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LÓGICA PROPOSICIONAL
Miguel Valverde Morales Página 1
Lectura motivadora
GEORGE BOOLE
(1815 - 1864)
(2 de noviembre de 1815 - 8 de diciembre de 1864) fue un matemático y filósofo británico.
Como inventor del álgebra de Boole, la base de la aritmética computacional moderna, Boole es considerado como uno de los fundadores del campo de las Ciencias de la Computación. En 1854 publicó "An Investigation of the Laws of Thought" en él desarrollaba un sistema de reglas que le permitía expresar, manipular y simplificar, problemas lógicos y filosóficos cuyos argumentos admiten dos estados (verdadero o falso) por procedimientos matemáticos.
JUICIO – PROPOSICIÓN
APRENDIZAJES ESPERADOS
Distingue proposiciones dentro de un grupo de enunciados
Clasifica proposiciones por su cantidad
Clasifica proposiciones por su calidad
Clasifica proposiciones por su modalidad
Clasifica proposiciones por su complejidad
NOTITA IMPORTANTE
El Tractatus es un texto complejo que se presta a diversas lecturas. A primera vista, se presenta como un libro
que pretende explicar el funcionamiento de la Lógica (desarrollada previamente por Frege y por Russell entre otros), tratando de mostrar al mismo tiempo que la Lógica es el andamiaje o la estructura sobre la cual se levanta nuestro lenguaje descriptivo (nuestra ciencia) y nuestro mundo (que es aquello que nuestro lenguaje o nuestra ciencia describe). La tesis fundamental del Tractatus es esta estrecha vinculación estructural (o formal) entre lenguaje y mundo, hasta tal punto que: «los límites de mi lenguaje son los límites de mi mundo». En efecto, aquello que comparten el mundo, el lenguaje y el pensamiento es la forma lógica [logische Form], gracias a la cual podemos hacer figuras del mundo para describirlo.
LÓGICA PROPOSICIONAL
Miguel Valverde Morales Página 2
FUNDAMENTACION TEORICA
1. CANTIDAD DE LAS PROPOSICIONES
1) Universales. Se refieren a todos los elementos del sujeto. Ejemplos: Todos los félidos son carniceros; Ningún vegetal es heterótrofo; etc.
2) Particulares. Se refieren a algunos elementos del sujeto. Ejemplos: Muchos médicos son cirujanos; Varios ingenieros no desarrollan su profesión; etc.
3) Individuales. Cuando el sujeto se refiere a un solo elemento. Ejemplos: El río Amazonas desemboca en el Océano Atlántico; El Perú tiene muchas tipos de microclimas; etc.
2. CALIDAD DE LAS PROPOSICIONES.
1) Afirmativas. Su contenido da por cierto algo. Ejemplos: Es cierto que Saturno tiene 30 satélites conocidos; Rea es un satélite de Saturno; etc.
2) Negativas. Su contenido da por falso algo. Ejemplos: Es mentira que la Tierra tiene un sistema de anillos; La Luna no es un satélite de Urano; etc.
3. MODALIDAD DE LAS PROPOSICIONES
1) Asertóricas. Llamadas también sintéticas, empíricas o contingentes. Cuando su valor de verdad es contextual. Ejemplos: Trujillo es una ciudad norteña; El Perú integra el Mercosur; etc.
2) Necesarias. Llamadas también apodícticas o forzosas. Cuando su valor de verdad es universal. Ejemplos: El cuantor es un operador lógico; El triángulo equilátero es un polígono regular; etc.
3) Problemáticas. Llamadas también plausibles o probables. Cuando su valor de verdad es posible. Ejemplos: Es posible que el hombre llegue a Marte antes del 2015; La selección clasificará al mundial 2010; etc.
4. COMPLEJIDAD DE LAS PROPO-SICIONES
Los Operadores Lógicos
1) Definición.
Son conceptos sin categorema cuya función es modificar el valor de verdad o la estructura de una proposición.
2) Clasificación.
Se les clasifica de acuerdo al área de la Lógica.; por ejemplo existen operadores modales (operador de necesidad, operador de posibilidad, etc.); operadores difusos (fusificador, defusificador, etc.); operadores cuantificacionales (universalizador, existencializador, etc.); Operadores proposicionales (negador, conjuntor, etc.); etc.
LÓGICA PROPOSICIONAL
Miguel Valverde Morales Página 4
Los Operadores Proposicionales
OPERADOR SÍMBOLOS
Nombre Estructura lógica
Negador (Inversor) “no” -
Conjuntor (Compatibilizador) “... y ...” . &
Disyuntor Incluyente (Alternador)
“... o ...” +
Disyuntor Excluyente (Exclusor) “o ... o .... “ V >< <-/->
Implicador (Condicionador) “si ... entonces ...”
Replicador (Contraimplicador) “... porque ...”
Biimplicador (Equivalorador) “ ... si y sólo sí ...”
Daga de Shefer (Inalternador) “ni ... ni .... “
Barra de Nicod (Incompatibilizador)
“no ... o no ....” /
Traducciones verbales de los operadores proposicionales.
