Lógica Matemática.-Introducción

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LGICA MATEMTICA

1) Antecedentes cientficos. Lectura

Iniciemos el estudio de este hermoso captulo de la Matemtica leyendo, analizando ycomprendiendo la lectura del documento escrito por dos estudiantes Mexicanos JOSE

ALFREDO JIMNEZ MURILLO y MARA ALEIDA HERNNDEZ YNEZ.

Ellos dicen- "Aprender Matemtica, Fsica y Qumica "es muy difcil",- as se expresan lamayora de estudiantes de todos los niveles; sin embargo, pocas veces se busca unaexplicacin del porqu no aprenden las ciencias exactas los alumnos. Nuestra teora es lasiguiente: "Los alumnos no aprenden ciencias exactas, porque no saben relacionar losconocimientos que se proporcionan en la escuela (leyes, teoremas, frmulas, etc.) con los

problemas que se le presentan en la vida real.

Otro problema grave es que el aprendizaje no es significativo. El presente trabajo pretendemotivar a los estudiantes para que con ayuda de la "lgica matemtica", l sea capaz de

encontrar estos relacionamientos entre los diferentes esquemas de aprendizaje, para que deesta manera tenga una buena estructura cognitiva.

Consideramos que si el alumno sabe lgica matemtica puede relacionar estos conocimientos,con los de otras reas para de esta manera crear conocimiento.

La lgica estudia la forma del razonamiento, es una disciplina que por medio de reglas ytcnicas determina si un argumento es vlido. La lgica es ampliamente aplicada en laFilosofa, Matemtica, Computacin, Fsica. En la Filosofa para determinar si unrazonamiento es vlido o no, ya que una frase puede tener diferentes interpretaciones, sinembargo la lgica permite saber el significado correcto.

En la Matemtica para demostrar teoremas e inferir resultados matemticas que puedan seraplicados en investigaciones; en la computacin para revisar programas.

En general la lgica se aplica en la tarea diaria, ya que cualquier trabajo que se realiza tieneun procedimiento lgico, por el ejemplo: para ir de compras al supermercado, una ama decasa tiene que realizar cierto procedimiento lgico que permita realizar dicha tarea. Si una

persona desea pintar una pared, este trabajo tiene un procedimiento lgico, ya que no puedepintar si antes no prepara la pintura, o no debe pintar la parte baja de la pared si antes no pintla parte alta porque se manchara lo que ya tiene pintado, tambin dependiendo si es zurdo o

derecho, l puede pintar de izquierda a derecha o de derecha a izquierda segn el caso, todoesto es la aplicacin de la lgica.

La lgica es pues muy importante; ya que permite resolver incluso problemas a los que nuncase ha enfrentado el ser humano utilizando solamente su inteligencia y apoyndose de algunosconocimientos acumulados, se pueden obtener nuevos inventos innovaciones a los yaexistentes o simplemente utilizacin de los mismos.

Consideramos que s el alumno aprende lgica matemtica no tendr problemas para aprenderciencias exacta y ser capaz de programar computadoras, ya que un programa de computadorano es otra cosa que una secuencia de pasos lgicos, que la persona establece para resolver un

problema determinado.

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Es importante mencionar que en las demostraciones no hay un solo camino para llegar alresultado. El camino puede ser ms largo o ms corto, dependiendo de las reglas de inferenciay tautologas que el alumno seleccione, pero definitivamente deber llegar al resultado.

Puede haber tantas soluciones como alumnos se tenga en clase y todas estar bien; esto permiteque el estudiante tenga confianza en la aplicacin de reglas y frmulas.

De tal manera que cuando llegue a poner en prctica esto, l sea capaz de inventar su propiasolucin, porque en la vida cada quien resuelve sus problemas aplicando las reglas deinferencia para relacionar los conocimientos y obtener el resultado".

TALLER

Contestar en base a la lectura presentada y en base a sus vivencias

1) Piensa usted que aprender Matemtica es difcil. Por qu?

2) En general el nivel de interaprendizaje de Matemtica es bajo, a qu se debe esto?. Planteeposibles soluciones

3) Defina con sus propias palabras lo que entiende por Lgica

4) Brevemente, explique la importancia de la Lgica.

