Lógica - CM0260 Lógica proposicional: Método de deducción

Lógica - CM0260Lógica proposicional: Método de deducción

Andrés Sicard Ramírez

Universidad EAFIT

Semestre 2015-2

Método de deducciónArgumento

𝑃1⋮𝑃𝑛∴ 𝐶

Prueba formal de validez1 𝑃1

⋮n 𝑃𝑛 /∴ 𝐶

n+1 𝑆1⋮

n+m 𝑆𝑚donde:

cada proposición 𝑆𝑖 se sigue de las proposiciones anteriores por unargumento válido elemental yla última proposición 𝑆𝑚 es la conclusión 𝐶.

Notación: Hurley [2012] usa el símbolo ‘/’ y LogicCoach 11 usa elsímbolo ‘//’ en lugar del símbolo ‘/ ∴’.

Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 2/109

Método de deducciónArgumento

𝑃1⋮𝑃𝑛∴ 𝐶

Prueba formal de validez1 𝑃1

⋮n 𝑃𝑛 /∴ 𝐶

n+1 𝑆1⋮

n+m 𝑆𝑚donde:

cada proposición 𝑆𝑖 se sigue de las proposiciones anteriores por unargumento válido elemental yla última proposición 𝑆𝑚 es la conclusión 𝐶.

Notación: Hurley [2012] usa el símbolo ‘/’ y LogicCoach 11 usa elsímbolo ‘//’ en lugar del símbolo ‘/ ∴’.

Reglas de inferencia

1 Modus ponens (MP)𝑝 ⊃ 𝑞𝑝𝑞

2 Modus tollens (MT)𝑝 ⊃ 𝑞∼𝑞∼𝑝

3 Hypothetical syllogism (HS)𝑝 ⊃ 𝑞𝑞 ⊃ 𝑟𝑝 ⊃ 𝑟

4 Disjunctive syllogism (DS)

𝑝 ∨ 𝑞∼𝑝𝑞

5 Constructive dilemma (CD)

(𝑝 ⊃ 𝑞) ∧ (𝑟 ⊃ 𝑠)𝑝 ∨ 𝑟𝑞 ∨ 𝑠

6 Simplification (Simp)

𝑝 ∧ 𝑞𝑝

(𝑝 ⊃ 𝑞) ∧ (𝑟 ⊃ 𝑠)𝑝 ∨ 𝑟𝑞 ∨ 𝑠

𝑝 ∧ 𝑞𝑝

(𝑝 ⊃ 𝑞) ∧ (𝑟 ⊃ 𝑠)𝑝 ∨ 𝑟𝑞 ∨ 𝑠

𝑝 ∧ 𝑞𝑝

(𝑝 ⊃ 𝑞) ∧ (𝑟 ⊃ 𝑠)𝑝 ∨ 𝑟𝑞 ∨ 𝑠

𝑝 ∧ 𝑞𝑝

(𝑝 ⊃ 𝑞) ∧ (𝑟 ⊃ 𝑠)𝑝 ∨ 𝑟𝑞 ∨ 𝑠

𝑝 ∧ 𝑞𝑝

7 Conjunction (Conj)𝑝𝑞𝑝 ∧ 𝑞

8 Addition (Add)𝑝𝑝 ∨ 𝑞

Observación: Uso de instancias de las reglas de inferencia.

Reglas de inferenciaSugerencias

Antes de comenzar a realizar ejercicios de construcción de pruebasformales, realizar (algunos de) los ejercicios I y II de la pág. 52de Copi [1998].

Hurley [2012] en las págs. 385 y 395 ilustra algunos de los errorescomunes en el uso de las reglas de inferencia.

Reglas de inferenciaSugerencias

Antes de comenzar a realizar ejercicios de construcción de pruebasformales, realizar (algunos de) los ejercicios I y II de la pág. 52de Copi [1998].Hurley [2012] en las págs. 385 y 395 ilustra algunos de los errorescomunes en el uso de las reglas de inferencia.

Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.2, pág. 54)Construir una prueba formal de validez para el argumento:

1 𝐸 ⊃ (𝐹 ∧ ∼𝐺)2 (𝐹 ∨ 𝐺) ⊃ 𝐻3 𝐸 /∴ 𝐻

4 𝐹 ∧ ∼𝐺 MP 1, 3

5 𝐹 Simp 4

6 𝐹 ∨ 𝐺 Add 5

7 𝐻 MP 2, 6

1 𝐸 ⊃ (𝐹 ∧ ∼𝐺)2 (𝐹 ∨ 𝐺) ⊃ 𝐻3 𝐸 /∴ 𝐻4 𝐹 ∧ ∼𝐺 MP 1, 3

5 𝐹 Simp 4

6 𝐹 ∨ 𝐺 Add 5

7 𝐻 MP 2, 6

1 𝐽 ⊃ 𝐾2 𝐽 ∨ (𝐾 ∨ ∼𝐿)3 ∼𝐾 /∴ ∼𝐿 ∧ ∼𝐾

4 ∼𝐽 MT 1, 4

5 𝐾 ∨ ∼𝐿 DS 2, 4

6 ∼𝐿 DS 5, 3

7 ∼𝐿 ∧ ∼𝐾 Conj 6, 3

1 𝐽 ⊃ 𝐾2 𝐽 ∨ (𝐾 ∨ ∼𝐿)3 ∼𝐾 /∴ ∼𝐿 ∧ ∼𝐾4 ∼𝐽 MT 1, 4

5 𝐾 ∨ ∼𝐿 DS 2, 4

6 ∼𝐿 DS 5, 3

7 ∼𝐿 ∧ ∼𝐾 Conj 6, 3

Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.6, pág. 54)Construir una prueba formal de validez para el argumento:1 𝐴 ⊃ (𝐵 ∧ 𝐶)2 ∼𝐴 ⊃ [(𝐷 ⊃ 𝐸) ∧ (𝐹 ⊃ 𝐺)]3 (𝐵 ∧ 𝐶) ∨ [(∼𝐴 ⊃ 𝐷) ∧ (∼𝐴 ⊃ 𝐹)]4 ∼(𝐵 ∧ 𝐶) ∧ ∼(𝐺 ∧ 𝐷) /∴ 𝐸 ∨ 𝐺

5 ∼(𝐵 ∧ 𝐶) Simp 46 ∼𝐴 MT 1, 57 (𝐷 ⊃ 𝐸) ∧ (𝐹 ⊃ 𝐺) MP 2, 68 𝐷 ⊃ 𝐸 Simp 79 (∼𝐴 ⊃ 𝐷) ∧ (∼𝐴 ⊃ 𝐹) DS 3, 5

10 ∼𝐴 ⊃ 𝐷 Simp 911 𝐷 MP 10, 612 𝐸 MP 8, 1113 𝐸 ∨ 𝐺 Add 12

Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.6, pág. 54)Construir una prueba formal de validez para el argumento:1 𝐴 ⊃ (𝐵 ∧ 𝐶)2 ∼𝐴 ⊃ [(𝐷 ⊃ 𝐸) ∧ (𝐹 ⊃ 𝐺)]3 (𝐵 ∧ 𝐶) ∨ [(∼𝐴 ⊃ 𝐷) ∧ (∼𝐴 ⊃ 𝐹)]4 ∼(𝐵 ∧ 𝐶) ∧ ∼(𝐺 ∧ 𝐷) /∴ 𝐸 ∨ 𝐺5 ∼(𝐵 ∧ 𝐶) Simp 46 ∼𝐴 MT 1, 57 (𝐷 ⊃ 𝐸) ∧ (𝐹 ⊃ 𝐺) MP 2, 68 𝐷 ⊃ 𝐸 Simp 79 (∼𝐴 ⊃ 𝐷) ∧ (∼𝐴 ⊃ 𝐹) DS 3, 5