NEGACIÓN CONJUNCIÓN DISYUNCIÓN INCLUYENTE
Carece de todo sentido que A De ninguna forma se da que A En absoluto se da que A En modo alguno se da que A Es absurdo que A Es falso que A Es imposible que A Es inaceptable que A Es inadmisible que A Es incierto que A Es incorrecto que A Es inverosímil que A Es mentira que A Es imposible que A Es negable A Es objetable que A Jamás se da que A No es cierto que A No es el caso que A No es verdad que A No ocurre que A Nunca jamás A Nunca se da que A Se rechaza que A
A además B A a la vez B A al igual que B A al mismo tiempo B A a pesar que B A así como B A aún cuando B A aunque B A de la misma forma B A empero B A es compatible con B A incluso B A no obstante B A pero B A simultáneamente B A sin embargo B A tal como B A también B A tanto como B A y B A y también B Conjuntamente A con B No sólo A también B Tanto A como B
A a menos que B A a no ser que B A excepto que B A o B A o en todo caso B A o incluso B A o también B A salvo que B A salvo que también B A y bien, o también B A ya bien, o incluso B A y/o B
DISYUNCIÓN EXCLUYENTE
A o B (pero no ambos) A salvo que sólo B A salvo que únicamente B A o solamente B A o sólo B A o tan sólo B A o únicamente B O A o B. A es diferente que B O sólo A o sólo B Salvo que A o B
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IMPLICACIÓN (DIRECTA) REPLICACIÓN (IMPLICACIÓN INVERSA)
BIIMPLICACIÓN
a condición de que A, B
A de ahí que B
A en consecuencia B
A es suficiente para B
A implica B.
A luego B
A por consiguiente B
A por lo tanto B
A sólo si B
Cada vez que A, B
Con tal que A es obvio que B
Cuando A, B
Cuando A así pues B
Dado A por eso B
De A concluimos en B
En cuanto A por tanto B
En el caso que A así pues B
Es suficiente A para B
Para A es necesario B
Porque A, B
Puesto que A, así pues B
Se supone A para B.
Si A, B
Si A entonces B
Siempre que A por tanto B
Ya que A entonces B
Ya que A es evidente que B
A a condición de que B
A cada vez que B
A dado que B
A esta implicado por B
A es una condición necesaria para B
A porque B
A puesto que B
A se concluye de B
A, si B
A, siempre que B
A supone que B
A ya que B
Es una condición necesaria A para B
Para A es suficiente B
Para A es una condición suficiente B
Solo si A, B
Tan solo si A, B
Una condición suficiente para A es B
A cada vez que y sólo si B
A cuando y sólo cuando B
A entonces y sólo entonces B
A equivale a B
A equivale lógicamente a B
A es necesaria y suficiente para B
A es suficiente y necesario para B
A es equipolente a B
A es equivalente a B
A implica y esta implicado en B
A por lo cual y según lo cual B
A se define como B
A se define lógicamente como B
A según lo cual y por lo cual B
A si de la forma B
A siempre y cuando B
A siempre que y sólo cuando B
A sí y sólo si B
LÓGICA PROPOSICIONAL
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1) Simples o Atómicas. Cuando no tienen operadores proposicionales. Son indivisibles. Se subdividen en:
a) Predicativas. Cuando tienen un solo sujeto. Ejemplos: Carlos estudia medicina; El Perú es un país considerado tercermundista; etc.
b) Relacionales. Cuando tienen dos o más sujetos. Ejemplos: Sissy es mayor que Mónica; Francia está entre Alemania y España; etc.
2) Compuestas o Moleculares. Cuando tienen operadores proposicionales. Se les puede descomponer en proposiciones más simples. Se clasifican de acuerdo al operador principal en negativas, conjuntivas, disyuntivas incluyentes, etc.
EJERCICIOS DESARROLLADOS
01. De los enunciados:
1. ¡Cuidado con el perro! 2. José estudia medicina en la UNT 3. Todo peruano es inocente hasta que se demuestre lo contrario 4. Milagros dijo estar enamorada de Enrique 5. Romy estuvo de paseo por Cuba
Corresponden a proposiciones: a) 1, 2 y 5 b) 2, 3, 4 y 5 c) sólo2, 4 y 5 d) sólo 2 y 5 e) sólo 3, 4 y 5 Resolución Proposiciones: Tienen sentido completo, valor de
verdad y referente real objetivo. 1. Expresiva X
2. 3 Precepto constitucional X
4. (… dijo… se puede comprobar)
5.
CLAVE “C” 02. De los enunciados:
1. Anoche soñé que estaba bailando con Jennifer 2. “Llama” es un término polisémico 3. Urano es un planeta que tiene sistema de anillos 4. Zeus fue el rey de los dioses 5. Gokú llegó a ser súper sayayín de nivel IV
No corresponden a proposiciones: a) 1, 4 y 5 b) 2, 3 y 5 c) 1, 2 y 4 d) 1, 3 y 5 e) 2, 3 y 4
Resolución Idem 1
1. … soñé… X
2.
3. 4. Mitología X 5. Ficción X CLAVE “A”
03. De los enunciados: 1. Constitución Política del Perú 2. Con los años que tengo aún no sé si estoy
enamorado 3. Ayer conocí a Rosario, hoy conocí a su
hermana 4. Ninguna de las hermanas de Andrea postula a
Derecho 5. Flor blanca de geranio serrano
Corresponden a proposiciones: a) 1 y 2 b) 2 y 3 c) 3 y 4 d) 4 y 5 e) 1 y 5
Resolución Idem 1
1. Concepto X 2. … no sé… (subjetivo) X
3.
4. 5. Concepto X
CLAVE “C” <
04. De los enunciados: 1. Antonio y Alberto están casados. 2. Una posible causa de la desnutrición es el
maltrato infantil. 3. Cualquier reptil es vertebrado. 4. Ni lo uno ni lo otro sino todo lo contrario. 5. Juicio aseverativo.
