidadanticipada 144
5.6.Anualidadesdiferidas 146
Problemasresueltos 154
Casos 167
Problemaspropuestos 172
anualIDaDes PerPetuas
6.1.Introducción 177
6.2.Valorpresentedeunaanualidadperpetua vencida 177
4
5
6
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M ateMática financiera
6.3.Valorpresentedeunaanualidadperpetua anticipada 179
Problemasresueltos 181
Problemaspropuestos 194
GraDIentes
7.1.Introducción 197
7.2.Valorpresentedeanualidadesquevaríanen progresiónaritmética 197
7.3.Valorpresentedelosgradientesuniformes 198
7.4.Equivalenciasentreanualidadesuniformesy anualidadesquevaríanenprogresiónaritmética 199
7.5.Valorpresenteconanualidadesenprogresión geométrica 203
Problemasresueltos 206 Problemaspropuestos 218
aMortIzaCIón
8.1.Introducción 221
8.2.Fondodeamortización 221
8.3.CuadrodelFondodeAmortización 221 8.4.Amortización 224
8.5.CuadrodeAmortización 224
8.6.Valoractualneto 228
8.7.Tasainternaderetorno 231
8.8.Depreciación 233
Problemasresueltos 237
Casos 265 Casopropuesto 276
Problemaspropuestos 277
oblIGaCIones
9.1Introducción 281
9.2.Terminología 282
9.3.Bonos 283
7
8
9
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10 Hernán B. G arrafa araGón
9.4Opcióndecompra 284
9.5.Valuacióndeunagraduación 285
9.6.Larelaciónentretasadeinteréseinflación 291
9.7.BonosBrady 392
BonosPar 292 BonosalDescuento 293
BonosFlirbs(FrontLoadInterestReduction
Bonds) 293
BonosdeConversióndeDeuda(DCBs)y NuevoDinero(NMBs) 293
BonosdeInteresesRetrasados 294
BonosdeInteresesCapitalizados 294 Problemasresueltos 295
Problemaspropuestos 300
Glosario 303
Citasbibliográficas 313
Referenciasbibliográficas 313
Anexo 315
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11M ateMática financiera
ÍnDICe De tablas
t Dcipci Pági
1ATasaactivapromedioensolesydólares.Fuente:BCRP. 105
1BTasapasivapromedioensolesydólares.Fuente:BCRP.
105
2AÍndicedepreciosalconsumidordeLima.(índicebasediciembre2000=100).Fuente:INEI.
111
2BInflaciónmensualdeLima(variación%mensual).Elaboración:propia.
111
3ATCydevaluaciónorevaluación(nuevosol/dólar).Fuente:BCRP,SBS,ReutersyDatatec.
116
ÍnDICe De GrÁFICos
Fig Dcipci Pági
1.1 Evolucióndelatasadeinterésensolesydólares.Fuente:DatosdelBCR.Gráfico:Elaboraciónpropia. 20
1.2 RelaciónentrePysuvalorfuturo. 21
1.3 Relaciónvalorpresenteymonto. 25
1.4 Interéssimpleconvariacionesdetasa. 27
2.1 Relaciónentreinteréssimpleycompuesto. 44
2.2 Capitalizaciónanualversuscapitalizacióntrimestral. 45
2.3 Relaciónentrevaloractualymonto. 48
8.1 EvolucióndelVANenfuncióndelcostodecapital. 230
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Póg y agaecimiet
Estelibrorecogelasexperienciasquealolargodelosañosmehadadoelhaberdictandoestamateria,aunadasalasoperacionesconbancosque,comocualquierciudadano,
herealizado.Adicionalmente,herecibidosugerenciaseideasde partededocentesdeestamaterialoquemehapermitidomejorarlacalidaddeestetrabajo.
Expreso mi agradecimiento y aprecio al MBA Germán Ríos,funcionariodeMiBanco,quepermitióincluirproblemasdeope-
racionesfinancierasquesegeneran,comúnmente,enlabanca privadapara,deestamanera,hacermásefectivoyútilestelibro paraestudiantesdelamateria.
