LUIS GONZALO PULGARÍN R lugopul@gmail.com Polígonos Luis Gonzalo Pulgarín R

LUIS GONZALO PULGARÍN R

lugopul@gmail.com

PolígonosLuis Gonzalo Pulgarín R

Es la figura que está formada por segmentos de recta. POLI significa MUCHOS Y GONOS significa Ángulos.

La interseción de dos segmentos de recta o lados de un Polígono determina el ángulo.

Es la figura que está formada por segmentos de recta. POLI significa MUCHOS Y GONOS significa Ángulos.

La interseción de dos segmentos de recta o lados de un Polígono determina el ángulo.

Segmentos de recta

Ángulos

:

Vértice

Lado

Superficie o área

Para hallar el Perímetro se suman todos sus lados

(1)

(1)

(2)

(2)

(3)

(3)

(4)

(4)

(5)

(5)

Apotema(Distancia del centro del polígono al centro de un lado)

Polígonos RegularesEs aquella figura que tiene todos sus lados de igual

longitud(congruentes: iguales) y los ángulos internos de la misma amplitud

Ejemplos

Polígonos Irregulares Si los lados de un polígono tienen diferentes medidas y

sus ángulos interiores no son congruentes(iguales) se

llaman polígonos irregulares. Ejemplos

Clases de PolígonosPodemos clasificar los polígonos por:

El número de lados que tiene. Dibujar cada figura según el número de sus lados: dejar 3 o 4 renglones para cada dibujo.

•3 lados – TRIÁNGULO

•4 lados – CUADRILÁTERO

•5 lados – PENTÁGONO

•6 lados – HEXÁGONO

•7 lados – HEPTÁGONO

•8..lados OCTÁGONO

•9 lados NONÁGONO

•10 Lados DECÁGONO

Clasificación de los polígonos por el número de lados

• Triángulo• Tiene 3 lados y 3 ángulos

CUADRILATERO4 LADOS y 4 ÁNGULOS

PENTÁGONO5 LADOS y 5 ÁNGULOS

HEXÁGONO6 LADOS Y 6 ÁNGULOS

HEPTÁGONO7 LADOS Y 7 ÁNGULOS

OCTÁGONO8 LADOS Y 8 ÁNGULOS

NONÁGONO9 LADOS Y 9 ÁNGULOS

DECÁGONO10 LADOS Y 10 ÁNGULOS

ENDECÁGONO11 LADOS Y 11 ÁNGULOS

DODECÁGONO12 LADOS Y 12 ÁNGULOS

PENTADECÁGONO15 LADOS Y 15 ÁNGULOS

01.-Polígono convexo.-Las medidas de sus ángulos interiores son agudos.

02.-Polígono cóncavo.-La medida de uno o mas de sus ángulos interiores es cóncavo.

03.-Polígono equilátero.-Sus lados son congruentes.

04.-Polígono equiángulo.-Las medidas de sus ángulos interiores son congruentes.

Triángulo : 3 lados Cuadrilátero: 4 lados Pentágono:

5 lados Hexágono: 6 lados Heptágono: 7 lados Octágono:

8 lados

Nonágono: 9 lados Decágono: 10 lados Endecágono: 11 lados Dodecágono: 12 lados Pentadecágono: 15 lados Icoságono: 20 lados

05.-Polígono regular.-Todos sus lados y ángulos son iguales(congruentes) es equilátero y a su vez equiángulo.

06.-Polígono irregular.-Sus lados tienen longitudes diferentes.

El cuadrilátero.Polígonos regulares

Luis Gonzalo Pulgarín R

Definiciones:

• Un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados.• Dos lados son opuestos si no son consecutivos.• Dos vértices son opuestos si no son consecutivos.

a

b

d

c

A

BC

D

Un cuadrilátero es un polígono que

tiene cuatro lados y cuatro ángulos.