Son proposiciones: a) 1, 2 y 3 b) 2, 3 y 4 c) 3, 4 y 5 d) 1, 4 y 5 e) 1, 2 y 5
Resolución Idem 1
1.
2.
3. 4. Sin sentido X 5. Concepto X
CLAVE “A”
05. De los enunciados: 1. Los polígonos tienen raíz cuadrada. 2. Los números tienen área superficial. 3. Todos los números naturales son mayores que
5. 4. Algunos números naturales son mayores que 5. 5. No hay números naturales mayores que 5.
Son proposiciones: a) 1, 2 y 3 b) 2, 3 y 4 c) 3, 4 y 5 d) 1, 4 y 5 e) 1, 2 y 5
Resolución Idem 1 1. Sin sentido X 2. Sin sentido X
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3. Proposición falsa 4. Proposición verdadera 5. Proposición falsa
CLAVE “C”
PRÁCTICA
01. De los enunciados:
1 a + b = b + a; a, b R
2. a + b > a; a, b N 3. a + 5 = 1954
4. a2 + b2 = c2; a, b, c R
5. a + 5 = b + 40 Son proposiciones: a) 1, 2 y 5 b) 2, 3 y 4 c) 1, 3 y 5 d) 1, 2 y 4 e) 3, 4 y 5 02. De los enunciados:
1. a2 + b2 = c2; representa a la expresión del
Teorema de Pitágoras
2. x2 + 2x + 1
3. x + y > 5, x, y N
4. Si x>n entonces x > (n – 1); x, n N
5. x > 10 ó x < 10 ó x = 10; x N Son proposiciones: a) 1, 2 y 3 b) 2, 3 y 4 c) 3, 4 y 5 d) 1, 4 y 5 e) 1, 2 y 5 03. De los enunciados:
1. A Dios rogando y con el mazo dando 2. Luz dijo estar sorprendida por la actitud que
tomó su hermano al evadirse de clase 3. La lora de mi vecina está enferma 4. Ricardo abrió su pollería llamada “El pollo
futbolista” 5. El Perú es considerado destino turístico
internacional. Son proposiciones: a) 2, 4 y 5 b) 2, 3 y 4 c) 3, 4 y 5 d) 1, 2 y 3 e) sólo 2 y 4 04. De los enunciados:
1. Muchos peces son eurihalinos 2. Muchos reptiles son ácidos 3. Muchos herbívoros son rumiantes 4. Muchos carnívoros son polinomiales 5. Muchas sustancias no son puras
Son proposiciones: a) 1, 2 y 5 b) 2, 3 y 4 c) 1, 3 y 5 d) 1, 2 y 4 e) 3, 4 y 5
05. De los enunciados, son proposiciones: 1. Es la esposa del ex presidente Paniagua.
2. El lenguaje tiene naturaleza dual. 3. –30+20=–10 equivale –40+30=–10 4. El carbono tiene valencia 4. 5. El Corán es un libro religioso.
Son ciertas, excepto a) sólo 3 y 4 b) 1 y 2 c) 2, 3 y 4 d) 1, 3 y 5 e) 4 y 5 06. Son proposiciones atómicas:
1. Cualquier ingeniero es profesional. 2. Lucila Godoy o “Gabriela Mistral” escribió el
libro de poemas “Tala” 3. Raúl y Ricardo no son primos. 4. Universalizador equivale a cuantificador
universal. 5. Muchos militares son profesionales.
Son ciertas: a) sólo 1,2y4 b) ninguna c)sólo2 d) 1, 2, 4 y 5 e) todas 07. Son proposiciones simples relacionales:
1. El enlace iónico es de carácter electrostático. 2. El Canal de Panamá está entre los océanos
Atlántico y Pacífico.
3. (a*b)n = an * bn
4. Chile no comparte frontera con Ecuador. 5. El rió Amazonas fluye por territorio peruano
Son ciertas: a) 2, 3 y 5 b) sólo 2 y 3 c) sólo 3 y 5 d) sólo 2 y 5 e) 1, 4 y 5 08. De los siguientes enunciados:
1. Magaly y Gisela se casarán la próxima semana 2. No hay nada mejor que un buen helado
napolitano 3. Otorongo tiene cuatro vocales 4. Es imposible que la materia se destruya por
procesos físicos 5. El soporte tipo DVD tiene más capacidad de
almacenamiento que el CD-R
Son proposiciones: a) 1, 2 y 4 b) 1, 4 y 5 c) 2, 3 y 5 d) 1, 3 y 5 e) 2, 3 y 4
09. De los siguientes enunciados:
1. p q 2. Cualquiera que sea S es obviamente P 3. Si x > 5 luego x > 4
4. Si x > y luego x N; y N
5. x N; x > 2004 Son proposiciones: a) 1 y 3 b) 3 y 5 c) 2 y 4 d) 1 y 4 e) 2 y 5
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10. De los siguientes enunciados: 1. En modo alguno es posible que los félidos sean
rumiantes. 2. Es imposible que el hidrógeno sea sólido. 3. Las aves son vivíparas. 4. Es inadmisible que las rosas sean heterótrofas. 5. Los seres humanos son intelectuales.