TambiénmireconocimientoalaSeccióndePostgradodelaFIECSenlosprofesores:Mag.EnriqueSatoKurodayMag.UlisesHu-malaTassoporelapoyoaestapublicación,convocandoalospro-fesoresDr.LuisNavarroHuamaníyMag.JuanLamÁlvarezquie-nescolaboraronenlarevisióndeestematerial.AlseñorFreddyBartolaporlasútilesideasparamejorarestaprimeraedición.
EstelibrorecogeelesfuerzodelosestudiantesdelcursodeMa-temáticaFinancieraconloscualesseresolvióvariosejemplosy
problemasplanteadosenelpresentevolumen.
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Itucció
Este libro está dirigido al estudiante universitario en elcursodeMatemáticaFinancieraenlasespecialidadesdecienciaseconómicas,ingeniería,administraciónyconta-
bilidadenlascualessedictaestecurso.
MatemáticaFinancieraestáconsideradaenelcampodelama-temáticaaplicadaqueestudiaelvalordeldineroeneltiempo,teniendoencuentavariosfactores,como:latasa,elcapitalyeltiempoparaobtenerunmontoointerésquepermitentomarde-cisionesdeinversión.
Conesaóptica,permitiráalalumnoelaborarmodelosmatemáti-cosencaminadosainterpretaryresolverlosproblemasfinancie-rosque,confrecuencia,sepresentanenlagestióndelasempre-sas,organismosdeinversionesyentidadesdelsistemabancarioyfinanciero.
Adicionalmente,ayudaaresolverproblemasqueselepresentaacualquierciudadanoensuvidadiaria,como,porejemplo,adqui-rirunautomóvil,unacasa,cualquierbienoproductoobtenidoa
plazo;solicituddecréditos,contratodepólizas,acciones,obliga-ciones(bonos)uotrotipodeinversiónrentable.Elconocimientodelasmatemáticasfinancieras,portanto,lepermitiráalalumna-doprestaroinvertirsudineroenunaformamásracional.
Lacaracterísticaprincipaldeestelibroesutilizarpocasfórmu-las,inusualenlostextosdeMatemáticaFinanciera,para,deestamanera,darlesimplicidadalasolucióndelosproblemasycasos.Sibienesciertoqueeldesarrollodelosmismosestárealizadoen
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Excel se hace utilizando las operaciones comunes potenciación
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Excel,sehaceutilizandolasoperacionescomunes,potenciación,radicaciónylogaritmo.
Alolargodellibroseplanteayresuelveproblemasprácticos paraasíilustrarmejorlasfórmulasdesarrolladasenlateoría.
También, en este tomo, se ha recogido problemas al nivel demaestríaeneconomía,administraciónycontabilidadloscualeshansidoresueltostratandosiempredequelasolucióndelosmismosseasimple.
Sepresentacasosrealesdeproblemasdeamortizacióndenuestra bancanacionalydeprestamistasinformales.Puedesuceder,porejemplo,quelafórmulaaplicadaparadeterminarelmontodel
pagoperiódicoes lamismadesarrolladaen lateoríaexistiendo
pequeñasdiferenciascon respectoa cómo lo obtieneel bancoconrespectoaestateoría.Esporelloquesemuestraeldesarrollodeestetipodeproblemasycuálesladiferenciaconrespectoalateoríamostradaenellibro.
Los temas financieros ocupan una posición muy relevante ennuestrasociedad.Sepuedeobservarinformaciónfinancieraenlosdiarios,revistas,televisión,etc.yesqueparatomarunadecisión,deíndolefinanciera,sedebeestarinformadoyasesoradoporuna persona con conocimientos en finanzas. Es esta creciente
necesidad deconocimientos de temas financieros loque hace posible la edición de libros de matemáticas financieras comouninicionecesarioparaingresarenelimportantemundodelasfinanzas.
MatemáticaFinancieraeselcursoinicialbásicoparalassiguientesmaterias:AnálisisFinancierooAdministracióndeInversionesyIngeniería Financiera; suaplicación seorienta a personasquetienencomofuncióntomardecisionesdefinanciamiento;paraellodebenteneryprocesarinformaciónpara,deestamanera,estarencondicionestomarunadecisiónadecuada.
