View
13
Download
1
Category
Preview:
Citation preview
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PANAMÁ
FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL
INTRODUCCION A LA FOTOGRAMETRIA
POR
Martín E. Candanedo G., Ph. D.
* * * *
2013
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 2
ABSTRACTO
El campo de desempeño del Ingeniero Civil impone la necesidad, a este
profesional, de manejar los conceptos básicos de la Fotogrametría.
Tradicionalmente estos conceptos han sido aplicados para el diseño,
planeamiento, ejecución, supervisión y verificación de proyectos típicos de la
Ingeniería Civil. Proyectos tales como el diseño de carreteras, los levantamientos
catastrales, obtención de datos geográficos para el manejo de cuencas
hidrográficas y otros.
En el presente documento se introduce al estudiante al desarrollo y evolución de la
Fotogrametría, sus teorías, equipos y tecnología. Se puede apreciar como el
desarrollo de más y mejores equipos influyen en el desarrollo de nuevas
aplicaciones de la Fotogrametría.
La Fotogrametría análoga es estudiada con el objetivo de ayudar al estudiante a
establecer un punto de partida en el desarrollo de la Fotogrametría como disciplina
de la Ingeniería Geomática de hoy en día. Así como el desarrollo de la fotografía
aérea y la clasificación de la Fotogrametría.
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 3
Los modelos matemáticos presentados aquí apoyan los conocimientos de la
Fotogrametría Analítica y Digital. Entre los modelos aquí revisados el estudiante
estudiará las transformaciones de coordenadas entre la imagen y el estéreo
trazador. Transformaciones que son validas no sólo en relaciones fotografía aérea
versus mapas sino en imágenes digitales (i.e. imágenes de satélites) versus
mapas.
Finalmente se presenta un capítulo donde el estudiante podrá aplicar los
conocimientos adquiridos en proyectos fotogramétricos, adquiriendo la experiencia
necesaria para el manejo, planeamiento y análisis de este tipo de proyectos
especiales.
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 4
Dedicado a mis estudiantes quienes representan el reto e inspiración para el
mejoramiento permanente.
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 5
Contenido
Introducción ..................................................... 9
1.1 Eras de la Fotogrametría. ................................... 11
1.1.1 Fotogrametría Pionera. .............................. 11
1.1.2 Fotogrametría Análoga. .............................. 12
1.1.3 Fotogrametría Analítica. .............................. 13
1.1.4 Fotogrametría Digital. ............................... 14
1.2 Problemas en la Fotogrametría de Hoy en día. .................... 15
2. Orientación de un Estéreo-par ..................................... 17
2.1 Orientación Analítica ...................................... 18
2.2 Orientación Empírica ...................................... 19
2.2.1 Orientación Relativa ................................ 21
2.2.1.1 Orientación Relativa Empírica en Trazadores
Análogos ........................................ 26
2.2.1.1.1 Orientación Relativa Independiente: ............... 30
2.2.1.1.2 Orientación Relativa Dependiente ................. 34
2.3 Superficie Crítica ......................................... 36
2.4 Deformaciones del Modelo .................................. 37
2.5 Orientación Absoluta ...................................... 45
3.BASES GEOMÉTRICAS DE LAS FOTOGRAFÍAS AÉREAS ................. 51
DEFINICIÓN: .................................................... 51
3.1 CLASIFICACIÓN DE FOTOGRAFÍAS .......................... 51
3.1.1 Según la Orientación de la Cámara Fotográfica .............. 52
3.1.1.1 Fotos Verticales .................................. 52
3.1.1.2 Fotos Casi Verticales ............................. 52
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 6
3.1.1.3 Fotos Oblicua (Baja) ............................. 52
3.1.1.4 Fotos Oblicuas (Altas) ............................ 52
3.1.1.5 Fotos Convergentes ............................. 53
3.1.2 Según el tipo de emulsión utilizada. ...................... 53
3.1.2.1 Fotografía en Pancromático (Blanco y Negro) ........... 53
3.1.2.2 Fotografía a Color ............................... 53
3.1.2.3 Fotografía Infrarroja en Blanco y Negro ................ 54
3.1.2.4 Fotografía Infrarroja a Color ........................ 54
3.2 CLASIFICACIÓN DE CÁMARAS FOTOGRAMÉTRICAS ............. 54
3.2.1 Cámaras de ángulo Angosto ........................... 55
3.2.2 Cámaras de Ángulo Normal ........................... 55
3.2.3 Cámaras Gran Angular ............................... 55
3.2.4 Cámaras Gran Angulares ............................. 56
4. ESCALA FOTOGRÁFICA ......................................... 57
5. ECUACIÓN DE COLINEARIDAD .................................... 60
6. MEDIDAS DE IMAGEN EN COORDENADAS ........................... 64
6.1 COMPARADORES ........................................ 64
6.2 ESTÉREO-COMPARADORES ............................... 65
6.3 MONO-COMPARADOR .................................... 67
6.4 AUTO SET-1: UN COMPARADOR AUTOMÁTICO ................. 70
6.5 APARATOS PARA TRANSFERENCIA DE PUNTOS ................ 74
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 7
7.0 REDUCCIÓN DE IMAGEN EN COORDENADAS ....................... 74
7.1 TRANSFORMACIÓN DENTRO DEL SISTEMA DE IMAGEN .......... 75
7.1.1 Modelo de Transformación de Affine ..................... 76
7.1.2 Modelo de Transformación Bilineal ...................... 77
7.2 CORRECCIÓN EN LA DISTORSIÓN DE LENTES ................. 78
7.3 CORRECCIÓN DE LA REFRACCIÓN ATMOSFÉRICA .............. 80
7.4 CORRECCIÓN PARA LA CURVATURA DE LA TIERRA ............. 83
7.4.1 FOTOGRAFÍAS TERRESTRES ........................ 83
7.4.2 FOTOGRAFÍAS AÉREAS VERTICALES .................. 86
8.0 MODELOS MATEMÁTICOS ...................................... 90
8.1 Transformación de proyección ............................... 96
8.2 Transformación Lineal Directa (DLT) ........................... 98
8.3 Ecuación de Colinearidad ................................... 104
8.3.1 Linearización de la Ecuación de Colinearidad ............... 110
8.4 Ajuste de Bloques ........................................ 114
9.0 SELECCIÓN DE PUNTOS PARA LA FOTOGRAMETRÍA ANALÍTICA ........ 117
9.1 PUNTO NATURAL ........................................ 117
9.2 PUNTOS SEÑALADOS ..................................... 118
9.3 PUNTOS ARTIFICIALES .................................... 122
9.4 PUNTOS FICTICIOS....................................... 122
9.5 LOCALIZACIÓN DE PUNTOS EN UN BLOQUE DE
FOTOGRAFÍAS AÉREAS ................................. 123
Conclusión ..................................................... 124
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 8
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 9
Introducción
El principal objetivo del presente trabajo es el de exponer a los estudiantes de la
carrera de Ingeniería Civil a los diversos conceptos relacionados con los Principios
de Fotogrametría; el de proveerlos con una visión retrospectiva que se remonta
desde los inicios de la Fotogrametría como ciencia hasta el presente donde la
Fotogrametría Digital es utilizada para modelar tridimensionalmente la superficie de
planetas inimaginables de alcanzar, o para modelar el cuerpo humano y así
garantizar el éxito en la realización de operación en donde la precisión de un corte
define la restitución completa del paciente o la perdida total de algún sentido vital
para el buen desenvolvimiento del ser humano.
Se listan una serie de equipo utilizados en Fotogrametría de forma tal que el
estudiante se vea relacionado con la terminología, utilización y aprovechamiento
de los mismos.
Por otro lado, el trabajo presenta de manera específica las teorías establecidas
durante el período de la Fotogrametría Análoga por considerarse constructivo y
necesario para el mejor aprovechamiento de las desarrolladas durante la fase de la
Fotogrametría Analítica.
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 10
Se refuerzan los conceptos relacionados con los ajustes de mínimos cuadrados,
específicamente, el modelo de Gauss-Markov de ecuaciones de observación
utilizados muy comúnmente por fotogrametristas, geodéstas, cartógrafos, etc., para
el desarrollo y solución de modelos matemáticos tanto lineales como no lineales,
estos últimos linearizados a través de las series de Taylor.
Finalmente, también se introducen conceptos relacionados con tecnología de
actualidad como lo son los Sistemas de Posicionamiento Global (GPS) y los
Sistemas de Información Geográfica (SIG.), lo que le permite al estudiante estar al
tanto de los avances técnico-científicos del momento.
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 11
1.1 Eras de la Fotogrametría.
Al igual que cualquier ciencia, la Fotogrametría ha pasado a través de una serie de
etapas o períodos en los cuales ésta fue avanzando y siendo más especializada
con el fin de satisfacer las necesidades del hombre. Cada una de estas etapas o
eras han sido marcadas por algún tipo de descubrimiento o tragedia alrededor del
mundo. De esta forma la Fotogrametría está dividida en cuatro generaciones, las
cuales son identificadas por los instrumentos y técnicas aplicadas.
1.1.1 Fotogrametría Pionera.
La primera generación de la Fotogrametría cubre la segunda mitad del siglo XIX
(1840 - 1900) y está marcada con la presentación de los primeros resultados
fotográficos por el señor Lois Daguerre en 1837. Es importante resaltar que el
hombre usó la fotografía en este período para obtener Posicionamiento
tridimensional de puntos. En otras palabras, el hombre usó la fotografía para hacer
mediciones en tres dimensiones con la misma precisión en el que lo hacia en
mediciones terrestres. Esta primera generación de la Fotogrametría es llamada la
Fotogrametría pionera porque fue durante este período que el uso de la estéreo-
fotografía fue introducido (1843) y las fotografías aéreas fueron tomadas por
primera vez haciendo uso de globos de aire caliente. En adición, el primer texto de
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 12
Fotogrametría fue escrito. Esta primera generación de la Fotogrametría fue el
punto de partida para el desarrollo del concepto del uso de la Fotogrametría con el
propósito de producir mapas aunque dicho concepto no estaba aún
completamente maduro.
1.1.2 Fotogrametría Análoga.
La segunda generación de la Fotogrametría es llamada la Fotogrametría Análoga,
la cual se extiende desde 1900 hasta 1950. En esta era los estéreo trazadores
análogos (Analog Plotters) fueron usados para establecer la relación entre
imágenes y objetos (modelos) usando proyecciones ópticas o mecánicas. Los
procesos de orientación interna, relativa y absoluta, así como también la
compilación de mapas tuvo que ser hecho por el operador. Otra característica de
esta segunda generación fue el amplio uso de cámaras aéreas, las cuales fueron
usadas durante la primera guerra mundial en misiones de reconocimiento. Este
hecho marca la segunda generación de desarrollo de la Fotogrametría.
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 13
1.1.3 Fotogrametría Analítica.
La tercera generación de la Fotogrametría ha sido llamada la Fotogrametría
Analítica, la cual inicia en Agosto de 1957 cuando U. H. Helava introduce el
concepto del Estéreo Trazador Analítico (Analytical Plotter). Sin embargo, el
principal evento en la Fotogrametría Analítica sucedió hasta 1976 cuando en un
congreso en Helsinki fueron presentados ocho modelos de estéreo trazadores
analíticos por siete compañías diferentes. Debido al hecho de que las
computadoras estuvieron a mayor disponibilidad, los estéreo trazadores analíticos
fueron usados para resolver algunos de los problemas que habían sido
encontrados durante los primeros períodos. Un ejemplo de esto fue el uso de
computadoras para realizar la reducción analítica de las coordenadas dadas por la
máquina en coordenadas de la imagen (foto) después de haber sido medidas las
marcas fiduciales en el sistema de coordenadas de la máquina e incorporando la
información de calibración de la cámara.
Otro ejemplo del uso de computadoras en ésta tercera era de la Fotogrametría fue
la ejecución de la orientación relativa de manera analítica después de haber
medido las coordenadas de los puntos de Von Grubber en el sistema de
coordenadas de la imagen de dos fotografías traslapadas. Además, a través del
uso de las computadoras y la implementación de programas, las computadoras
pudieron realizar la orientación absoluta en el sistema de coordenadas del terreno
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 14
con la ayuda de puntos de control sobre el terreno. Durante este período la
investigación fue concentrada en: aéreo-triangulación de modelos independientes,
ajuste con el uso de polinomios, ajuste de bloques. Todas estas técnicas fueron
dispersas alrededor del mundo, lo que incorporó que mas tareas sean realizadas
por los computadoras. Debido a los muchos desarrollos en la capacidad de las
computadoras a este período se le denominó el período de la Fotogrametría
Asistida por Computadoras.
1.1.4 Fotogrametría Digital.
Finalmente, La Fotogrametría Digital, la cuarta generación es marcada por el
procesamiento de imágenes digitales las cuales pueden ser obtenidas de forma
directa, a través de la percepción remota del terreno, o de forma indirecta, a través
de fotografías aéreas existentes. La Fotogrametría Digital tiene sus raíces en los
años 50's pero no fue sino hasta los 80's cuando las computadoras ofrecieron el
poder suficiente para manejar las tareas tan complejas relacionadas con la
Fotogrametría Digital, las cuales se caracterizan por el gran tiempo de cómputo
que consumen.
