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Maestría en Transporte Estadística
Capítulo 1
Objetivos
• ¿Cómo se determinan las magnitudes para planificación de transporte, operación de transporte, etc? (el problema de la estimación, el problema de la verificación de hipótesis)
Objetivos
• ¿Cómo se determina la relación entre una variable dependiente y una o mas variables regresoras? (el problema de regresión lineal)
Objetivos
• ¿Cómo tratar problemas que se apartan de los supuestos de la regresión lineal? (el problema de las transformaciones, ponderaciones, autocorrelación, etc)
Objetivos
• ¿Cómo se analizan variables dicotómicas? (Modelos Logit, probit, etc)
• ¿Cómo se analizan tablas de clasificación? (el problema de estimación en tablas de contingencia)
Objetivos
• ¿Eso es todo lo que hay que decir? (Resumen de series de tiempo y tópicos avanzados de estadística. Conceptos de simulación)
Variables Aleatorias
• Concepto de Variable Numérica– Concepto de realización– X [-;]; ó X [0;]; ó X N
• Concepto de Variable Aleatoria– X [-;]; ó X [0;]; ó X N, con algunas restricciones
• Concepto de realización• Concepto de Evento y Variable Aleatoria
Conceptos de probabilidad
• Eventos: Espacio y eventos– Variables aleatorias asociadas a eventos
• Concepto de probabilidad– Sea una evento A con un valor x de la variable asociada X• P(A) = P(x)
Funciones de ProbabilidadFunciones de Densidad
• Funciones de probabilidad• Funciones de densidad de probabilidad• Funciones de probabilidad acumulada• Funciones de densidad acumulada
Funciones de ProbabilidadFunciones de Densidad
Descripción de Variables Aleatorias
• Medidas descriptivas centrales– Valor esperado o Media– Mediana– Moda
• Medidas descriptivas de dispersión– Varianza (desviación estándar)– Rango
Descripción de Variables Aleatorias
Descripción de Variables Aleatorias
• Momentos• Kurtosis (Curtosis) y Asimetría• Otros
– Cuantiles y Percentiles
Algunas funciones de probabilidad
• Binomial– X {0, 1, 2, 3, ..., n}
Algunas funciones de probabilidad
• Binomial– X {0, 1, 2, 3, ..., n}– Media =np (p:proporción)– Varianza 2=np(1-p)– Coeficiente de Asimetría (1-2p)/(np(1-p))1/2
– Curtosis relativa 3+(1-6p(1-p))/(np(1-p))
Algunas funciones de probabilidad
• Poisson– X {0, 1, 2, 3, ...}
Algunas funciones de probabilidad
• Poisson– X {0, 1, 2, 3, ...}– Media = – Varianza 2= – Coeficiente de Asimetría 1/ 1/2
– Curtosis relativa 3+1/
Algunas funciones de probabilidad
• Geométrica• Hipergeométrica• Binomial negativa
Algunas funciones de distribución
• Normal– X [-;]
Algunas funciones de distribución
• Normal– X [-;]– Media -<<– Varianza 2>0– Coeficiente de Asimetría 0– Curtosis relativa 3
• Normal
• Normal
Algunas funciones de distribución
• Uniforme– X [a;b]
Algunas funciones de distribución
• Uniforme– X [a;b]– Media (a+b)/2– Varianza (b-a)2/12– Coeficiente de Asimetría 0– Curtosis relativa 9/5
Algunas funciones de distribución
• Gamma• f(x) = {(x)K-1e-x} /(K)
• Exponencial (negativa)
• Weibull• t• F
Algunas funciones de distribución
• Pearson Tipo III (Gamma, Erlang, Exponencial)
En forma genérica es Gamma, si k es entero se denomina de Erlang, y degenera en exponencial si k=1
MODELO MATEMATICO GENERALIZADO
•Si = 0 tenemos distribución gammaf (t) = [/(K)][t]K-1e-t
•Si además K = entero positivo tenemos distribución Erlangf (t) = [ / (K – 1) !] ( t )K-1 e-t
•Si además K = 1 tenemos distribución exponencial f (t) = e-t
•Si K = 1 y = 0 entonces = 1 / t*f (t) = e-t/t* ; exponencial•Si K = 1 y 0 entonces = 1 / (t* - )•f (t) = e-(t-)/(t*-) ; exponencial desplazada
Interrogante
• ¿Porque la distribución de Gauss o Normal es tan famosa?