Finalmente,deboprecisar,conrespectoallibro,queresultaríaabsurdoreclamaroriginalidadporqueexistemuchomateriales-critoacercadeestostemas,porloquemeremitoalenunciadodeAdamSchaff(“HistoriayVerdad”):“Laúnicaoriginalidadque
puedepretenderelautorresideenlamaneraenquedispongaenunconjuntoloselementosyaconocidosyenelusoenquehagadeeseconjuntoensusrazonamientos”.
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Capítulo
1
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Capítulo
InTErés sIMPlE
1.1. Idcci
Antesdedesarrollarestetema,explicaréelconceptodeinterés,debidoasuimportanciaenloscapítulosposteriores.Elinteréseselprecioapagarporelusodedineroquenoesnuestro,esdecir,lospréstamosquegeneralmentenos
brindan:unamigo,laempresadondelaboramos,unainstituciónbancaria,etc.Porestepréstamo,solicitamosuntiempodeterminadoparasudevolución.Determinarestepreciosignificasaber¿cuáleslacuantíadelpréstamo?y¿porcuántotiemposelevaausar?Alvalordeeseprecio,cuandoseexpresaporunidaddecapitalyunidaddetiempo,selellamatasadeinterés(magnitudindependientedelaunidadmonetariautilizadaparaelpréstamo),elcualde -
pendedelaunidaddetiempo.Estenivelestarádeterminadoporlaofertaylademandadedineroenlaeconomía(ofertaodemandamonetaria)yéstas,asuvez,dependendelapolíticamonetariayfiscal;cuandoexisteescasezdedine-
roenlaeconomíasuniveldeprecioaumentaráycuandoexisteabundanciadedinero,suniveldepreciodisminuirá.Adicionalmente,paraesteniveltambiéninfluyenlasexpectativasdelosagenteseconómicossobreelcomportamientofuturodelaactividadeconómica.Todosestosfactoresdeterminanesteniveldeprecio.
AcontinuaciónseexplicaráelconceptoDinero,OfertaMonetaria,InversiónyCrédito,antesdeiniciareltemadeinteréssimple.
Di.Seconoce comúnmentepor aquelloque puedeser utilizado como
mediodeintercambio,detalformaqueporunacantidaddeesteelementose puedeobtenerciertosbienesoservicios(Ayres,Jr.Frank).
Desdeestepuntodevista,sonllamadosdinero:lasmonedasdemetal,lasmonedasdepapel(billetes),loschequesylastarjetasdecrédito(engeneral,llamadodineroplásticoodinerodeplástico–esunatarjetadeplásticoconuna
bandamagnética–)Visa,MasterCard,etc.,todasellaspuedenserutilizadascomomediodeintercambioparaobtenerproductososervicios.
1
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http://slidepdf.com/reader/full/libro-uni-mate-financiera 30/40of mi.Existenvariasposiblesdefiniciones,lamásrestringidaesla que expresa que están constituidos exclusivamente por los billetes y mo
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laqueexpresaqueestánconstituidosexclusivamenteporlosbilletesymo-nedasencirculaciónmáslosdepósitosalavistaoencuentacorrientequesehallanenelsistemabancario.También,esllamadaofertamonetariabásicaocirculante.
Elbienestardeloshabitantesdeunpaísestárelacionadoporlaofertamone-taria(Ayres,Jr.Frank).
Siexistepocodineroenunaeconomía,aparecelaci(existenciadebie-nesyserviciosdondeparadójicamenteloshabitantesengeneralnotienenlacapacidaddecompra).Elcasoopuesto,escuandoexisteexcedentededineroenlaeconomía,entoncesaparecelaifci(escasezdeciertosbienesyser-vicios,locualconllevaalincrementoconstantedelosprecios).Enestecaso,unproductopuedetenerunprecioenlamañanayotromayorporlatarde.
Tantolarecesióncomolainflaciónsonnocivasparalaeconomíadeunpaís.Porello,elBCRP1eslainstituciónquedebeproporcionaranuestropaísunaofertamonetariadeacuerdoalasnecesidades;enesecontexto,éstadebeserindependientedelmanejopolíticodelgobierno.