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 15
1.2 Problemas en la Fotogrametría de Hoy en día.
Hoy en día se tiene que enfrentar dos problemas en el uso de computadoras para
el proceso de creación de mapas. El primero está relacionado con aquellas tareas
que las computadoras pueden realizar fácilmente. Es decir aquellos problemas que
pertenecen a la aplicación de la teoría en la formulación de la solución como es el
caso de la Aéreo-triangulación, Orientación Relativa y Absoluta, y la reducción de
coordenadas. Como vemos, todas estas tareas comparten un factor común, ellas
siguen un modelo matemático muy bien definido el cual, quizás, es muy difícil de
explicar a personas sin conocimiento en el campo de la Fotogrametría pero a la
vez éstos son bien fáciles de programar. El segundo tipo de problema encontrado
en la Fotogrametría Digital es aquel representado por las tareas fáciles de explicar
a personas no especializadas en las materias. Tareas que no requieren ningún
conocimiento especial sino aquellos obtenidos durante nuestros primeros años de
escuela primaria. Estas tareas están relacionadas con las funciones relacionadas a
través de la capacidad fundamental del cerebro humano. Este tipo de problema
incluye la percepción de formas, esquinas de edificios, puntos conjugados en
fotografías traslapadas. Estas tareas son extremadamente fáciles de realizar por
los humanos pero extremadamente difíciles de programar en computadoras debido
a la ausencia de modelos matemáticos que describan las tareas.
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 16
Por otro lado, la Fotogrametría Digital introduce otro problema como lo es la gran
cantidad de memoria requerida para archivar las imágenes digitales y la poca
precisión en el sistema de coordenadas del objeto debido a la limitante en el
tamaño de los píxeles (unidad mínima de resolución de la pantalla). Sin embargo,
se espera que estos problemas puedan ser resueltos próximamente en un corto
plazo. Otro problema que introduce la Fotogrametría Digital es su compleja
naturaleza, la cual incluye un sin número de disciplinas tales como: óptica,
mecánica, gráfica en computadoras, bancos de datos, sistemas expertos, patrones
de reconocimiento, procesamiento de señales e imágenes, y visión de
computadoras. Debido a este sin número de disciplinas, el investigador debe tener
una amplia gama de conocimientos para poder enfrentar los problemas
encontrados en la Fotogrametría digital. Uno de los objetivos de hoy en día en el
campo de la fotogrametría digital es la creación de la máquina de mapas, la cual
será capaz de realizar por si sola todas las tareas relacionadas con la elaboración
de mapas. Pero para consecución de este objetivo, la Fotogrametría digital deberá
resolver primero los problemas del segundo tipo.
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 17
2. Orientación de un Estéreo-par
La orientación de fotografías en un instrumento fotogramétrico es el primer
procedimiento que debe realizarse, antes que un mapa pueda ser compilado.
Debemos preguntarnos a nosotros mismos ¿por qué es esto tan importante y
por qué no podemos simplemente trazar un mapa bajo un estereoscopio de
espejos? La mayor razón para la orientación de fotografías es el hecho que es
imposible tomar fotos completamente verticales en un aeroplano. Debido a las
turbulencias el aeroplano y la cámara están siempre inclinados en ángulos
pequeños. Mediante la orientación de dos fotografías su posición y altitud es
restablecida como era durante la exposición. Esto puede realizarse mediante
una solución de un solo paso (analítica) o por un procedimiento de dos pasos el
cual es comúnmente usado por estéreo-trazadores.
En este capítulo la solución de dos pasos, consistente de orientaciones relativa y
absoluta, es discutida. Nos concentraremos en el método empírico el cual no
requiere ningún cálculo y por tanto, es usado por instrumentos análogos. La
analítica, solución de un paso, es bosquejada brevemente.
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 18
2.1 Orientación Analítica
Bajo la suposición que la orientación interior es disponible (xp , yp - punto
principal; c - distancia focal) la orientación exterior de un estéreo par debe
resolverse para doce parámetros: seis para cada fotografía:
Xo , Yo , Zo : centro de perspectiva,
, , : Ángulos de rotación.
Las ecuaciones de colinearidad constituyen el modelo matemático más popular
para este propósito. Ellas expresan las coordenadas de la imagen (x, y) como
funciones f1, f2 de:
coordenadas terrestres (X, Y, Z)
orientación interior (xp , yp , c)
orientación exterior (Xo , Yo , Z o , , , )
x = f1 ( xp , c , Xo , Yo , Z o , , , , X, Y, Z ) (2-1)
y = f2 ( yp , c , Xo , Yo , Z o , , , , X, Y, Z )
Las dos ecuaciones pueden establecerse para cada punto medido en una
imagen. Por tanto, obtenemos cuatro ecuaciones para cada punto en el caso
del estéreo-par. Como seis parámetros son desconocidos (orientación exterior)
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 19
por foto, tenemos que medir las coordenadas de imagen de por lo menos tres
puntos de control en un estéreo-par para obtener las doce ecuaciones.
Igualmente debemos tener presente el hecho que un nuevo punto (un punto de
coordenadas terrestres desconocidas) añade tres incógnitas (X, Y, Z) y cuatro
ecuaciones de observación al sistema, lo cual significa que puntos del terreno
desconocidos (puntos de amarre) contribuyen a la solución por mínimos
cuadrados y aumentan la redundancia. La solución de las ecuaciones de
colinearidad (ajuste) requiere la linearización de f1 y f2 así como de valores
aproximados. Aunque esta es la solución más exacta, sólo puede ser usada en
trazadores analíticos. Para trazadores análogos los métodos empíricos han sido
desarrollados, los cuales están completamente libres de cálculo.
2.2 Orientación Empírica
La orientación empírica de un estéreo-par consta de dos pasos:
a) La orientación relativa, la cual establece las posiciones relativas y ladeos de
dos imágenes en un sistema de coordenadas local (creamos el llamado
modelo estéreo) y,
b) la orientación absoluta, la cual transforma el modelo estéreo en el sistema de
coordenadas terrestres.
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 20
El paso b), puede ser expresado por una transformación tridimensional
semejante (2-2):
XG = XT + s R X (2-2)
Las coordenadas terrestres XG son encontradas aplicando
3 traslaciones XT = (XT , YT , ZT )
3 rotaciones R - (, , ) , y
1 factor de escala s,
al modelo de coordenadas. Para determinar estos siete parámetros de la
orientación absoluta necesitamos una combinación de los siguientes puntos de
control terrestre, lo cual nos permitirá establecer ecuaciones de observación:
Punto de control completo: 3 ecuaciones (X, Y, Z)
Punto de control horizontal: 2 ecuaciones (X, Y)
Punto de control vertical: 1 ecuación (Z).
Consecuentemente necesitamos al menos dos controles completos y uno
vertical (o dos puntos de control horizontal y tres de control vertical) para
realizar la orientación absoluta de un estéreo-par). Los puntos de control vertical
no deben formar una línea recta.
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 21
Ahora queremos averiguar cuántos parámetros tenemos que resolver para la
orientación relativa (paso a):
12 parámetros de orientación de un estéreo-par
-7 parámetros de orientación absoluta
5 parámetros de orientación relativa
De los doce parámetros, cinco definen la orientación relativa. Ésta no requiere
ningún punto de control, ya que el modelo estéreo es creado en un sistema de
coordenadas local arbitrario sin ninguna conexión con el sistema terrestre.
Resolvemos la orientación relativa usando la condición de intersección
(coplanaridad) de rayos de luz conjugados.
2.2.1 Orientación Relativa
Para determinar los cinco parámetros para la orientación relativa debemos
encontrar al menos cinco puntos en los cuales los rayos de luz conjugados se
interceptan. En este caso todos los demás rayos de luz conjugados interceptan
la superficie del modelo también. La formulación analítica de esta condición está
dada por DET (b , p1 , p2 ) = 0 y tiene ser cumplida en los cinco puntos (ver
Figura 2-1).
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 22
Figura 2-1: Co-planaridad de tres vectores b , p1 , p2
En el caso de fotografías aéreas podemos asumir que los ángulos de rotación
son pequeños. Así, cantidades diferenciales pueden ser introducidas (2-3) lo
cual permite linearizar las ecuaciones de colinearidad entre el modelo (punto P)
y las dos imágenes (Figura. 2-2). Podemos hacer las siguientes suposiciones:
centros de perspectiva:
O1 = (0, 0, Zo1)
O2 = ( bx , dby , Zo1 + dbz )
Punto modelo: P (X, Y, Z)
altura de vuelo sobre el terreno: h = Zo1 - Z
ángulos de rotación: i = di , i = di ,i = di (i = 1, 2) (2-3)
Z
Y
X
b
O2 O1
P
p1
p2
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 23
Consecuentemente obtenemos la matriz de rotación lineal:
1 -d dy
dR = d 1 -d (2 – 4)
-dy d 1
Figura 2-2: Un modelo de sistema de coordenadas para fotografías verticales.
Usando estos valores diferenciales en las ecuaciones de colinearidad
O1
Y
Z
X
P
O2
bx
dby
dbz
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 24
X = Xo + (Z - Zo ) r11 (x - xp ) + r12 (y - yp ) - r13 c (2-5)
r31 (x - xp ) + r32 (y - yp ) - r33 c
Y = Yo + (Z - Zo ) r21 (x - xp ) + r22 (y - yp ) - r23 c (2-6)
r31 (x - xp ) + r32 (y - yp ) - r33 c
podemos escribir dos pares de ecuaciones (para las imágenes izquierda y
derecha). La diferencia de las dos coordenadas Y, las cuales están dadas en el
sistema modelo, debe ser 0 a fin de satisfacer la condición de intersección.
Linearizando las ecuaciones de colinearidad y sustrayendo Y2 de Y1 obtenemos
una ecuación, de la cual la diferencia de coordenadas y de imagen (py = y2 - y1 -
paralaje) es extraída (2-7). Esto nos da la llamada ecuación de paralaje.
py = c dby + y2 dbz + x1 y1 d1 -(c + y12) d1 - x1 d1 - x2 y2 d2
h h c c c
+ ( c + y22 ) d2 + x2 d2 (2-7)
c
x1 , x2 , y1 , y2 ... coordenadas de imagen izquierda (1) y derecha (2).
Aunque (2-7) contiene ocho parámetros, la orientación relativa está definida sólo
por cinco. Por tanto, simplemente seleccionamos cinco de los parámetros de
orientación y fijamos los otros cero (0). Dos series de parámetros comúnmente
usadas son:
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 25
(a) d1 , d2 , d1 , d2 , d2 llamada orientación relativa independiente, ya que
ambas fotos son rotadas independientemente (aplicada en los trazadores
análogos Wild B8 y A7);
(b) dby , dbz , d2 , d2 , d2 llamada orientación relativa dependiente, debido a
que ésta no influye la foto 1, pero determina todos los parámetros en la foto 2.
Ésta es típicamente usada para formar una franja de fotografías aéreas con
trazadores a proyección, sin embargo, puede usarse en el A7. Como puede
observarse en (2-7), bx no tiene ninguna influencia en los paralajes y,
solamente cambia la escala del modelo. Midiendo las coordenadas de
imagen (x1, y1, x2 , y2 ) de al menos cinco puntos, las ecuaciones de
observación pueden ser planteadas (p es la observación). Un ajuste por
mínimos cuadrados puede ser realizado para determinar los cinco parámetros
de orientación.
Los trazadores análogos no permiten la medición de coordenadas de imagen.
Así la ecuación de paralaje no puede ser aplicada directamente a la orientación.
Primero debemos transformar ésta en un modelo espacial multiplicando las
coordenadas de imagen por la escala del modelo h/c (2-8):
pY = h py, Y = h y1 = h y2 , X = h x1 = h x2 + b (2-8) c c c c c
Las ecuaciones de paralaje en coordenadas del modelo están dadas en (2-9).
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 26
pY = dby + Y dbz - XY d1 + h(1 + Y2 )d1 - Xd1 - (X - b)Y d2 h h h2 h2 h
+ h(1 + Y2 ) d2 + (X - b) d2 (2-9) h2
Los paralajes Y son ahora medidos en coordenadas del modelo (lo cual puede
ser realizado por cualquier trazador análogo) y los cinco parámetros pueden ser
calculados.
2.2.1.1 Orientación Relativa Empírica en Trazadores Análogos
Cuando los trazadores análogos fueron desarrollados, las computadoras no
estaban disponibles para ajustes fotogramétricos. Por tanto, los métodos
empíricos tuvieron que ser establecidos para eliminar los paralajes Y en cinco
puntos sin cálculos, sino aplicando la siguiente estrategia:
empieza eliminando el paralaje Y en el primer punto en el modelo estéreo,
en el siguiente punto el paralaje Y tiene que ser eliminado sin crear uno nuevo
en el punto previo.
se sigue este procedimiento hasta que no hay más paralajes Y en los cinco
puntos bien distribuidos.
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 27
Prácticamente seis puntos son usados para la orientación relativa. Éstos son
llamados puntos de orientación o puntos “Von Grubber”. Sus posiciones en el
modelo estéreo están dadas en la figura 2-3.
Efectos de los elementos de las ecuaciones de paralaje sobre el
dby
d1
d1
dbz
d2
d2
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 28
paralaje Y. Figura 2-3:Influencias de los parámetros de orientación sobre el paralaje Y (Py).