10 ∼𝐴 ⊃ 𝐷 Simp 911 𝐷 MP 10, 612 𝐸 MP 8, 1113 𝐸 ∨ 𝐺 Add 12

Reglas de inferenciaEjercicio (Copi [1998], ejercicio III.7, pág. 54)Construir una prueba formal de validez para el argumento:1 (∼𝐻 ∨ 𝐼) ⊃ (𝐽 ⊃ 𝐾)2 (∼𝐿 ∧ ∼𝑀) ⊃ (𝐾 ⊃ 𝑁)3 (𝐻 ⊃ 𝐿) ∧ (𝐿 ⊃ 𝐻)4 (∼𝐿 ∧ ∼𝑀) ∧ ∼𝑂 /∴ 𝐽 ⊃ 𝑁

5 ∼𝐿 ∧ ∼𝑀 Simp 46 𝐾 ⊃ 𝑁 MP 2, 57 ∼𝐿 Simp 58 𝐻 ⊃ 𝐿 Simp 39 ∼𝐻 MT 8, 7

10 ∼𝐻 ∨ 𝐼 Add 911 𝐽 ⊃ 𝐾 MP 1, 1012 𝐽 ⊃ 𝑁 HS 11, 6

Reglas de inferenciaEjercicio (Copi [1998], ejercicio III.7, pág. 54)Construir una prueba formal de validez para el argumento:1 (∼𝐻 ∨ 𝐼) ⊃ (𝐽 ⊃ 𝐾)2 (∼𝐿 ∧ ∼𝑀) ⊃ (𝐾 ⊃ 𝑁)3 (𝐻 ⊃ 𝐿) ∧ (𝐿 ⊃ 𝐻)4 (∼𝐿 ∧ ∼𝑀) ∧ ∼𝑂 /∴ 𝐽 ⊃ 𝑁5 ∼𝐿 ∧ ∼𝑀 Simp 46 𝐾 ⊃ 𝑁 MP 2, 57 ∼𝐿 Simp 58 𝐻 ⊃ 𝐿 Simp 39 ∼𝐻 MT 8, 7

10 ∼𝐻 ∨ 𝐼 Add 911 𝐽 ⊃ 𝐾 MP 1, 1012 𝐽 ⊃ 𝑁 HS 11, 6

Reglas de inferenciaEjercicio (Copi [1998], ejercicio III.10, pág. 54)Construir una prueba formal de validez para el argumento:1 (𝐵 ∨ 𝐶) ⊃ (𝐷 ∨ 𝐸)2 ((𝐷 ∨ 𝐸) ∨ 𝐹) ⊃ (𝐺 ∨ 𝐻)3 (𝐺 ∨ 𝐻) ⊃ ∼𝐷4 𝐸 ⊃ ∼𝐺5 𝐵 /∴ 𝐻

6 𝐵 ∨ 𝐶 Add 57 𝐷 ∨ 𝐸 MP 1, 68 (𝐷 ∨ 𝐸) ∨ 𝐹 Add 79 𝐺 ∨ 𝐻 MP 2, 8

10 ∼𝐷 MP 3, 911 𝐸 DS 7, 1012 ∼𝐺 MP 4, 1113 𝐻 DS 9, 12

Reglas de inferenciaEjercicio (Copi [1998], ejercicio III.10, pág. 54)Construir una prueba formal de validez para el argumento:1 (𝐵 ∨ 𝐶) ⊃ (𝐷 ∨ 𝐸)2 ((𝐷 ∨ 𝐸) ∨ 𝐹) ⊃ (𝐺 ∨ 𝐻)3 (𝐺 ∨ 𝐻) ⊃ ∼𝐷4 𝐸 ⊃ ∼𝐺5 𝐵 /∴ 𝐻6 𝐵 ∨ 𝐶 Add 57 𝐷 ∨ 𝐸 MP 1, 68 (𝐷 ∨ 𝐸) ∨ 𝐹 Add 79 𝐺 ∨ 𝐻 MP 2, 8

10 ∼𝐷 MP 3, 911 𝐸 DS 7, 1012 ∼𝐺 MP 4, 1113 𝐻 DS 9, 12

Regla de reemplazoMotivaciónConstruir una prueba formal de validez para el argumento

𝐴 ∧ 𝐵 /∴ 𝐵

No es posible con nuestras actuales reglas de inferencia.

Notación: 𝑝 ∷ 𝑞 significa que 𝑝 es lógicamente equivalente a 𝑞.

𝐴 ∧ 𝐵 /∴ 𝐵No es posible con nuestras actuales reglas de inferencia.

Regla de reemplazoRegla de reemplazoCualquiera de las siguientes expresiones lógicamente equivalentes puedenreemplazar a la otra en donde ocurran.

9 De Morgan’s rule (DM) ∼(𝑝 ∧ 𝑞) ∷ (∼𝑝 ∨ ∼𝑞)∼(𝑝 ∨ 𝑞) ∷ (∼𝑝 ∧ ∼𝑞)

10 Commutativity (Com) (𝑝 ∨ 𝑞) ∷ (𝑞 ∨ 𝑝)(𝑝 ∧ 𝑞) ∷ (𝑞 ∧ 𝑝)

11 Associativity (Assoc) [(𝑝 ∨ (𝑞 ∨ 𝑟)] ∷ [(𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟][𝑝 ∧ (𝑞 ∧ 𝑟)] ∷ [(𝑝 ∧ 𝑞) ∧ 𝑟]

12 Distribution (Dist) [𝑝 ∧ (𝑞 ∨ 𝑟)] ∷ [(𝑝 ∧ 𝑞) ∨ (𝑝 ∧ 𝑟)][𝑝 ∨ (𝑞 ∧ 𝑟)] ∷ [(𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (𝑝 ∨ 𝑟)]

Regla de reemplazo

(continuación)

13 Double negation (DN) 𝑝 ∷ ∼∼𝑝

14 Transposition (Trans) (𝑝 ⊃ 𝑞) ∷ (∼𝑞 ⊃ ∼𝑝)

15 Material implication (Impl) (𝑝 ⊃ 𝑞) ∷ (∼𝑝 ∨ 𝑞)

16 Material equivalence (Equiv) (𝑝 ≡ 𝑞) ∷ [(𝑝 ⊃ 𝑞) ∧ (𝑞 ⊃ 𝑝)](𝑝 ≡ 𝑞) ∷ [(𝑝 ∧ 𝑞) ∨ (∼𝑝 ∧ ∼𝑞)]

17 Exportation (Exp) [(𝑝 ∧ 𝑞) ⊃ 𝑟] ∷ [𝑝 ⊃ (𝑞 ⊃ 𝑟)]

18 Tautology (Taut) 𝑝 ∷ (𝑝 ∨ 𝑝)𝑝 ∷ (𝑝 ∧ 𝑝)

Regla de reemplazo

(continuación)

Regla de reemplazo

(continuación)

Regla de reemplazo

(continuación)

Regla de reemplazo

(continuación)

Regla de reemplazo

(continuación)

Regla de reemplazoObservación: “La regla de reemplazo autoriza que expresiones lógicamenteequivalentes especificadas se reemplacen entre sí donde ocurran, aun endonde no constituyan renglones enteros de demostración. Pero las nueveprimeras reglas de inferencia sólo pueden usarse tomando como premisasrenglones enteros de una demostración.”1

1Copi, Irving M. (1998). Lógica Simbólica, pág. 59.Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 38/109

Regla de reemplazoEjemploConstruir una prueba formal de validez para el argumento:1 𝐴 ∧ 𝐵 /∴ 𝐵2 𝐵 ∧ 𝐴 Com 1

3 𝐵 Simp 2

Pruebas formalesVerificación vs construcciónVerificar una prueba formal es un proceso efectivo (algorítmico), pero cons-truirla no lo es.

