Logica y Conjuntos

UANCV Pensamiento Lgico Matemtico 11. IntroduccinLgica es el estudio de los procesos vlidos del razonamiento humano. !isten dos tiposde razonamiento" el #nductivo $ el deductivo. l razonamiento inductivo es el medio porel cual una persona% en &ase a sus e!periencias espec'(icas% decide aceptar como vlidoun principio general. l razonamiento )eductivo es% en cam&io% el medio seg*n el cualdichapersonautilizael principiogeneral aceptadopreviamenteparadecidir so&relavalidez de una idea% +ue a su vez ha&r de determinar el curso de su accin.)ado +ue las proposiciones son preceptos vlidos de razonamiento deductivo en nuestro&reve estudio% veremos lo esencial de la lgica proposicional% a trav,s del uso $ mane-ode una sim&olog'a adecuada.2. ProposicinAl a&ordar lalgicaproposicional% de&emosreconocer +ueunaproposicinesunacadena de pala&ras con sentido completo% cali(ica&le de cierta o (alsa% as'% por e-emplo%en laproposicin" .LimaeslaCapitaldePer*../isemantienenindependientes%sonproposiciones atmicas0 pero si se relacionan con alguna con-uncin 1u otras part'culas2el resultado es una proposicin molecular% por e-emplo% 34uan $ Pedro son alumnos de)erecho5.Por lo tanto podemos decir +ue una Proposicin es un enunciado cu$a propiedad(undamental es la de ser verdadera 1V2 o (alsa 162% pero no am&as simultneamente. /onoraciones aseverativas% por+ue aseveran o a(irman algo% sea verdadera o (alsa.Expresiones lingsticas que no son proposiciones.7odas las proposiciones son oraciones% pero no todas las oraciones son proposiciones. ne(ecto% las oraciones interrogativas% las exhortativaso imperativas% las desiderativas$lasexclamativasoadmirativasnosonproposicionespor+ueningunadeellasa(irmaoniega algo $% por lo tanto% no son verdaderas ni (alsas. Asimismo% las oraciones dubitativas%as' comolos-uiciosdevalor 8noo&stantea(irmar algo8noconstitu$ene-emplosdeproposiciones% pues su verdad o (alsedad no puede ser esta&lecida. -emplos"a2 l cuadriltero es un pol'gono de cuatro lados.&2 9:u, es la lgica;c2 )e&emos honrar a nuestros h,roes.d2 /ea en hora &uena.e2 o% astros% pa'sesmaresetc.% alosintegrantesengeneral selesllamaelementos del con-unto.Algunos e-emplos" Con-unto (ormado por los li&ros de un estante. Con-unto (ormado por los -uguetes de un ni>o. Con-unto (ormado por los pa'ses del d(rica. Con-unto (ormado por los elementos +u'micos. Los n*meros A%C%U%E (orman un con-unto de cuatro elementos Los d'as de la semana (orman un con-unto de siete d'asNJ7AC#JN"Usualmente los con-untos se denotan por letras ma$*sculas" A% K% C%Z M% P% e.P los elementos +ue lo determinan se designan por letras min*sculas" a% &% c% Z. !% $% z./i un con-unto A est (ormado por los elementos 1%A% a% & se escri&e"A D `1% A% a% &aP se lee" 3A es el con-unto de los elementos 1%A%a%&5La relacin de pertenencia se indica por la letra griega ,psilon f% de modo +ue"a f A indica" a pertenece al con)unto A% o tambi/n" a es el elemento del con)unto AC f A indica" a no pertenece a al con)unto A% o tam&i,n" a no es el elemento del con)unto A#E5INI!I%N #E *N !%N6*NT%!isten dos maneras de especi(icar% determinar o de(inir un con-unto" Por e!tensin $ porcomprensin.1. Por extensin:un con-unto A+ueda determinado por e!tensin cuando se conocenindividualmente todos sus elementos.-emplos"AD`a%e%i%o%ua /e lee" 3A es el con-unto de todas las vocales del al(a&eto castellano5KD`a% `&%ca% d%ea" 3K es el con-unto de elementos a% `&%ca% d%e5. A+u' se puede o&servar +ue" af K% `&%ca f K% d f K% e f K% &f K% c f KA. Porco'prensin:uncon-unto A+uedadeterminadopor comprensin% cuando,stesede(ine por medio de una propiedad% la cual de&e satis(acer cada uno de sus elementos/i denotamospor !aunelementocual+uieradel con-untoA$por Palapropiedadcaracter'stica% se escri&e"AD `! g ! cumple Pa o A D `! g P1!2 es verdaderaaP se lee"UANCV Pensamiento Lgico Matemtico A13A es el con-unto de los elementos !