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Matematicas Avanzadas para IngenierıaNumeros Complejos: Problemas Resueltos
1. Si z1 = 3 + 2 i y z2 = 4 + 7 i, calcule:
a) z1 + z2 b) z1 − z2 c) z1 · z2 d) z2/z1e indique la opcion con su resultado dentro de la siguiente lista:
1) 2− i 2) −2 + 29 i 3) −2− 29 i
4) 7 + 9 i 5) 2 + i 6) −1− 5 i
Solucion
a) z1 + z2 = (3 + 2 i) + (4 + 7 i)
= 3 + 4 + 2 i + 7 i
= 7 + 9 i agrupado respecto a i
b) z1 − z2 = (3 + 2 i)− (4 + 7 i)
= 3− 4 + 2 i− 7 i
= −1− 5 i agrupado respecto a i
c) z1 · z2 = (3 + 2 i) · (4 + 7 i)
= (3) · (4) + (2 i) · (4) + (3) · (7 i) + (2 i) · (7 i) todos contra todos
= 12 + 8 i + 21 i + 14 i2
= 12 + 8 i + 21 i− 14 cambiando i2 = −1
= 12− 14 + 8 i + 21 i
= −2 + 29 i agrupado respecto a i
d)z2z1
= 4+7 i3+2 i
= 4+7 i3+2 i ·
3−2 i3−2 i multiplicando por conjugado del denominador
= (4+7 i)·(3−2 i)(3+2 i)·(3−2 i)
= 12+21 i−8 i−14 i2
9+6 i−6 i−4 i2 multiplicando arriba y abajo
= 12+21 i−8 i+149+6 i−6 i+4 cambiando i2 = −1
= 26+13 i13 agrupado respecto a i
= 2613 + 13
13 i distribuyendo el denominador que es real
= 2 + i
2. Si z1 = −4− 2 i, z2 = 2 + 4 i y z3 = 3 + 2 i, calcule:
a) z1 · (z2 − z3) c) (z1 + z2) · (z1 − z3)
Solucion
a) z1 · (z2 − z3) = (−4− 2 i) · ((2 + 4 i)− (3 + 2 i))
= (−4− 2 i) · (−1 + 2 i)
= (−4) · (−1) + (−2 i) · (−1) + (−4) · (2 i) + (−2 i) · (2 i)
= 4 + 2 i− 8 i− 4 i2
= 4 + 2 i− 8 i + 4
= 8− 6 i
c) (z1 + z2) · (z1 − z3) = ((−4− 2 i) + (2 + 4 i)) · ((−4− 2 i)− (3 + 2 i))
= (−2 + 2 i) · (−7− 4 i)
= (−2) · (−7) + (2 i) · (−7)+
(−2) · (−4 i) + (2 i) · (−4 i)
= 14− 14 i + 8 i− 8 i2
= 14− 14 i + 8 i + 8
= 22− 6 i
3. Realice los siguientes calculos:
Ma3002, Numeros Complejos: Problemas Resueltos 2
a) i13
b) i20
c) i23
d) i−7
e) i−17
y ubique los resultados dentro de esta lista de respuestas:
1) 1
2) −1
3) i
4) −i
Solucion
A tener presente:
Las primeras potencias enteras de i:
i0 = 1, i1 = i, i2 = −1, i3 = i2 · i = −i, i4 = i2 · i2 = 1
El algoritmo de la division para enteros: Todo numero entero n se puede expresar en la forma
n = 4 · q + r, con 0 ≤ r ≤ 3 = 4− 1
con q y r enteros; a r se conoce como el residuo de la division y puede obtenerse con la funcion mod. Observe que si
se tiene r = nmod 4, entonces
q = (n− r)/4
Respuesta:
a) Como 13 mod 4 = 1, q = (13− 1)/4 = 3, ası
i13 = i4·3+1 = i4·3 · i1 =(i4)3 · i = 1 · i = i
b) Como 20 mod 4 = 0, q = (20− 0)/4 = 5, ası
i20 =(i4)5 · i0 = 1
c) Como 23 mod 4 = 3, q = (23− 3)/4 = 5, ası
i23 =(i4)5 · i3 = −i
d) Como −7 mod 4 = 1, q = (−7− 1)/4 = −2, ası
i−7 =(i4)−2 · i1 = i
e) Como −17 mod 4 = 3, q = (−17− 3)/4 = −5, ası
i−17 =(i4)−5 · i3 = −i
Tomando en cuenta las posiciones posibles de las respuestas, debe anotarse:
3, 1, 4, 3, 4
4. ¿Cuanto debe valer el real x para que el complejo (3 + x i)2
sea imaginario puro?