Son proposiciones negativas: a) 1, 2 y 4 b) 1, 4 y 5 c) 2, 3 y 5 d) 1, 3 y 5 e) 2, 3 y 4
11. De los siguientes enunciados: 1. No sólo el Perú compite por un cupo al
mundial 2006 sino también Brasil 2. George estudia ingeniería no obstante práctica
fútbol 3. Aunque Mary estudie enfermería, trabaja como
secretaria 4. Inés y Raúl son compadres de Lady 5. El cloro es un no metal aunque sea reactivo
Son proposiciones conjuntivas: a) sólo 1, 2 y 3 b) sólo 2, 3 y 4 c) sólo 3, 4 y 5 d) sólo 1, 4 y 5 e) todas
12. De los siguientes enunciados: 1. Maura comió pescado y se ahogo 2. Ni Teresa ni Carol son trujillanas 3. Lawrence y Silvia no son abogados 4. El que me divierta es igual a que trabaje 5. Me divierto al igual que trabajo
Son proposiciones conjuntivas: a) 1, 2 y 4 b) 2, 3 y 5 c) 1, 4 y 5 d) 1, 2 y 3 e) 3, 4 y 5
13. De los siguientes enunciados: 1. Ni Erika ni Karen son médicos 2. Lilibeth no estudia o no trabaja 3. El calor no equivale a la velocidad 4. El azúcar y el aceite no reaccionan 5. Lourdes no deja de estudiar
Son proposiciones negativas: a) sólo 1, 2 y 3 b) sólo 2, 3 y 4 c) sólo 3, 4 y 5 d) sólo 1, 4 y 5 e) todas 14. De los siguientes enunciados:
1. El que Manuel vaya a la universidad no implica que sea alumno
2. Es imposible que los alcanos y los alquinos reaccionen
3. Perú y Chile no son productores de ébano 4. Leslie y Milagros no son hermanas 5. De seguro ocurre que el agua y el aceite si se
mezclan
No son proposiciones negativas: a) 1 y 3 b) 1 y 4 c) 2 y 5 d) 2 y 4 e) 3 y 5
15. De las siguientes proposiciones: 1. Cuando una PC falla, se debe al software o sólo
al hardware. 2. Es falso que el agua o sólo el aceite sean
solventes universales. 3. Glenn viajará a Holanda o sólo a Francia. 4. El que trabaje es diferente a que vaya a la
discoteca. 5. O se da que Pamela visite Egipto a no ser que
vaya al Tíbet. Son disyuntivas excluyentes: a) sólo 1, 2 y 3 b) sólo 2, 3 y 4 c) sólo 3, 4 y 5 d) sólo 1, 4 y 5 e) todas
LÓGICA PROPOSICIONAL
Miguel Valverde Morales Página 9
FORMALIZACIÓN APRENDIZAJES ESPERADOS
Identifica constantes y variables proposicionales
Hace uso del lenguaje lógico formal
Formaliza proposiciones lógicas
Formaliza reglas y leyes de las ciencias NOTITA IMPORTANTE
En matemáticas, lógica, y ciencias de la computación, un lenguaje formal es un conjunto de palabras (cadenas de caracteres) de longitud finita en los casos más simples o expresiones válidas (formuladas por palabras) formadas a partir de un alfabeto (conjunto de caracteres) finito. El nombre lenguaje se justifica porque las estructuras que con este se forman tienen reglas de buena formación (gramática) e interpretación semántica (significado) en una forma muy similar a los lenguajes hablados.
FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA 1. CONSTANTES Y VARIABLES
Formalizar es trasladar (traducir) una expresión escrita con un lenguaje verbal a un lenguaje formal. En nuestro caso, debemos traducir una expresión con lenguaje verbal al lenguaje lógico formal proposicional.
Constantes: Son los operadores proposicionales. Ejemplos: conjuntor, implicador, negador, etc.
Variables. Son las letras que representan a proposiciones. Ejemplos: A, B, C, D, E, etc.; o también, p, q, r, s, t, etc.
2. FORMAS BÁSICAS. Formas negativas. 1. Es mentira que el oro sea líquido 2. No ocurre que, el oro y la plata sean gases 3. Es falso que si trabajo luego estudio 4. Denisse no postula a derecho 5. El agua no disuelve al oro 6. Raúl es un profesional inexperto 7. El calor es incompatible con la materia Formas conjuntivas. 1. El oro y la plata son metales 2. El oro y la plata no son halógenos 3. El bromo es un gas además es halógeno
4. El cloro y el flúor son gases y reaccionan con el sodio
5. Es falso que el dólar se cotice a 3,5 nuevos soles pero también es falso que el euro se cotice a 4 nuevos soles
6. Aunque el helio sea un gas, se ioniza 7. No sólo el oro es un metal sino que también es
altamente dúctil 8. El agua pura es un compuesto químico
inorgánico no obstante tiene muchos usos en la industria
Formas disyuntivas incluyentes. 1. El cobre conduce el calor o la electricidad 2. La plata es un metal noble o también actúa
como catalizador 3. Trujillo es el nombre de una ciudad peruana
y/o de una ciudad española
4. En Trujillo se fabrican zapatos salvo que también casacas de cuero
5. Noelia estudia lógica y bien o también matemática Formas disyuntivas incluyentes. 1. La plata tiene número atómico 47 ó 54 2. Trujillo es una ciudad peruana o únicamente
ecuatoriana 3. O el petróleo es un energético o es materia
prima de productos farmacéuticos 4. Trujillo exporta zapatos o sólo algodón 5. O Noelia postula a medicina o postula a
contabilidad
Formas implicativas. 1. Si el cobre es un metal entonces conduce la
electricidad 2. Si el oro conduce la electricidad, no es aislante
eléctrico 3. Porque el otorongo es un félido, es carnívoro 4. El otorongo es félido por lo tanto es ágil 5. Los tigres son félidos consecuentemente tienen
cuerpo ágil 6. Es suficiente que un cuerpo se caliente para
que se dilate 7. Para que haya recesión en el Perú es necesario
que haya inflación
Formas replicativas. 1. Hay calentamiento de las aguas del mar porque
aumentó la temperatura global 2. Sólo si aumentó el ingreso de divisas al Perú,
aumentó el índice de las exportaciones 3. Sube el precio de la mayoría de productos
cuando sube el precio del petróleo 4. La capa de ozono está siendo afectada por la
contaminación en vista que se emiten muchos gases industriales
LÓGICA PROPOSICIONAL
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5. Para que un alumno ingrese a la universidad es suficiente que responda poco más de la mitad del examen