ConvenciónEn cada línea de una prueba sólo se aplica una regla de inferencia o unaequivalencia lógica, pero no ambas.

SugerenciaAntes de comenzar a realizar ejercicios de construcción de pruebasformales, realizar (algunos de) los ejercicios I y II de la pág. 61 y 62de Copi [1998].

Pruebas formalesEjercicio (Copi [1998], ejercicio II.4, pág. 62)La siguiente es una prueba formal de validez para el argumento indicado.Enuncie la “justificación” de cada renglón que no sea una premisa:

1 (𝑂 ⊃ ∼𝑃) ∧ (𝑃 ⊃ 𝑄)2 𝑄 ⊃ 𝑂3 ∼𝑅 ⊃ 𝑃 /∴ 𝑅4 ∼𝑄 ∨ 𝑂5 𝑂 ∨ ∼𝑄6 (𝑂 ⊃ ∼𝑃) ∧ (∼𝑄 ⊃ ∼𝑃 )7 ∼𝑃 ∨ ∼𝑃8 ∼𝑃9 ∼∼𝑅

10 𝑅Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 43/109

Pruebas formales

Ejercicio (continuación)

1 (𝑂 ⊃ ∼𝑃) ∧ (𝑃 ⊃ 𝑄)2 𝑄 ⊃ 𝑂3 ∼𝑅 ⊃ 𝑃 /∴ 𝑅4 ∼𝑄 ∨ 𝑂 Impl 25 𝑂 ∨ ∼𝑄 Com 46 (𝑂 ⊃ ∼𝑃) ∧ (∼𝑄 ⊃ ∼𝑃 ) Trans 17 ∼𝑃 ∨ ∼𝑃 CD 6, 48 ∼𝑃 Taut 79 ∼∼𝑅 MT 3, 8

10 𝑅 DN 9

1 𝐶 ⊃ (𝐷 ⊃ ∼𝐶)2 𝐶 ≡ 𝐷 /∴ ∼𝐶 ∧ ∼𝐷

3 𝐶 ⊃ (∼∼𝐶 ⊃ ∼𝐷)4 𝐶 ⊃ (𝐶 ⊃ ∼𝐷)5 (𝐶 ∧ 𝐶) ⊃ ∼𝐷6 𝐶 ⊃ ∼𝐷7 ∼𝐶 ∨ ∼𝐷8 ∼(𝐶 ∧ 𝐷)9 (𝐶 ∧ 𝐷) ∨ (∼𝐶 ∧ ∼𝐷)

10 ∼𝐶 ∧ ∼𝐷

1 𝐶 ⊃ (𝐷 ⊃ ∼𝐶)2 𝐶 ≡ 𝐷 /∴ ∼𝐶 ∧ ∼𝐷3 𝐶 ⊃ (∼∼𝐶 ⊃ ∼𝐷)4 𝐶 ⊃ (𝐶 ⊃ ∼𝐷)5 (𝐶 ∧ 𝐶) ⊃ ∼𝐷6 𝐶 ⊃ ∼𝐷7 ∼𝐶 ∨ ∼𝐷8 ∼(𝐶 ∧ 𝐷)9 (𝐶 ∧ 𝐷) ∨ (∼𝐶 ∧ ∼𝐷)

10 ∼𝐶 ∧ ∼𝐷Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 46/109

Pruebas formales

1 𝐶 ⊃ (𝐷 ⊃ ∼𝐶)2 𝐶 ≡ 𝐷 /∴ ∼𝐶 ∧ ∼𝐷

3 𝐶 ⊃ (∼∼𝐶 ⊃ ∼𝐷) Trans 14 𝐶 ⊃ (𝐶 ⊃ ∼𝐷) DN 35 (𝐶 ∧ 𝐶) ⊃ ∼𝐷 Exp 46 𝐶 ⊃ ∼𝐷 Taut 57 ∼𝐶 ∨ ∼𝐷 Impl 68 ∼(𝐶 ∧ 𝐷) DM 79 (𝐶 ∧ 𝐷) ∨ (∼𝐶 ∧ ∼𝐷) Equiv 2

10 ∼𝐶 ∧ ∼𝐷 DS 9, 8

Pruebas formales

1 𝐶 ⊃ (𝐷 ⊃ ∼𝐶)2 𝐶 ≡ 𝐷 /∴ ∼𝐶 ∧ ∼𝐷3 𝐶 ⊃ (∼∼𝐶 ⊃ ∼𝐷) Trans 14 𝐶 ⊃ (𝐶 ⊃ ∼𝐷) DN 35 (𝐶 ∧ 𝐶) ⊃ ∼𝐷 Exp 46 𝐶 ⊃ ∼𝐷 Taut 57 ∼𝐶 ∨ ∼𝐷 Impl 68 ∼(𝐶 ∧ 𝐷) DM 79 (𝐶 ∧ 𝐷) ∨ (∼𝐶 ∧ ∼𝐷) Equiv 2

10 ∼𝐶 ∧ ∼𝐷 DS 9, 8

Pruebas formales

Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.6, pág. 62)Construir una prueba formal de validez para el argumento:1 𝑁 ⊃ 𝑂 /∴ (𝑁 ∧ 𝑃 ) ⊃ 0

2 ∼𝑁 ∨ 𝑂 Impl 13 (∼𝑁 ∨ 𝑂) ∨ ∼𝑃 Add 24 ∼𝑃 ∨ (∼𝑁 ∨ 𝑂) Com 35 (∼𝑃 ∨ ∼𝑁) ∨ 𝑂 Assoc. 46 ∼(𝑃 ∧ 𝑁) ∨ 𝑂 DM 57 ∼(𝑁 ∧ 𝑃) ∨ 𝑂 Com 68 (𝑁 ∧ 𝑃) ⊃ 0 Impl 7

Pruebas formales

Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.6, pág. 62)Construir una prueba formal de validez para el argumento:1 𝑁 ⊃ 𝑂 /∴ (𝑁 ∧ 𝑃 ) ⊃ 02 ∼𝑁 ∨ 𝑂 Impl 13 (∼𝑁 ∨ 𝑂) ∨ ∼𝑃 Add 24 ∼𝑃 ∨ (∼𝑁 ∨ 𝑂) Com 35 (∼𝑃 ∨ ∼𝑁) ∨ 𝑂 Assoc. 46 ∼(𝑃 ∧ 𝑁) ∨ 𝑂 DM 57 ∼(𝑁 ∧ 𝑃) ∨ 𝑂 Com 68 (𝑁 ∧ 𝑃) ⊃ 0 Impl 7

Pruebas formales

Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.7, pág. 63)Construir una prueba formal de validez para el argumento:1 (𝑄 ∨ 𝑅) ⊃ 𝑆 /∴ 𝑄 ⊃ 𝑆

2 ∼(𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆 Impl 1

3 (∼𝑄 ∧ ∼𝑅) ∨ 𝑆 DM 2

4 𝑆 ∨ (∼𝑄 ∧ ∼𝑅) Com 3

5 (𝑆 ∨ ∼𝑄) ∧ (𝑆 ∨ ∼𝑅) Dist 4

6 𝑆 ∨ ∼𝑄 Simp 5

7 ∼𝑄 ∨ 𝑆 Com 6

8 𝑄 ⊃ 𝑆 Impl 7

Pruebas formales

Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.7, pág. 63)Construir una prueba formal de validez para el argumento:1 (𝑄 ∨ 𝑅) ⊃ 𝑆 /∴ 𝑄 ⊃ 𝑆2 ∼(𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆 Impl 1

