Lógica Matemática

UNIDAD UNO: LÓGICA

MATEMÁTICAOBJETIVO DEL ESTUDIO: Describir y utilizar las estructuras lógicas, los operadores matemáticos, reglas de inferencia, cuantificadores y el cálculo proporcional en problemas propuestos.

LÓGICA MATEMÁTICA Consiste en el estudio de la lógica y la

aplicación de este estudio y otras áreas de la matemática.

La lógica matemática estudia los sistemas formales en relación con el modo en el que codifican o definen naciones intuitivas de objetos matemáticos como conjuntos, números, demostraciones y algoritmos utilizando lenguaje formal.

Estudia las formas del razonamiento. En un nivel elemental la lógica proporciona reglas y técnicas para determinar si es o no válido un argumento.

PROPOSICIONES Es una oración declarativa que puede

tomar el valor de verdadero o falso pero no ambos a la vez. La proposición es el elemento esencial de la lógica para la matemática

Toda proposición consta de tres partes: un sujeto, un verbo y un complemento referido al verbo.

Las proposiciones se representan con letras minúsculas del alfabeto tales como p,q,r,s,t,…x,y,z. las cuales reciben el nombre de letra o variables proposicionales.

EJEMPLOS

p: La luna es un satélite natural de la tierra. Q: El dos es un número primo. r: 5*3 = 15

Existen enunciados que no son proposiciones, porque no es posible establecer su valor de verdad. Ejemplos: p: ¿Qué hora es? r: Mañana lloverá w : x+7 = 23

DEFINICIONES LÓGICA MATEMÁTICA

Juicio: es un pensamiento en el cual se afirma o se niega algo. Enunciado: es la expresión verbal o escrita de un juicio. Razonamiento: consiste en la inferencia de un juicio obtenido de

otro u otros a los que se les llama premisas. Proposición: es un enunciado que forma parte de un razonamiento. Valor de verdad: Es una proposición que puede ser verdadera o es

falsa y decimos que su valor de verdad o de certeza es verdadero (v) o es falso (f) respectivamente, al confirmar su exactitud.

Términos lógicos: los términos lógicos son: “y”, “no”, ”ni”, “o”, Si…”, “ si y sólo si...”

Proposición simple: es simple si y sólo si no tiene términos lógicos, se la representa generalmente con: p, q r, s, t.

Proposición compuesta: es compuesta siempre y cuando está formada por una o más proposiciones simples afectadas por términos lógicos.

Operadores: Son la conjunción, negación, conjunción negativa, disyunción, disyunción exclusiva, condicional, incondicional y representan a los términos lógicos.

CONECTIVOS LOGICOS

CONECTIVOSÍMBOL

O

LECTUR

AEJEMPLO

CONJUNCIÓN y Michelle baila y canta

DISYUNCIÓN INCLUSIVA

óSebastián estudia ingeniería ó

Verónica estudia medicina

DISYUNCIÓN EXCLUYENTE

.ó.Santiago vive en Ambato .ó.

Latacunga

NEGACIÓN No 7 no es un número par

CONDICIONALSi,…,

entonces,Si trabajo entonces estudio

BICONDICIONALSi…

solo…

Si dos ángulos son congruentes si y solo si tienen la misma

medida.

__

Son términos que sirven para enlazar proposiciones simples, estos son: la conjunción, disyunciones, la negación el condicional, bicondicional.

CONJUNCIÓN:La conjunción de dos proposiciones, p y q, se representa por “p˄q” y se lee p y q. “p˄q” es verdadera si y solo si p es verdadera y q es verdadera.

Ejemplo: 5 es un número impar y es un entero

positivo.

Está formada por: p: 5 es un número impar q: entero positivo ˄ : Conjunción

+Analizaremos la siguiente proposición.

p: 5 es un número impar (v)

q: 5 es un número entero positivo (v)

p ˄ q: verdadero

p: 5 no es un número impar (f)

q: 5 es un número entero positivo (v)

p ˄ q: falso

p: 5 es un número impar (v)

q: 5 no es un número entero positivo (f)

p ˄ q: falso

p: 5 no es un número impar (f)

q: 5 no es un número entero positivo (f)

p ˄ q: falso

CONCLUSIÓN: LA CONJUNCIÓN ES VERDADERA, CUANDO LAS DOS PROPOSICIONES SON VERDADERAS, EN LOS DEMÁS CASOS ES FALSA.

p q p˄ q

V V V

V F F

F V F

F F F

NEGACIÓNLa negación de una proposición p, se representa por “~p” y se lee “no es verdad que p” “Es falso que p”. ~p es verdadera si y solo si p es falsa.Ejemplo: 5 es un número impar y es un

entero positivo.Está formada por: p: 5 es un número impar q: entero positivo ~: Negación

+Analizaremos la siguiente proposición.

p: 5 es un número impar (v)q: 5 es un número entero positivo (f) p: 5 no es un número impar (f)q: 5 es un número entero positivo (v)

p q

V F

F V

CONCLUSIÓN: LA NEGACIÓN ES CUANDO SE DICE LO CONTRARIO DE LA RESPUESTA DADA..

