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MA1003 Calculo IIITema 01: Superficies y funciones vectoriales de una variable real
Parte 01: Rectas y planos
Profesor Jesus Sanchez Guevara
U.C.R.
I Semestre 2020
Jesus Sanchez Guevara ( U.C.R. ) MA1003: T01P01 rectas y planos I Semestre 2020 1 / 11
En esta clase
1 Introduccion a MA1003.
2 Herramientas de algebra lineal.
3 Rectas y planos.
Introduccion a MA1003
¿De que se trata el curso de Calculo III?
o Se adaptan las tecnicas de tratamiento defunciones de una variable para trabajar enproblemas de varias variables.
Estructura del curso
El curso se divide en las siguientes partes:
1 Estudio de las regiones en el plano y elespacio.
2 Derivacion en varias variables yaplicaciones.
3 Integracion en varias variables.
4 Aplicaciones de integracion.
Jesus Sanchez Guevara ( U.C.R. ) MA1003: T01P01 rectas y planos I Semestre 2020 2 / 11
Definicion
1 Denotamos por R2 al conjunto
Rˆ R “ tpa, bq : a, b P Ru
2 Denotamos por R3 al conjunto
Rˆ Rˆ R “ tpa, b, cq : a, b, c P Ru
3 Denotamos por Rn al conjunto
Rˆ¨ ¨ ¨ˆR “ tpa1, . . . , anq : a1, . . . , an P Ru
Representacion grafica
o Graficar algunos puntos en R2 y R3
(1,2,3), (1,-2,3), (0,0,2)
Usar Geogebra.
Distancia
Dados A “ pa1, a2, a3q y B “ pb1, b2, b3q, ladistancia entre A y B es el numero real
dpA,Bq “b
pb1 ´ a1q2 ` pb2 ´ a2q
2 ` pb3 ´ a3q2
Ejemplo, esfera de R3
Determine los puntos P “ px , y , zq en R3 talesque dpO,Pq “ r , con r ą 0 y dondeO “ p0, 0, 0q (llamado origen).
dpO,Pq “ r ôb
px ´ 0q2 ` py ´ 0q2 ` pz ´ 0q2 “ r
ô x2 ` y2 ` z2 “ r2
Esta es la ecuacion de una esfera de radio rcentrada en el origeno Graficar en Geogebra
x*x+y*y+z*z=4, (0,0,2), (0,-2,0)
Jesus Sanchez Guevara ( U.C.R. ) MA1003: T01P01 rectas y planos I Semestre 2020 3 / 11
Definicion
Un vector (se escribe ~v) es un objeto con unadireccion y una longitud (escrita }~v}) y serepresenta por una flecha.En el sistema coordenado se puede representarpor una tripleta ~v “ pv1, v2, v3q, conv1, v2, v3 P R. Dando a entender que ~v esrepresentado por la flecha desde el origen alpunto pv1, v2, v3q.
o¿Cual es la diferencia entre un punto y unvector en R3?
Definicion
Dados dos puntos A “ pa1, a2, a3q yB “ pb1, b2, b3q, se llama vector derepresentacion del segmento de A a B, al vector~v “ pb1 ´ a1, b2 ´ a2, b3 ´ a3q. Tambien se
denota ~AB.
o En general ~AB ‰ ~BA
Operaciones con vectores
1 Multiplicacion de un vector ~v “ pv1, v2, v3q
por un escalar c P R:
c~v “ pcv1, cv2, cv3q
2 Suma de vectores, si ~v “ pv1, v2, v3q y~w “ pw1,w2,w3q, entonces
~v ` ~w “ pv1 ` w1, v2 ` w2, v3 ` w3q
o Representacion grafica de ambas operaciones.o Ver diagonales ~A` ~B, ~A´ ~B deparalelogramo determinado por ~A y ~B
Vectores canonicos
1 ~e1 “ i “ p1, 0, 0q
2 ~e2 “ j “ p0, 1, 0q
3 ~e3 “ k “ p0, 0, 1q
o Todo vector ~v “ pv1, v2, v3q se puedeexpresar como una unica combinacion lineal delos vectores canonicos ~v “ v1 i ` v2 j ` v3k.Notar que v1 i ` v2 j es una proyeccion sobre elplano XY .
Jesus Sanchez Guevara ( U.C.R. ) MA1003: T01P01 rectas y planos I Semestre 2020 4 / 11
Norma de un vector
La norma o magnitud de un vector~v “ pv1, v2, v3q es
}~v} “b
v21 ` v2
2 ` v23
Un vector ~u se dice unitario si }~u} “ 1.
