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Anualidades
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PginaMatemtica Financiera Aplicada 2015
Julio Quispe Salguero
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MATEMATICA FINANCIERA APLICADA
PginaMatemtica Financiera Aplicada 2015
Una anualidad es una serie de pagos iguales que se efectan a
intervalos fijos durante cierto nmero de periodos.
Una anualidad es una serie de pagos que cumple con las siguientes
condiciones.
Todos los pagos son de igual valor
Todos los pagos se hacen a iguales intervalos de tiempo
A todos los pagos se les aplica la misma tasa de inters
El nmero de pagos es igual al nmero de periodos
2
PginaMatemtica Financiera Aplicada 2015
El concepto de anualidad es muy importante, ya que es frecuente que
las transacciones comerciales impliquen pagos iguales en trminos
iguales de tiempo, en lugar de un pago nico.
Son ejemplos de anualidades:
Pago mensual del crdito hipotecario o de la renta de la casa
Pago trimestral de los impuestos prediales
El pago o abono mensual por el pago de artefactos que se adquieren a plazos
El tiempo entre dos pagos sucesivos se llama periodo de pago o
periodo de renta
El inicio entre el primer periodo de pago y el ultimo se llama plazo de la
anualidad
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PginaMatemtica Financiera Aplicada 2015
Clasificacin de las anualidades
4
Por el Tiempo
Ciertas Contingentes
Los pagos comienzan y terminan en fechas definidasCuando las fechas de los pagos dependen de algn
suceso que se sabe ocurrir pero no se sabe cuando
Por los Pagos o Abonos
Vencidas Anticipadas
Llamadas ordinarias son las que se realizan al final del
periodoSon las que se realizan al principio de cada periodo
Por los intereses
Simples General
Periodo de Pago coincide con el periodo de
Capitalizacin de los intereses
Periodo de pago no coincide con el periodo de
capitalizacin de los intereses
Por el momento de iniciacin de la Anualidad
Inmediata Diferida
Los pagos se realizan desde el primer periodo de
pagoLos pagos se aplazan por cierto periodo de tiempo
Clasificacin de las Anualidades
PginaMatemtica Financiera Aplicada 2015
Anualidad cuyos pagos se efectan al final de cada periodo.
0 1 2 3 4 5
10,000 10,000 10,000 10,000 10,000
Aos
0 2 4 6 8 10
5,000 5,000 5,000 5,000 5,000
Aos
0 3 6 9 12 15
400 400 400 400 400
Meses
Una anualidad vencida de
S/.10 mil durante 5 aos a
intervalos anuales.
Una anualidad vencida de
S/.5 mil durante 10 aos a
intervalos bianuales.
Una anualidad vencida de
S/.400 durante 15 meses a
intervalos trimestrales.
5
Anualidades Vencidas u Ordinarias
PginaMatemtica Financiera Aplicada 2015
Anualidad cuyos pagos iguales realizan al inicio de cada periodo.
0 1 2 3 4 5
8,000 8,000 8,000 8,000 8,000
Aos
0 3 6 9 12 15
2,500 2,500 2,500 2,500 2,500
Aos
0 1 2 3 4 5
1,400 1,400 1,400 1,400 1,400
Meses
Una anualidad anticipada
de S/.8 mil durante 5 aos
a intervalos anuales.
Una anualidad anticipada
de S/.2.5 mil durante 12
aos a intervalos de tres
aos.
Una anualidad diferida de
S/.1.4 mil durante 5 meses
a intervalos mensuales
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Anualidades Anticipadas
PginaMatemtica Financiera Aplicada 20157
0 1 2 3 4
A
n
n-1
A A A A
VP = A (1+i)-1 + A (1+i)-2 + A (1+i)-3 + + A (1+i)-4 + A (1+i)-(n-1) + A (1+i)-(n)
VF = A (1+i)(n-1) + A (1+i)(n-2) + A (1+i)(n-3) + A (1+i)(n-4) + A (1+i)1 + A (1+i)0
Valor Presente y Futuro de Anualidades Vencidas
A
PginaMatemtica Financiera Aplicada 20158
0 1 2 3 4
A
n
n-1
A A AA
VP = A (1+i)-0 + A (1+i)-1 + A (1+i)-2 + + A (1+i)-3 + A (1+i)-(n-2) + A (1+i)-(n-1)
VF = A (1+i)(n) + A (1+i)(n-1) + A (1+i)(n-2) + A (1+i)(n-3) + A (1+i)2 + A (1+i)1
Valor Presente y Futuro de Anualidades Anticipadas
A
PginaMatemtica Financiera Aplicada 20159
VP = A1 (1+i)-n
iVF = A
(1+i)n 1
i
VF = A(1+i)n 1
i(1+i)VP = A
1 (1+i)-n
i(1+i)
VALOR PRESENTE VALOR FUTURO
ANUALIDAD VENCIDA
ANUALIDAD ANTICIPADA
Leyenda:
i : tasa de inters
n : nmero de periodos
A : anualidad
PginaMatemtica Financiera Aplicada 2015
EJEMPLOS
Calcular el Valor Presente (VP) y el Valor Futuro (VF) de
las siguientes anualidades:
Una anualidad vencida de S/.14.5 mil durante 7 aos a intervalos anuales.