6. Es necesario que los clavos de hierro se dilaten para que sean calentados
Formas biimplicativas. 1. Que haya alta temperatura equivale a que haya
humedad ambiental 2. Aumentará el empleo en el Perú si y sólo si el
gobierno aplica políticas de estabilización económica
3. La producción de conservas tiene valor agregado luego y sólo luego su fabricación aumenta el ingreso de los peruanos
4. Los rumiantes son herbívoros siempre y cuando sean mamíferos
3. RECOMENDACIONES. Uso de signos ortográficos.
1. O Eliana trabaja y estudia o se dedica al deporte, luego se dedica a la artesanía; pero es imposible que se dedique a la artesanía. Luego, Eliana trabaja y/o se dedica al deporte
2. Si estudio, trabajo; además, si trabajo, progreso. Luego, si estudio, progreso; salvo que me dedique al arte
3. El trigo y el arroz son cereales, salvo que el maíz sea una gramínea; luego, en el Perú se consume trigo y cebada, además arroz
4. Multiplicidad de variables. 5. José, Esteban y Paola estudian en Cepunt,
además, postulan a derecho 6. Luisa, Angélica y Blanca postulan a la UNT,
pero ninguna estudia biología 7. Buenaventura, Yanacocha y Southern Perú son
empresas mineras que no exportan estaño ni cinc
Distinción Término – Proposición. 1. Calor equivale a traba.o. 2. La matemática es necesaria para la filosofía. 3. Que traba.e es incompatible con que estudie. 4. Que Ysela y Luisa sean hermanas equivale a
que sean parientes en segundo grado. Orden en las traducciones verbales.
1. No sólo es falso que si traba.o, estudio; sino que si es falso que traba.o, progreso.
2. Es necesario que sea suficiente que via.e a Lima para llegar al Cuzco, para que sea suficiente para llegar a Tru.illo que via.e a Lima.
3. O no sólo es falso que estudio lógica y matemática sino que practico deporte, o es falso que no sólo practico deporte sino que estudio inglés y francés.
EJERCICIOS DESARROLLADOS
01. O bien el asma afecta a los pulmones o bien al corazón y a los huesos; pero no es el caso que afecte al corazón del mismo modo a los pulmones.
Se formaliza: ……………………………….
Resolución
[p (q r)] - (q p)
02. Existe movimiento material cada vez que y sólo cuando existe movimiento energético; pero si no existe movimiento material, existe movimiento; del mismo modo si existe movimiento material, no hay movimiento energético.
Se formaliza: ……………………………….
Resolución
(p q) (- p r) (p - q)
03. O bien Andrómeda es una constelación o bien es una galaxia y está cerca de la tierra; aunque es absurdo pensar que Andrómeda sea una constelación. En consecuencia Andrómeda es una galaxia así como está cerca de la tierra.
Se formaliza: ……………………………….
Resolución
{[p (q r)] - p} (q r)
04. Estudiaré en la universidad, salvo que solamente postule al instituto e ingrese a la universidad; pero es absurdo que no postule al instituto o no ingrese a la Universidad. Por lo tanto no estudiaré en la universidad.
Se formaliza: ……………………………….
Resolución
{[p ((q r)] - (- q - r)]} - p 05. La lógica es general, formal y matemática. Es la
lógica general porque estudia al intelecto en su búsqueda de la verdad y es formal porque estudia la estructura de las inferencias. A la vez es matemática porque demuestra la validez de la inferencia.
Se formaliza: ……………………………….
Resolución
(p q r) [(p s) (q t) (r u)]
06. Es absurdo pensar que, si suben los precios, habrá bienestar social; pero no es el caso que si hay bienestar social entonces no suben los precios.
Se formaliza: ……………………………….
Resolución
– (p q) - (q - p)
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Miguel Valverde Morales Página 11
07. Es necesario que haga frío para que llueva, inclusive es suficiente que sea invierno para que haga frío. Si llueve entonces es falso que haga frío. Por tanto estamos en invierno.
Se formaliza: ……………………………….
Resolución
{[(p q) (r p)] (q - p)} r
08. En Virú se cultiva maíz, ciruela, espárrago al igual
que yuca; sin embargo el cultivo de espárrago produce mayores dividendos que el cultivo conjunto de los otros tres productos.
Se formaliza: ……………………………….
Resolución
(p q r s) t 09. El cloro y el hidrógeno son gases a temperatura
ambiente, aunque no están juntos en la tabla periódica. Además son los únicos componentes del ácido clorhídrico pero no están unidos por enlace metálico.
Se formaliza: ……………………………….
Resolución
[(p q) - r] (s - t) 10. Manuel no tiene la misma edad que Gerónimo
pero estudian juntos aunque, no son vecinos no obstante tienen la misma afición por el deporte.
Se formaliza: ……………………………….