Algunas propiedades:
1 }c~v} “ |c|}~v}.
2 Si }~v} ‰ 0, entonces ~u “ ~v}~v}
es unitario.
o Explicar la formula de la norma comogeneralizacion del teorema de Pitagoras.
Definicion
Dos vectores ~v y ~w se dicen paralelos si existec P R tal que ~v “ c ~w .
o ~v y ~v}~v}
son paralelos.
o Representar graficamente vectores paralelos.
Definicion
Si ~v “ pv1, v2, v3q y ~w “ pw1,w2,w3q, suproducto punto es el numero real
~v ¨ ~w “ v1w1 ` v2w2 ` v3w3
Teorema
~v ¨ ~w “ }~v}}~w} cospθq, donde 0 ď θ ď π.
o Verificacion: Si ~v “ ~w se cumple laafirmacion:
~v ¨ ~w “}~v}}~w} cosp0q
“}~v}2 “ v21 ` v2
2 ` v23
En general, se hace el triangulo con lados ~v y ~wy se aplica la ley de cosenos.
}~v ´ ~w}2 “ }~v}2 ` }~2}2 ´ 2}~v}}~w} cospθq
Desarrollando
}~v ´ ~w}2 “ p~v ´ ~wqp~v ´ ~wq
“ ~v~v ´ 2~v ~w ` ~w ~w
Jesus Sanchez Guevara ( U.C.R. ) MA1003: T01P01 rectas y planos I Semestre 2020 5 / 11
Propiedades
1 ~v ¨ ~v “ }~v}2.
2 ~v ¨ ~w “ ~w ¨ ~v .
3 ~v ¨ p~w ` ~uq “ ~v ¨ ~w ` ~v ¨ ~u.
4 pc~vq ¨ ~w “ ~v ¨ pc ~wq “ cp~v ¨ ~wq.
Aplicaciones del producto punto:
Definicion
El angulo entre dos vectores no nulos ~v y ~w esel unico numero real θ entre 0 y π tal que:
cospθq “~v ¨ ~w
}~v}}~w}
Ejemplo
Considere el triangulo de vertices P1 “ p1, 0, 0q,P2 “ p0, 2, 0q y P3 “ p0, 0, 3q. ¿Cual es el valordel angulo en P1? Hacer en pizarra.
Observacion
1 ~v ¨ ~w ą 0 implica θ ă π{2.
2 ~v ¨ ~w “ 0 implica θ “ π{2.
3 ~v ¨ ~w ă 0 implica θ ą π{2.
o Una aplicacion del producto punto: detectarortogonalidad.
Ejemplo
¿Que representa la ecuacion x ` 2y ` 3z “ 0?
o Explicar y hacer en Geogebra
x+2y+3z=0
Jesus Sanchez Guevara ( U.C.R. ) MA1003: T01P01 rectas y planos I Semestre 2020 6 / 11
o Tambien el producto punto se usa paracalcular las componentes de un vector.
Propiedad
Si ~u es un vector unitario entonces
~A ¨ ~u “ }~A} cospθq
es la componente de ~A a lo largo de ~u. Hacerdibujo.
1 ~A ¨ i es la componente a lo largo de i .
2 Pendulo: hacer el diagrama. ~F peso delpendulo, recta tangente y normal.Componente de ~F a lo largo de la rectatangente causa el movimiento.Componente de ~F a lo largo de la rectanormal causa la tension de la cuerda.
Determinantes
1 (R2) Si ~v “ pv1, v2q y ~w “ pw1,w2q
vectores del plano, entonces
detp~v , ~wq “ det
ˆ
v1 w1
v2 w2
˙
“ v1w2 ´ w1v2
Interpretacion: ˘ area del paralelogramodeterminado por los vectores.
2 (R3)Si ~u “ pu1, u2, u3q, ~v “ pv1, v2, v3q y~w “ pw1,w2,w3q vectores del espacio,entonces
detp~u, ~v , ~wq “ det
¨
˝
u1 v1 w1
u2 v2 w2
u3 v3 w3
˛
‚
“ u1
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
v2 w2
v3 w3
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
´ v1
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
u2 w2
u3 w3
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
` w1
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
u2 v2
u3 v3
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
Interpretacion: ˘ volumen delparalelepıpedo determinado por losvectores.