Los lados de un cuadrilátero pueden

ser: consecutivos u opuestos. De acuerdo

a la igualdad o al paralelismo de sus

lados, podemos clasificarlos en:

DENTRO DE LOS CUADRILÁTEROS TENEMOS:

PARALELOGRAMOS NO PARALELOGRAMOS

DENTRO DE LOS PARALELOGRAMOS HAY CUATRO TIPOS:

ROMBOIDE CUADRADO

RECTÁNGULO

ROMBO

Clasificación De Los Cuadriláteros

CUADRILÁTEROS

PARALELOGRAMOS

TRAPECIOS

TRAPEZOIDES

(Tienen sus ladosOpuestos paralelos)

(Únicamente tieneParalelas sus bases)

(No tiene ladosParalelos)

RECTÁNGULOS

ROMBO

ROMBOIDE

RECTANGULAR

ISÓSCELES

ESCALENO

SIMÉTRICO

ASIMÉTRICO

CUADRADO

CUADRILONGO(4 ángulos rectos)(4 lados iguales)

(lados opuestos iguales)(4 lados iguales, 2 ángulos agudos,

2 ángulos obtusos)(lados opuestos iguales, 2 Ángulos agudos 2 obtusos)

(2 ángulos rectos)

(2 lados iguales)(lados diferentes, no tineÁngulos rectos)

(tiene sus lados iguales 2 A 2 y una de sus diagonales es eje de simetria

(no tiene lados iguales, ni ejes de simetría)

Perímetro De Un Polígono RegularEl perímetro de un polígono es la suma de las longitudes

de sus lados. Si representamos el Perímetro con la letra P , el número de sus lados con la letra L y la longitud con la

letra L. La fórmula es: P L x L

P=L x L

Para conocer el perímetro de un polígono cualquiera debemos medir y sumar las longitudes de sus lados. Algunas figuras, debido a que tienen lados iguales, tienen fórmulas fáciles y rápidas con las que podemos calcular su perímetro.

Hagamos un concurso por grupos.

1. Tiene los cuatro lados iguales:

a) Sólo el cuadrado b) Algunos rectángulos c) El cuadrado y el rombo

2. Sólo tiene sus lados iguales dos a dos:

a) El cuadrado c) El rombob) El rectángulo y el romboide

3 Sus cuatro ángulos son iguales :

a) El cuadrado b) El cuadrado, el rombo y el rectángulo

c) El cuadrado y el rectángulo

4. Sus diagonales son perpendiculares: a) El cuadrado c) El cuadrado y el romboide c) El cuadrado y el rombo

ÁREA DE UN PARALELOGRAMO = BASE ∙ ALTURA

A VECES NO ES FÁCIL CALCULAR LA BASE Y LA ALTURA DE UN PARALELOGRAMO.

ASÍ QUE TRATAREMOS DE VER FÓRMULAS QUE NOS AYUDARÁN PARA CADA CASO.

¿BASE?

¿ALTURA?

PARA FACILITARNOS EL TRABAJO MEMORIZAREMOS LA FÓRMULA DEL ÁREA DE CADA PARALELOGRAMO.

PERO ADEMÁS COMPRENDEREMOS DE DÓNDE SALE CADA FÓRMULA

COMPRENDEREMOSParalelogramo Nombre Área

cuadrado lado X lado

rectángulo

rombo

romboide

base X altura

Diagonal X diagonal

2

base X altura

Sabiendo que el área de un triángulo es:

AT = Base · altura

2

AC = 2 · AT = 2 · lado X lado

2 = lado X lado

= base X altura AR = 2 · AT = 2 · base · altura

2

Área De Un Polígono Regular

A=NoT x AT

AT=L x a2

a

NoT=NoL

A= NoL x L x a

2A= P x a

2

Área De Un Círculo

Apr=P x a2

Pc=2 x pi x R R=a

Ac=2 x pi x R x R2

Ac= pi x R2

Los polígonos son equivalentes cuando tienen la misma superficie, aunque tengan  distinta forma. Esta propiedad es de suma utilidad para calcular la superficie de  diferentes polígonos.                                

Los cuerpos geométricos se  clasifican de acuerdo a la forma de  sus caras: - Cuerpos poliedros: son  aquellos  que tienen todas sus caras  planas. Estos, a su vez, pueden  dividirse    en poliedros regulares y  poliedros irregulares. - Cuerpos  rodantes: son aquellos que tienen  por lo menos una cara    curva.

PRIMERA PROPIEDAD

Numéricamente: Lados, vértices, ángulos interiores, ángulos exteriores y ángulos centrales son iguales.

• Lados

• Vértices

• Ángulos interiores

• Ángulos exteriores

• Ángulos centrales

SEGUNDA PROPIEDAD

A partir de un vértice de un polígono, se pueden trazar (n-3 ) diagonales.