3 (∼𝑄 ∧ ∼𝑅) ∨ 𝑆 DM 2

4 𝑆 ∨ (∼𝑄 ∧ ∼𝑅) Com 3

5 (𝑆 ∨ ∼𝑄) ∧ (𝑆 ∨ ∼𝑅) Dist 4

6 𝑆 ∨ ∼𝑄 Simp 5

7 ∼𝑄 ∨ 𝑆 Com 6

8 𝑄 ⊃ 𝑆 Impl 7

Pruebas formales

Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.8, pág. 63)Construir una prueba formal de validez para el argumento:1 𝑇 ⊃ ∼(𝑈 ⊃ 𝑉 ) /∴ 𝑇 ⊃ 𝑈

2 ∼𝑇 ∨ ∼(𝑈 ⊃ 𝑉 ) Impl 1

3 ∼𝑇 ∨ ∼(∼𝑈 ∨ 𝑉 ) Impl 2

4 ∼𝑇 ∨ (∼∼𝑈 ∧ ∼𝑉 ) DM 3

5 ∼𝑇 ∨ (𝑈 ∧ ∼𝑉 ) DN. 4

6 (∼𝑇 ∨ 𝑈) ∧ (∼𝑇 ∨ ∼𝑉 ) Dist 5

7 ∼𝑇 ∨ 𝑈 Simp 6

8 𝑇 ⊃ 𝑈 Impl 7

Pruebas formales

Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.8, pág. 63)Construir una prueba formal de validez para el argumento:1 𝑇 ⊃ ∼(𝑈 ⊃ 𝑉 ) /∴ 𝑇 ⊃ 𝑈2 ∼𝑇 ∨ ∼(𝑈 ⊃ 𝑉 ) Impl 1

3 ∼𝑇 ∨ ∼(∼𝑈 ∨ 𝑉 ) Impl 2

4 ∼𝑇 ∨ (∼∼𝑈 ∧ ∼𝑉 ) DM 3

5 ∼𝑇 ∨ (𝑈 ∧ ∼𝑉 ) DN. 4

6 (∼𝑇 ∨ 𝑈) ∧ (∼𝑇 ∨ ∼𝑉 ) Dist 5

7 ∼𝑇 ∨ 𝑈 Simp 6

8 𝑇 ⊃ 𝑈 Impl 7

Pruebas formales

Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.11, pág. 63)Construir una prueba formal de validez para el argumento:1 𝐸 ⊃ 𝐹2 𝐸 ⊃ 𝐺 /∴ 𝐸 ⊃ (𝐹 ∧ 𝐺)

3 ∼𝐸 ∨ 𝐹 Impl 1

4 ∼𝐸 ∨ 𝐺 Impl 2

5 (∼𝐸 ∨ 𝐹) ∧ (∼𝐸 ∨ 𝐺) Conj 3, 4

6 ∼𝐸 ∨ (𝐹 ∧ 𝐺) Dist

7 𝐸 ⊃ (𝐹 ∧ 𝐺) Impl 6

Pruebas formales

Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.11, pág. 63)Construir una prueba formal de validez para el argumento:1 𝐸 ⊃ 𝐹2 𝐸 ⊃ 𝐺 /∴ 𝐸 ⊃ (𝐹 ∧ 𝐺)3 ∼𝐸 ∨ 𝐹 Impl 1

4 ∼𝐸 ∨ 𝐺 Impl 2

5 (∼𝐸 ∨ 𝐹) ∧ (∼𝐸 ∨ 𝐺) Conj 3, 4

6 ∼𝐸 ∨ (𝐹 ∧ 𝐺) Dist

7 𝐸 ⊃ (𝐹 ∧ 𝐺) Impl 6

Nuevas reglas de demostración

Regla de demostración condicionalRegla de demostración indirecta

Observación: Copi [1998] presenta la regla de demostración condicionalgradualmente. En § 3.5 presenta una primera versión de la regla y en § 3.8presenta la versión general de la regla llamándola regla de demostracióncondicional reforzada. Nuestra presentación corresponde a la versióngeneral de la regla y ésta será la versión evaluada.

Nuevas reglas de demostración

Regla de demostración condicionalRegla de demostración indirecta

Observación: Copi [1998] presenta la regla de demostración condicionalgradualmente. En § 3.5 presenta una primera versión de la regla y en § 3.8presenta la versión general de la regla llamándola regla de demostracióncondicional reforzada. Nuestra presentación corresponde a la versióngeneral de la regla y ésta será la versión evaluada.

Regla de demostración condicionalIdeaAdicionar supuestos con alcance limitado.

Descarga de supuestosEs necesario descargar cada supuesto adicionado.

Regla de demostración condicional

𝐴 ACP

⋮𝐶

𝐴 ⊃ 𝐶 CP

CP: Conditional ProofACP: Assumption for Conditional Proof

𝐴 ACP

⋮𝐶

𝐴 ⊃ 𝐶 CP

𝐴 ACP

⋮𝐶

𝐴 ⊃ 𝐶 CP

Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.11, pág. 63)Construir una prueba formal de validez para el argumento:1 𝐸 ⊃ 𝐹2 𝐸 ⊃ 𝐺 /∴ 𝐸 ⊃ (𝐹 ∧ 𝐺)

3 𝐸 ACP

4 𝐹 MP 1, 3

5 𝐺 MP 2, 3

6 𝐹 ∧ 𝐺 Conj 4, 5

7 𝐸 ⊃ 𝐹 ∧ 𝐺 CP 3–6

Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.11, pág. 63)Construir una prueba formal de validez para el argumento:1 𝐸 ⊃ 𝐹2 𝐸 ⊃ 𝐺 /∴ 𝐸 ⊃ (𝐹 ∧ 𝐺)3 𝐸 ACP

4 𝐹 MP 1, 3

5 𝐺 MP 2, 3

6 𝐹 ∧ 𝐺 Conj 4, 5

7 𝐸 ⊃ 𝐹 ∧ 𝐺 CP 3–6

Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.11, pág. 63)Construir una prueba formal de validez para el argumento:1 𝐸 ⊃ 𝐹2 𝐸 ⊃ 𝐺 /∴ 𝐸 ⊃ (𝐹 ∧ 𝐺)3 𝐸 ACP

4 𝐹 MP 1, 3

5 𝐺 MP 2, 3

6 𝐹 ∧ 𝐺 Conj 4, 5

7 𝐸 ⊃ 𝐹 ∧ 𝐺 CP 3–6

Regla de demostración condicionalEjercicio (Copi [1998], pág. 75)Construir una demostración condicional de validez para el ejercicio 22 dela pág. 65.1 (𝑇 ⊃ 𝐸) ∧ (𝑀 ⊃ 𝐿) /∴ (𝑇 ∧ 𝑀) ⊃ (𝐸 ∧ 𝐿)

2 𝑇 ∧ 𝑀 ACP3 𝑇 ⊃ 𝐸 Simp 14 (𝑀 ⊃ 𝐿) ∧ (𝑇 ⊃ 𝐸) Com 15 𝑀 ⊃ 𝐿 Simp 46 𝑇 Simp 27 𝑀 ∧ 𝑇 Com 28 𝑀 Simp 79 𝐸 MP 3, 6