2) Aspectos Histricos de la Lgica Matemtica

La Lgica Matemtica es la disciplina que trata de mtodos de razonamiento. En un nivelelemental, la lgica proporciona reglas y tcnicas para determinar si es o no vlido unargumento dado. El razonamiento lgico se emplea en Matemtica para demostrar teoremas;en ciencias de la computacin para verificar si son o no correctos los programas; en lasciencias fsicas y naturales, para sacar conclusiones de experimentos; y en las cienciassociales y en la vida cotidiana, para resolver una multitud de problemas. Ciertamente se usaen forma constante el razonamiento lgico para realizar cualquier actividad.

La lgica es una materia antigua que forma parte de la ciencia denominada Filosofa. LaFilosofa surgi en el siglo VI a.c, en la antigua Grecia y proviene de dos vocablos:philos quesignifica amor o amistad ysophia que significa sabidura; entonces Filosofa significa amor oamistad hacia el conocimiento, ste no lo poseen los sabios en forma absoluta o definitiva,sino, aquel que "quiere saber", el que humildemente aspira al conocimiento.

El conocimiento le compete solamente al ser humano, conocindose as mismo primero yluego conocer al mundo que le rodea. No sera posible la vida sin el conocimiento.

As, Platn deca a Scrates que "no vale la pena vivir una vida sin conocimiento".

Por qu la tierra se mueve?; Por qu brilla el sol?; Por qu hay estrellas?; Qu es en si elmundo?; Qu es el hombre frente a este inmenso universo?

De estas interrogantes nace la Filosofa, como un intento para dar contestacin o respuestas.

Aristteles menciona que por este asombro comenz el hombre a filosofar.

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A la escuela Pitagrica, fundada por Pitgoras de Samos en 570 - 497 a.c, se le atribuye elconcepto de Filosofa; segn ellos el principio o esencia de todas las cosas son los nmeros;establecieron que el nmero uno es el punto, el dos la lnea, el tres la superficie y el cuatro elslido.

En la poca moderna que surge en el siglo XV y XVI se producen grandes avances cientficosy tcnicos, se logra poner en crisis la concepcin teocrtica del mundo (Dios como centro detodo) y el deseo de transformar y dominar la naturaleza por medio de la ciencia.

En la poca moderna surge tambin Descartes, llamado "El padre de la filosofa moderna",quien rompi con la tradicin cuando dice "pienso, luego existo", segn ste por ms quedude, no puedo dudar de mi propia duda, y al hacerlo pienso, y al pensar existo, al menoscomo ser pensante.

En la poca contempornea, siglos XIX y XX se contina con supuestos derivadas de lamodernidad; con Hegel aparece el mtodo dialctico, la sntesis, la lgica.

El positivismo que es un rechazo a la Metafsica, fue creado por el filsofo Francs AugustoComte y su lema es: saber para prever, prever para actuar. Comte es autor de la lgica

deductiva e inductiva.

Tarea: Realizar un organizador grfico sobre aspectos Histricos de la Lgica Matemtica.

3) Conceptos bsicos en Lgica Matemtica

6.1) Proposicin.- Es una sucesin finita de signos (palabras o trminos) que les puedecalificar como verdaderos o como falsos, pero nunca como ambos valores a la vez

6.2) Valor de verdad.- Es la propiedad fundamental de toda proposicin de ser verdadera ofalsa, por ejemplo: la proposicin, Quito es capital del Ecuador, tiene como valor de verdad laverdad.

6.3) Conectiva lgica.- Llamada tambin conector, que es cualquier letra o palabra tal como:y, pero, o, si y solo si, sientonces, etc. Que sirven para unir a las proposiciones entre s,dndoles adems un sentido o significado lgico. Ejemplo: Est lloviendoy hace fro

6.4) Tipo de proposiciones6.4.1) Atmicas o simples.- Son aquellas que dentro de sus signos no llevan conectiva lgica,o estn constituidas por una sola expresin. Ejemplo: La educacin ecuatoriana est en un

proceso de desarrollo6.4.2) Compuestas o moleculares.- Son aquellas que dentro de sus signos llevan por lo menosuna conectiva lgica, o aquellas que estn constituidas por 2 o ms proposiciones atmicasunidas mediante una conectiva. Ejemplo: Ingresas en la universidad si y solo si obtienes unavacante.