% tal +ue ! cumple P5 o tam&i,n3A es el con-unto de los elementos !% tal +ue ! es verdadera5-emplos"/i AD`a%e%i%o%$a% empleamos la letra ! para e!presar un elementos representativo delcon-unto% escri&iendo la propiedad caracter'stica en (orma de enunciado% esto es" P1!2" ! esuna vocal. Luego se escri&e"A D `! g ! es una vocalaP se lee" 3A es el con-unto de los elementos !% tales +ue% ! es una vocal5/i KD`H% C% W% S% 1A% Za se o&serva +ue sus elementos son n*meros naturales m*ltiplos de C%o sea la propiedad caracter'stica es P1!2"! es un n*mero natural $ m*ltimo de C.ntonces" K D `! g ! es un n*mero natural $ m*ltiplo de Ca!$SI5I!!I"N #E $%S !%N6*NT%S:Por el n*mero de elementos +ue poseen los con-untos pueden clasi(icarse en" Con)unto Vac0o,1 s a+uel +ue carece de elementos% tam&i,n llamado nulo $ se denota por el s'm&olo 12. -." AD `!h! es un perro +ue tiene alasa KD `!h ! C D AX donde ! es para CD `!h! N0 1AQ !Q1Ca Con)unto Unitario.R s a+uel con-unto +ue est (ormado por un solo $ *nico elemento. -." PD `!h! est (ormado por sat,lites de la tierraa :D `!h! B A DXa ID `A% A% A% Aa 3o-o tiene un solo elemento5. Con)unto Universal.R /e denota por la letra U0 contiene% comprende o dentro del cual estn todos los dems con-untos. -." /i consideramos U como el con-unto de todos los lementos :u'micos% entonces dentro de U e!istirn su&con-untos de elementos slidos% l'+uidos% gaseosos% radiactivos% metales% etc.Con)unto Finito.R s a+uel cu$o elemento se puede contar en (orma usual desde primero hasta el *ltimo. -." AD `l n*mero computadoras del saln de clasea KD `AXE pginas del li&roa CD `n*meros impares de E al A1a Con)unto In2inito.R s a+uel cu$o elemento al contarlos no se llega a un *ltimo elemento del con-unto% es llamado tam&i,n indeterminado. -." AD `! e0 ! NAa KD `!h! s un n*mero reala !*NTI5I!#%RES!uanti0icadores/ cuanti0icadoresExistenciales1*ni+ersales1co'oserepresentacada uno !uanti0icadores:n lgica% teor'a de con-untos $ matemticas en general%loscuanti(icadores son s'm&olos utilizados para indicar cuntos elementos de un con-unto dadocumplen con cierta propiedad.UANCV Pensamiento Lgico Matemtico AA!uanti0icadores Existenciales:La cuanti0icacin existencialde P1!2 3s la proposicinen +ue e!iste un elemento ! en el universo de discurso tal +ue P1!2 es verdad5./e denota con el s'm&olo ! $ se lee de las siguientes maneras" 3ha$ un ! tal +ueZ25% 3ha$al menos un ! tal +ue.... o .para alg*n !.....E&e'plo:/ea AD `1%A%C%U%Ea )etermine el valor de verdad de cada uno de los enunciados siguientes"a2 1 ! A21!BCD1H2/ol" es (also por+ue ning*n n*mero de A es una solucin de !BCD1H.&2 1 ! A21!BCQ1H2/ol" es Verdadero. Cual+uier n*mero de A cumple +ue !BCQ1H!uanti0icadores *ni+ersales: #ndican +ue algo es cierto para todos los individuos./ea A una e!presin $ sea ! una varia&le. /i deseamos indicar +ue A es verdadero paratodos los posi&les valores de !% escri&iremos 1!2 A.E&e'plos: 7odos los humanos respiran7 x8 797x8 : R7x88 donde el predicado V signi(ica humanos% I respiran $ ! es un elementode un dominio general +ue podr'a ser el de las personas o cual+uier su&con-unto deseado. 7odos los alumnos son estudiosos7 x8 77x8 : E7x88 donde el predicado A signi(ica alumno%estudioso $ ! es un elementode un dominio general +ue podr'a ser el de las personas o cual+uier su&con-unto deseado.Representacin de cada cuanti0icador Cuanti(icador Universal 12 Cuanti(icador !istencial 12E&ercicios"1. )eterminar por e!tensin cada uno de los siguientes con-untos"A D `! e g !C i!AR1H!RODHaK D `! N g W!CRC1!A B C!B1HDHaC D `! e g !ANH $ !A QAHaA. )eterminar por comprensin los siguientes con-untos"A D `RA% 1% U% X% 1HaK D `RX% RC% 1% E% S% Z..aC D `1% ChE% ChX% 1hC% Ch11a%PER!I%NES ENTRE !%N6*NT%S*NI%N #E !