10 𝐿 MP 5, 811 𝐸 ∧ 𝐿 Conj 9, 1012 (𝑇 ∧ 𝑀) ⊃ (𝐸 ∧ 𝐿) CP 2–11

Regla de demostración condicionalEjercicio (Copi [1998], pág. 75)Construir una demostración condicional de validez para el ejercicio 22 dela pág. 65.1 (𝑇 ⊃ 𝐸) ∧ (𝑀 ⊃ 𝐿) /∴ (𝑇 ∧ 𝑀) ⊃ (𝐸 ∧ 𝐿)2 𝑇 ∧ 𝑀 ACP

3 𝑇 ⊃ 𝐸 Simp 14 (𝑀 ⊃ 𝐿) ∧ (𝑇 ⊃ 𝐸) Com 15 𝑀 ⊃ 𝐿 Simp 46 𝑇 Simp 27 𝑀 ∧ 𝑇 Com 28 𝑀 Simp 79 𝐸 MP 3, 6

Regla de demostración condicionalEjercicio (Copi [1998], pág. 75)Construir una demostración condicional de validez para el ejercicio 22 dela pág. 65.1 (𝑇 ⊃ 𝐸) ∧ (𝑀 ⊃ 𝐿) /∴ (𝑇 ∧ 𝑀) ⊃ (𝐸 ∧ 𝐿)2 𝑇 ∧ 𝑀 ACP3 𝑇 ⊃ 𝐸 Simp 14 (𝑀 ⊃ 𝐿) ∧ (𝑇 ⊃ 𝐸) Com 15 𝑀 ⊃ 𝐿 Simp 46 𝑇 Simp 27 𝑀 ∧ 𝑇 Com 28 𝑀 Simp 79 𝐸 MP 3, 6

Regla de demostración condicionalLa regla de demostración condicional puede aplicarse más de una vez.

Ejercicio (Copi [1998], ejemplo pág. 74)Construir una prueba formal de validez para el argumento:

1 𝐴 ⊃ (𝐵 ⊃ 𝐶)2 𝐵 ⊃ (𝐶 ⊃ 𝐷) /∴ 𝐴 ⊃ (𝐵 ⊃ 𝐷)3 𝐴 ACP4 𝐵 ACP5 𝐵 ⊃ 𝐶 MP 1, 36 𝐶 MP 5, 47 𝐶 ⊃ 𝐷 MP 2, 48 𝐷 MP 7, 69 𝐵 ⊃ 𝐷 CP 4–8

10 𝐴 ⊃ (𝐵 ⊃ 𝐷) CP 3–9

1 𝐴 ⊃ (𝐵 ⊃ 𝐶)2 𝐵 ⊃ (𝐶 ⊃ 𝐷) /∴ 𝐴 ⊃ (𝐵 ⊃ 𝐷)

3 𝐴 ACP4 𝐵 ACP5 𝐵 ⊃ 𝐶 MP 1, 36 𝐶 MP 5, 47 𝐶 ⊃ 𝐷 MP 2, 48 𝐷 MP 7, 69 𝐵 ⊃ 𝐷 CP 4–8

10 𝐴 ⊃ (𝐵 ⊃ 𝐷) CP 3–9

1 𝐴 ⊃ (𝐵 ⊃ 𝐶)2 𝐵 ⊃ (𝐶 ⊃ 𝐷) /∴ 𝐴 ⊃ (𝐵 ⊃ 𝐷)3 𝐴 ACP

4 𝐵 ACP5 𝐵 ⊃ 𝐶 MP 1, 36 𝐶 MP 5, 47 𝐶 ⊃ 𝐷 MP 2, 48 𝐷 MP 7, 69 𝐵 ⊃ 𝐷 CP 4–8

10 𝐴 ⊃ (𝐵 ⊃ 𝐷) CP 3–9

1 𝐴 ⊃ (𝐵 ⊃ 𝐶)2 𝐵 ⊃ (𝐶 ⊃ 𝐷) /∴ 𝐴 ⊃ (𝐵 ⊃ 𝐷)3 𝐴 ACP4 𝐵 ACP

5 𝐵 ⊃ 𝐶 MP 1, 36 𝐶 MP 5, 47 𝐶 ⊃ 𝐷 MP 2, 48 𝐷 MP 7, 69 𝐵 ⊃ 𝐷 CP 4–8

10 𝐴 ⊃ (𝐵 ⊃ 𝐷) CP 3–9

1 𝐴 ⊃ (𝐵 ⊃ 𝐶)2 𝐵 ⊃ (𝐶 ⊃ 𝐷) /∴ 𝐴 ⊃ (𝐵 ⊃ 𝐷)3 𝐴 ACP4 𝐵 ACP5 𝐵 ⊃ 𝐶 MP 1, 36 𝐶 MP 5, 47 𝐶 ⊃ 𝐷 MP 2, 48 𝐷 MP 7, 69 𝐵 ⊃ 𝐷 CP 4–8

10 𝐴 ⊃ (𝐵 ⊃ 𝐷) CP 3–9

Regla de demostración condicionalEjercicio (Copi [1998], ejercicio 2, pág. 84)Utilizar el método de demostración condicional para demostrar la validezdel siguiente argumento:1 (𝐸 ∨ 𝐹) ⊃ 𝐺2 𝐻 ⊃ (𝐼 ∧ 𝐽) /∴ (𝐸 ⊃ 𝐺) ∧ (𝐻 ⊃ 𝐼)

3 𝐸 ACP4 𝐸 ∨ 𝐹 Add 35 𝐺 MP 1, 46 𝐸 ⊃ 𝐺 CP 3–57 𝐻 ACP8 𝐼 ∧ 𝐽 MP 2, 79 𝐼 Simp 810 𝐻 ⊃ 𝐼 CP 7–911 (𝐸 ⊃ 𝐺) ∧ (𝐻 ⊃ 𝐼) Conj 6, 10

Regla de demostración condicionalEjercicio (Copi [1998], ejercicio 2, pág. 84)Utilizar el método de demostración condicional para demostrar la validezdel siguiente argumento:1 (𝐸 ∨ 𝐹) ⊃ 𝐺2 𝐻 ⊃ (𝐼 ∧ 𝐽) /∴ (𝐸 ⊃ 𝐺) ∧ (𝐻 ⊃ 𝐼)3 𝐸 ACP4 𝐸 ∨ 𝐹 Add 35 𝐺 MP 1, 46 𝐸 ⊃ 𝐺 CP 3–57 𝐻 ACP8 𝐼 ∧ 𝐽 MP 2, 79 𝐼 Simp 810 𝐻 ⊃ 𝐼 CP 7–911 (𝐸 ⊃ 𝐺) ∧ (𝐻 ⊃ 𝐼) Conj 6, 10

Ejercicio (Copi [1998], ejercicio 4, pág. 84)Utilizar el método de demostración condicional para demostrar la validezdel siguiente argumento:

1 𝑄 ∨ (𝑅 ⊃ 𝑆)2 (𝑅 ⊃ (𝑅 ∧ 𝑆)) ⊃ (𝑇 ∨ 𝑈)3 (𝑇 ⊃ 𝑄) ∧ (𝑈 ⊃ 𝑉 ) /∴ 𝑄 ∨ 𝑉

Regla de demostración condicionalEjercicio (continuación)

1 𝑄 ∨ (𝑅 ⊃ 𝑆)2 (𝑅 ⊃ (𝑅 ∧ 𝑆)) ⊃ (𝑇 ∨ 𝑈)3 (𝑇 ⊃ 𝑄) ∧ (𝑈 ⊃ 𝑉 )