Ivi.Eslaoperacióndecolocarcapitalesenentidadesfinancieras(di-neroquesetransformaencapitalcuandoconélproducimosriqueza)conlafinalidaddeobtenerganancias,traducidasenbeneficioseconómicosporde- positareninstitucionesquepaganuninterés,trabajandosucapital.Alrealizar
estaacción,seestáinvirtiendosucapital.Porlogeneral,inviertenlaspersonasnaturales,empresas,institucionesyelgobierno.Alhacerestasinversiones buscan:
1. n pdid d cpi. Esimportantesaberdeunainstituciónseriaenlaquepuedacolocarsucapital,nodejándosellevarporlapropagandaacercadealtastasasdeinterés,comofueCLAE(bancoinformal)enelcualmuchaspersonasnaturalesyjurídicasperdieroncompletamentesucapital.
2. Pcci ivi. Lasempresasalvenirainvertirlohacenenunmarcojurídicoynosepuedecambiarésteporqueunadelaspartesasíloquiere.Alrespetarestascondiciones,estamosmostrandoseguridadenlainversión.Adicionalmente,mostramosseriedad,detalmaneraqueotras empresas extranjeras podrían traer futuras inversiones. Para queestosuceda,sedebetenerunPoderJudicialautónomoynodependientedelgobiernodeturno.
BancoCentraldelaReservadelPerú.
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http://slidepdf.com/reader/full/libro-uni-mate-financiera 32/403. bfici c p. Todaempresatrataderecuperarsuinversiónen el menor tiempo posible; ejemplo de ello se tiene a empresas que en
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1M ateMática financiera
enelmenortiempoposible;ejemplodeellosetieneaempresasqueencortotiemporecuperaronsuinversióncomo:TelefónicayLuzdelSur.
4. Icm v d ivi. Estotambiénpuedesucederde
formacasual;porejemplo,eltenerunacasadestinadaparaviviendaenunazonaurbanayenunmomentodeterminadoconstruyenfrenteaellaunaUniversidadounHospital,automáticamentepasaaservalorizadaesacasacomounprediocomercial,loqueimplicaunaumentodelvalormonetariodelapropiedad.
5. Vj fic. Son medidas que adopta un ente para propiciar eldesarrollo de una zona determinada (frontera), y el sector productivo(exportaciones).Generalmente,elgobiernopropiciaestetipodeaccionesconlafinalidaddeatraerinversionesazonaspobrescomosonlasde
fronterayquepuedenconsistirennocobrarimpuestosalasempresasqueinviertanenesosámbitos.
Cdi.Cuandosecompraunacasasepuedehacerdedosformas:condine-ropropio,esdecir,pagaralcontadooalnocontarconeldinerosuficienteparacancelarelvalordelacasasepuedehacerentregadeunpagoinicialprevioacuerdodecancelarperiódicamenteladiferenciaporuntiempodeterminado.Loquesehaceesadquirirunpréstamo.Estaoperaciónesconocidacomoob-tencióndeuncréditoydeestamanerasecancelaelvalordelacasa.Cuandoal
valordeestepréstamoseleaplicaunfactorllamadotasadeinterés(preciodel préstamoenelmercadofinancieroexpresadoenporcentaje)seestáobtenien-doelioc d cdiquesepagaporelvalordelpréstamo.
EstatasadeinterésesfijadaporelBancoCentraldecadapaísalosotrosban-cosyéstos,asuvez,lafijanalaspersonasporlospréstamosodepósitos.ElBCRPeselentequeregulalatasadeinterésparapréstamosodepósitos.Unadeestetipoeslatasadeinterésactivapromedioennuevossoles(TAMN)ylatasadeinterésactivapromedioendólaresoTAMEX.Laevolucióndeestatasadeinterésennuestropaís,expresadoenporcentajeentrelosaños1997y
2006.
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20 Hernán B. G arrafa araGón
Fig 1.1.Evolucióndelatasadeinterésennuevossolesydólares.
Sepuedeapreciarqueestatasaestáreduciéndosetantoennuevossolescomoendólares.