Figura 2-4: Sistema de coordenadas del modelo con los seis puntos de orientación.
b........................... base
a........................... distancia al borde del modelo
O2
Y
X
Z
3
a
1
5
a b
b
b
b
a
h
h 4
2
6
a
O1
dw2
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 29
h.......................... altura de vuelo
todas las unidades están en espacio modelo.
Las coordenadas de los puntos de orientación en el sistema de la Figura 2-4 son
(2-10):
1 = (0, 0, 0) 2 = (b, 0, 0)
3 = (0, a, 0) 4 = (b, a, 0) (2-10)
5 = (0, -a, 0) 6 = (b, a, 0)
01 = (0, 0, h) 02 = (b, 0, h)
Antes que la estrategia mencionada anteriormente pueda desarrollarse,
debemos estudiar la influencia de cada parámetro de orientación sobre los
paralajes Y en las posiciones “Von Grubber”. Esto se realiza aplicando las
coordenadas de los puntos de orientación (2-10) a los coeficientes de los
parámetros en la ecuación (2-9): por ejemplo, el paralaje Y de d es causado por
el coeficiente (-X), así no hay influencia en los puntos 3, 5 (ya que X = 0), en 2,
4, 6 la influencia depende de (b) y es señalado en la dirección negativa.
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 30
La Figura 2-3 muestra las influencias de los ocho parámetros de orientación en
los paralajes Y. Usando esta gráfica podemos establecer las reglas:
2.2.1.1.1 Orientación Relativa Independiente:
Empezamos el procedimiento en
(1) punto 1 y aplicar 2 , para eliminar el paralaje Y, entonces proceder a
(2) punto 2 y rectificar con 1. Como puede observarse, 1 no crea un nuevo
paralaje en el punto 1.
Después de estos dos pasos no hay más paralajes en 1 y 2, de hecho hemos
eliminado también la influencia de la constante de d2 (2)
Ahora continuamos con
(3) punto 3 y rectificar con 2 y
(4) punto 4 y rectificar con 1. 2 no afecta 1 y 2, y 1 no influye 1, 2, ó 3. El
modelo estéreo está libre ahora de paralajes Y en los cuatro puntos, así un
punto más es necesario para completar la orientación relativa. Debido al
hecho que el componente cuadrático de 2 (2q) fue eliminado en los puntos 3
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 31
y 4 éste aparece duplicado en 5 y 6. Conociendo que la influencia restante
es,
_
py 56 = 2 a2 d2 (2-11) h
(5) calculamos el parámetro necesario para eliminar la influencia 2 :
_
d2 = py 56 h (2-12) 2a2 _ En este caso, sin embargo, py56 debe ser medido en el espacio modelo y por
tanto, estar a escala para el cambio de 2.
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 32
2
2
22
2 21 d
h
ad
h
ah
2
2
12
1
a
h
Figura 2-5: Sobre corrección de paralajes y de los puntos 5 y 6
Después del paso (5) nuevos paralajes aparecerán en los primeros cuatro
puntos de orientación, sin embargo, todos están libres de la influencia de 2, por
lo cual pueden ser rectificados siguiendo los pasos (1) a (4). Idealmente, no
debe haber paralajes remanentes en los puntos 5 y 6. Debido a simplificaciones
(suposición de localización de los 6 puntos de orientación sobre un plano como
ideal, ecuaciones linearizadas) uno tiene que cumplir un número de
especificaciones antes que un modelo estéreo perfecto sea establecido.
El paso (5) requiere el cálculo de d2. Esto puede ser simplificado usando
la llamada rectificación : tratamos de encontrar una constante la cual
cambie py 56 en el paralaje original Y causado por d2 (2-13).
py 56 = py 56 (2-13)
(2-14)
El factor de sobre-corrección puede ser calculado con (2-10). Aplicando py 56
en los puntos 5 y 6 hemos eliminado realmente por completo la influencia de
d2, lo cual es equivalente al paso (5). Como puede verse en la tabla 2-1,
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 33
depende de la distancia focal y no necesita ser calculado para cada orientación
separadamente (Fig. 2-6) (Tabla 2-1).
2
2
2
2
12
11
2
1
d
c
a
h (2-15)
Figura 2-6: Determinación del factor de sobre-corrección .
NA NA WA SWA
c (mm)
Formato (cm)
d (mm)
300
23x23
100
5.0
210
23x23
100
2.7
150
23x23
100
1.6
85
23x23
100
0.86
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 34
Tabla 2-1: Sobre-corrección para diferentes tipos de cámaras.
2.2.1.1.2 Orientación Relativa Dependiente
La orientación relativa dependiente puede realizarse siguiendo estos pasos:
1. eliminar el paralaje Y en el punto 2 con by
2. eliminar éste en el punto 1 con 2
3. continuar en el punto 4 con bz y
4. en el punto 3 con 2 ;
5. hacer la sobre-corrección de los paralajes remanentes en los puntos 5 y 6
y empezar de nuevo el paso (1). La secuencia de estos cinco pasos debe
seguirse estrictamente, ya que by afecta ambos puntos 1 y 2, y bz influye
sobre 3 y 4.
Debido a un número de simplificaciones la convergencia puede ser muy lenta,
especialmente en áreas montañosas. Para agilizar las iteraciones uno debe
considerar la determinación de 2 por un método gráfico (Fig. 2-7).
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 35
Figura 2-7: Determinación de 2 por interpolación lineal
d
d
d
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 36
Uno tiene que cumplir los pasos (1) a (4) para dos diferentes valores de 2 (2(1)
y 2(2)). Las correcciones son calculadas para ambos valores y trazadas en el
gráfico. La intersección de una línea recta que pase por estos dos puntos con el
eje horizontal nos da la corrección 2(0).
2.3 Superficie Crítica
La convergencia no es posible, si los puntos de orientación y los centros de
perspectiva caen en un cilindro (Figura 2-8). En este caso 2 es indeterminado,
lo cual significa que para cualquier valor de 2 se podría terminar sin paralajes Y
en los puntos 5 y 6 después de los pasos (1) a (4). Como puede observarse en
la figura 2-6 la superficie crítica depende del tipo de cámara y de la superficie del
terreno. Mientras una superficie relativamente plana podría causar una
singularidad con cámaras de ángulo normal (NA), uno no tendría que volar a
través de valles realmente profundos para encontrar una superficie crítica con
lentes de ángulo super-ancho (SWA).
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 37
Durante la orientación empírica uno puede averiguar acerca de la superficie
crítica si no hay paralajes remanentes después de los pasos (1) a (4). Si el
método gráfico de la Fig. 2-7 es aplicado, la línea de interpolación podría ser
idéntica al eje 2. En el caso de la orientación analítica una singularidad
numérica (por ejemplo, división por (0) podría aparecer.
A fin de evitar superficies críticas uno debe:
(a) cambiar la distancia focal de la cámara,
(b) volar a través y no a lo largo de valles,
(c) tratar de encontrar un punto entre 5 y 6 que no caiga en el cilindro, por
ejemplo, en un valle transversal que una el uno con el otro, y
(d) determinar los parámetros de orientación del bloque completo por una
solución ajustada, amarrando el aislado estéreo-par junto con todas las otras
imágenes.
2.4 Deformaciones del Modelo
Después de terminada la orientación relativa usualmente quedan algunos
pequeños paralajes Y remanentes, lo cual no altera la percepción
estereoscópica del modelo. Sin embargo, ellos originan errores de parámetros
de orientación. Usualmente la precisión de los parámetros es de menor
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 38
interés, ya que una orientación absoluta debe ser realizada para transformar un
modelo estéreo en un sistema de coordenadas terrestres.
Singularidad de la orientación relativa: Todos los puntos de orientación están situados en un cilindro.
Figura 2-8: Puntos de Orientación y centros de perspectiva cayendo sobre un cilindro.
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 39
22
22
2
1112
2
161
YdYdh
bX
dh
bXhYdd
h
XYd
h
Xhdb
h
bXdbp zxx
Las inexactitudes de la orientación relativa causan deformaciones del modelo
estéreo, es decir, el plano ideal uniforme de seis puntos de orientación está
inclinado, torcido o doblado. Aunque la orientación absoluta podría eliminar las
deformaciones planas (por ejemplo una inclinación del modelo), algunas de las
deformaciones no pueden ser corregidas.
Para estudiar la influencia de los errores en los parámetros sobre la componente
Z (elevación) del modelo estéreo tenemos que determinar primero el paralaje en
x (px = x2 - x1). De igual manera que derivamos el paralaje Y en la fórmula (2-
9), podemos obtener (2-16), la cual nos da la influencia de los errores en los
parámetros sobre X (en coordenadas del modelo).
(2-16)
con:
xx b
c
xh
c
xhdb 21
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 40
Para transformar el paralaje x en elevación, simplemente usamos la relación
(figura 2-9),
dZ = h px
b
dZ
px
h
O1 O2
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 41
22
2
22
111
22
db
hYd
b
YbX
db
bX
b
hd
b
hYd
b
XYd
b
X
b
hdb
b
bXdb
b
hdZ zx
Figura 2-9: Influencia del paralaje x sobre la elevación dZ.
En la fórmula final (2-17) uno puede ver directamente la influencia de cualquiera
de los parámetros de orientación sobre la elevación.
La gráfica (Figura 2.10) muestra las deformaciones del modelo plano.
(2-17)
Las deformaciones debidas a d y d no pueden ser corregidas completamente
por la orientación absoluta (no son planas), por tanto ellas causan alguna
influencia en el mapa final.
Ejemplo
Dado un estéreo-par aéreo (c = 85 mm, formato 23x23 cm, escala de imagen SI
= 10,000; recubrimiento longitudinal 60%; recubrimiento lateral 25%) queremos
encontrar la influencia máxima de d2 = 0.03 grados y d2 = 0.02 grados
después de la orientación absoluta. De los valores anteriores, b resulta igual a
920 m y la máxima extensión del modelo en Y es de 862 m.
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 42
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 43
Figura 2-10: Deformaciones en elevación del Modelo causadas por los parámetros de orientación.
(a) La deformación d2 tiene su máximo en los puntos de orientación 3 y 5
(máximo negativo); el error es calculado por:
dZ = - (X - b) d2 = 862 0.03 = 0.41 m
b
= 63.662 grados.
(b) La deformación d2 consta de dos componentes, uno es la constante (dZ) y
la otra es el cuadrático (dZq).
dZ = ( h2 + (X - b)2 ) d2 b b
dZ dZq
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 44
El máximo aparece en los puntos 1, 3, 5 (X = 0) y consta de:
dZ = h2 d2 = 8502 0.02 = 0.25 m
b 920
dZq = (X - b)2 d2 = 920 0.02 = 0.29 m
b
El máximo error será 0.54 m. Como puede observarse de la Figura 2-9, sin
embargo, la orientación absoluta rectifica algo de estas distorsiones. El
resultado puede ser representado por un plano a través de los seis puntos de
orientación de la superficie cuadrática. Por tanto, el error remanente es, dZq / 4
= 7 cm en el centro del modelo estéreo (X = b/2 ).
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 45
Figura 2-11: Deformación del Modelo debida a d2
Esto no influye en la precisión total del mapa, la cual en este caso será z = 0.1
% de h (para lentes SWA) = 8.5 cm; los errores en la definición del punto ( = 10
cm), así que la precisión esperada de trazado es cerca de 13 cm en elevación.
2.5 Orientación Absoluta
La orientación absoluta transforma el modelo estéreo en un sistema de
coordenadas terrestres por aproximación analítica (transformación tridimensional
de similitud). La fórmula analítica está dada por (2-18):
XG = XT + SM R X (2-18)
con:
XG ............coordenadas terrestres (XG, YG, ZG)
X ............coordenadas del modelo (X, Y, Z)
XT ...........vector de traslación (XT ,YT ,ZT )
R ........... matriz de rotación, consta de (, , )
SM .......... factor de escala (del modelo al terreno).
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 46
Para determinar los siete parámetros de la orientación absoluta al menos: dos
de los tres puntos de control vertical son necesarios. Tanto en trazadores
analíticos como en los análogos asistidos por computadora, la orientación
absoluta es realizada numéricamente; solamente en los trazadores puramente
análogos, tenemos que realizar una orientación absoluta empírica.
Antes de empezar el procedimiento, los puntos de control deben ser trazados en
una hoja de papel (hoja de mapa) a la escala deseada (SG). La orientación es
realizada en cinco pasos (los números entre paréntesis indican puntos del
modelo, los otros puntos del mapa).
(1) Traslación Planimétrica (XT , YT ): El punto de control 1 es determinado en el
modelo estéreo y la hoja del mapa es movida sobre la mesa de trazado hasta
el punto quede debajo de la pluma (Figura 2-12).
..punto de control total
..punto de control vertical
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 47
Figura 2-12: Moviendo el punto1 hacia la pluma del trazador.
(2) Alineamiento de la Hoja del Mapa (): El punto 2 es seleccionado en el
modelo estéreo y el mapa es girado alrededor del punto 1 () hasta que 12
y (1)(2) estén alineadas (Figura 2-13).
Figura 2-13: Alineamiento del mapa.
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 48
(3) Ajuste a la Escala del Modelo Estéreo (SM): Cambiando la longitud base del
modelo estéreo en el trazador análogo, la escala es ajustada de tal forma
que los puntos 1 y 2 correspondan a sus posiciones exactas en el mapa
(Figura 2-14).La corrección de la base puede ser calculada midiendo la
distancia (1)(2) en el modelo estéreo y comparando este valor con la
distancia entre los puntos de control 12 (del modelo al terreno o mapa).