∴ 𝑄 ∨ 𝑉

4 ∼𝑄 ACP5 𝑅 ⊃ 𝑆 DS 1, 46 𝑅 ACP7 𝑆 MP 5, 68 𝑅 ∧ 𝑆 Conj 6, 79 𝑅 ⊃ (𝑅 ∧ 𝑆) CP 6-810 𝑇 ∨ 𝑈 MP 2, 911 𝑇 ⊃ 𝑄 Simp 312 ∼𝑇 MT 11, 413 𝑈 DS 10, 1214 (𝑈 ⊃ 𝑉 ) ∧ (𝑇 ⊃ 𝑄) Com 315 𝑈 ⊃ 𝑉 Simp 1416 𝑉 MP 15, 1317 ∼𝑄 ⊃ 𝑉 CP 4–1618 ∼∼𝑄 ∨ 𝑉 Impl 1719 𝑄 ∨ 𝑉 DN 18Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 76/109

Regla de demostración condicional y argumentos¿Por qué empleando la regla de demostración condicional, podemosdemostramos el argumento

{𝑃} /∴ 𝐴 ⊃ 𝐶

donde {𝑃} representa un conjunto de premisas, por medio de la prueba

{𝑃}𝐴 ACP

⋮𝐶

𝐴 ⊃ 𝐶 CP

Regla de demostración condicional y argumentosJustificación

𝑃𝐴∴ 𝐶

(𝑃 ∧ 𝐴) ⊃ 𝐶

𝑃 ⊃ (𝐴 ⊃ 𝐶)𝑃∴ 𝐴 ⊃ 𝐶

condicional asociado

Exportación

Regla de demostración condicionalMás poder de demostraciónLa regla de demostración condicional aumenta el conjunto de argumentosque podemos demostrar con nuestras reglas de inferencia.

Regla de demostración indirectaPreliminaresA partir de una contradicción podemos demostrar cualquier conclusión.

EjemploConstruir una prueba formal de validez para el argumento:1 𝑝2 ∼𝑝 /∴ 𝑞3 𝑝 ∨ 𝑞 Add 1

4 𝑞 DS 3, 2

EjemploConstruir una prueba formal de validez para el argumento:1 𝑝2 ∼𝑝 /∴ 𝑞

3 𝑝 ∨ 𝑞 Add 1

4 𝑞 DS 3, 2

EjemploConstruir una prueba formal de validez para el argumento:1 𝑝2 ∼𝑝 /∴ 𝑞3 𝑝 ∨ 𝑞 Add 1

4 𝑞 DS 3, 2

Regla de demostración indirectaRegla de demostración indirecta

𝐶 AIP

⋮𝑞 ∧ ∼𝑞 (contradicción)

∼𝐶 IP

IP: Indirect ProofAIP: Assumption for Indirect Proof

Regla de demostración indirecta

Ejercicio (Copi [1998], ejercicio 2, pág. 78)Construir una prueba formal de validez para el siguiente argumentoempleando la regla de demostración indirecta:

1 (𝐷 ∨ 𝐸) ⊃ (𝐹 ⊃ 𝐺)2 (∼𝐺 ∨ 𝐻) ⊃ (𝐷 ∧ 𝐹) /∴ 𝐺

Regla de demostración indirectaEjercicio (continuación)1 (𝐷 ∨ 𝐸) ⊃ (𝐹 ⊃ 𝐺)2 (∼𝐺 ∨ 𝐻) ⊃ (𝐷 ∧ 𝐹) /∴ 𝐺

3 ∼𝐺 AIP4 ∼𝐺 ∨ 𝐻 Add 35 𝐷 ∧ 𝐹 MP 2, 46 𝐹 ∧ 𝐷 Com 57 𝐹 Simp 68 𝐷 Simp 59 𝐷 ∨ 𝐸 Add 8

10 𝐹 ⊃ 𝐺 MP 1, 911 ∼𝐹 MT 10, 312 𝐹 ∧ ∼𝐹 Conj 7, 1113 ∼∼𝐺 IP 3–1214 𝐺 DN 14

Regla de demostración indirectaEjercicio (continuación)1 (𝐷 ∨ 𝐸) ⊃ (𝐹 ⊃ 𝐺)2 (∼𝐺 ∨ 𝐻) ⊃ (𝐷 ∧ 𝐹) /∴ 𝐺3 ∼𝐺 AIP

4 ∼𝐺 ∨ 𝐻 Add 35 𝐷 ∧ 𝐹 MP 2, 46 𝐹 ∧ 𝐷 Com 57 𝐹 Simp 68 𝐷 Simp 59 𝐷 ∨ 𝐸 Add 8

Regla de demostración indirectaEjercicio (continuación)1 (𝐷 ∨ 𝐸) ⊃ (𝐹 ⊃ 𝐺)2 (∼𝐺 ∨ 𝐻) ⊃ (𝐷 ∧ 𝐹) /∴ 𝐺3 ∼𝐺 AIP4 ∼𝐺 ∨ 𝐻 Add 35 𝐷 ∧ 𝐹 MP 2, 46 𝐹 ∧ 𝐷 Com 57 𝐹 Simp 68 𝐷 Simp 59 𝐷 ∨ 𝐸 Add 8

Regla de demostración indirectaLas reglas de demostración condicional y demostración indirecta se puedenusar simultáneamente.

Regla de demostración indirectaEjemplo (Hurley [2012], pág. 434)Demostrar el siguiente argumento.1 𝐿 ⊃ [∼𝑀 ⊃ (𝑁 ∧ 𝑂)] /∴ 𝐿 ⊃ (𝑀 ∧ 𝑃)2 ∼𝑁 ∧ 𝑃3 𝐿 ACP4 ∼𝑀 ⊃ (𝑁 ∧ 𝑂) MP 1,35 ∼𝑀 AIP6 𝑁 ∧ 𝑂 MP 4,57 𝑁 Simp 68 ∼𝑁 Simp 29 𝑁 ∧ ∼𝑁 Conj 7,8

10 ∼∼𝑀 IP 5-911 𝑀 DN 1012 𝑃 ∧ ∼𝑁 Com 213 𝑃 Simp 1214 𝑀 ∧ 𝑃 Conj 11, 1315 𝐿 ⊃ (𝑀 ∧ 𝑃) CP 3–14

Regla de demostración indirecta y argumentos¿Por qué empleando la regla de demostración indirecta, podemosdemostramos el argumento

{𝑃} /∴ 𝐶

por medio de la prueba

{𝑃}∼𝐶 AIP

⋮𝑞 ∧ ∼𝑞 (contradicción)

∼∼𝐶 IP

𝐶 DN

?Lógica - CM0260. Lógica proposicional: Método de deducción 90/109

Regla de demostración indirecta y argumentosJustificación

𝑃∼𝐶∴ 𝐶⋮𝑞 ∧ ∼𝑞⋮𝐶

(𝑃 ∧ ∼𝐶) ⊃ 𝐶

𝑃 ⊃ (∼𝐶 ⊃ 𝐶)

𝑃 ⊃ (∼∼𝐶 ∨ 𝐶)

𝑃 ⊃ (𝐶 ∨ 𝐶)

𝑃 ⊃ 𝐶𝑃∴ 𝐶

Exportación

Implicación material

Doble negación

Tautología

Demostración de tautologías

Tautología condicional (antecedente ⊃ consecuente)Prueba empleando la regla de demostración condicional:

𝐴 ACP

⋮𝐶

𝐴 ⊃ 𝐶 CP

Tautología bicondicional (𝐴 ≡ 𝐵)Prueba empleando la regla de demostración condicional:

𝐴 ACP⋮𝐵

m 𝐴 ⊃ 𝐵 CP𝐵 ACP⋮𝐴

n 𝐵 ⊃ 𝐴 CPn+1 (𝐴 ⊃ 𝐵) ∧ (𝐵 ⊃ 𝐴) Conj m,n

𝐴 ≡ 𝐵 Equiv n+1

Tautología (𝑇 )Prueba empleando la regla de demostración indirecta:

∼𝑇 AIP⋮𝑞 ∧ ∼𝑞 (contradicción)

n ∼∼𝑇 IP𝑇 DN n

Demostración de tautologíasEjercicio (Copi [1998], ejercicio II.4, pág. 80)Verificar la siguiente tautología empleando la regla de demostraciónindirecta: (𝐴 ⊃ 𝐵) ∨ (𝐵 ⊃ 𝐶).