Resolución
(- p q) (- r s)
PRÁCTICA DE CLASE 01. “No es cierto que, Mozart no sepa tocar el piano y
no componga melodías, ya que es egresado de la Escuela de Música”. Se formaliza como:
a) (pq)(rp) b) (pq) r
c) (pq) r d) (p q) r e) N.a. 02. “Subirán los intereses bancarios porque subirá la
cotización del dólar, en vista de que, subirá la cotización del dólar sólo si el gobierno no puede controlar la inflación”. Es una proposición cuya formalización correcta es:
a) (pq)(qr) b) (pq)(qr)
c) (pq)(qr) d) (pq)(qr) e) N.a.
03. La proposición: "No es el caso que, si César Vallejo no estudiaba educación no habría podido escribir sus obras. Dado que, César Vallejo no pudo escribir sus obras porque enseñaba en el Colegio". Se formaliza:
a) q r p q
b) p q q r
c) p q) q r
d) p q q r e) N.a. 04. “Chile y Argentina no son productores de hojas de
coca”. Se formaliza como en:
1. p q 2. p q 3. pq
4. p q 5. p q Son ciertas: a) 1 y 4 b) 2 y 5 c) 4 y 5 d) 3 y 4 e) 2 y 4 05. La proposición: "O bien el guepardo es un felino o
bien es un animal doméstico. Sin embargo, el arenque es acuático salvo que los monotremas sean mamíferos". Se formaliza:
a) (p q) (r s) b) (p q) (r s)
c) (p q) (r p) d) (p r) s e) T. a. 06. La proposición: “Porque los gases al igual que los
líquidos, no son dúctiles ni maleables, obviamente que son fluidos”. Se formaliza:
a) [(p q) (r q)] (t u)
b) [(p q) (r s)] t
c) [(p q) (r s)] (t u)
d) (p q) r e) N. a. 07. “Sólo si un gas es sometido a altas temperaturas,
genera trabajo mecánico; sin embargo, es suficiente que algunos fluidos reaccionen para que generen energía”. Se formaliza:
a) (p q) (r s) b) (p q) (p r)
c) (p q) (p s) d) (p q) (r s)
e) (p q) (r s) 08. La proposición: “Sólo si un negocio es
económicamente rentable entonces los costos que representa son bajos, o bien y también, tiene gran demanda comercial”. Se formaliza como:
a) (p q) r b) (p q) r c) (p q) r
d) (p q) r e) n. a.
LÓGICA PROPOSICIONAL
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09. La proposición: "La negación es formalizada lógicamente siempre que y sólo cuando corresponda a un operador lógico". Se formaliza como:
a) p q b) p q c) p q
d) p (q r) e) p (q r) 10. La proposición: "Los hermanos Artidoro, Luis y
Róger Cáceres son congresistas y bien o también son socios comerciales de la empresa Importaciones Juliaca". Se formaliza:
a) p q b) p q c) p q
d) p(qr) e) (p q) r 11. "Bolivia y Brasil no son los países de mayor y
menor riqueza mundial, respectivamente". Se formaliza como:
a) p q b) p q c) p q
d) (p q) (r s) e) p q 12. La proposición: “De ninguna manera se da que, la
oferta favorezca al productor excepto que la demanda no favorezca al consumidor”. Se formaliza como:
a) (p q) b) (p q) c) (p q)
d) (p q) e) (p q) 13. La proposición: “Porque la luz tiene naturaleza
dual, se transmite en el vacío. Sin embargo, el sonido no se transmite en el vacío porque tiene naturaleza ondulatoria” Se formaliza como:
a) (A B) (B C)
b) (A B) (C D)
c) (A B) (B C)
d) (A B) (C D)
e) (A B) (C D) 14. La proposición: “Que la política sea social es una
condición suficiente y necesaria para que la política no sea económica” Se formaliza como:
a) A B b) A B c) A B
d) A B e) (A B) 15. La proposición: “Es falso que si canto me alegro o
bien es mentira que siempre que alegro canto” Se formaliza como:
a) A B b) (A B) (B A)
c) A B d) (A B) (B A)
e) A B
VERDAD FORMAL
APRENDIZAJES ESPERADOS
Conoce las reglas de los conectores lógicos
Utiliza la tabla de verdad
Aplica los criterios de verdad a diferentes modelos formales
Distingue esquemas tautológicos, contradictorios y contingentes
NOTITA IMPORTANTE
Jan Łukasiewicz (21 de diciembre, 1878 - 13 de febrero, 1956) matemático polaco que nació en Lwów, Galicia (ahora Leópolis, Ucrania). Su trabajo matemático se centró en la lógica matemática. Él pensó innovar en la tradicional lógica preposicional, el principio de no contradicción y el principio del tercero excluso. Łukasiewicz trabajó en lógica polivalente, incluyendo su propio cálculo de tres valores, la primera lógica de cálculo no clásica.
FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA
1. REGLAS DE LOS CONECTORES LÓGICOS
Negador. Si es V, luego –V = F
Conjuntor.