__ SM = 12_ SM es el factor de corrección de escala,
(1)(2) no la escala del modelo en sí.
Figura 2-14: Ajuste a la Escala del Modelo estéreo.
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 49
La base (b) del trazador análogo consta de (bx),(by) y (bz) y puede ser
corregida por:
bx = SM (bx)
by = SM (by)
bz = SM (bz)
Después de este paso, las coordenadas horizontales del modelo y del mapa
deben ser idénticas.
(4) Traslación Vertical: (ZT). Regresando al punto 1 en el modelo estéreo, la
escala de elevación (amarrada a un tornillo o un disco) es fijada a la elevación
correcta (componente Z de las coordenadas terrestres del punto 1).
(5) Nivelación del Modelo Estéreo: (, ). El modelo estéreo debe rotarse
alrededor de los ejes X e Y a fin de hacer ambos sistemas, del modelo y del
terreno, paralelos. Estas inclinaciones ( y ) son calculadas midiendo las
elevaciones del modelo en los tres puntos de control vertical y comparándolas
con los discrepantes valores del terreno: (dz1=0, dz2 , dz3). Paralelos a los
ejes XG e YG son dibujadas a través de los puntos 1 y 2 respectivamente
(Figura 2-13) y las diferencias de elevación en las intersecciones con el
triángulo (dz4 y dz5 ) son usadas para calcular los ángulos por (2-19).
= dz4 - dz2 = dz5 (2-19)
Y24 x15
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 50
Todos los siete elementos de la orientación absoluta están determinados ahora.
También en estos cinco pasos, justo como en la orientación relativa, un número
de iteraciones serán necesarias para ajustar completamente el modelo estéreo
al sistema de coordenadas terrestres. Algunos parámetros de orientación
pueden ser determinados en diferentes formas, depende de la construcción del
trazador análogo.
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 51
Figura 2-15: Corrección de las inclinaciones del modelo estéreo.
3.BASES GEOMÉTRICAS DE LAS FOTOGRAFÍAS AÉREAS
DEFINICIÓN: Antes de entrar en los detalles de la geometría y base matemática relacionada con
la Fotogrametría, se dará una definición de lo que es fotogrametría. Según el
manual de la Fotogrametría (ASPRS, 1980), ésta se define como " el arte y ciencia
de obtener información confiable referente a las propiedades de la superficies del
terreno y los objetos sin establecer contacto físico con los objetos y de esta forma
realizar mediciones e interpretaciones de esta información."
3.1 CLASIFICACIÓN DE FOTOGRAFÍAS
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 52
Las fotografías pueden ser clasificadas de acuerdo a la posición de la cámara
fotográfica, de acuerdo al formato usado o longitud focal, o según el tipo de
emulsión utilizada.
3.1.1 Según la Orientación de la Cámara Fotográfica
Las clasificaciones de las fotografías cuya orientación de cámara varía pueden ser
identificadas por su variación en la orientación del eje óptico y el eje vertical.
3.1.1.1 Fotos Verticales
Son las fotos tomadas con su eje óptico en coincidencia con el eje vertical local.
3.1.1.2 Fotos Casi Verticales
Son aquellas fotos en las cuales el eje óptico está en coincidencia con el eje
vertical adoptado en un rango de +/- 3.
3.1.1.3 Fotos Oblicua (Baja)
Incluyen aquellas fotos no verticales que no incluyen el horizonte en la imagen.
3.1.1.4 Fotos Oblicuas (Altas)
Son aquellas fotografías no verticales que presentan el horizonte en la imagen.
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 53
3.1.1.5 Fotos Convergentes
Este tipo de fotografías son representadas por un par fotográfico de fotos oblicuas
(baja) las cuales son tomadas en secuencia y en la cuales los ejes ópticos
convergen uno al otro. Cada foto cubre esencialmente la misma porción de terreno
sobre el suelo.
3.1.2 Según el tipo de emulsión utilizada.
Las fotografías aéreas serán clasificadas de acuerdo al tipo de emulsión utilizada,
las cuales a su vez tendrán aplicaciones específicas.
3.1.2.1 Fotografía en Pancromático (Blanco y Negro)
Este tipo de emulsión es el utilizado mas ampliamente para cartografía
fotogramétrica y foto-interpretación.
3.1.2.2 Fotografía a Color
Esta emulsión es usada para la foto-interpretación y está limitada a extensiones
cartográficas. Esta emulsión proporciona una gama de matices que varía en gran
medida con la obtenida en películas blanco y negro.
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 54
3.1.2.3 Fotografía Infrarroja en Blanco y Negro
Usada también en la foto-interpretación pues penetra con mayor eficiencia que la
película pancromática aquellas áreas cubiertas de niebla debido que cuenta con
una mayor longitud de onda. Esta película es utilizada para detectar camuflages y
el delineamiento de cuerpos de agua. Rara vez utilizada para la cartografía.
3.1.2.4 Fotografía Infrarroja a Color
Este tipo de emulsión es usado para la foto-interpretación de áreas cubiertas por
vegetación; particularmente en el análisis de desarrollo de cultivos, control de
enfermedades en cultivos, análisis de suelos, y polución de las aguas.
3.2 CLASIFICACIÓN DE CÁMARAS FOTOGRAMÉTRICAS
Una característica de las cámaras fotogramétricas es la posibilidad de la
determinación de su orientación interior. La misma define el punto de mejor
geometría o punto principal definido a su vez por las coordenadas xp e yp según el
eje de coordenadas de la fotografía. Además, es posible también la determinación
de la distancia focal corregida c junto a la determinación de la distorsión de los
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 55
lentes de dicha cámara. Los formatos que comúnmente se utilizan en las cámaras
fotográficas son de 23 cm por 23 cm. Estas cámaras son fabricadas con diferentes
distancias focales lo que determina el ángulo de cobertura del lente medido sobre
la diagonal. A continuación se clasificarán las cámaras según la distancia focal.
3.2.1 Cámaras de ángulo Angosto
Tienen un ángulo de cobertura de 10 a 20 grados. Su longitud focal es de 610 mm
a 915 mm, y son utilizadas para la foto-interpretación.
3.2.2 Cámaras de Ángulo Normal
La longitud focal de estas cámaras varía entre 210 mm a 300 mm y su ángulo de
cobertura esta entre 50 y 75 grados. Es utilizada principalmente en foto-
interpretación, cartografía, fotografía a color, levantamiento de mosaicos y
fotografía ortogonal.
3.2.3 Cámaras Gran Angular
Este grupo lo comprenden aquellas cámaras cuyo ángulo de cobertura está entre
85 y 95 grados y cuya longitud focal esta alrededor de los 150 mm. Estas cámaras
son las cámaras fotogramétricas de mayor uso y mas comunes en el mercado.
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 56
3.2.4 Cámaras Gran Angulares
Tienen un ángulo de cobertura que varia entre 110 y 130 grados y una distancia
focal de 90 mm. Utilizadas en fotogrametría de áreas con poco relieve o
relativamente planas.
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 57
4. ESCALA FOTOGRÁFICA La escala de un punto en la foto esta dada por la relación de tamaño imagen-
objeto. Debido a la característica de proyección central de la fotografía aérea, la
escala puede ser definida en términos de distancias en la imagen y en el espacio
objeto.
Sea m la distancia entre dos puntos medidos en la imagen y M la distancia entre
los mismos dos puntos sobre el terreno, entonces la escala de la imagen (Si) será:
También la escala de la imagen puede ser expresada en términos de la distancia
focal calibrada c y la altura de vuelo h. De esta forma tenemos:
Como vemos la escala de la imagen expresa una relación entre la elevación del
avión sobre un punto determinado y la distancia focal calibrada. Por ende esta
relación se da en términos puntuales a través del terreno. En otras palabras,
debiéramos tener una escala diferente para cada punto sobre la imagen. Una de la
iS =m
M (4-1)
hc=Si / (4-2)
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 58
suposiciones hechas para la determinación de la escala de una imagen es la de
considerar una elevación promedio en el terreno y de allí medir la elevación del
avión. De esta forma, la escala de un punto cuya elevación ha esta referida a un
datum especifico y sea H la elevación del avión con respecto a el mismo datum,
tenemos que la escala del punto a será:
Ejemplo No.
Un avión vuela a una altura de 5200 pies sobre el nivel del mar, se sabe
que el nivel medio de elevación del terreno es de 980 pies y que la longitud focal
de 8.25 pulgadas. Cual es la escala de la imagen?
iS =1
6138
Ejemplo No.
a
a
S =c
H - h (4-3)
iS =8.25 / 12
5200 -980
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 59
Calcule la altura de vuelo del avión con respecto al nivel medio del suelo si
la distancia focal calibrada es de 15 cm y la escala Si=10,000.
Otro tipo de relación que envuelve la escala fotográfica es la que es establecida a
través de una distancia medida en la foto, su correspondiente distancia medida
sobre el suelo, la distancia correspondiente medida sobre el mapa y la escala del
mapa.
iS = 10000,c = 150mm,h = ?
i
i
S =c
hh =
c
S
h =0.15
1 / 10000h = 1,500mts
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 60
5. ECUACIÓN DE COLINEARIDAD El concepto de colineridad esta definido a través del gráfico siguiente:
Figura 4.1 Relación de colinearidad
El concepto se basa en que un punto P en el espacio objeto, la estación de
exposición O y un punto p en el espacio imagen se encuentran sobre una línea
común. Esto es denominado el rayo de formación de imagen, el cual pasa sin
exposición al punto en la imagen. Este tratamiento geométrico de la Fotogrametría
no involucra pequeñas perturbaciones como el encogimiento de la película; sin
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 61
embargo, la distorsión de la imagen producto de los lentes y la refracción
atmosférica si son considerados.
Un importante resultado de la condición de colineridad es el establecimiento de
relaciones de triángulos correspondientes a los espacios de objeto e imagen.
Asumiremos inicialmente que el sistema de coordenadas del objeto (XYZ) puede
ser rotado alrededor de sus ejes paralelos hacia los ejes de coordenadas de la
imagen (x, y, z). A estos ejes rotados los denominaremos (X' Y' Z'), con los cuales
estableceremos un sistema de triángulos semejantes en los planos X'Z' y Y'Z', de
esta forma tenemos:
''
''
0
0
ZZ
XX
c
xx p
(4-4)
en adición, tenemos:
''
''
0
0
ZZ
YY
c
xx p
(4-5)
de estas dos ecuaciones tenemos lo siguiente:
0
'0
Z-Z
X-X*c-x=x p
(4-6)
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 62
Nótese que el valor (Zo' - Z') ha sido invertido al valor (Z'- Zo') y por ello obtenemos
un signo negativo (-) delante de la segunda expresión en cada una de las
ecuaciones.
'
0
'
Z-Z
Y-Y*c-y=y o
p
(4-7)
Las funciones escritas arriba establecen la ecuación de colineridad. Sin embargo,
el sistema de coordenadas del objeto es paralelo al sistema de coordenadas de
imagen por lo que debemos rotar el sistema de coordenadas (X, Y, Z) con la
intención de obtener un sistema paralelo a (X', Y', Z') el cual es paralelo al sistema
de coordenadas de la imagen. La mencionada rotación es posible con el uso de
una matriz de rotación (R):
oZZ'
oYY'
oXX'
*
rrr
rrr
rrr
=
c
ypy
xpx
333231
332221
131211
(4-8)
De donde el vector entre el punto objeto y el centro de perspectiva es rotado desde
un sistema paralelo a la imagen a un sistema paralelo al objeto; el cual puede ser
escrito como:
x = xp - c * Nx / D (4-9)
y = yp - c * Ny / D (4-10)
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 63
donde Nx, Ny y D son expresados como:
)Y-(Yr+)Y-(Y*r+)X-(X*r=N o31O21o11x (4-11)
y 12 o 22 o 32 oN = r *(X - X )+r *(Y -Y )+r *(Z - Z ) (4-12)
D= r * (X - X )+ r * (Y - Y )+ r * (Z - Z )13 o 23 o 33 o (4-13)
Donde la matriz de rotación se expresa como:
R=
coscossinsincoscossincossincossinsin
cossinsinsinsincoscoscossinsinsincos
sinsincoscoscos
(4-14)
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 64
6. MEDIDAS DE IMAGEN EN COORDENADAS En los capítulos siguientes veremos que las coordenadas de imagen son usadas
como observaciones para los modelos matemáticos. Ahora vamos a discutir los
procesos de medida de imagen coordenadas en comparadores, la reducción de
valores medidos dentro del sistema definido por las marcas fiduciales y la
distorsión que influyen en la exactitud de las coordenadas. Finalmente, diferentes
tipos de puntos pueden ser tomados y de esa forma la posición fotogramétrica
estará descrita.
6.1 COMPARADORES
Comparadores son máquinas de alta precisión para medir las coordenadas X,Y en
el plano de la imagen. Dependiendo de la construcción la precisión de estos
instrumentos puede ser tan exacta como 1mm. Usualmente, las fotografías son
fijadas con placas de vidrio, la cual son movidas por giradores manuales. El
sistema de visión y las marcas de medida son estacionarías. Procederemos más
adelante a discutir 2 tipos de comparadores:
El monocomparador para medir las coordenadas de imagen en una fotografía y el
estereocomparador el cual es usado para seleccionar en la imagen puntos
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 65
estereoscópicamente y la medida de coordenadas en ambas fotografías
simultáneamente.