1 ∼[(𝐴 ⊃ 𝐵) ∨ (𝐵 ⊃ 𝐶)] AIP2 ∼(𝐴 ⊃ 𝐵) ∧ ∼(𝐵 ⊃ 𝐶) DM 13 ∼(∼𝐴 ∨ 𝐵) ∧ ∼(𝐵 ⊃ 𝐶) Impl 24 ∼(∼𝐴 ∨ 𝐵) ∧ ∼(∼𝐵 ∨ 𝐶) Impl 35 (∼∼𝐴 ∧ ∼𝐵) ∧ ∼(∼𝐵 ∨ 𝐶) DM 46 (∼∼𝐴 ∧ ∼𝐵) ∧ (∼∼𝐵 ∧ 𝐶) DM 57 (𝐴 ∧ ∼𝐵) ∧ (∼∼𝐵 ∧ 𝐶) DN 68 (𝐴 ∧ ∼𝐵) ∧ (𝐵 ∧ 𝐶) DN 7⋮ ⋮

15 𝐵 ∧ ∼𝐵16 ∼∼[(𝐴 ⊃ 𝐵) ∨ (𝐵 ⊃ 𝐶)] IP 1-1517 (𝐴 ⊃ 𝐵) ∨ (𝐵 ⊃ 𝐶) DN 16

Demostración de tautologíasEjercicio (Copi [1998], ejercicio II.4, pág. 80)Verificar la siguiente tautología empleando la regla de demostraciónindirecta: (𝐴 ⊃ 𝐵) ∨ (𝐵 ⊃ 𝐶).1 ∼[(𝐴 ⊃ 𝐵) ∨ (𝐵 ⊃ 𝐶)] AIP2 ∼(𝐴 ⊃ 𝐵) ∧ ∼(𝐵 ⊃ 𝐶) DM 13 ∼(∼𝐴 ∨ 𝐵) ∧ ∼(𝐵 ⊃ 𝐶) Impl 24 ∼(∼𝐴 ∨ 𝐵) ∧ ∼(∼𝐵 ∨ 𝐶) Impl 35 (∼∼𝐴 ∧ ∼𝐵) ∧ ∼(∼𝐵 ∨ 𝐶) DM 46 (∼∼𝐴 ∧ ∼𝐵) ∧ (∼∼𝐵 ∧ 𝐶) DM 57 (𝐴 ∧ ∼𝐵) ∧ (∼∼𝐵 ∧ 𝐶) DN 68 (𝐴 ∧ ∼𝐵) ∧ (𝐵 ∧ 𝐶) DN 7⋮ ⋮

15 𝐵 ∧ ∼𝐵16 ∼∼[(𝐴 ⊃ 𝐵) ∨ (𝐵 ⊃ 𝐶)] IP 1-1517 (𝐴 ⊃ 𝐵) ∨ (𝐵 ⊃ 𝐶) DN 16

Demostración de tautologíasEjercicio (Copi [1998], ejercicio II.5*, pág. 80)Verificar la siguiente tautología empleando la regla de demostraciónindirecta: (𝐴 ⊃ 𝐵) ∨ (∼𝐴 ⊃ 𝐶).

1 ∼[(𝐴 ⊃ 𝐵) ∨ (∼𝐴 ⊃ 𝐶)] AIP2 ∼(𝐴 ⊃ 𝐵) ∧ ∼(∼𝐴 ⊃ 𝐶) DM 13 ∼(∼𝐴 ∨ 𝐵) ∧ ∼(∼∼𝐴 ∨ 𝐶) Impl 24 (∼∼𝐴 ∧ ∼𝐵) ∧ (∼∼∼𝐴 ∧ ∼𝐶) DM 35 ∼∼𝐴 ∧ [∼𝐵 ∧ (∼∼∼𝐴 ∧ ∼𝐶)] Assoc 46 ∼∼𝐴 ∧ [(∼∼∼𝐴 ∧ ∼𝐶) ∧ ∼𝐵] Com 57 ∼∼𝐴 ∧ [∼∼∼𝐴 ∧ (∼𝐶 ∧ ∼𝐵)] Assoc 68 (∼∼𝐴 ∧ ∼∼∼𝐴) ∧ (∼𝐶 ∧ ∼𝐵) Assoc 79 ∼∼𝐴 ∧ ∼∼∼𝐴 Simp 8

10 ∼∼[(𝐴 ⊃ 𝐵) ∨ (∼𝐴 ⊃ 𝐶)] IP 1-911 (𝐴 ⊃ 𝐵) ∨ (∼𝐴 ⊃ 𝐶) DN 10

Demostración de tautologíasEjercicio (Copi [1998], ejercicio II.5*, pág. 80)Verificar la siguiente tautología empleando la regla de demostraciónindirecta: (𝐴 ⊃ 𝐵) ∨ (∼𝐴 ⊃ 𝐶).1 ∼[(𝐴 ⊃ 𝐵) ∨ (∼𝐴 ⊃ 𝐶)] AIP2 ∼(𝐴 ⊃ 𝐵) ∧ ∼(∼𝐴 ⊃ 𝐶) DM 13 ∼(∼𝐴 ∨ 𝐵) ∧ ∼(∼∼𝐴 ∨ 𝐶) Impl 24 (∼∼𝐴 ∧ ∼𝐵) ∧ (∼∼∼𝐴 ∧ ∼𝐶) DM 35 ∼∼𝐴 ∧ [∼𝐵 ∧ (∼∼∼𝐴 ∧ ∼𝐶)] Assoc 46 ∼∼𝐴 ∧ [(∼∼∼𝐴 ∧ ∼𝐶) ∧ ∼𝐵] Com 57 ∼∼𝐴 ∧ [∼∼∼𝐴 ∧ (∼𝐶 ∧ ∼𝐵)] Assoc 68 (∼∼𝐴 ∧ ∼∼∼𝐴) ∧ (∼𝐶 ∧ ∼𝐵) Assoc 79 ∼∼𝐴 ∧ ∼∼∼𝐴 Simp 8

10 ∼∼[(𝐴 ⊃ 𝐵) ∨ (∼𝐴 ⊃ 𝐶)] IP 1-911 (𝐴 ⊃ 𝐵) ∨ (∼𝐴 ⊃ 𝐶) DN 10

Demostración de tautologíasEjercicio (Copi [1998], ejercicio II.6, pág. 80)Verificar la siguiente tautología empleando la regla de demostraciónindirecta: 𝐴 ∨ (𝐴 ⊃ 𝐵).