VV = V; otros = F <
Disyuntor incluyente:
FF = F; otros = V Daga de Shefer:
FF = V; otros = F Barra de Nicod:
VV = F; otros = V Implicador:
VF = F; otros = V
Replicador:
F V = F; otros = V Biimplicador:
VV=V ó FF=V; otros=F Disyuntor excluyente:
VF = V ó FV = V; otros = F
LÓGICA PROPOSICIONAL
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p q –p –q pq pq pq
V V F F V V V
V F F V F V F
F V V F F V V
F F V V F F V
p q pq pq pq pq pq
V V V F V F F
V F V V F F V
F V F V F F V
F F V F V V V
p q p–q –pq –pp –pp
V V F F F V
V F V F F V
F V F V F V
F F F F F V
2. LA TABLA DE VERDAD
2) Variables 1) Fórmula molecular
3) Arreglos 4) Cálculo matricial
1) Fórmula molecular. En ese lugar va la fórmula a la que se le quiere determinar el valor de verdad 2) Variables. En este cuadrante va una de cada una de las variables en orden alfabético. Por ejemplo: AB
3) Arreglos. O combinaciones de verdad Se determina con la fórmula: 2n Donde “n” es el número de variables 4) Cálculo matricial. Es la determinación de la matriz principal de una fórmula molecular basándose en las reglas de los
operadores
3. TIPOS DE MATRIZ PRINCIPAL
Tautológica Sólo valores V (1) Contradictoria (Cortocircuito, inconsistente) Sólo valores F (0) Contingente Al menos un V (1) y al menos un F (0)
LÓGICA PROPOSICIONAL
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EJERCICIOS DESARROLLADOS
01. La matriz principal de: [A (–B A)] B Es: a) 0011 b) 1110 c) 0010 d) 0100 e) 1101
Resolución
02. La matriz principal de: (A –B) (A B) Es: a) 0111 b) 1100 c) 1010 d) 0000 e) 1111 Resolución
03. La matriz principal de: A [–B (A B) Es: a) 1100 b) 0010 c) 0001 d) 0111 e) 1001 Resolución
LÓGICA PROPOSICIONAL
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04. La matriz principal de: [(A –B) –A] B Es: a) 1111 b) 1110 c) 0010 d) 0100 e) 0000
05. La matriz principal de: [(A B) (–A B)] A Es: a) 0011 b) 1110 c) 0010 d) 0100 e) 1101 Resolución
06. La matriz principal de: [(A –B) –A] B Es: a) 0011 b) 1110 c) 0010 d) 0100 e) 1101 Resolución
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PRÁCTICA DE CLASE Con la siguiente información:
p: F q: V r: F s: V t: F u: V
Resuelva los siguientes ítemes: 01. Los valores de verdad de las fórmulas:
1. (–q u) (p –s)
2. [– (u s) r] –p
3. q – [–t (p q)] Son: a) 111 b) 110 c) 100 d) 101 e) 011 02. Los valores de verdad de las fórmulas:
1. (–p) [(p –t) r]
2. (p –q) (–r s)
3. –{– [– (–p q) s] t} u Son: a) 111 b) 110 c) 100 d) 101 e) 011 03. Los valores de verdad de las fórmulas:
1. p {–q [p – (t –u)]}
2. (–p s) (t u)
3. (–p & t) (s –q) Son: a) 010 b) 001 c) 000 d) 101 e) 011 04. Los valores de verdad de las fórmulas:
1. –u [–p (–t s)]
2. [–p (q –s)] (–t (p s)]
3. (–p s) [t + – (–q u)] Son: a) 111 b) 110 c) 100 d) 101 e) 011 05. Dado el siguiente esquema:
[(A B) (A C)] Verdadero Los valores de las variables son: a) FVV b) VVF c) FVF d) VFV e) VVV
06. Dado el siguiente esquema:
(A) [(B C) D] Falso
Los valores de las variables son: a) VVFF b) FFVV c) VVVV d) FFFF e) VFVF
07. Dado el siguiente esquema:
(A B) (A C) Verdadero Los valores de las variables son: a) FFF b) VVV c) VFV d) FVF e) VVF
07. Dado el siguiente esquema:
(B A) (C D) Verdadero Los valores de las variables son: a) VFVF b) FVFV c) FFFV d) VVVF e) VVFF 08. Los valores de verdad de las fórmulas:
1. (–p) [(p –t) r]
2. (p –q) (–r s)
3. –{– [– (–p q) s] t} u Son: a) 111 b) 110 c) 100 d) 101 e) 011 09. Dado el siguiente esquema:
[(A B) (C D)] Verdadero Los valores de las variables son: a) FFFV b) FVFV c) VVFV d) FVFF e) FFVV 10. Dado el siguiente esquema:
(A B) {[(C E) D] A} Verdadero Los valores de las variables son: a) 11011 b) 10101 c) 00100 d) 01010 e) 10011
AUTOEVALUACIÓN Nº 02 CAPACIDAD: Razonamiento y demostración. 01. Son proposiciones:
1. El conjuntor es un operador proposicional 2. No es tan fácil aprenderse las traducciones
verbales. 3. Si no estamos atentos a la clase, jamás
aprenderemos. 4. La lógica formal estudia la validez del
razonamiento. 5. La lógica proposicional es una rama de la lógica
formal.
Son ciertas: a) 1, 3 y 4 b) 2, 3 y 5 c) 1, 2 y 5 d) 1, 4 y 5 e) 2, 3 y 4
LÓGICA PROPOSICIONAL
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02. Son proposiciones:
1. Wittgenstein es considerado uno de los filósofos más notables del siglo XX.
2. A Gottlob Frege se le valora después de muerto. 3. Russell recibió más galardones que G. Frege. 4. K. Gödel fue compatriota con Wittgenstein 5. G. Frege fue respetado por B. Russell y por K.