6.2 ESTÉREO-COMPARADORES
Estos instrumentos tienen que estar específicamente desarrollado para medidas
de imagen en coordenadas en la triangulación área del estereo par fotogramétrico.
Los estereo-comparadores usualmente consisten de dos placas montadas en un
marco sólido. Dos marcas de medida estacionarías son centradas encima de las
placas. Si las dos fotografías son alineadas (como abajo de un estereoscopio de
espejo) y son acercadas como en el caso normal, estos puntos pueden
seleccionarse estereoscópicamente. En el caso del estereo-comparador Wild
STK-1, una larga placa es movida en ambas imágenes en paralelo (figura 5-1).
Esto es usado para seleccionar un punto en la imagen izquierda, y para medir en
este comparador (máquina) las coordenadas (x1 , y1). La placa chica solo traslada
la imagen derecha relativa para la izquierda. Esto es usado para aclarar la
distorsión entre la marca de medida y el punto conjugado en la imagen derecha,
por lo tanto, nosotros actualmente medimos los paralajes (Px , Py) del punto en la
imagen derecha (5-1). Las coordenadas del comparador de la imagen derecha
son computados para las coordenadas de la imagen izquierda y los paralajes (5-3).
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 66
Px = x2 - x1 (5-1)
Px , Py son la diferencia de coordenadas (paralajes)
x 2 = x 1 + Px (5-2)
y 2 = y 1 + Py (5-3)
Figura 5-1: El Wild STK-1 estereo-comparador
La mayor ventaja del estereo-comparador es que los puntos son seleccionados en
una vista tridimensional, la cual naturalmente produce altas precisiones y minimiza
la selección errónea de puntos. Sin embargo, la visión estereoscópica es solo
posible si las rotaciones w y ø de las fotografías aéreas son pequeñas; para la
convergencia fotográfica esta es muy dificultosa para obtener una vista
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 67
estereoscópica. Por lo tanto, la razón base-altura del par estéreo será entre 1:5 y
1:10. Una gran relación de base-altura imposibilita realizar estereoscopía.
B:H = 1:5 - 1:10 (5-4)
6.3 MONO-COMPARADOR
El principio básico del mono-comparador es el de exponer usando el Zeiss PK-1,
el cual es un comparador de precisión y proporciona automáticamente los registros
de coordenadas (Figura 5-2). Este consiste de una placa de vidrio en la cual la
fotografía podrá ser fijada. Bajo la placa, dos escalas de vidrio estacionarías son
sujetadas en el marco junto con la marca de medición en el centro.
En la placa movible se llevará la fotografía, a diferentes posiciones x,y que pueden
seleccionarse. Estos instrumentos tienen un sistema de visión binocular; ambos
ojos son dirigidos para la misma área en la foto.
En el borde del carro hay puestas unas líneas en paralelo la cual son parte de un
codificador lineal para el registro automático de coordenadas junto con las dos
escalas de vidrio (Figura 5-3). El ancho de cada par de línea es de 40um. Por
debajo de la escala de vidrio hay una fuente de luz el cual se enfoca unos 45º
hacia el carro. En las líneas negras toda la luz es completamente absorbida. La
luz pasa a través de las escalas de vidrio, y el botón del carro es oprimido. Los
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 68
espacios entre las líneas de luz son completamente reflectados, en las líneas
negras estas son absorbidas. La luz restante pasa a través de las escalas una
segunda vez y es absorbida por un censor (diodo), el cual mide la intensidad de la
luz reflejada. Si el carro es movido percibiremos una secuencia máxima y mínima
de intensidad en el censor, el cual puede ser contado por el procesador.
Adicionalmente, entre las altas y bajas intensidades podremos interpolar en 20
pasos. Por consiguiente, una precisión de 1um puede ser alcanzada con este
instrumento.
Figura 5-2: El mono-comparador Zeiss Pk-1
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 69
Figura 5-3: Registrador automático de coordenadas de imagen con el mono-comparador
Codificadores de este tipo son usados con varios instrumentos modernos de
fotografía, como los análogos computarizados y ploters analíticos. En este
contexto también mencionaremos la regla "Abbe's", la cual nos plantea que la
precisión de un comparador depende de su construcción. Abbe dice que la
distancia que deseamos medir y la escala deberán estar en la misma línea
recta. Cuanto mas alejados esten los dos, mayor será el error de medición. La
Figura 5-4 nos muestra un ejemplo en la cual la escala es distorsionada para la
distancia que será medida.
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 70
Figura 5-4. Un comparador construido conforme con las reglas de Abbe
El Zeiss PK-1 es construido según la regla Abbe's con las 2 escalas alineadas
con las marcas flotante (el estéreo-comparador en la figura 5-1 no es de este tipo),
por lo tanto esta precisión depende únicamente de la escala del vidrio.
Para propósitos fotogramétricos una precisión de 1um tiene que ser alcanzada y
así permitir una mayor exactitud para la determinación de un punto.
6.4 AUTO SET-1: UN COMPARADOR AUTOMÁTICO
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 71
Auto Set-1 es un comparador para realizar medidas automáticas de coordenadas
de imágenes en fotogrametría industrial. Este es parte de un sistema giratorio de
llaves (STARS-1) desarrollado por Servicios Geodésicos Inc. (GSI). Auto Set-1 es
esencialmente un monocomparador cuya placa es movida con alta presición con
un servo-motor en la dirección del eje x,y. La estabilidad de estos aparatos es
garantizada por una base sólida de granito. Los puntos no son medidos por un
operador humano; en cambio, una pequeña parte de la fotografía es digitalizada
por una cámara CCD (Figura 5-5).
Figura 5-5.Digitalización con Auto Set-1
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 72
Esta imagen digital es consecuentemente analizada en el computador. Las
posiciones aproximadas de los puntos fijos deben ser conocidos para ser
evaluadas. Usualmente puntos retro-reflectivos son utilizados. Si ellos son
iluminados con una luz rápida durante la exposición, estos dan un contraste muy
fuerte y pueden ser automáticamente mostrados en la parte digitalizada en la foto.
La determinación de las coordenadas de la imagen actual es hecha por un
algoritmo de extracción centroidal (Figura 5-6). Esta técnica encuentra los bordes
de los puntos y determina el centro de gravedad de todas los píxeles (5-3).
Centro de gravedad
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 73
Figura 5-6. Extracción del centroide
Xc= (Xi (gi – gth)) Yc= (Yi (gi – gth)) (5-3) (gi - gth) (gi - gth)
Xc , Yc ………………………… centro de gravedad Xi, Yi ………………………… coordinates of any pixel of the target gi ………………………………. Valor de gris del píxel en el punto (Xi, Yi )
gth ………………………………. Valor inicial de gris.
Este sistema es muy utilizado en la fotogrametría industrial y produce precisiones
en la determinación de las coordenadas de imagen mejor que 1um (después del
ajuste). Más importante, que esta precisión es la independencia del operador, ya
que las medidas son hechas automáticamente.
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 74
6.5 APARATOS PARA TRANSFERENCIA DE PUNTOS
Para la mayoría de las aplicaciones fotogramétricas los estéreo-comparadores no
son útiles como lo son las fotografías convergentes, por eso, los mismos mono-
comparadores son preferidos, los cuales son relativamente baratos y más chicos.
Sin embargo, la identificación de puntos conjugados en un número de imágenes se
hace difícil. Con este propósito el aparato de transferencia de puntos ha sido
desarrollado para seleccionar y marcar puntos estereoscópicamente. Estos
instrumentos nos proporciona físicamente marcas de puntos en la emulsión de la
película a través de pinchadas o pequeños agujeros. Esto es importante para así
unir puntos que son usualmente puntos naturales y no pueden ser identificados
muy bien en una sola fotografía. (e.g. Wild Pug4, Kern PMG 2, Zeiss PM-1).
7.0 REDUCCIÓN DE IMAGEN EN COORDENADAS
En este capítulo discutiremos las técnicas de transformación de medidas del
comparador (máquina) dentro del sistema de coordenadas de imagen, y en que
forma corregir todos los tipos de errores sistemáticos en los puntos de la imagen.
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 75
7.1 TRANSFORMACIÓN DENTRO DEL SISTEMA DE IMAGEN
Los valores medidos por un comparador (x,y) son expresadas en un sistema local
de coordenadas (máquina), la cual no tiene conexión con el sistema de
coordenada de imagen definido por las marcas fiduciales de la cámara (Figura
6.1).
Figura 6.1 Transformación de coordenadas
Si se utiliza una imagen digital, las medidas son usualmente dadas en
coordenadas de píxeles con el origen en lo más alto de la esquina izquierda de la
matriz de valores de grises. Estas medidas pueden ser transformadas dentro del
sistema de imagen por la transformación de Affine (Figura 6.1).
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 76
2
2
b
a
1
1
0
0
b
a
b
a
y
x
y
x
7.1.1 Modelo de Transformación de Affine
Los parámetros de transformación son calculados usando las coordenadas de las
marcas fiduciales del certificado de calibración, las cuales son evaluadas para
todos las cámaras métricas. Para fotografías aficionadas el origen del sistema de
coordenadas de imagen es aproximadamente el centro de la imagen.
(6-1)
00 ,ba ………………………… Translaciones para cambiar del sistema original del
comparador a el centro de la imagen.
2121 ,,, bbaa …………………. 4 parámetros no ortogonales (esto no es una
matriz de rotación), y permiten diferentes escalas
en las direcciones x, y así como diferentes
rotaciones en los ejes coordenados.
La transformación de Affine compensa la mayor parte de los errores debido al
encogimiento de la película, escalas diferentes, y la falta de ortogonalidad de los
ejes del comparador.
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 77
En la mayor parte de las fotografías las cuatro marcas fiduciales son evaluadas
para los modelos de transformación de coordenadas en la imágen. Como
tenemos que encontrar los elementos para la transformación de Affine, podemos
resolver por la teoría de mínimo de cuadrados (una marca fiducial define dos
ecuaciones, consecuentemente las cuatro marcas fiduciales nos dan ocho
ecuaciones de observación).
7.1.2 Modelo de Transformación Bilineal
Algunas veces la transformación bilineal es usada para cámaras cuyas marcas
fiduciales están en las esquinas de la fotografía (6-2) y (6-3).
.
1 2
3
4 6
7
8
5
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 78
La transformación bilineal consiste de ocho parámetros los cuales pueden ser
resueltos por las ocho ecuaciones de observación de las marcas fiduciales.
x = ao + a1X + a2Y + a3XY (6-2)
y = bo + b1X + b2Y + b3XY (6-3)
7.2 CORRECCIÓN EN LA DISTORSIÓN DE LENTES
Para conseguir precisiones altas en los puntos objetivos de las coordenadas de
imagen, esta debe estar libre de errores sistemáticos. Por lo tanto, tenemos que
saber conseguir todas las influencias físicas en las coordenadas de imagen. No
todos estos valores pueden ser medidos directamente, simplemente son dados en
el certificado de calibración, tal como, la distorsión radial en los lentes. Ellos son
usualmente definidos como una polinomial gráfica (Figura 6-2) o son listados en
una tabla en intervalos de más o menos 1cm. La distorsión radial de lentes
depende de la distancia entre el punto principal (Xp,Yp) y el punto en la imagen (Xi ,
Yi) (6-4), esto es llamado el radio (ri).
22
pipii yyxxr (6-4)
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 79
Figura 6-2. Corrección Radial de lentes
Para cada punto en la imagen una distorsión específica puede ser determinada por
la distancia radial computada y la interpolación entre los valores dados del
certificado de calibración. La dimensión en la distorsión (r) es usualmente
pequeña que 5um en cámaras métricas modernas. La corrección radial tiene que
ser separada dentro de estos componentes (x,y) y pueden ser aplicados
directamente con la coordenada de imagen de un punto específico (6-5 , 6-6).
(6-5)
(6-6)
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 80
7.3 CORRECCIÓN DE LA REFRACCIÓN ATMOSFÉRICA
Como el índice refractivo cambia a lo largo de un radio de luz de la estación de
exposición con el punto objeto, la corrección entre las 2 no puede aproximarse a
una línea recta. La variación en el índice es dado por el cambio de temperatura,
humedad, y la presión de aire en diferentes capas de la atmósfera. Esta influencia
siempre es en la dirección radial de los puntos. (Figura 6-3)
Figura 6-3.Corrección de refracción atmosférica
La desviación angular del rayo de luz es dada por t en la ecuación (6-7).
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 81
(6-7)
Hemos visto que la refracción depende del índice K, la cual varía con la
meteorología y la longitud de onda de la luz. Muchas fórmulas diferentes están
derivadas para aproximarse a K para longitud de ondas pancromáticas y una
atmósfera estándar (6-6).
)2506(250600241.0
2
00
2
0
0
pp
p
ZZZ
Z
ZZ
ZK
(6-8)
Z0 =centro de perspectiva sobre el nivel del mar (unidad en Km). Zp =nivel medio del terreno sobre el nivel del mar (unidad en Km). Otra formula para K es:
K = 13 * ( Z0 - Zp ) [ 1 - 0.02 ( 2 * Z0 + Zp ) ] * 10-6
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 82
El desplazamiento radial de las coordenadas de imagen (r) puede ser derivadas
para t (6-7) o como una función de K (6-7). Finalmente, tenemos que dividir esta
corrección dentro de las componentes X,Y en una vía similar, como hicimos para la
distorsión radial en (6-4).
