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Función logaritmo.
Función Exponencial.
1
Def.-
Para x > 0, definamos la función ( )ln x , que denominamos función logaritmo natural, mediante
���( )ln x d�
�
����1
x1t
t
2
Observaciones :
3
� Notar que ln esta bién definida, ya que1t
define una
función continua en [1,x], para cada x > 0. � Ademas, ln resulta derivable con ln´(x) = 1/x.
4
� Si x, y son números reales positivos, entonces :
(a) ln(1) = 0 (b) ln(x·y) = ln(x) + ln(y). (c) ln(x/y) = ln(x) - ln(y).
(d) ln( xr ) = r ln(x) (e) ln es creciente y concava hacia abajo
(f) ���12
( )ln 2 ���1 ��� ( )ln 3
(g) ���lim���x
( )ln x y ���lim��� +x 0
( )ln x
(h) Rec(ln )= IR
5
Prueba de (a) y de (b).
(a) ���( )ln 1 d�
�
����
1
1
1t
t = 0
(b) Sea g(x) = ln(x y) , entonces g´(x) = 1
x y ·y =
1x
.
Por lo tanto g y ln tienen la misma derivada. Luego, g y ln difieren solo por una constante
ln(x y) = ln(x) + C. Sustituyendo x = 1 en esta ecuación se obtiene
ln(y) = ln(1) + C = C, pues ln(1) = 0 Por tanto,
ln(x y) = ln(x) + ln(y)
6
3.- Idea gráfica
���( )ln x d�
�
����1
x
1t
t
Como ln es continua en IR+existe un x0 que verifica ( )ln x0 =1, tal x0 se denota con la letra " e ".
7
Función Exponencial.
( Recordemos que la función ln es una biyección definida en ]0, [ con recorrido el conjunto de los números
reales. Luego, admite inversa.)
8
Def.-La función Exponencial, denotada con exp, se define como la función inversa de la función ln.
Es decir, �x � IR , �y � IR+
���y exp(x) <==> ���x ( )ln y
Es claro que : Dom(exp) = IR y Rec (exp) = IR+.
9
Algunas Propiedades Importantes
Si f(x) = exp(x), entonces:
1.- f es creciente2.- �x � IR , ���0 ( )f x .
3.- x, y � IR, f( x + y ) = f(x) f(y).4.- x, y � IR, f( x - y ) = f(x) / f(y).
5.- � � Q, ���( )f x ( )f x .
6.- ( )f x tiende a + cuando x tiende a + .
10
Nota.-Sea a � 0 y r � Q .
Como exp (ln(x)) = x, para x ��0,
entonces
���ar exp(ln ar)luego,
ar= exp( r ln a)
Luego, la siguiente definición:
11
Def.
Si a > 0 y x � IR, se define:
ax = exp( x ln a)
12
Notas.
1.- �x � IR , ex = exp( x)
2.- Si b >0 y N � IR+ se define logbN como el número
y � IR tal que���by N
13
Teor.-
Si x >0 , ln x = logex
14
Dem.-
Recordemos que ln(e) = 1 y que ex = exp( x ln e) = exp( x).
Si hacemos y = logex, entonces x = ey y ln x = y ln e = yPor tanto,
ln x = logex .
15
Nota.-
Este teorema nos dice que la función definida como ln no es más que la función logaritmo con base e (logaritmos Neperianos)
16
Teorema.-
Si f(x) = ex, entonces ���( )f ´ x ex
17
Dem. y = ex ==> x = ln y
==> ���1( )y´ xy
==> y´(x) = y
==> y´(x) = ex
.
18
Consecuencia.-
���d����ex x ���ex C
19
Funciones hiperbólicas.
20
Función Seno Hiperbólico
���senh x��ex e-x
2, x � IR
� Dominio: IR, Recorrido: IR� Es una función impar, no acotada y creciente (ver gráfica)
21
Idea Gráfica
22
Función Coseno Hiperbólico
���cosh x���ex e-x
2, x � IR
� Dominio: IR, Recorrido: [1, [ � Es una función par, no acotada y no monótona(ver gráfica)
23
Idea Gráfica
24
Nota: En términos de senh(x) y cosh(x) se definen las siguientes funciones.
F. Tangente Hiperbólico F. Secante Hiperbolico
���tanh xsenh xcosh x
, ���cosh x 0 ���sech x1
cosh x ,
���cosh x 0
F. Cotangente Hiperbólico F. Cosecante Hiperbólico
���coth xcosh xsenh x
, ���sinh x 0 ���csch x1
senh x , ���senh x 0
25
Gráficas
26
Ejercicios
(a) Pruebe que ���1 cosh x para todo x .
(b) Demostrar que lim���x
csch x = lim���x ( )
csch x =0 .