Gödel. Son ciertas: a) 1, 3 y 4 b) 2, 3 y 5 c) 1, 2 y 5 d) 1, 4 y 5 e) 2, 3 y 4 03. El enunciado: “El Rey Carlos III intentó gobernar de
manera práctica al igual que eficaz, puesto que no sólo redujo la burocracia noble sino también la sustituyó por la ilustrada”
Se formaliza:
a) (p q) (r & s) b) (p & q) (-r & s)
c) (p & q) (r & s) d) (p & q) (r & s)
e) (p & q) (-r & -s) 04. Si se cumple que: A = Falso B = Verdadero Las fórmulas verdaderas son: 1. B (A A) 2. ~A B
3. (~B A) A
4. (A B) B
5. ~(~A B) [~(A B) B] Son ciertas: a) Sólo 1, 2 y 3 b) Sólo 3, 4 y 5 c) Sólo 1, 3 y 5 d) Sólo 2, 3 y 4 e) Todas 05. Sean las proposiciones: A= El Sol no es una estrella de neutrones B= Marte tiene anillos planetarios C= Deimos es un satélite natural de la Tierra Los valores finales de las formulas:
I. (A B) ~C
II. [(A B) A] (B ~B)
III. [(A ~B) ~C] (A ~B)
Son respectivamente: a) 111 b) 000 c)010 d) 011 e) 001 CAPACIDAD: Comunicación matemática 01. Son proposiciones: 1. La Libertad es el departamento que lidera las
exportaciones agroindustriales en el Perú.
2. Uno de los principales destinos de las exportaciones libértelas es Estados Unidos.
3. También Colombia. 4. El crecimiento económico liberteño permitirá
que los trujillanos vivan mejor. 5. La alcachofa, al igual que el espárrago, es uno
de los principales productos de exportación en La Libertad.
Son ciertas: a) 1, 3 y 4 b) 2, 3 y 5 c) 1, 2 y 5 d) 1, 4 y 5 e) 2, 3 y 4 02. La proposición: “No sólo es falso que no sólo viva
en Francia sino que también tengo visa para EE.UU., sino que, no sólo es falso que vivo en España sino que es veraz que viajé a Italia”; se formaliza:
a) (p q) (r s) b) [(p q) (r s)]
c) [(p q) (r s)] d) (p q) (r s)
e) (p q) (r s) 03. La expresión: “Es absurdo que; cada vez que Juan y
Juana visitan a Mayra obviamente le llevan regalos. No obstante, a ninguno de los tres les visita Mario”. Se formaliza:
a) [(p q) (r s)] (t u v)
b) [(p q) (r s)] t
c) [(p q) (r s)] (t u v)
d) [(p q) r] (s t u)
e) [(p q) r] s 04. Dadas las proposiciones verdaderas: p = El evento de Tungska ocurrió en 1908 q = El Experimento Filadelfia fue llevado a cabo
en 1943 r = La Materia Exótica no se encuentra en el
Sistema Solar El valor final de las fórmulas:
I. p (q r)
II. p (q r)
III. p (r q) Es, respectivamente: a) 100 b) 011 c) 111 d) 000 e) 101 05. Si se cumple que: p = 0 ; q = 0 ; r = 1 ; s = 1 El valor final de las fórmulas:
I. (p q) (r s)
II. (r p) (q p)
III. (p s) (r q)
LÓGICA PROPOSICIONAL
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Es, respectivamente: a) 100 b) 110 c) 001 d) 010 e) 000 CAPACIDAD: Resolución de problemas 01. Son proposiciones: 1. Es mejor ahorrar en euros que en dólares
americanos por la estabilidad de la Unión Europea
2. El dólar es más caro que la rupia, de la India, y que el yuan, de la China.
3. La India tiene más de mil millones de habitantes, sin embargo, China es el país más poblado del mundo
4. Si sigue creciendo la población mundial a este ritmo, pronto será insostenible la vida en la
Tierra 5. El ingreso per cápita peruano es mayor que el
ingreso per cápita de la República Popular China
Son ciertas: a) 1, 3 y 4 b) 2, 3 y 5 c) 1,2 y 5 d) 1, 4 y 5 e) 2, 3 y 4 02. Son proposiciones: 1. Los Moches fueron una civilización ejemplar en
el antiguo Perú 2. El hombre de Guitarrero vivió
aproximadamente hace 13000 años a.C., a orillas del río Santa
3. Las culturas Chavín y Cupisnique se desarrollaron en el período conocido como Horizonte Temprano
4. Se le denomina Sra. de Cao a la momia perteneciente a una gobernante de la cultura Mochica
5. La manera como fue conservada la Sra. de Cao es impresionante
Son ciertas: a) 1, 3 y 4 b) 2, 3 y 5 c) 1, 2 y 5 d) 1, 4 y 5 e) 2, 3 y 4 03. La proposición: “La lógica es necesaria para la
ciencia porque la ciencia tiene aplicaciones en la técnica; todo lo anterior implica y está implicado por el hecho que la lógica es necesaria para la técnica”.
Se formaliza:
a) [(pq)r] (ps)
b) (pq)r
c) [(pq)r] (st)
d) (pq)r
e) [(p q) r] (p s)
04. La matriz principal de: “Bolivia exporta petróleo y
gas natural a Chile, porque dispone de recursos naturales” Tiene:
1. 3 valores falsos en su matriz principal 2. Todos los valores verdaderos 3. Al menos un valor verdadero 4. Al menos un valor falso 5. 5 valores de verdad en su matriz principal
Son ciertas: a) 1, 2 y 5 b) 2, 4 y 5 c) 1, 3 y 4 d) 2, 3 y 5 e) 1, 3 y 5
05. Si se cumple: p @ q = q
La matriz final de:(p @ q) @ (p @ q) Es:
a) 1100 b) 0011 c)0101 d) 1010 e) 1001
SOLUCIONARIO
Nº ALTERNATIVA
01. D
02. A
03. D
04. E
05. D
06. C
07. E
08. C
09. E
10. E
11. B
12. E
13. B
14. C
15. C
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