Una anualidad vencida de S/.2.5 mil durante 10 aos a intervalos bianuales.
Una anualidad vencida de S/.750 durante 12 meses a intervalos bimestrales.
* En todos los casos considerar una TEA de 10%.
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Valor Presente y Futuro de Anualidades Vencidas
PginaMatemtica Financiera Aplicada 2015
EJEMPLOS
Calcular el Valor Presente (VP) y el Valor Futuro
(VF) de las siguientes anualidades:
Una anualidad anticipada de S/.3.4 mil durante 15 aos a intervalos anuales.
Una anualidad anticipada de S/.500 durante 12 meses a intervalos mensuales.
Una anualidad anticipada de S/.1.8 mil durante 4 aos a intervalos semestrales.
* En todos los casos considerar una TEA de 8%.
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Valor Presente y Futuro de Anualidades Anticipadas
PginaMatemtica Financiera Aplicada 201512
VP = VA(tasa, nper, pago,,0) VF = VF(tasa, nper, pago,,0)
VALOR PRESENTE (VP) VALOR FUTURO (VF)
ANUALIDAD VENCIDA
ANUALIDAD ANTICIPADA
VP = VA(tasa, nper, pago,,1) VF = VF(tasa, nper, pago,,1)
Leyenda:
tasa : tasa de inters
nper : nmero de periodos
pago : anualidad
0 : anualidad vencida
1 : anualidad anticipada
PginaMatemtica Financiera Aplicada 201513
Anualidad Diferida es aquella cuyo plazo comienza despus de
transcurrido un periodo sin pago, desde el momento en que la operacin
quedo formalizada.
El periodo inicial que transcurre entre el momento inicial y el inicio del
plazo de la anualidad se llama periodo de gracia o periodo de
diferimiento
0 1 2 3 4
A
76
A AA
5
A
8
0 1 2 3 4 5
Periodo de gracia Plazo de la anualidad
Anualidades Diferidas
PginaMatemtica Financiera Aplicada 201514
EJEMPLOS
Calcular el Valor Presente (VP) de las siguientes
anualidades:
Carlos compra un televisor mediante el pago de 6 mensualidades sucesivas de S/. 300, pagando la
primera cuota dentro de 3 meses despus de la
compra. Cual es el precio al contado del televisor si se
cobra una tasa de inters anual del 24%.
Miguel toma un curso de capacitacin que cuesta S/. 4000 soles, por el elevado monto solicita el siguiente
financiamiento, 5 pagos mensuales iguales con un
periodo de gracia de 2 meses cual es la mensualidad
si la tasa de inters es TEA 15%.
Valor Presente y Futuro de Anualidades Diferidas
PginaMatemtica Financiera Aplicada 2015
Anualidad cuyos pagos iguales se espera que se prolonguen indefinidamente.
Este tipo de anualidad se presenta, cuando se coloca un capital y unicamente se
retiran los intereses.
0 1 2 3 4 5
6,000 6,000 6,000 6,000 6,000
0 2 4 6 8 10
3,200 3,200 3,200 3,200 3,200
Aos
0 3 6 9 12 15
800 800 800 800 800
Meses
Una anualidad perpetua
de S/.6 mil a intervalos
anuales.
Una anualidad perpetua de
S/.3.2 mil a intervalos
bianuales.
Una anualidad perpetua de
S/.800 a intervalos
trimestrales.
Aos
. . .
. . .
. . .
15
PginaMatemtica Financiera Aplicada 2015
Solo existe el valor presente de una anualidad, el valor final de una anualidad infinita
sera infinito.
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VP = A1 (1+i)-n
i
VALOR PRESENTE
VALOR FUTURO
Leyenda:
i : tasa de inters
n : nmero de periodos (n )
A : anualidad
lim n = A
1 (1+i)-n
ilim
n
lim n = A
1 0
i=
A
i
PginaMatemtica Financiera Aplicada 201517
Series de gradientes, se basan en la suposicin terica que la cifra de una anualidad
se incrementara de manera constante en una misma cantidad o porcentaje.
Fernando adquiere una maquinaria y espera que el costo de mantenimiento sea
S/.100 en el primer ao y espera que en los siguientes periodos aumente a razn de
S/.50, por los siguiente 5 periodos. Cual es el valor presente si se tiene una tasa de
8% anual.