• Ley de los grandes números: Teorema central del límite.
Maestría en Transporte¡Otra vez Estadística!
Capítulo 1Clase 2
Funciones de Probabilidad Conjunta
• Probabilidad conjunta• Probabilidad marginal• Probabilidad condicional• Eventos independientes
Funciones de Probabilidad Conjunta
Funciones de Probabilidad Conjunta
Probabilidad condicional
Funciones de Probabilidad Conjunta
Variables Independientes
Concepto de muestra
• Sean X1, X2, ..., Xn una muestras i.i.d.– Significado– Independiente– Aleatoria (probabilidad igual a todas las posibles muestras)
– Idénticamente distribuidas • Distribución “idéntica” significa forma de la distribución.
• No implica igualdad de parámetros
Concepto de muestra
• Sean X1, X2, ..., Xn una muestras i.i.d.
Xn
X
X
...
2
1
5.3
...
6.1
0.3
1.3
...
6.1
8.2Muestras posibles
¿Significa X1, X2, ..., Xn tienen la “misma” distribución? Depende...
Etc...
Concepto de muestra
Descripción de datos muestrales
• Medidas descriptivas• Promedio o media• Mediana• Varianza muestral• DE• Rango intercuartílico• MAD (MAD/0,675)• Deciles
Descripción de datos muestrales
CONTROL
1.61.41.21.0.8.6.4
EX
P
50
40
30
20
10
0
Descripción de datos muestrales
30N =
CONTROL
1
EX
P
60
50
40
30
20
10
0
-10
3
Descripción de datos muestrales
EXP
50.045.040.035.030.025.020.015.010.05.00.0
7
6
5
4
3
2
1
0
Std. Dev = 14.24
Mean = 16.8
N = 30.00
Descripción de datos muestrales
0.00 10.00 20.00 30.00 40.00 50.00
Valores observados
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00
Dis
trib
uci
ón
em
pír
ica
Distribución empírica
Descripción de datos muestrales
Exponential P-P Plot of EXP
Observed Cum Prob
1.00.75.50.250.00
Exp
ect
ed
Cu
m P
rob
1.00
.75
.50
.25
0.00
Exponential Q-Q Plot of EXP
Observed Value
706050403020100-10
Exp
ect
ed
Exp
on
en
tial V
alu
e
70
60
50
40
30
20
10
0
-10
Descripción de datos muestrales
30N =
CONTROL
1
95
% C
I E
XP
24
22
20
18
16
14
12
10
Descripción de datos
muestrales
EXP Stem-and-Leaf Plot Frequency Stem & Leaf
6.00 0 . 001144 4.00 0 . 5666 8.00 1 . 01111233 3.00 1 . 559 2.00 2 . 02 1.00 2 . 8 1.00 3 . 3 1.00 3 . 8 3.00 4 . 024 1.00 Extremes (>=49)
Stem width: 10.00 Each leaf: 1 case(s)
Distribuciones de Muestreo
• Concepto de “estadística”– Función de X– Ejemplo ¯X ¯ = (1/N) X [1,1,1,...,1]’– ¯X ¯ = fc(X)– ¯X ¯ es v.a.– ¿Cual es la distribución de ¯X ¯?
Distribuciones de Muestreo
• Suma de Variables Aleatorias• Diferencia de VA
Y ~N(aiXi, aii2)
Distribuciones de Muestreo
• Suma de cuadrados de variables aleatorias
• sea Xi~N(, 2) i=1, 2,...,n• sea Zi= (Xi- )/ • sea Y = Zi2
• Entonces Y~n2
Distribuciones de Muestreo
• Suma de cuadrados de variables aleatorias
• sea X~ n2
• sea Z~N(0,1) • sea T=Z/(X/n)• Entonces Y~tn
Distribuciones de Muestreo
• Suma de cuadrados de variables aleatorias
• sea X~ n2
• sea Z~ m2
• sea T=(X/n)/(Z/m)
• Entonces Y~Fn,m
Distribución de la Media
Distribución de la Media
Distribución de S2
Distribución de S2 (Chi2)
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0 20 40 60
3
5
10
20
Distribución t (Student)
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
0.014
0.016
0.018
-4 -2 0 2 4
Normal
1
2
3
20
Distribución F (Snedecor)
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0 0.5 1 1.5 2 2.5
v1=10-v2=10
v1=20-v2=10
v1=10-v2=20
v1=30-v2=30
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