(c) Pruebe que lim���x ( )
tanh x = -1
27
Algunas Propiedades
Se verifican las siguientes relaciones1.- ��cosh2 x sinh2 x = 1
2.- ���tanh2 x sech2 x = 1
3.- ��coth2 x csch2 x = 14.- ���( )senh ���x y ���senh x cosh y cosh x senh y5.- ���( )cosh ���x y ���cosh x cosh y senh x senh y
6.- ���( )tanh ���x y���tanh x tanh y
���1 tanh x tanh y
7.- ���cosh2 x���1 ( )cosh 2 x
2���senh2 x
��( )cosh 2 x 12
28
Derivadas de las funciones hiperbólicasSe verifican las siguientes fórmulas de derivación
1.-ddx
sinh x = cosh x 2.-ddx
cosh x = senhx
3.-ddx
tanh x = sech2 x 4.-ddx
coth x = csch2 x
5.-ddx
sech x = - sech x tanh x 6.-ddx
csch x = -csch x coth x
Dem
29
Ejercicio
Encontrar dy/dx en cada uno de los siguientes ejercicios.
(a) y = cosh(x4)
(b) y = sinh2 3 x
(c) y = tanh(ln x)
30
Integración de funciones hiperbólicas
Las anteriores fórmulas de derivación dan lugar a las correspondientes fómulas de integración
1.- d���sinh x x = cosh x +C , 2.- d�
��cosh x x = senhx +C ,
3.- d�
���sech2 x x = tanh x +C , 4.- d
�
���csch2 x x = - coth x +C?
5.- d���sech x tanh x x = -sech x +C
6.- d���csch x coth x x = - csch x +C
31
Ejercicio
Encontrar cada una de las siguientes integrales
(a) d��� ( )cosh ��2 x 3 x (b) d
����x ( )cosh x2 x
(c) d���� tanh x sech2 x x (d) d
����tanh x sech3 x x
32
Funciones Hiperbólicas Inversas
33
Función seno hiperbólico inverso: sinh-1 (o bien argsh )
Se defiene:���y sinh-1 x <==> ���x sinh y , para x � IR e y � IR
Dominio: IR, Recorrido: IR sinh-1 es: impar, no acotada y creciente.
� Se verifica:
���argsh x ( )ln ���x ���x2 1 , �� x � IR
34
Gráfico
35
Función coseno hiperbólico inverso: cosh-1 ( o bien argch)
Se defiene:���y cosh-1 x <==> ���x cosh y , para y � [0,[ e x � [1,[
Dominio: [1,[ , Recorrido: [0,[ cosh-1 es: creciente y no acotada.� Se verifica:
���argch x ( )ln ���x ��x2 1 , �� x ���
36
Gráfico
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Función tangente hiperbólico inverso tanh-1 ( o bien argth)
Se defiene:
���y tanh-1 x <==> ���x tanh y , para y � IR e x � ]-1,1[
Dominio: ]-1,1[ , Recorrido: IR
tanh-1 es: impar, no acotada y creciente y no acotada.
� Se verifica:
���argth x�
���
�
���ln
���1 x��1 x
, �� x � ]-1,1[
38
Gráfico
39
EjercicioDefinir las inversas coth-1, sech-1, csch-1 de coth, sech, csch respectivamente, y pruebe que:
(a) coth-1 x =�
���
�
���ln
���1 x��x 1
, ���1 x
(b) sech-1 x =�
���
�
���ln
���1 ��1 x2
x , ���0 x ���1
(c) csch-1 x =�
���
�
���ln ���
1x
���1 x2
x , ���x 0
Trazar las respectivas gráficas
40
Derivada de las funciones hiperbólicas inversas
Se verifican las siguientes fórmulas de derivación:
1.-ddx
[ sinh-1 x] =1
���1 x2 , � x
2.-ddx
[ cosh-1 x] =1
��x2 1 , x � 1
3.-ddx
[ tanh-1 x] =1
��1 x2 , x < 1
41
Ejercicio. Pruebe que:
1.-ddx
[ coth-1 x] =1
��1 x2 , x > 1
2.-ddx
[ sech-1 x] = 1
x ��1 x2 , 0 � x � 1
3.-ddx
[ csch-1 x] = 1
x ���1 x2 , ���x 0
42
EjemploCalcular f ´(x) si:
(a) f(x) = x2 ( )argch 3 x .
(b) f(x) = e2x ( )argsh ��3 x 2
(c) f(x) = argsh2 3 x
43
Ejercicios Calcular cada una de las siguientes integrales
(a) d�
�
����
2
5
1
��x2 1x (b) d
�
�
����
5
8
1��16 x2 x
(c) d�
�
����0
3
1
��16 x2 x
44
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