limite de funciones

LIMITES DE FUNCIONES

LÍMITES DE FUNCIONES Límites laterales: Hasta el momento hemos visto límites de funciones cuyo trazo es continuo, sin cortes o saltos bruscos. Sin embargo, existen algunas funciones que presentan algunas discontinuidades, llamadas funciones discontinuas y que estudiaremos en el tema continuidad de funciones. Nos dedicaremos ahora a estudiar los límites en este tipo de funciones. Consideremos la siguiente representación gráfica de una función f(x), en la que existe una discontinuidad cuando ax :

Notemos que cuando x tiende hacia "a" por la derecha de "a" la función tiende

a 2, pero cuando x tiende hacia "a" por la izquierda de "a", la función tiende hacia 1.

Escribimos ax para indicar que x tiende hacia "a" por la derecha, es decir, tomando valores mayores que "a".

Similarmente ax indica que x tiende hacia "a" por la izquierda, o sea, tomando valores menores que "a". Utilizando ahora la notación de límites,

escribimos 2)(

xfLimax

y 1)(

xfLimax

. Estos límites reciben

el nombre de límites laterales; el límite por la derecha es 2 y el límite por la

izquierda es 1, por lo tanto el límite cuando existe )( noxfLimax

Ejemplo 8:

Dada la función

26

21 1

153

)( 2

xx Si

x- Six

-x Si x

xg

Calcular (en caso de existir) cada uno de los límites siguientes:

2535)1(3)53()(11

xLimxgLimxx

21)1()1()( 22

11

xLimxgLim

xx

)(1

xgLimx

Como )(2)(11

xgLimxgLimxx

entonces, 2)(1

xgLimx

51)2()1()( 22

22

xLimxgLim

xx

426)6()(22

xLimxgLimxx

)(2

xgLimx

Como )(45)(22

xgLimxgLimxx

entonces, )(2

xgLimx

no existe

Límites de funciones trigonométricas Los límites también se pueden aplicar a las funciones trigonométricas. Para un valor real a definido en el dominio de la función trigonométrica, se cumple:

aCotxCotLimaSecxSecLimaCotxCotLim

aTanxTanLimaCosxCosLimaSenxSenLim

axaxax

axaxax

Cuando calculamos límites trigonométricos es necesario recordar, las siguientes identidades básicas:

Casos especiales:

1

)(

0

x

xSenLimx

0

)(1

0

x

xCosLimx

Ejemplo 9:

Hallar: xLimx

cos

2

Solución:

Como 2

está dentro del dominio de cos(x), entonces:

02

coscos

2

xLimx

Por lo tanto: 0cos

2

xLimx

Ejemplo 10:

Hallar: x

xLimx 4sin

2tan

0

Solución: Si evaluamos el límite se obtiene:

aciónIndetermin 0

0

)0(4sin

)0(2tan

Haciendo uso de las identidades trigonométricas se eliminara dicha indeterminación.

2

1

))0(2(cos2

1

)2(cos2

1

)2(cos2sin2

2sin

2cos2sin2

2cos

2sin

4sin

2tan

2cos2sin2))2(2sin(4sin

2cos

2sin2tan

2

20

20

00

xLim

xx

xLim

xx

x

x

Limx

xLim

xxxx

x

xx

x

x

xx

Por lo tanto se puede concluir que:

2

1

4sin

2tan0

x

xLimx

Límite de una Función:

El teorema muestra que el límite de una función existe, solo si sus límites unilaterales existes y son iguales. Asíntotas: Las Asíntotas son rectas que limitan las curvas en su recorrido, hasta el punto

que no las deja pasar. Las asíntotas permiten observar el recorrido de las curvas en el plano. Existen rectas que se aproximan arbitrariamente a curvas de funciones, pero nunca se tocan, se

dice que la curva se acerca asintóticamente a la recta.

Asíntotas horizontales: La recta y = L, es una asíntota horizontal, si se cumple una de las siguientes condiciones:

Ejemplo 11: Para la función dada, determinar sus asíntotas horizontales, si las tiene:

xxxf 1)( 2

Solución: Resolviendo el limite, se sabe si tiene o no asíntotas horizontales.

01

1

1

1

1

1

1

1

111

2

22

22

2

222

xxLim

xx

xxLim

xx

xxxxLimxxLim

xxxx

Como el limite existe y es cero, entonces: y = 0 es Asíntota horizontal de la función dada.

Asíntotas verticales

La recta x = a, es una asíntota vertical, si se cumple una de las siguientes condiciones:

Ejemplo 12: Para la función dada, determinar sus asíntotas verticales, si las tiene:

65

2)(

2

xx

xxf

Solución: Primero se busca en donde la función no está definida, lo que se puede identificar factorizando el denominador:

16

2

65

2)(

2

xx

x

xx

xxf

Se hace que x tienda a 6 y a -1, que es el punto donde la función no está definida.

0

8

65

22

6 xx

xLimx

0

1

65

22

1 xx

xLimx

Para los dos casos se presenta la primera condición, luego x = -1 y x = 6 son asíntotas verticales de la función dada.