Tarea

Proponga cinco ejemplos de cada uno de los conceptos bsicos en Lgica Matemtica

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4) Clasificacin de las proposiciones compuestas

Conjuntiva.- Son aquellas proposiciones que llevan la conectiva lgica y , y solamentesern verdaderas cuando sus dos componentes son verdaderos, y falsa en cualquier otro caso.Estas proposiciones son conmutativas, porque al cambiar el orden de sus componentes no sealtera el sentido lgico de la proposicin. Desde el punto de vista lgico son tambin

conectivas de conjuncin: pero , e , sin embargo , empero , no obstante , todava , adems , aunque, etc. El Operador lgico es . Su esquema modular esp q, se lee: p y q, como por ejemplo: Dyana es esposa de Mario y madre de Mathas. Elcuadro de verdad o tabla de verdad (permite determinar el valor de verdad de una proposicincompuesta, la misma que depende de sus proposiciones simples y de los operadores quecontenga, determinndose el valor de verdad en 2n casos) es:

p qV V VV F FF F VF F F

Como el valor de verdad de una proposicin es verdadero o falso se le utiliza para representarcircuitos conmutadores, y l razn estriba en que un circuito slo puede estar en uno de susestados: circula la corriente o cerrado, o no circula la corriente o abierto. La palabraconmutador designa el elemento para impedir el paso de la corriente o deja pasar la corriente,

por ejemplo: el interruptor de la luz. Cuando se prende la luz se ha cerrado el conmutador, loque se simboliza por V 1, y cuando se apaga la luz se ha abierto el conmutador, lo que sesimboliza con F o 0.Se dice que dos conmutadores estn conectados en serie cuando est dispuesto uno acontinuacin del otro, y se relacionan con la proposicin conjuntiva.

Circuitos en serie (p q)

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Disyuntiva inclusiva (Dbil).- Son aquellas proposiciones que llevan la conectiva lgica o , siendo verdadera en todos los casos, excepto cuando sus 2 componentes son falsos.Estas proposiciones son conmutativas y se interpretan como o una o la otra,probablemente ambas. Desde el punto de vista lgico son tambin disyunciones inclusivas: u , y/o,etc.

El Operador lgico es . Su esquema modular es p q, se lee: p o q, como por ejemplo:Mario estudia Matemtica o Estadstica. El cuadro de verdad es:

p qV V VV V FF V VF F F

Se dice que dos conmutadores estn conectados en paralelo cuando estn dispuestos de talmanera que basta que uno de ellos est cerrado para que circule la corriente, y se relacionacon la proposicin disyuntiva. Circuitos en serie (p q)

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Disyuntiva exclusiva (Fuerte).- Son aquellas proposiciones que llevan la conectiva lgica o , siendo verdadera cuando sus dos proposiciones componentes tienen diferente valor,falsas en los otros casos. Estas proposiciones son conmutativas y se interpretan como o una,o la otra, pero no ambasa la vez. Desde el punto de vista lgico son tambin disyuncionesinclusivas: o.. , o bien ,etc. El Operador lgico es . Su esquema modular es p q, se lee: p o q pero no ambas, como por ejemplo:

O Mario estudia Matemtica o EstadsticaEl nmero 2 es paro impar.

El cuadro de verdad es:

p qV F VV V FF V VF F F

Negacin.- Es una conectiva especial que no enlaza proposiciones sino que se aplicadirectamente sobre ellas modificando su valor de verdad; es decir, si la proposicin esverdadera entonces su correspondiente negacin ser falsa u viceversa. Desde el punto devista lgico la negacin acta como un inversor. De manera convencional se emplea laconectiva lgica No para negar proposiciones simples; y se emplean No es cierto que, No se da el caso que , No ocurre que , No posible que , etc. Para negar

proposiciones compuestas, stas expresiones van al comienzo de la proposicin y la afectanen su conjunto.

Ejemplo:El Ecuadorno es una repblica monrquicaNo es cierto que el 2 es un nmero imparNo es verdad que 2+2 sea igual a 6

El Operador lgico es . Su esquema modular es p, se lee: no p, No es verdad quep, Es falso que p. El cuadro de verdad es:

pF VV F

Condicional.- Son verdaderas en todos los casos, excepto cuando el antecedente es verdaderoy el consecuente es falso. Las proposiciones condicionales tienen 2 formas:

a) Forma Lgica (FL).-Son aquellos condicionales que estn lgicamente ordenados y se lesreconoce porque llevan la conectiva compuesta Si.entonces . La proposicin que vaentre si y entonces se denomina antecedente o condicin suficiente, y la proposicin queva despus de entonces se denomina consecuente o condicin necesaria.