Ejemplo:

ND = (n-3) = (5-3) = 2 diagonales

TERCERA PROPIEDAD

El número total de diagonales que se puede trazar en un polígono:

2

)3n(nND

Ejemplo:

diagonales 52

)35(5ND

CUARTA PROPIEDAD

Al trazar diagonales desde un mismo vértice se obtiene (n-2) triángulos

Ejemplo:

3

2

1

Ns. = ( n – 2 ) = 5 - 2 = 3 triángulos

QUINTA PROPIEDAD

Suma de las medidas de los ángulos interiores de un polígono:

Si =180°(n-2)

Ejemplo:

180º

180º

180º

Si = 180º x número de triángulos = 180º(5-2) = 540º

Donde (n-2) es número de triángulos

Suma de las medidas de losángulos interiores del triangulo

SEXTA PROPIEDADSuma de las medidas de los ángulos exteriores de un polígono es 360º

Se = 360°

+ + + + = 360º

Ejemplo:

SEPTIMA PROPIEDAD

Al unir un punto de un lado con los vértices opuestos se obtiene (n-1) triángulos

Ejemplo:

3

2

1

4

Ns. = ( n – 1 ) = 5 - 1 = 4 triángulos

Punto cualquiera deun lado

OCTAVA PROPIEDAD

Al unir un punto interior cualquiera con los vértices se obtiene “n” triángulos

3

2

1

45

Ns. = n = 5 = 6 triángulos

Ejemplo:

NOVENA PROPIEDAD

Número de diagonales trazadas desde “V” vértices consecutivos, se obtiene con la siguiente fómula.

2

)2V)(1V(nVND

Ejemplo:

2

1

y así sucesivamente

1ra. Propiedad 2da. Propiedad

3ra. Propiedad 4ta. PropiedadSuma de las medidas de los ángulos centrales.

Sc = 360°

Medida de un ángulo interior de un polígono regular o polígono equiángulo.

n

)2n(180m

i

Medida de un ángulo exterior de un polígono regular o polígono equiángulo.

n

360em

Medida de un ángulo central de un polígono regular.

n

360cm

En un polígono, la suma de las medidas de los ángulos exteriores e interiores es 1980°. Calcule el total de diagonales de dicho polígono.

360° + 180°( n - 2 ) = 1980°

Se + Si = 1980°

Resolviendo: n = 11 ladosn = 11 lados

Número de diagonales:

2

)3n(nND

2

)3n(nND

2

) 311 ( 11ND

ND = 44ND = 44

Del enunciado:

Luego, reemplazando por las propiedades:

Problema Nº 01

RESOLUCIÓN

¿Cómo se denomina aquel polígono regular, en el cual la medida de cada uno de su ángulo interno es igual a 8 veces la medida de un ángulo externo

mi = 8(me )

Resolviendo: n = 18 ladosn = 18 lados

Polígono de 18 ladosPolígono de 18 lados

Polígono es regular:

)n

360(8

n

)2n(180

Problema Nº 02

Del enunciado:

Reemplazando por las propiedades:

Luego polígono es regular se denomina:

RESOLUCIÓN

Calcule el número de diagonales de un polígono convexo, sabiendo que el total de las diagonales es mayor que su número de lados en 75.

Resolviendo: n = 15 ladosn = 15 lados

Luego, el número total de diagonales:

2

)3n(nND

2

)3n(nND

2

) 315 ( 15ND

ND = 90ND = 90

2

) 3n ( n

ND = n + 75

= n + 75

n2 - 5n - 150 = 0

Problema Nº 03

Del enunciado:

Reemplazando la propiedad:

RESOLUCIÓN

En un polígono regular, se le aumenta un lado, la medida de su ángulo interno aumenta en 12°; entonces el número de vértices del polígono es:

Resolviendo: n = 5 ladosn = 5 lados

NV= 5 vérticesNV= 5 vértices

Polígono es regular:

Polígono original: n ladosPolígono modificado: (n+1) lados

1n

) 21n (180 12

n

) 2n (180

Número de lados = Número de vértices

Problema Nº 04

Del enunciado:

Reemplazando por la propiedad:

RESOLUCIÓN

El número total de diagonales de un polígono regular es igual al triple del número de vértices. Calcule la medida de un ángulo central de dicho polígono.

Resolviendo: n = 9 ladosn = 9 lados

mc = 40°

Polígono es regular:

2

)3n(n = 3n

Luego, la medida de un ángulo central:

n

360m c

n

360m c

9

360m c

Problema Nº 05

Del enunciado:

RESOLUCIÓN

ND = 3nReemplazando por la propiedad:

LUIS GONZALO PULGARÍN R