(6-9)
(6-8)
Estas correcciones son necesarias para lentes de ángulos gran angulares y
pequeñas escalas fotográficas como pueden ser visibles en la tabla 6-1.
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 83
Tabla 6-1. Corrección de Coordenadas de la Imagen (Zp=0.5 km)
7.4 CORRECCIÓN PARA LA CURVATURA DE LA TIERRA
La curvatura de la tierra no es un error del modelo fotogramétrico, solo es un
problema en la definición del sistema de coordenadas terrestres. Las coordenadas
de la tierra son usualmente relacionados con un plano X - Y, mientras que la
proyección de mapas que son relativamente dadas por una esfera en un elipsoide.
Para muchas aplicaciones la diferencia puede ser descartada, sin embargo, la
corrección debe ser aplicada para mapas de escalas pequeñas y proyectos
fotogramétricos de terrenos con áreas largas. En este sección discutiremos la
corrección en la curvatura de la tierra en la coordenada de imagen, en capítulos
siguientes la corrección en el sistema objetivo es explicada.
7.4.1 FOTOGRAFÍAS TERRESTRES
La influencia de la curvatura de la tierra en elevaciones ( E) es aproximado en (6-
11), una aproximación similar es hecha por la refracción ( R) en (6-12). La
ecuación (6-15) nos da la formula directa para la corrección de la estimación de la
coordenada Y de la fotografía horizontal (Figura 6-4). Si tomamos la imagen del
terreno, la comparamos con la coordenada Y del ángulo vertical de un teodolito y
solo representamos a la coordenada que necesita ser corregida.
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 84
El procedimiento usual para posicionamiento de puntos en proyectos del terreno es
el siguiente:
Primero, todas las coordenadas de los puntos son determinados sin considerar la
curvatura de la tierra y refracciones; esto significa que derivamos estos valores
aproximadamente. Con estos podemos computar la mencionada corrección para
la coordenada Y.
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 85
Figura 6-4. Corrección Combinada de Refracción Atmosférica y Curvatura de la Tierra (Fotogrametría terrestre)
Ei = influencia de la curvatura de la tierra sobre las elevaciones
Ri = influencia de la refracción Ai =distancia entre la estación de exposición y punto objeto k....coeficiente de refracción = 0.13 Zi ..elevación del punto objeto Z0 . elevación de la estación de exposición
(6-11)
(6-12)
La relación máxima de la elevación del objeto y el centro de perspectiva es dado
bajo:
(6-13)
(Z0 + Zi ) /2R es la influencia de la elevación sobre el dato en la extensión de la distancia Ai .
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 86
Esta función puede ser cambiada para expresar la elevación del objeto
dependiendo de la coordenada de imagen yi y una corrección yi (6-10)
(6-14)
yi : corrección de las coordenadas de imagen
Finalmente, computamos esta corrección yi (6-15)
(6-15)
La influencia en la coordenada de imagen es pequeña para cortas distancias, sin
embargo, esto no puede ser desapercibido para distancias de 1 Km de longitud.
Estas correcciones tienen que ser aplicados en proyectos, tales como, rastreador
de satélites y pequeñas escalas del terreno para foto-triangulación.
7.4.2 FOTOGRAFÍAS AÉREAS VERTICALES
En proyecciones fotogramétricas aéreas asumimos que las coordenadas de la
tierra son dadas en un sistema de coordenadas planas el cual es tangencial con el
centro de la tierra en el modelo - estereo (figura 6-5).
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 87
Figura 6-5 Modelo Estéreo de la Tierra
El control geodésico, sin embargo, es emparentado con el geoide o elipsoide, el
cual significa que las elevaciones son erróneas en Ei . Obviamente, la diferencia
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 88
de elevaciones depende de la distancia de un punto específico desde el centro del
modelo - estereo. Antes podíamos usar los puntos de control, y teníamos que
reducir sus elevaciones del plano tangencial. Una vez que determinemos los
puntos analíticamente es complementado en este sistema de coordenadas planas
(topocéntricas), los puntos nuevos tienen que ser corregidos otra vez por Ei , en
orden están puestos en el dato. Queremos el estimado de la corrección máxima
Emax , la cual aparece en la esquina del modelo - estereo (6-16).
R
B
R
B
E8
5
2
2
52
2
max
(6-16)
B √(5/2 )= mitad diagonal del modelo - estereo
Considerando una precisión vertical de la determinación del punto
z = ± 0.06 ‰ de h (altura de vuelo)
Las elevaciones deben ser corregidas por:
Lentes gran angular para escalas de imagen menores de 1:6000 Lentes angulares para escala de imagen menor que 1:10,000 Lentes normal para escalas de imagen menores que 1:20,000
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 89
Escala de Foto
(en metros) Corrección máxima de curvatura de la Tierra ∆Emax
‰ de altura de vuelo
c = 85 mm c = 150 mm c = 300mm
1:10,000 0.08 0.10 0.06 0.03
1:50,000 2.1 0.49 0.28 0.14
1:100,000 8.3 0.98 0.56 0.28
Tabla 6-2 Correcciones máximas en las esquinas del modelo
Existen otros tipos de distorsiones que deben ser consideradas para los lentes de
las cámaras que pueden ser modelados bajo ciertas circunstancias. Estas
distorsiones son:
a) Distorsión de de-centrado: ocurre cuando hay un mal alineamiento de el
sistema de los lentes a lo largo del eje óptico.
b) Distorsión anómala: es una distorsión irregular de la fotografía que no
puede ser conectada con ninguna influencia física.
c) Distorsión de película fotográfica: representa la distorsión del plano
fotográfico.
Está claro que estas distorsiones y sus parámetros de corrección deben estar
disponibles previo a cualquier calibración. Finalmente los errores sistemáticos
producto de la falta de adherencia de la película al marco de la fotografía
(unflatness) podrían exceder los 5μm en algunas regiones de la fotografía. Para
obtener la máxima precisión en la posición de puntos, la corrección de estos
errores es mandataria.
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 90
8.0 MODELOS MATEMÁTICOS
Históricamente la decisión de planificación estratégica de crecimiento de un país
ha sido competencia del estado. Sin embargo con los procesos de privatización
de las empresas del estado, las compañías privadas prestadoras de los servicios
públicos planifican las inversiones con el propósito maximizar los beneficios sin
priorizar la demanda social.
El estado actual debe planificar su crecimiento del país buscando el bienestar
general orientando las inversiones del capital privado. Es entonces el estado
quien debe conjugar el rumbo de crecimiento y desarrollo.
El reemplazo del rol estatal por el del mercado privado conlleva a que solo los
sectores previamente capacitados puedan absorber u beneficiarse del impacto,
lo que resulta en un incremento de la brecha entre los ricos y los pobres. En
medio de esta situación se dice que la economía crece.
Si desarrollo tiene que ver con aspectos como mejoramiento de calidad de vida,
disminución de la pobreza, entonces se puede concluir que crecimiento
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 91
económico y desarrollo no son sinónimos. Es por ello que el estado debe asumir
un rol de promotor de estrategias del desarrollo nacional.
En la economía mundial globalizada, las principales actividades dominantes
actúan como unidad a escala planetaria.
La economía globalizada es un sistema en expansión y altamente dinámico pero
también segregante y excluyente de importantes sectores y territorios. Incluye lo
que crea valor o se valoriza y excluye lo que se devalúa.
Las condiciones físicas, topográficas o de distancia han dejado de ser prioritarias
para la localización de las inversiones y emergen como determinantes otro tipo
de condiciones.
Hora existe una competencia entre territorios para la captación de las
inversiones (MERCOSUR, ECO, NAPTA, etc.).
Uno de los indicadores de la evolución de la economía de un país es el PBI
(producto interno bruto). Donde un aumento del PIB nos indica un crecimiento
económico y una apertura externa. Si comparamos la distribución de los
ingresos y existe una disparidad entre los sectores (pobres vs. ricos).
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 92
Antes que cualquier modelo matemático sea derivado, debemos ver de cerca las
aplicaciones de los métodos fotogramétricos y sus ventajas. El fotogrametrista
está interesado en derivar objetos en el espacio tridimensional o coordenadas
sobre suelo con el uso de imágenes fotográficas con la mayor precisión sin tocar
el objeto mismo. Generalmente este método es conocido como posicionamiento
puntual fotogramétrico.
Los procedimientos clásicos para el posicionamiento 3 – Dimensional incluye
métodos geodésicos, como lo son la intersección de teodolitos y la medición
directa de coordenadas, lo que se conoce también como la medición de
coordenadas de máquinas.
Existen muchas ventajas de la fotogrametría sobre las otras técnicas
mencionadas. Primeramente, la fotogrametría es un método de posicionamiento
de no contacto, por lo que no necesitamos hacer contacto con el objeto a medir
sobre la superficie terrestre. En fotogrametría tomamos imágenes con un gran
número de puntos de forma simultánea y además podemos guardar la fotografía
como documentación.
Al mantener estas tres ventajas en nuestras mentes, podemos describir muchas
aplicaciones del proceso de posicionamiento puntual fotogramétrico. La lista que
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 93
se presenta a continuación no está completa pero sirve como ilustración al
potencial de uso de este trabajo.
Determinación de los puntos de control para cartografía y topografía .
Puntos de control para ortofotografía y mapas de ortofotos.
Densificación de redes de triangulación
Modelos Digitales de elevación (DEM) – captura de datos.
Levantamientos de edificios y construcciones
Levantamiento de modelos técnicos
Reconstrucción de objetos por fotografía aficionada
Procesos de control industrial (visión de máquinas y robótica)
El proceso común para resolver el problema de posicionamiento
fotogramétrico puede ser descrito como sigue:
“Las coordenadas de puntos en la imagen son medidos a partir de dos o mas
fotografías con traslape; su posición en el espacio objeto (3 – D) debe estar
directamente determinada (Deseamos obtener la solución de un solo paso
sin tener que usar el modelo estéreo).
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 94
Las coordenadas de la imagen y la orientación interna de la cámara definen
un grupo de rayos de luz. Todos los rayos de luz de un bloque de fotografías
puede ser notado y trasladado de forma tal que la intersección conjugada de
los rayos se de con los puntos sobre el espacio objeto (mundo real – 3D).
Esta técnica es conocida como ajuste del Bloque “Bundle (block)
Adjustment”.
La relación entre las coordenadas de la imagen y el objeto esta dada por una
relación de perspectiva lo cual significa que todos los rayos de luz “tienen”
que pasar a través de un punto único, llamado centro de perspectiva. Existen
tres (3) transformaciones diferentes que se pueden aplicar para resolver este
problema.
a) La transformación de proyección
b) La ecuación de colinearidad
c) La transformación lineal (directa (DLT))
Las sirvientes convenciones son utilizadas para derivar las transformaciones
básicamente debemos distinguir entre la orientación interior, exterior y
coordenadas de punto en la imagen y el espacio objeto.
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 95
Orientación Interior: Xp, Yp punto principal C longitud focal calibrada
Orientación Exterior: Xo, Yo, Zo coordenadas del punto de perspectiva en el objeto
ω, , κ Ángulos de rotación en los tres ejes ω: rotación primaria (X)
: rotación secundaria (Y) κ: rotación terciaria (Z) R matriz de rotación Imagen → terreno M(= RT) Matriz de rotación Terreno → imagen Coordenadas de puntos x, y coordenadas de la imagen X, Y, Z coordenadas del objeto
La matriz de rotación (R) es utilizada para transformar las coordenadas de
la imagen al sistema de coordenadas del terreno.
En la literatura la matriz (M) de rotación representa la inversa de la matriz
de rotación (R) por lo que el sistema de coordenadas del terreno es
cambiado al sistema de la imagen, debido que las rotaciones son
ortogonales, la inversión de R se adquiere simplemente al trasponer esta
matriz por lo que la transpuesta de R que corresponde a M y la
transpuesta de M corresponde a R (MT = R).
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 96
8.1 Transformación de proyección
La relación de proyección entre dos planos es el modelo matemático más
simple utilizado en fotogrametría analítica. Este modelo fue introducido por
Otto Von Gruber ( 7-1) expresan las coordenadas de la imagen (x,y) como
función de las coordenadas del objeto (terreno, X,Y,Z) y ocho parámetros
transformación de proyección:
121
321
YcXc
aYaXax
(7-1)
121
321
YcXc
bYbXby
(7-2)
a1, a2, a3, b1, b2, b3, c1, c2. Parámetros de proyección (8). X, Y = Coordenadas del terreno x, y = Coordenadas de la Imagen
Los ocho parámetros deben satisfacer la condición:
a1a2 + b1b2 + c1c2 = 0
a12 + b1
2 + c12 = a1
2 + b22 + c2
2
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 97
Como se aprecia ocho (8) parámetros desconocidos definen la relación
comparados a los nueve (9) parámetros vistos en la ecuación de colinearidad
correspondientes a la orientación interior y exterior de la fotografía. Conociendo
cuatro (5) puntos de control, los cuales están contenidos en un plano común, se
pueden conocer los ocho parámetros de transformación de proyección
aplicando el modelo de Gauss-Markov de ecuaciones de observación de la
teoría de mínimos cuadrados.
La condición de que los puntos de control se encuentren en un mismo plano se
conoce como la condición de co – planaridad (5 puntos sobre el mismo plano)
que reemplaza uno de los nueve (9) parámetros de la ecuación de colinearidad.