Ejemplo:

Si se grada de bachiller, entonces se puede iniciar con los estudios en la universidad (FL)Antecedente Consecuente

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b) Forma Ordinaria (FO). Son aquellas proposiciones condicionales que no estnlgicamente ordenadas, porque primero tienen el consecuente y luego el antecedente. Lascondicionales de forma ordinaria o indirecta llevan las conectivas Si , Pues , Puestoque , Porque , Yo que , Dado que , A menos que , etc. Cada vez que uncondicional est escrito en la forma ordinaria necesariamente debe ser traducido a lacorrespondiente forma lgica.

Ejemplo:Santiago puede iniciar con los estudios en la universidad si se grada de bachiller (FO)

Consecuente Antecedente

Si Santiago se grada de bachiller puede iniciar con los estudios en la universidadAntecedente Consecuente

El Operador lgico es . Su esquema modular es p q, se lee: Si p, entonces q. Latabla es:

p qV V VV F FF V VF V F

Bicondicional.- Son aquellas proposiciones que llevan la conectiva: si y slo si , ysolamente sern verdaderas cuando sus 2 proposiciones componentes tienen igual valor, yfalsas en los otros casos. Estas proposiciones son conmutativas y se interpretan como un

doble condicional.Ejemplo:El agua se congela si y slo si la temperatura est bajo ceroSi el agua se congela entonces la temperatura est bajo ceroSi la temperatura est bajo cero entonces el agua se congela

El Operador lgico es . Su esquema modular es p q, se lee: p si y slo si q. Latabla es:

p qV V V

V F FF F VF V F

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TAREA

Hallar los esquemas modulares de los siguientes circuitos conmutadores

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

5) Cuadros o tablas de verdad

Llamadas tambin mtodo de las matrices o tablas verificativas, son procedimientos dedecisin que la lgica emplea para demostrar la validez o invalidez de cualquier esquemamolecular.

En la forma que toman en la actualidad fueron desarrollas por Ludwig Wittgenstein en la obraTractatus logico-philosophicus

Para construir una tabla de verdad se debe entrecruzar una recta vertical con una horizontal,llamndose margen al lado izquierdo y cuerpo al lado derecho. Las tablas de verdad tienen lossiguientes elementos:

Ludwig Wittgenstein (1889-1951), filsofo austriaco (nacionalizado britnico),fue uno de los pensadores ms influyentes del siglo XX, en especial por sucontribucin al desarrollo de la filosofa analtica. La evolucin de sus teoras

estuvo marcada por dos etapas. En la primera, representada por su obraTractatus logico-philosophicus (1921), defendi que la pretensin filosfica esla clarificacin lgica de las ideas. Un segundo momento de su pensamientocorresponde a la redaccin de Investigaciones filosficas (pstuma, 1953), obraen la que trat de superar la, segn l mismo expres, limitada visin dellenguaje que haba ofrecido en el Tractatus.

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8.1) Variables proposicionales

p q

8.2) Valores tabularesN variables proposicionales 1 2 3 4 nN valores tabulares 2 4 8 16 2n

8.3) Esquema molecular

p q p qV VV FF VF F

8.4) Cifra tabular (Matriz)

p q p qV VV F

F VF F

VV

FV

VF

FF

VF

VF

Los esquemas moleculares segn la cifra tabular o matriz son de 3 clases

a) Tautolgico o tautologa.- Cuando la cifra tabular tiene todos sus valores verdaderos

b) Contingente o consistente.- Cuando la cifra tabular tiene por lo menos una verdad y unafalsedad

c) Contradictorio o inconsistente.- Cuando la cifra tabular tiene todos sus valores falsos

EJERCICIOS

1) Comprobar que es contingente

2) Comprobar que es tautolgico

3) Comprobar que es contingente

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4) Comprobar que es tautolgico

5) Comprobar que es contradictorio

6) Comprobar que es contingente

7) Comprobar que es contingente

8) Comprobar que [ ] es tautolgico

9) Comprobar que [ ] [ ] es contingente

10) Comprobar que {[ ] } es contingente