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Producto cruz
Si ~A “ pa1, a2, a3q y ~B “ pb1, b2, b3q vectoresdel espacio, entonces
~Aˆ ~B “
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
i j ka1 a2 a3
b1 b2 b3
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
“
ˆˇ
ˇ
ˇ
ˇ
a2 a3
b2 b3
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
,´
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
a1 a3
b1 b3
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
,
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
a1 a2
b1 b2
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
˙
Propiedades
1 }~Aˆ ~B} “ area del paralelogramo
determinado por ~A y ~B.
2 ~Aˆ ~B es normal al plano que contiene a ~Ay ~B.
3 p~Aˆ ~Bq ¨ ~A “ 0.
4 p~Aˆ ~Bq ¨ ~B “ 0.
5 ~Aˆ ~B “ ´~B ˆ ~A.
6 ~Aˆ ~A “ ~0.
7 La direccion de ~Aˆ ~B se conoce con laregla de la mano derecha.
Ejemplo
Con la regla de la mano derecha determinar
1 i ˆ j .
2 i ˆ k.
3 j ˆ k.
Propiedad
Volumen de paralelepıpedo determinado por ~A,~B y ~C :
V “ detp~A, ~B, ~Cq “ ~A ¨ p~B ˆ ~Cq
Verificacion:
V “Base ¨ Altura
“}~B ˆ ~C} ¨ Altura
(Altura = componente de ~A sobre normal plano
“ ~A ¨ ~u “ ~A ¨ p~B ˆ ~Cq{}~B ˆ ~C})
ñV “ ~A ¨ p~B ˆ ~Cq
Jesus Sanchez Guevara ( U.C.R. ) MA1003: T01P01 rectas y planos I Semestre 2020 8 / 11
Ecuacion normal de un plano
P “ px , y , zq esta en el plano π que pasa por
P0 “ px0, y0, z0q y tiene normal ~N “ pa, b, cq si
y solo si ~N ¨ p ~P0Pq “ 0. Lo cual se desarrolla en:
ax ` by ` cz “ d
Donde d “ ~N ¨ ~P0 “ ax0 ` by0 ` cz0. A estetipo de ecuacion se le llama ecuacion normal.
Ejemplo
Halle la ecuacion normal del plano que pasa porlos puntos A “ p1, 0, 0q, B “ p0, 1, 0q yC “ p0, 0, 1q.
o Graficar en Geogebra.
Grafique
1 6x ` 3y “ 6
2 6x “ 6
Rectas
P “ px , y , zq esta en la recta L que pasa por lospuntos P0 “ px0, y0, z0q y P1 “ px1, y1, z1q si y
solo si P “ P0 ` t ~P0P1, donde t P R.
La ecuacion vectorial de una recta se puedereescribir como:
1 Ecuaciones parametricas:
$
&
%
x “ x0 ` tpx1 ´ x0q
y “ y0 ` tpy1 ´ y0q
z “ z0 ` tpz1 ´ z0q
Donde t es un parametro en R.
2 Ecuaciones simetricas:
x ´ x0
a“
y ´ y0
b“
z ´ z0
c
Donde ~v “ pa, b, cq puede ser cualquiervector director de la recta.
Jesus Sanchez Guevara ( U.C.R. ) MA1003: T01P01 rectas y planos I Semestre 2020 9 / 11
Ejemplo
Considere los planos:
1 π1 :
-2x+3y+7z=-2
2 π2 :
x+2y-3z=-5
Responda las preguntas:
1 ¿Se intersecan? ¿Como saberlorapidamente? R/ Sus normales no deben
de ser paralelas, i.e. ~N1 ˆ ~N2 ‰ 0.
2 ¿Que forma esta interseccion? Graficarlo
3 Encuentra las ecuaciones parametricas dela recta que forman. Hacerlo de dosformas, resolviendo el sistema y luego, conla direccion ~N1 ˆ ~N2.
1 Punto de π1: P0 “ p0,´3, 1q.
2 ~N1 ˆ ~N2 “ p´2, 3, 7q ˆ p1, 2,´3q “p´23, 1,´7q
Para completar las propiedades:
1 Capıtulo 5: Jesus Sanchez. Algebra linealfundamental. Editorial UCR. 2020.
2 Anexo 4: Miguel Walker. Calculo en variasvariables.
Jesus Sanchez Guevara ( U.C.R. ) MA1003: T01P01 rectas y planos I Semestre 2020 10 / 11
F I N
Jesus Sanchez Guevara ( U.C.R. ) MA1003: T01P01 rectas y planos I Semestre 2020 11 / 11
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