Una ventaja clara de este modelo matemático es que las orientaciones interior y
exterior de la cámara no son necesarias. La mayor desventaja claro esta que
todos los puntos deben pertenecer o formar un plano de lo contrario las
deformaciones y distorsiones del modelo son inevitables. Una nota importante
en este modelo es que la coordenada del terreno (Z) no está presente ya que el
plano del objeto se relaciona con el plano de la imagen. Obviamente este
modelo tiene un limitado número de aplicaciones como lo son las fachadas de
edificios o de terrenos planos.
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 98
8.2 Transformación Lineal Directa (DLT)
La transformación lineal directa es una forma diferente de escribir la ecuación de
colinearidad. Esta fue introducida por Abdel – Aziz y Karara en 1971 para evitar
la calibración de cámaras de aficionados, y para medir las coordenadas del
comparador o de la máquina de forma directa en fotogrametría o redes de
triangulación fotogramétrica. Esta transformación elimina los parámetros de
orientación (Interior y exterior) existentes en la ecuación de colinearidad. Por lo
tanto el DLT tiene dos ventajas:
a) Primeramente, es una transformación directa del comparador o
máquina a las coordenadas del terreno.
b) Segundo, este modelo matemático es lineal y no requiere
aproximaciones.
El DLT puede ser derivado al combinar la transformación de Affine con la
ecuación de colinearidad.
)()(
)()(
033023013
031021011
ZZrYYrXXr
ZZrYYrXXrcxx xp
(7-3)
033023013
032022012
ZZrYYrYYr
ZZrYYrXXrcyy yp
(7-4)
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 99
Donde:
c x , c y :son dos longitudes focal de lente
:, yx :coordenadas del comparador
X, Y, Z :coordenadas del punto sobre el suelo Xo, Yo, Zo :coordenadas del centro
de perspectiva sobre el terreno. r11, r12, r13, r21, r22, r23, r31, r32,r33 :rotaciones en k,,
Si observamos cuidadosamente, notamos la primera diferencia con respecto a la
ecuación de colinearidad, existen dos longitudes de focal de lente. Para el DLT
solo existe una longitud de foco “c”. Lo que equivale a los factores de escala de
la transformación de Affine. Los otros cuatro (4) parámetros (dos
desplazamientos y dos rotaciones) están implícitos en otros parámetros de la
ecuación de colinearidad. Típicamente los desplazamientos del punto principal
con coordenadas pp yx , , junto a las rotaciones son compensados por la
rotación , alrededor del eje z.
Si escogemos las coordenadas del comparador ( x , y ) como función de las
coordenadas del terreno (x, y, z) obtenemos la siguiente:
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 100
111109
4321
ZLYLXL
LZLYLXLx (7-5)
111109
8765
ZLYLXL
LZLYLXLy (7-6)
donde los coeficientes de las coordenadas de tierra (L1 …L11) son lineales y
contienen las orientaciones interior y exterior. Como observamos se necesitan
más parámetros (once en total) que la ecuación regular de colinearidad (9, 6
exterior y 3 interior) y que la transformación de proyección (8 parámetros).
Si comparamos el DLT con la ecuación de colinearidad, los parámetros extras
cuentan o representan la deformación Affine de la película. Todos los once (11)
parámetros lineales pueden ser expresados como funciones de los elementos de
las orientaciones interior y exterior.
L
rcrxL
xp 1113
1
(7-7)
L
rcrxL
xp 2123
2
L
rcrxL
xp 3133
3
L
ZrYrXrcxxL
p 031021011
4
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 101
L
rcryL
yp 1213
5
L
rcryL
yp 2223
6
L
rcryL
yp 2233
7
L
ZrYrXrcyL
y
p
032022012
8
L
rL 13
9
L
rL 23
10
L
rL 33
11
033023013 ZrYrXrL
Se hace necesario el disponer de más de once observaciones para resolver este
modelo de la Teoría de los mínimos cuadrado. Si cada punto sobre el terreno
proporciona dos ecuaciones de observación (una por la coordenada x y otra por
y) se requieren al menos seis (6) puntos de control de terreno.
Las ecuaciones de observación pueden obtenerse al multiplicar el denominador
de la ecuación A por las coordenadas de la máquina. Los coeficientes de la
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 102
matriz de diseño son las coordenadas del terreno junto a las coordenadas de la
imagen. Las siguientes ecuaciones con la adición de correcciones en x y y
representan el modelo matemático. Las correcciones x y y toman en
consideración la distorsión del modelo:
xxZLxYLxXLxLZLYLXLvx 111094321 (7-8)
yxZLyYLyXLyLZLYLXLvy 111098765 (7-9)
Una vez los once parámetros han sido calculados, las orientaciones interior y
exterior de la cámara pueden ser calculadas de la siguiente forma:
2
11
2
10
2
91 LLLL (7-10)
2
11310291 LLLLLLLxp
2
11710695 LLLLLLLy p
222
3
2
2
2
1 px xLLLLc
222
7
2
6
2
5 py yLLLLc
LL9
1sin
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 103
11
101tanL
L
x
p
c
LLxLr
19
11
)cos(cos 111
r
1
8
4
1
11109
765
321
0
0
0
L
L
LLL
LLL
LLL
Z
Y
X
Algunas ventajas del modelo DLT son:
a) Proporciona una relación directa entre las coordenadas del comparador que
son medidas en el espacio imagen y los objetos en el terreno, que son el
resultado del proceso de posicionamiento fotogramétrico.
b) Las ecuaciones de observación son muy simples. Los coeficientes de
parámetros desconocidos son lineales.
c) No se necesitan valores iniciales de aproximaciones debido a que se tiene
un sistema lineal. De hecho el DLT es dado como método para estimar
valores aproximados para el ajuste de bloques.
d) Es posible el egresar parámetros de corrección para errores sistemáticos
yx , en la relación de perspectiva. Como lo son las distorsiones de la
cámara.
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 104
Por otro lado el DLT presenta algunas desventajas:
a) Necesitamos al menos seis puntos de control Tridimensional (X,Y,Z
conocidos) para resolver el sistema de once(11) parámetros por medio de
mínimo cuadrados.
b) La precisión del ajuste de bloque es mas baja con respecto a la ecuación
de colinearidad.
c) La solución es muy sensible a la configuración de los puntos de control en
el espacio-objeto.
En general el DLT es una herramienta simple utilizada en el proceso de
posicionamiento fotogramétrico de puntos. Su mayor aplicación fotogramétrico
de rango cercano, si cámaras de aficionados son usadas.
8.3 Ecuación de Colinearidad
Es el modelo matemático más popular en fotogrametría analítica. El significado
geométrico es muy simple: el punto objeto y su proyección en la imagen se
encuentran sobre una línea recta y atraviesan el centro de perspectiva. Estas
ecuaciones fueron usadas primeramente por H.H.Schmid en 1953 y extendidas
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 105
por D.C Brown en 1954. Originalmente estas ecuaciones fueron usadas para la
calibración de las cámaras.
033023013
031021011
ZZrYYrXXr
ZZrYYrXXrcxx p
(7-11)
033023013
032022012
ZZrYYrXXr
ZZrYYrXXrcyy p
(7-12)
cyx pp ,, :orientación interior y sistema de coordenadas de la
imagen en el centro de perspectiva.
000 ,, ZYX :Proyección del centro de perspectiva en el espacio
objeto (terreno).
,, : ángulos de rotación
ZYX ,, : Coordenadas de un punto sobre el espacio objeto(terreno).
En este modelo matemático todos los parámetros de orientación de la foto y los
puntos sobre el objeto están explícitamente presentes. Esto nos permite el
resolver por cada uno de éstos parámetros y sistema de coordenadas de puntos.
La ecuación de colinearidad puede ser derivada de dos formas diferentes:
triángulos semejantes y notación matriciales (vectores).
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 106
Utilizando triángulos semejantes vemos la siguiente figura:
Figura 7-1 Triángulos semejantes del centro de perspectiva.
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 107
Al momento de la exposición (toma fotográfica) del punto P (sobre el suelo), este
se encuentra sobre una línea recta con el punto p’ (sobre la imagen) y el centro
de perspectiva (O), en otras palabras los puntos P, p’ y O son colineales o
cumplen con el principio de colinearidad.
Se asume un sistema de coordenadas del espacio objeto (terreno) X, Y, Z que
puede ser rotado en su origen de forma tal que le hace paralelo al sistema de
coordenadas de la imagen (x, y, z).
Este sistema rotado se denomina X’, Y’, Z’. Podemos buscar los triángulos
similares en ambos planos X’Z’ y Y’Z’ y poder escribir las relaciones siguientes:
''
'
0'
ZZ
XX
c
xx
O
p
(7-13)
''
'
0'
ZZ
YY
c
yy
O
p
(7-14)
De aquí obtenemos
'
0
0
'
''
ZZ
XXcxx p
(7-15)
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 108
'
0
0
'
''
ZZ
YYcyy p
(7-16)
Estas funciones expresan las ecuaciones de colinearidad, sin embargo, el
sistema de coordenadas de terreno esta notado pues es paralelo al sistema de
coordenadas de la imagen. Esto significa que debemos aplicar rotaciones X’,
Y’,Z’. Esto equivale a rotar el vector que va del punto objeto al centro de
perspectiva es rotado desde un sistema paralelo al sistema de coordenadas de
la imagen a un sistema paralelo al espacio objeto (recuerde que R rota los ejes
del espacio imagen al objeto). Por lo tanto el sistema de coordenadas del objeto
se escriben como:
''
'
'
0
'
0
'
0
333231
232221
131211
0
0
0
ZZ
YY
XX
rrr
rrr
rrr
ZZ
YY
XX
(7-17)
La transformación inversa se logra al invertir la matriz R y como esta es
ortogonal, la inversa se obtiene con RT’. Utilizando las matrices anteriores
podemos escribir la ecuación de colinearidad final.
033023013
031021011
ZZrYYrXXr
ZZrYYrXXcrxx p
(7-18)
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 109
031021011 ZZrYYrXXrNx
032022012 ZZrYYrXXrNY
033023013 ZZrYYrXXrD
033023013
032022012
ZZrYYrXXr
ZZrYYrXXcryy p
(7-19)
o
D
Ncxx X
p (7-20)
D
Ncyy
y
p (7-21)
donde :
(7-22)
(7-23)
(7-24)
coscossinsincoscossincossincossinsin
cossinsinsinsincoscoscossinsinsincos
sinsincoscoscos
R (7-25)
Como es sabido los nueve parámetros de orientación de la matriz de rotación son
definidos por las rotaciones sobre los tres ejes principales. Para determinar todos
los coeficientes de rotación se deben cumplir seis condiciones de ortogonalidad.
Todos los vectores deben tener una longitud de uno y cualquier combinación debe
ser igual a uno.
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 110
0
1
133221
332211
rrrrrr
rrrrrr
TTT
TTT
(7-26)
Es importante resaltar que esta matriz de rotación es completamente dependiente
del orden de las rotaciones. En nuestro caso, la rotación primaria es alrededor del
eje X (rotación ω), la secundaria alrededor del eje Y (rotación φ), y la terciaria
alrededor del eje Z (rotación ). También se dice que la matriz de rotación
representa rotaciones jerárquicas.
8.3.1 Linearización de la Ecuación de Colinearidad
Para utilizar la ecuación de Colinearidad en el modelo Gauss-Markov de
ecuaciones de observación en la teoría de mínimos cuadrados, la ecuación de
Colineridad debe ser linearizada. Lo anterior se logra al aplicar series de Taylor
que se terminan con los términos lineales. La solución de dichas series requiere el
conocimiento de valores aproximados del vector incógnita del modelo Gauss-
Markov. Para linearizar la ecuación de colineridad, debemos escribir la misma
como una función de los parámetros de orientación y las coordenadas del objeto.
Las series de Taylor consiste de dos componentes: los valores aproximados de la
función f(xo) (7-28) y la suma de las derivadas de primer orden (2f/dx) veces la
corrección lineal (dx, 7-29).
),,,,,,,,,,( 000 ZYXZYXcxfxD
Ncxx p
Xp
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 111
),,,,,,,,,,( 000 ZYXZYXcyfyD
Ncyy p
y
p (7-28)
Series de Taylor:
dx
x
fxfxf o )()( (7-29)
Donde x= vector de parámetros incógnitos Xo = aproximaciones, ∂f/∂x = vector de todas las derivadas parciales dx= vector de corrección.