1 ∼(𝐴 ∨ (𝐴 ⊃ 𝐵)) AIP2 ∼𝐴 ∧ ∼(𝐴 ⊃ 𝐵) DM 13 ∼𝐴 Simp 24 ∼(𝐴 ⊃ 𝐵) ∧ ∼𝐴 Conm 25 ∼(𝐴 ⊃ 𝐵) Simp 46 ∼(∼𝐴 ∨ 𝐵) Impl 57 ∼∼𝐴 ∧ ∼𝐵 DM 68 ∼∼𝐴 Simp 79 𝐴 DN 8

10 𝐴 ∧ ∼𝐴 Conj 3, 911 ∼∼[𝐴 ∨ (𝐴 ⊃ 𝐵)] IP 1-1012 𝐴 ∨ (𝐴 ⊃ 𝐵) DN 11

Demostración de tautologíasEjercicio (Copi [1998], ejercicio II.6, pág. 80)Verificar la siguiente tautología empleando la regla de demostraciónindirecta: 𝐴 ∨ (𝐴 ⊃ 𝐵).1 ∼(𝐴 ∨ (𝐴 ⊃ 𝐵)) AIP2 ∼𝐴 ∧ ∼(𝐴 ⊃ 𝐵) DM 13 ∼𝐴 Simp 24 ∼(𝐴 ⊃ 𝐵) ∧ ∼𝐴 Conm 25 ∼(𝐴 ⊃ 𝐵) Simp 46 ∼(∼𝐴 ∨ 𝐵) Impl 57 ∼∼𝐴 ∧ ∼𝐵 DM 68 ∼∼𝐴 Simp 79 𝐴 DN 8

10 𝐴 ∧ ∼𝐴 Conj 3, 911 ∼∼[𝐴 ∨ (𝐴 ⊃ 𝐵)] IP 1-1012 𝐴 ∨ (𝐴 ⊃ 𝐵) DN 11

Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.7, pág. 80)Verificar la siguiente tautología empleando la regla de demostracióncondicional: 𝑃 ≡ ∼∼𝑃 .

1 𝑃 ACP

2 ∼∼𝑃 DN 1

3 𝑃 ⊃ ∼∼𝑃 CP 1-2

4 ∼∼𝑃 ACP

5 𝑃 DN 4

6 ∼∼𝑃 ⊃ 𝑃 CP 4-5

7 (𝑃 ⊃ ∼∼𝑃) ∧ (∼∼𝑃 ⊃ 𝑃) Conj. 3, 6

8 𝑃 ≡ ∼∼𝑃 Equiv 7

Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.7, pág. 80)Verificar la siguiente tautología empleando la regla de demostracióncondicional: 𝑃 ≡ ∼∼𝑃 .

1 𝑃 ACP

2 ∼∼𝑃 DN 1

3 𝑃 ⊃ ∼∼𝑃 CP 1-2

4 ∼∼𝑃 ACP

5 𝑃 DN 4

6 ∼∼𝑃 ⊃ 𝑃 CP 4-5

7 (𝑃 ⊃ ∼∼𝑃) ∧ (∼∼𝑃 ⊃ 𝑃 ) Conj. 3, 6

8 𝑃 ≡ ∼∼𝑃 Equiv 7

Demostración de tautologíasEjercicio (Copi [1998], ejercicio II.7, pág. 80)Verificar la siguiente tautología empleando la regla de demostraciónindirecta: 𝑃 ≡ ∼∼𝑃 .

1 ∼(𝑃 ≡ ∼∼𝑃) AIP2 ∼[(𝑃 ⊃ ∼∼𝑃) ∧ (∼∼𝑃 ⊃ 𝑃)] Equiv 13 ∼[(𝑃 ⊃ 𝑃) ∧ (∼∼𝑃 ⊃ 𝑃)] DN 24 ∼[(𝑃 ⊃ 𝑃) ∧ (𝑃 ⊃ 𝑃)] DN 35 ∼(𝑃 ⊃ 𝑃) ∨ ∼(𝑃 ⊃ 𝑃) DM 46 ∼(𝑃 ⊃ 𝑃) Taut 57 ∼(∼𝑃 ∨ 𝑃) Impl 68 ∼∼𝑃 ∧ ∼𝑃 DM 79 𝑃 ∧ ∼𝑃 DN 8

10 ∼∼(𝑃 ≡ ∼∼𝑃) IP 1-911 𝑃 ≡ ∼∼𝑃 DN 10

Demostración de tautologíasEjercicio (Copi [1998], ejercicio II.7, pág. 80)Verificar la siguiente tautología empleando la regla de demostraciónindirecta: 𝑃 ≡ ∼∼𝑃 .1 ∼(𝑃 ≡ ∼∼𝑃) AIP2 ∼[(𝑃 ⊃ ∼∼𝑃 ) ∧ (∼∼𝑃 ⊃ 𝑃 )] Equiv 13 ∼[(𝑃 ⊃ 𝑃) ∧ (∼∼𝑃 ⊃ 𝑃)] DN 24 ∼[(𝑃 ⊃ 𝑃) ∧ (𝑃 ⊃ 𝑃 )] DN 35 ∼(𝑃 ⊃ 𝑃) ∨ ∼(𝑃 ⊃ 𝑃) DM 46 ∼(𝑃 ⊃ 𝑃) Taut 57 ∼(∼𝑃 ∨ 𝑃) Impl 68 ∼∼𝑃 ∧ ∼𝑃 DM 79 𝑃 ∧ ∼𝑃 DN 8

10 ∼∼(𝑃 ≡ ∼∼𝑃 ) IP 1-911 𝑃 ≡ ∼∼𝑃 DN 10

Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.10, pág. 80)Verificar la siguiente tautología empleando la regla de demostraciónindirecta: ∼[(𝐴 ⊃ ∼𝐴) ∧ (∼𝐴 ⊃ 𝐴)].

1 (𝐴 ⊃ ∼𝐴) ∧ (∼𝐴 ⊃ 𝐴) AIP2 𝐴 ⊃ ∼𝐴 Simp 13 (∼𝐴 ⊃ 𝐴) ∧ (𝐴 ⊃ ∼𝐴) Com 14 ∼𝐴 ⊃ 𝐴 Simp 35 ∼𝐴 ∨ ∼𝐴 Impl 26 ∼𝐴 Taut 57 𝐴 MP 4, 68 𝐴 ∧ ∼𝐴 Conj 7, 69 ∼[(𝐴 ⊃ ∼𝐴) ∧ (∼𝐴 ⊃ 𝐴)] IP 1-8

Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.10, pág. 80)Verificar la siguiente tautología empleando la regla de demostraciónindirecta: ∼[(𝐴 ⊃ ∼𝐴) ∧ (∼𝐴 ⊃ 𝐴)].1 (𝐴 ⊃ ∼𝐴) ∧ (∼𝐴 ⊃ 𝐴) AIP2 𝐴 ⊃ ∼𝐴 Simp 13 (∼𝐴 ⊃ 𝐴) ∧ (𝐴 ⊃ ∼𝐴) Com 14 ∼𝐴 ⊃ 𝐴 Simp 35 ∼𝐴 ∨ ∼𝐴 Impl 26 ∼𝐴 Taut 57 𝐴 MP 4, 68 𝐴 ∧ ∼𝐴 Conj 7, 69 ∼[(𝐴 ⊃ ∼𝐴) ∧ (∼𝐴 ⊃ 𝐴)] IP 1-8

Reglas de demostración condicional e indirectaPregunta¿Por qué la regla de demostración indirecta es un caso particular de laregla de demostración condicional?

Método de deducción y tautologías

Teorema (Completeness (completitud))Toda tautología puede demostrarse por el método de deducción.

Teorema (Soundness (validez))Si un argumento es válido empleando el método de deducción, entonces sucondicional asociado es tautológico.

Referencias

Copi, Irving M. (1998). Lógica Simbólica. Compañía Editorial Continental.Hurley, Patrick J. (2012). A Concise Introduction to Logic. 11.a ed. Wadsworth,

Cengage Learning.

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