DISYUNCIÓN

La disyunción de dos proposiciones p y q se representa por “p o q”, “o p o q”. Ejemplo: 5 es un número impar y es un

entero positivo.Está formada por: p: 5 es un número impar q: entero positivo v: Disyunción

+Analizaremos la siguiente proposición.

p: 5 es un número impar (v)q: 5 es un número entero positivo (v)p v q: verdadero

p: 5 no es un número impar (f)q: 5 es un número entero positivo (v)p v q: verdadero  p: 5 es un número impar (v)q: 5 no es un número entero positivo (f)p v q: verdadero p: 5 no es un número impar (f)q: 5 no es un número entero positivo (f)p v q: falso

CONCLUSIÓN: LA DISYUNCIÓN ES FALSA, CUANDO LAS DOS PROPOSICIONES SON FALSAS, EN LOS DEMÁS CASOS ES VERDADERA.

p q pvq

V V V

V F V

F V V

F F F

CONDICIONAL

La proposición condicional p y q se representa por p→q. p→q es falsa siempre y cuando p es verdadera y q es falsa.Ejemplo: 5 es un número impar y es un entero

positivo.Está formada por: p: 5 es un número impar q: entero positivo → : Condicional

+Analizaremos la siguiente proposición.

p: 5 es un número impar (v)

q: 5 es un número entero positivo (v)

p → q: verdadero

p: 5 no es un número impar (f)

q: 5 es un número entero positivo (v)

p → q: verdadero 

p: 5 es un número impar (v)

q: 5 no es un número entero positivo (f)

p → q: falso

p: 5 no es un número impar (f)

q: 5 no es un número entero positivo (f)

p → q: verdadero

CONCLUSIÓN: EL CONDICIONAL ES FALSO, CUANDO LA PRIMERA PROPOSICIÓN ES VERDADERA Y LA SEGUNDA ES FALSA, EN LOS DEMÁS CASOS ES VERDADERA.

p q p→ q

V V v

V F F

F V F

F F F

BICONDICIONALLa proposición Bicondicional entre y q se representa por “ p↔q” o por “ p si q y se lee: p si y solo si q”. p↔q” es verdadera si y solo si p es verdadera y q es verdad, o cuando es p falsa y q es falsa.Ejemplo: 5 es un número impar y es un entero

positivo.Está formada por: p: 5 es un número impar q: entero positivo ↔: Bicondicional

+Analizaremos la siguiente proposición.

p: 5 es un número impar (v)q: 5 es un número entero positivo (v)p ↔ q: verdadero p: 5 no es un número impar (f)q: 5 es un número entero positivo (v)p ↔q: falso p: 5 es un número impar (v)q: 5 no es un número entero positivo (f)p ↔q: falso p: 5 no es un número impar (f)q: 5 no es un número entero positivo (f)p ↔ q: verdadero

CONCLUSIÓN: EL BICONDICIONAL ES VERDADERO, CUANDO AMBAS PROPOSICIONES SON VERDADERAS O FALSAS, EN LOS DEMÁS CASOS ES FALSA.

p q p↔q

V V V

V F F

F V F

F F V

REGLAS DE INFERENCIA

Para inferir un juicio a partir de otros se requiere de un proceso en el que se aplican propiedades o leyes fijadas de antemano y que no hayan sido obtenidas de casos particulares o para casos particulares.

Estas propiedades nos dan la certeza de que sol es posible obtener conclusiones ciertas de premisas ciertas. (entregar).

CONTRADICCIÓN

Una proposición del tipo p˄~p es una contradicción; no es posible admitir que p y ~p sean verdaderas a la vez.

Las premisas son inconsistentes si y solo si de ellas se infiere una contradicción.

PROCESO DE DEDUCCIÓN.

1.- Determinar el valor de verdad de las premisas. Si alguna de ellas es falsa no es posible inferir nada de ellas.

2.- Determinar si las premisas son inconsistentes o no.

(2.a) Si las premisas no son consistentes no se puede inferir nada de ellas.(2.b)Si las premisas son consistentes es posible deducir una conclusión usando las reglas de inferencia.

TIPOS DE PROPOSICIONES MÁS

COMUNES

Simples: si sólo tienen un sujeto, un verbo y un complemento.

Compuestas: si tienen dos o más sujetos, verbos y complementos.

Cerradas: si tienen determinado el sujeto. Abiertas: si no lo tienen determinado. Afirmativas o Negativas. Según lo

afirmen o nieguen. Verdaderas o Falsas: según

correspondan o no a la realidad.

EJEMPLOS

h: "Ana come pizza y bebe refresco", es una proposición compuesta, cerrada y afirmativa.

j: "Ella no nada muy rápido", es una proposición simple, abierta y negativa.

k: “Cuernavaca no está al norte del D.F. y no hace frío", es una proposición compuesta, cerrada, negativa

y verdadera. l: 7 + 3 =10 es una proposición simple, cerrada,

afirmativa y verdadera. m: 2x - x es una proposición simple, abierta y

negativa. n: a + b = 6 es una proposición compuesta,

abierta y afirmativa.

MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN

Método Directo: Consiste en inferir una conclusión partiendo únicamente de un conjunto de premisas dadas.

Demostración Condicional: Si de un conjunto de premisas y de p de deduce q, entonces de tal conjunto de premisas se deduce p→q. La premisa p puede ser introducida en cualquier parte del proceso deductivo.

Demostración indirecta: Ley del absurdo: de p→(q˄~q) se deduce ~p.

Demostración indirecta: si de un conjunto de premisas y de la negación de p se infiere una contradicción, entonces de dicho conjunto se infiere p.

p→(q˄~q) = ~p ~p→(q˄~q) = p