1
px
fx 1
py
fy
1aD
N
c
fx x
1b
D
N
c
fy y
211132
0
)( aDrNrD
c
X
fxx
212132
0
)( bDrNrD
c
X
fyy
321232
0
)( aDrNrD
c
Y
fxx
322232
0
)( bDrNrD
c
Y
fyy
431332
0
)( aDrNrD
c
Z
fxx
432332
0
)( bDrNrD
c
Z
fyy
5210310230330 )()())()(( arZZrYYD
NrZZrYY
D
cfx x
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 112
5210320230330 )()())()(( brZZrYYD
NrZZrYY
D
cfy y
6cos)sincos( aDD
NNN
D
cfx x
yx
6sin)sincos( bDD
NNN
D
cfy y
yx
7aND
cfxy
7bN
D
cfyx
813112)( arNrD
D
c
X
fxx
813122
)( brNrDD
c
X
fyy
923212)( arNrD
D
c
Y
fxx
923222
)( brNrDD
c
Y
fyy
1033312)( arNrD
D
c
Z
fxx
1033322
)( brNrDD
c
Z
fyy
Por cada punto medido en la imagen pueden escribir dos (2) ecuaciones de
observación, las cuales representan la forma linearizada de la ecuación de
colineridad. Para calcular los valores numéricos de las derivadas parciales se
requieren de valores aproximados de los parámetros desconocidos. En la
siguiente ecuación (7-39) los valores de ijij yx , están medidos en las
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 113
coordenadas de la imagen, 00
, ijij yx representan los valores calculados a partir
de los valores aproximados. El índice i cuenta el punto y el índice j cuenta la
fotografía o estación de exposición. Las ecuaciones de observación completa se
escribirían de la siguiente forma:
dcj
cj
fxdxv pjxij
0
orientación interior
0
00
dj
fxjd
j
fxjd
j
fx
ángulos de rotación.
jdZ
jZ
fxjdY
jY
fxjdX
jX
fxo
o
0
0
0
0
0
0
0
centro de perspectiva
dZi
Zi
fxdYi
Yi
fxdXi
Xi
fx000
coordenadas de terreno
)( 0 ijxxij discrepancias. (7-39)
anterioralsimilarvyij
Como se puede observar en el modelo de Gauss-Markov de ecuaciones de
observación de la teoría de mínimos cuadrados, el vector de observaciones (Y)
estará compuesto de todos los Vx y Vy, la matriz de diseño (A) estará compuesta
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 114
por los valores de las ecuaciones diferenciales parciales evaluadas con los valores
aproximados del vector de parámetros incógnitos.
8.4 Ajuste de Bloques
Los bloques fotográficos son representados por dos o más pares de fotografías
aéreas y que deben ser analizados como un todo generando un modelo
tridimensional de un área extensa de la superficie de la tierra. A través de los
bloques fotográficos se toma ventaja del uso de las computadoras, pues con
anterioridad a las computadoras, la creación de modelos tridimensionales estaba
limitado a los estéreo-trazadores análogos tipo proyección (i.e. Balplex Múltiple)
que normalmente tenían a disposición 8 proyectores o sea 4 pares fotográficos.
Es importante, además, que en el ajuste de bloque debemos distinguir dos tipos
diferentes de puntos. Los puntos de control distinguidos por el símbolo (∆), a los
cuales se les conocen todas sus coordenadas (X, Y, Z) en el terreno, Por otro
lado se tiene los puntos de amarre o puntos de pase distinguidos por el símbolo
(○), a los cuales se les desconoce sus coordenadas de terreno que pasan a ser
incógnitas dentro del modelo de Gauss-Markov y que deben ser resueltas
igualmente que los parámetros de transformación del modelo matemático que se
este utilizando para la orientación analítica.
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 115
Los puntos de amarre o pase contribuyen con tres incógnitas en el vector (X) de
parámetros desconocidos, pero contribuyen con 4 observaciones por par de
fotos aéreas utilizadas en el vector (Y) de observaciones.
Es pues tarea normal del profesional que planifica una misión de fotografía
aérea, el definir el número de puntos de control total o puntos de amarre que se
requieren en el análisis de un bloque fotográfico basado en el número de
observaciones que deben haber disponibles para el ajuste de mínimos
cuadrados y el número de parámetros desconocidos ha encontrar y definidos por
el modelo matemático que se utilizará.
Ejemplo:
Se tiene un bloque fotográfico de cuatro fotografías que fue tomado con una
cámara. Se conocen los parámetros de la orientación interna de la foto (xc, yc, c).
Dentro del bloque fotográfico existen los puntos de control (∆) 1,2, 7 y 8, Los
puntos 1 y 2 aparecen en las fotos No. 1 y No. 2 mientras que los puntos 7 y 8
aparecen en las fotos No. 3 y N. 4. Existen, además cuatro puntos de amarre (○)
3, 4, 5 y 6 que se encuentran en las cuatro fotografías. Determine la redundancia
del sistema si se utiliza la ecuación de colineridad como modelo.
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 116
∆..punto de control total.
○.. punto de amarre.
Parámetros desconocidos:
Centros de perspectiva (Xo, Yo, Zo) : 3 x 4 = 12
Ángulos de rotación (ω,φ ,) : 3 x 4 = 12 Coordenadas de los puntos de amarre (X,Y,Z) : 3 x 4 = 12 Total de incógnitas …… 36 parámetros Observaciones: 2 obs/punto x 4 puntos/foto x 6 fotos : 48 observaciones Redundancia:
n-m…. : 48 – 36 = 12 observaciones.
1 2
3 4
5 6
1 2
3 4
5 6
3 4
5 6
7 8
3 4
5 6
7 8
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 117
9.0 SELECCIÓN DE PUNTOS PARA LA FOTOGRAMETRÍA ANALÍTICA
Diferentes tipos de puntos pueden ser usados para la ubicación fotogramétrica.
Ellos son clasificados dependiendo de la ruta que hayan marcado sobre el terreno
o en las imágenes. En los siguientes puntos mostraremos la diferencia entre foco
natural, foco señalado, punto artificial y punto ficticio.
9.1 PUNTO NATURAL
Focos naturales son utilizados como el objeto principal para el tiempo de
exposición puede ser identificado después sobre la fotografía. Para pequeñas
escalas fotográficas estos pueden ser edificios, esquemas de campo, árboles
particulares o intersección de caminos. Para mapas de grandes escalas podemos
seleccionar c.1, esquinas de edificios o rocas. Los focos naturales son
seleccionados bajo un estereoscopio de espejo para hacerlo más seguro pueden
ser diferidos en los 30 y pueden ser medidos también. Esto puede ser útil para
separar los focos en verticales y horizontales (ejemplo el punto más alto de una
torre puede ser identificado muy bien en las posiciones horizontales no obstante,
es casi imposible medirlo estereoscópicamente debido al fondo que aparece en las
diferentes imágenes).
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 118
Si los focos naturales son usados como puntos de control, el operador tendrá que
salir con papel impresor de fotografía aérea e inspeccionar directamente en campo
los puntos de control. Solo se puede evitar el uso de puntos borrosos en el imagen
de la fotografía, cruzando líneas con un pequeño ángulo, y puntos. En áreas de
sombra, como bajo los árboles o edificios. Los puntos seleccionados son
marcados en el papel impresor. Son registrados para preparar pequeños
bosquejos del ambiente del objeto.
Puntos naturales son típicamente usados para la orientación absoluta de
ploteadores análogos y para mapas fotogramétricos en general. Resulta más
económicos que construir (focos o puntos) señalados, mientras que ellos son
menos precisos y no adecuados para posesionar puntos de alta precisión.
9.2 PUNTOS SEÑALADOS
Son puntos los cuales eran marcados por sobre la tierra antes de ser tomada la
fotografía. El foco es necesario para lograr una alta precisión y hacer seguro que
puntos iguales de buen contraste que son accesibles en toda la fotografía. Estos
focos pueden ser usados cono puntos de control si sus coordenadas geodésicas
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 119
son medidas por teodolitos, medidor de distancia electrónico o sistemas pocisional
global o simplemente con puntos atados para triangulación aérea.
De acuerdo con estos puntos los nombres comúnmente usados para diferentes
tipos de puntos de posición fotogramétrica tienen que ser discutidos:
- Puntos de control son usados para definir un dato para el arreglo por medio de su
tierra u objeto coordinados que son accesibles.
- Puntos de verificación son usados para determinar la precisión de las
coordenadas derivadas de arreglo fotogramétrico. Estos objetos coordenados son
accesibles y tienen medidas independientes por métodos geodésicos, mientras
que ellos no son incluidos en el arreglo fotogramétrico. Son usados solamente
para comparación.
- Puntos iguales son aplicados siempre iguales traslapando fotografías de un
bloque. Pueden ser identificados en diferentes imágenes; sus coordenadas
terrestres son determinadas por triangulación aérea.
El tamaño del punto depende de la escala de la imagen. Una formula simple para
estimar el diámetro en centímetros es dada por (8-1). Este tamaño del punto en la
imagen puede ser más grande que la marca medida, pero cada foco puede ser
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 120
claramente colocado en el instrumento fotogramétrico. De seguro el diámetro
también dependerá del contraste del foco y la base.
d (cm) = Si : equivalente a 17 y 33 μm en la imagen (8-1) 300 a 600
El siguiente ejemplo muestra como esta formula puede ser aplicada para computar
el diámetro del foco:
(a) Pequeña escala: mapa aéreo 1:30,000 d = 50 - 100 cm
(b) Escala grande fotogrametría catastral 1:4,000 d =7 - 13cm
(c) Aplicaciones terrestres (construcción) 1:250 d = 4 - 8mm
Este tamaño de punto también depende de la resolución del sensor. Si una
cámara CCD usada debemos considerar el espacio del píxel (dimensión del píxel).
Por ejemplo, si una cámara digital es usada en un aeroplano, el foco es usado para
imágenes iguales menores que 5-10 píxeles en el diámetro. Estos focos tienen
que estar aproximadamente 1m sobre la tierra.
Para una longitud focal, c =11 mm una dimensión del píxel de px = py = 10μm y
una altura de vuelo h = 100 m en la escala de la imagen Si = 9,090, h = 100m, Si =
9,090 pixel en tierra: 9cm
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 121
Sólo se tiene que considerar que el foco aparece (largo o grande) en la imagen ya
que ellos son el objeto para su alto contraste (este efecto es llamado "en flor" en
cámaras CCD). Pueden aparecer de 1.5 a 3 veces más largo que su tamaño
geométrico. En general, los focos pueden ser mayor que el tamaño de la marca
medida (20-25mm) o pueden ser más pequeñas que la marca medida en un anillo,
la cual usualmente es 40mm.
A fin de permitir la medida estereoscópica los focos pueden tener la misma
elevación que el área a su alrededor. Cambios abruptos de elevación causan
diferentes fondos (debido al desplazamiento del relieve) y hacer medidas verticales
se dificulta. La siguiente tabla muestra los colores que pueden ser usados como
focos con diferentes tipos de películas. A fin de encontrar los focos fácilmente en
la fotografía se marcan unas franjas y puntos auxiliares usados sobre el terreno
(figura 8-1).
Figura 8-1 Identificación de Puntos por rayado
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 122
9.3 PUNTOS ARTIFICIALES
Estos puntos son marcados artificialmente en la emulsión de la película por puntos
traspuestos como mencionamos en el capitulo anteriores esto es necesario, si son
usados monocomparadores para medir imágenes coordenadas. En el punto
transpuesto, puntos iguales son seleccionados con respecto a sus contrastes y
calidad estereoscópica, antes ellos son físicamente marcados sobre la película.
Usualmente, puntos artificiales corresponden a definir focos naturales. La
precisión producida por puntos iguales artificiales es casi equivalente a la precisión
producida por focos señalados. De seguro, la selección será hecha
cuidadosamente. Marcando artificialmente los focos es solamente posible si
rasgos naturales aparecen en la imagen, si esto no contrasta tiene que ser puesto
afuera.
9.4 PUNTOS FICTICIOS
Ningún punto ficticio aparece en la imagen ni en el objeto. Sus localizaciones son
definidas por un eje X-Y en el modelo estéreo, del explorador analíticos.
Usualmente, elevaciones son medidas estereoscópicamente en estas locaciones
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 123
(e.g. usando la red medida) como un método para capturar modelos digitales de
elevación. Ellos no pueden ser usados como nudos o puntos comunes.
9.5 LOCALIZACIÓN DE PUNTOS EN UN BLOQUE DE FOTOGRAFÍAS AÉREAS
La mejor localización para puntos de control es en los limites del bloque. Ambos
tipos de puntos, señalados y naturales pueden ser usados, dependiendo de la
precisión necesitada. Es necesaria una separación de puntos de control horizontal
y vertical para algunas aplicaciones. Focos señalados son mejoras para estabilizar
puntos iguales. Mientras, mejores definidos los focos naturales pueden hacer la
tarea, también, si ellos pueden se identificados en todas las superposiciones
fotográficas igualmente. De lo contrario, son necesarias marcas artificiales. Desde
un punto de vista económico, puntos artificiales marcados son la solución
económica.
Introducción a la Fotogrametría
Dr. Martín E. Candanedo G. 124
Conclusión El presente trabajo recopila material relacionado a la fotogrametría analítica en
donde se incorporan modelos matemáticos y conceptos tales como la teoría de
mínimos cuadrados. Modelos tales como la transformación de affine y las
transformación bilineal capaces de establecer una relación entre las
coordenadas de la máquina y las coordenadas de la imagen.
El estudiante de la carrera de licenciatura en Ingeniería Civil utiliza estos
conceptos no sólo para resolver los modelos matemáticos aquí planteados, sino
también, para buscar la solución de otros problemas como los manejados en los
procesos de digitalización de mapas y georeferenciación de imágenes digitales.
Por otro lado, se introducen temas como los Sistemas de Posicionamiento
Global, GPS, los sistemas de referencia terrestre, que vinculan al estudiante con
áreas de Geodesia y Catastro.
Al terminar el curso el estudiante tendrá las herramientas necesarias para
hacerle frente a proyectos donde se vinculen teorías de manejo de fotogrametría
Analítica y Fotogrametría Digital.
Recommended