%N6*NT%SUANCV Pensamiento Lgico Matemtico ACLauninoreunindedoscon-untosA$Ksede(inecomoel con-untodetodosloselementos +ue pertenecen a A% a K o a am&os. /e denota por"A U KP se lee 3A unin con K5l diagrama de Venn uler correspondiente a la unin A $ K es"l rectngulo representa al con-unto universal U% en tanto +ue A U K% es la parte som&reada.Ntese +ue si" a A [ a 1A U K2& K [ & 1A U K2c A $ c K [ c 1A U K2Luego% si ! es un t,rmino +ue puede ser de A% de K o de am&os% la unin de A $ K se de(ine"A U K D `! g ! A v ! KaE&e'plo" /ean los con-untos AD`1% A% C% Ua% KD`A% U% E% W% Xa% CD`E% W% Xa% hallarA U K% K U C$ A U C. 7razar el diagrama de ven de cada resultado.INTERSE!!I%N #E !%N6*NT%SLa interseccin de dos con-untos A $ K se de(ine como el con-unto de los elementos +ue soncomunes a A $ K% esto es% de a+uellos elementos+ue pertenecen a A $ +ue tam&i,npertenecen a K. se denota"A j KP se lee 3A interseccin con K5 l diagrama de Venn uler correspondiente a la unin A j K es" l rectngulo representa al con-unto universal U% en tanto +ue A j K% es la parte som&reada.Ntese +ue si" a A [ a 1A j K2& aca&cUANCV Pensamiento Lgico Matemtico AU& K [ & 1A j K2c A $ c K [ c 1A j K2Luego% si ! es un t,rmino +ue pertenece a A $ K% entonces la interseccin de A $ K se de(ine"A j K D `! g ! A ! KaE&e'plo: /ean los con-untos AD`a% &% c% da% KD`&% c% e% (% ga% CD`e% (% ga% hallarA j K% K j C $A j C. 7razar el diagrama de venn de cada resultado.#I5EREN!I #E !%N6*NT%SLa di(erencia de dos con-untos A $ K se de(ine como el con-unto de todos los elementos delcon-unto A +ue no pertenecen al con-unto K% se denota por"A i KP se lee" 3A di(erencia de K5% o simplemente"3A menos K5l diagrama de Venn correspondiente a la di(erencia A $ K es"Ntese +ue si" a A [ a 1A R K2& K [ & 1A R K2c A $ c K [ c 1A R K2Luego% si ! es un elemento +ue pertenece a A R K% entonces se de(ine"A R K D `! g ! A ! KaE&e'plo: /ean los con-untos AD`1% A% C% Ua% KD`A% a% &% Ua% CD`a% &a% hallarARK% KRC $ ARC.7razar el diagrama de venn de cada resultado.!%(P$E(ENT% #E *N !%N6*NT%/i A $ K son con-untos tales +ue A K% se de(ine el complemento de A con respecto de K% $se denota A@% esto es"P +ueda de(inido como% el con-unto de elementos +ue no pertenecen a A% esto es"UANCV Pensamiento Lgico Matemtico AEA@ D ` ! U g ! A aN%T" Cada una de las operaciones% tiene propiedades +ue +uedan a investigar por partede los estudiantes.E6ER!I!I%S PR%P*EST%S:E&ercicio 1" sean los con-untos"Iesolver"1.2.3.4.5.E&ercicio 2" /ea U D `! N g H Q ! k 1Ha $ los su& con-untos" AD`! N g ! es primoa% KD`! U g ! es un cuadrado per(ectoa% CD`! U g ! es impara. Vallar"1. 1A U K2@ i CA. 1A R C2@ j KC. 1A j C2@ i 1K U C2@E&ercicio ;:n una compa>'a ha$ CA tra&a-adores% 1W son electricistas% AE son plomeros%1A son electricistas $ plomeros a la vez. 9:u, dantidad de tra&a-adores no son electricistasni plomeros;E&ercicio :de1HHpersonas+ueleenpor lomenosAdeCdiarios1l comercio% laIep*&lica% el Peruano2% seo&serva+ueUHleenel Comercio$laIepu&lica% EHleenlaIep*&lica $ el Peruano% $ WH leen el Comercio $ el Peruano 9Cuntos de ellos leen los Cdiarios; UANCV Pensamiento Lgico Matemtico AW#I,R(S #E !RR%$Un diagra'a de !arrollllamados as' en alusin a Lelis Carroll% es un diagrama utilizadoparaagrupar o2&etos que no presentan interseccin entre ellos. 1Por e-emploagrupacin de personas por el color de los o-os% por g,nero% etc.2.Un diagrama de Carrolles un diagramausado para agrupar cosas de una manera s'hno.N*meros $ o&-etos son categorizados como ! 1teniendo una cualidad !2 o no ! 1no teniendoeste atri&uto2. -emplo"Aun+ue los diagramas de Carroll pueden ser simples como en el e-emplo. l universo de undiagrama de Carroll se contiene dentro de las ca-as en el diagrama% como cual+uier n*merou o&-eto tiene +ue% o tener una cualidad% o no tenerla.-emplos"