Respuesta:
Solucion
Recordemos que para que un numero complejo sea imaginario puro se requiere que su parte real sea cero. Como
(3 + x i)2
= 9− x2 + 6x i
entonces, para que sea imaginario puro se requiere que 9− x2 = 0. Tenemos dos valores posibles para x: x = 3 y x = −3.
Ma3002, Numeros Complejos: Problemas Resueltos 3
5. ¿Cuanto debe valer el real x para que se verifique la igualdad:
x− 6 i
1− i= 7 + i
Solucion
Si
x− 6 i
1− i= 7 + i
entonces
x− 6 i = (1− i) · (7 + i)
= (1) · (7) + (−i) · (7) + (1) · (i) + (−i) · (i)= 7− 7 i + i− i2
= 7− 7 i + i + 1
= 8− 6 i
Igualando las partes reales de ambos miembros tenemos que x = 8
6. Indique los valores del numero real x para que el producto:
(2 + 7 i) · (6 + x i)
sea:
1) Un imaginario puro
2) Un numero real
Solucion
Recordemos que para que un numero complejo sea imaginario puro se requiere que su parte real sea cero. Mientras que para
que sea real se requiere que su parte imaginaria sea cero. Como
(2 + 7 i) · (6 + x i) = 12− 7x+ (2x+ 42) i
entonces,
para que sea imaginario puro se requiere que 12− 7x = 0: x = 12/7.
para que sea real se requiere que 2x+ 42 = 0: x = −21.
Ma3002, Numeros Complejos: Problemas Resueltos 4
7. Cuanto deben valer el real x y el real y para que se verifique la igualdad:
x+ 3 i
1− 4 i+ y i = 1
Respuesta:
Solucion
Recordemos que para que dos numeros complejos sean iguales sus partes reales deben ser iguales. Ası como sus partes
imaginarias deben ser iguales. Como
x+ 3 i
1− 4 i+ y i =
x
17− 12
17+
(4x
17+ y +
3
17
)i = 1
entonces, requerimos x y y cumplan
x
17− 12
17= 1 y
4x
17+ y +
3
17= 0
por tanto x = 29 y y = 7
8. Si
z1 + z2 = 10 + 4 i , z1 + z2 = 10− 8 i
z1 − z3 = 4− 2 i , z1 − z3 = 4 + 4 i
z1 · z4 = 1 + 5 i , z1 · z4 = −5− i
z1/z5 = −1
2, z1/ (z5) =
2
5+
3
10i
determine la parte imaginaria de:
1) z1 − z32) z1 − z33) z1 · z4
Ma3002, Numeros Complejos: Problemas Resueltos 5
4) z1 + z2
5) (z1) / (z5)
Solucion
Recordemos las propiedades importantes que tiene el conjugado de un numero complejo
El conjugado del conjugado de un numero complejo es el numero complejo original:
(c) = c
El conjugado de una suma(resta) de numeros complejos es la suma(resta) de los conjugados de los complejos:
c ± e = c ± e
El conjugado de un producto de numeros complejos es el producto de los conjugados de los complejos:
c · e = c · e
El conjugado de un division de numeros complejos es la division de los conjugados de los complejos:( ce
)=
c
e
Con ello mente para determinar
1) z1 − z3, calculemos su conjugado
z1 − z3 = z1 − z3 = z1 − z3 =dato 4 + 4 i
Por lo tanto, z1 − z3 = 4 + 4 i = 4− 4 i