0 1 2 3 4 5
100
150
200
250
300
6
350
La gradiente se denota por G y en el ejemplo seria igual a S/. 50 que es el
incremento de la anualidad en el segundo periodo
VP=?
Series de Gradientes
PginaMatemtica Financiera Aplicada 201518
EJEMPLOS
Calcular el Valor Presente (VP) de las siguientes anualidades:
Una inversin en bonos otorga un pago anual de S/.1,200 indefinidamente. Cual es el valor presente de los pagos futuros?
Una empresa familiar genera utilidades semestrales de S/.300, el dueo espera que la misma permanezca en su familia indefinidamente
cual ser el valor presente de las utilidades que otorga la empresa.
Calcular el valor presente de una mensualidad perpetua de S/.100.
* En todos los casos considerar una TEA de 12%.
PginaMatemtica Financiera Aplicada 201519
La solucin de anualidades con gradientes se puede realizar desdoblando la
anualidad del incremento o decremento constante
0 1 2 3 4 ..
AA + G
A+ 2G
A + 3G
A + (n 1)G
n
P
=0 1 2 3 4 ..
A
n
P
AAA A
0 1 2 3 4 ..
G2G
3G
(n 1)G
n+
P
P = A1 (1+i)-n
iP = P =
G (1+i)n -1
ii- n
(1+i)n1
+
Series de Gradientes
PginaMatemtica Financiera Aplicada 201520
EJEMPLOS
Calcular el Valor Presente (VP) de las siguientes series de
gradientes:
Fernando adquiere una maquinaria y espera que el costo de mantenimiento sea S/.1000 en el primer ao y espera que en los
siguientes periodos aumente a razn de S/.500, por los siguiente 5
periodos. Cual es el valor presente si se tiene una tasa de 12% anual.
Una tienda de artefacto vende televisores con las siguiente condiciones S/. 2,000, como primer pago y 9 pagos mensuales adicionales que
disminuyen a razn de S/. 100 cada mes con respecto al pago anterior.
Si el inters es 12% anual. Cual es el valor a pagar al contado por la
compra de la computadora.
Series de Gradientes
PginaMatemtica Financiera Aplicada 2015
Explique:
a) Suponga un depsito de S/.7,500 al final de cada uno de los tres aos siguientes en una
cuenta de ahorro que paga 3% de TEA. Cunto tendr al terminar el periodo de tres
aos?
b) Suponga un depsito de S/.7,500 al inicio de cada uno de los tres aos siguientes en una
cuenta de ahorro que paga 3% de TEA. Cunto tendr al terminar el periodo de tres
aos?
c) Qu diferencia hay en el valor futuro de la anualidad de S/7,500 de acuerdo a los
resultados de a y b?
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PginaMatemtica Financiera Aplicada 201522
Para la compra de un automvil que vale $25,000, se exige una cuota inicial del 40% y el
resto se cancela en 5 cuotas mensuales, A cuanto ascender la cuota, si los intereses
son del 1.5% efectivo mensual?
Una persona arrienda una casa en $5,000 pagaderos por mes anticipado. Si tan pronto
como recibe cada arriendo lo invierte en un fondo que le paga el 2% efectivo mensual.
Cul ser el monto de sus ahorros al final del ao?
El contrato de arriendo de una casa estipula pagos mensuales de $4,000, al prinicpio de
cada mes, durante un ao. Si suponemos un inters del 12% anual. Cul ser el valor
del pago nico que, hecho al principio del contrato, lo cancelaria en su totalidad?
PginaMatemtica Financiera Aplicada 201523
Palma Industria S.A. requiere contar con oficinas, por un periodo de 10 aos, para ello
tiene dos alternativas, emplear el edificio A o emplear el edificio B. Ambos edificioscumplen con las especificaciones que requiere la empresa, la diferencia radica en:
a) El edificio A requiere S/.5 millones cada ao como costo de mantenimiento y S/.6millones cada 5 aos para reparaciones
b) El edificio B requiere S/.5.1 millones cada ao como costo de mantenimiento yS/.1 milln cada 2 aos para reparaciones.
Suponiendo una TEA del 15% Cul de los edificios le resulta mas conveniente utilizar?
PginaMatemtica Financiera Aplicada 2015
Palma Industria S.A. desea adquirir un equipo de procesamiento para su planta. En la
lnea de tiempo mostrada a continuacin le presentan la serie de pagos (en dlares) que
debera hacer al inicio de cada ao, durante 5 aos. Palma Industria desea que le ayude
a sustituir esta serie de pagos por el equivalente a una serie de 5 pagos anuales:
a) Iguales anticipados
b) Iguales vencidos
24
0 1 2 3 4 5
10,000
Aos
10,000 10,000
5,000 5,000
TEA = 10%
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