1.2. e i imp
Tambiénllamadorégimendecapitalizaciónsimpleenelquelosinteresespro-ducidosaltérminodelperiododecapitalizaciónofechaquesedaporfina-lizadalaoperaciónseretiranestosintereses(nosereinvierte),quedando,deestaforma,elcapitalinicialconstantehastalafechaenquesehayaconvenidosureembolso.Sedenominacpi iiciopicipalacantidaddedineroquerecibimoscomopréstamoodepositamosaliniciodeunaoperación,sien-doelprecioquesepagaporelusodeestedineroéselcualdependede
lossiguientesfactores:• Elig queconllevalaoperación,implicarálamayoromenortasade
interés.Laseguridad,solvencia,respaldoogarantíaquepuedepresentarelsolicitantedelpréstamoparalacancelacióndelmismopermitiráobte-nerelpréstamoencondicionesmásconvenientes.Ejemplo,elfinparaelquesevaausarestedinero;noeslomismoutilizarunpréstamoparalacompradeunacasaqueparalacompradeunauto;noeslomismopres-taraempresasquesonconsideradasimportantesqueaotrasquenosonconsideradascomotales.
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• A mayor periodo de imp, habrá un mayor pago por concepto deinterés.
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21M ateMática financiera
• Del mcd,puedeendeterminadomomentoexistirunagranofertamonetaria,entonceslatasadeinteréstiendeabajar,comopuedesuceder
el caso contrario. Ejemplo, cuando la situación económica, social y políticadeunpaíspresentacaos,elriesgopaís2(indicadordeconfianzaenlaeconomíadeunpaís)tiendea subirautomáticamente,por tanto,latasadeinteréssube,loqueimplicaelmayorpagoporconceptodeinterés.
Entonces,elinterés(I)dependedecómoevolucionanestosfactores.Parade-terminarelinteréssimple,lodefiniremoscomoelproductodelcapitalinicial(P),tasadeinterés()yelperiododetiempo().
I=Prn(1)
Donde:
I Interéspagadoporelpréstamoocrédito.
P Capitalinicialoprincipal.
r Tasadeinteréssimpleporunidaddetiempo.
n Periodode tiempo,expresado en lasmismas unidades que la tasa de
interés.EsteinterésserelacionaconP deacuerdoalasiguientegráfica:
Fig 1.2. RelaciónentrePysuvalorfuturo.
ejmp 1.UnapersonaconcedióunpréstamoaunamigoporS/.35000comprometiéndoseéste adevolverlodentro deunaño.Por elmencionado
préstamo le cobróuna tasade interés simpledel12%anual.¿Cuál será elinterésquedeberápagaresteamigoporelpréstamo?
sci: En este caso,se tienecomo datosP,nyr,de la fórmula(1)setiene:
ElPerútieneunbajoriesgopaísenrelaciónaotrospaísesdeAméricaLatina.
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P=35000soles
r=12%anualcomoI=Prn
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22 Hernán B. G arrafa araGón
n=1añoentoncesI=35000x12%x1=4200soles
ElinterésapagarserádeS/.4200.
ejmp 2. Desarrolleelejemploanterior,considerandounatasadeinterésdel12%semestral.
sci:Comoytienenqueserexpresadosenunidadeshomogéneas,entonces:
P=35000soles
r=12%semestral De(1)setieneque:
n=2semestres I=35000x12%x2=8400soles
EnestecasoelinterésapagarserádeS/.8400.
ejmp 3.Unaparejadeesposossolicitaunpréstamoaunapersonaporunmontode$23000paracomprarunauto.Estapersonacobraunatasadein -teréssimpleparapréstamosdel24%anual,silospagosmensualesarealizarseránde$520,¿quépartedelprimerpagosedestinaalpagodeinterésyasaldarelpréstamo?
sci:Setienequecalcularelinterésquesepagaporelprimermes,lain-formacióndelatasadeinterésesanual,comosenecesitamensual,porlotantosedivideentre12(númerodemesesquetieneelaño).Lapartequeamortizaladeudaesladiferenciaentreloquesepagamensualmenteyelinterés.
P=23000dólares
r=2%mensual
n=1mes I=23000x2%x1=460dólares
Paraelpagodeinterésdestinó$460yparasaldarladeuda$60($520-$460).
ejmp 4. UnseñorsolicitóunpréstamodeS/.800paraliquidarloentresmesesypagóporelloS/.120porconceptodeinterés.¿Cuáleslatasadein-teréstrimestralyanual?
sci: Enestecaso,elperiodoes1trimestre,resumiendolosdatos:
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