2) z1 − z3, calculemos su conjugado
z1 − z3 = z1 − z3 =dato 4− 2 i
Por lo tanto, z1 − z3 = 4− 2 i = 4 + 2 i
3) z1 · z4, calculemos su conjugado
z1 · z4 = z1 · z4 = z1 · z4 =dato 1 + 5 i
Por lo tanto, z1 · z4 = 1 + 5 i = 1− 5 i
4) z1 + z2, calculemos su conjugado
z1 + z2 = z1 + z2 = z1 + z2 =dato 10− 8 i
Por lo tanto, z1 + z2 = 10− 8 i = 10 + 8 i
5) (z1) / (z5), calculemos su conjugado(z1z5
)=
z1z5
=z1z5
=dato −1/2
Por lo tanto, (z1) / (z5) = −1/2 = −1/2 = −1/2 + 0 i
9. Si z1 = −1 + 3 i y z2 = −4− 8 i, calcule:
a)z1z2
c)z1z2
e)z1z2
Ma3002, Numeros Complejos: Problemas Resueltos 6
Solucion
a)z1z2
=−1 + 3 i
−4− 8 i
=−1 + 3 i
−4− 8 i· −4 + 8 i
−4 + 8 i
=(−1 + 3 i) · (−4 + 8 i)
(−4− 8 i) · (−4 + 8 i)
=−20− 20 i
80
= − 14 −
14 i
c)z1z2
=−1 + 3 i
−4− 8 i=−1 + 3 i
−4 + 8 i
=−1 + 3 i
−4 + 8 i· −4− 8 i
−4− 8 i
=(−1 + 3 i) · (−4− 8 i)
(−4 + 8 i) · (−4− 8 i)
=28− 4 i
80
= 720 −
120 i
e)z1z2
=z1z2
=
(z1z2
)=
(z1z2
)=
(z1z2
)=
(7
20− 1
20i
)= 7
20 + 120 i
10. Suponga dados los siguientes numeros complejos en sus diferentes representaciones:
1) z1 = 3− 2 i
2) z2 = (2, 4)
3) z3 = 5 e13 π i
4) z4 = 5 cis(− 43 π)
5) z5 =
[5 −2
2 5
]Determine la parte real de:
1) (z1)2
2) (z2)3
3) (z3)4
4) (z4)5
Solucion
Ma3002, Numeros Complejos: Problemas Resueltos 7
11. Determine el numero complejo z = x+ y i que satisface la ecuacion:
z = 5 z + (5 + i)
Reporte el valor de x y de y.
Solucion
A tener presente:
Que es el conjugado de un numero complejo:
x+ y i = x− y i
Cuando dos numeros complejos son iguales:
a1 + b1 i = a2 + b2 i→ a1 = a2 y b1 = b2
Un numero complejo es cero si y solo si su parte real y su parte imaginaria son cero:
w = 0 ↔ Re(w) = 0 y Im(w) = 0
Sustituyendo z = x+ y i en la ecuacion:
z = 5 z + (5 + i)
x+ y i = 5 · (x+ y i) + (5 + i)
= 5 · (x− y i) + (5 + i)
= 5x− 5 y i + 5 + i
x+ y i = 5x+ 5 + (−5 y + 1) i
De la igualdad obtenemos las ecuaciones:
x = 5x+ 5
y = −5 y + 1
Resolviendo las ecuaciones obtenemos:
x = −5
4y y =
1
6
Debemos entregar como respuesta
−1.25, 0.1666
Este problema se puede hacer facilmente en la calculadora. Primeramente se limpian la variables x, y y z. Despues se define
z como x+ y i. Seguido de ello notamos que como en muchas situaciones es mas conviente escribir la relacion A = B como
A−B = 0; con esta observacion la expresion que va a dar origen a nuestras ecuaciones se maneja como
z − (5 z + (5 + i)) = 0
Salvamos el lado derecho en una variable auxiliar, y resolvemos para x y y obligando que la parte real y la parte imaginaria
sean cero.
Ma3002, Numeros Complejos: Problemas Resueltos 8
12. Determine el numero complejo z = x+ y i que satisface la ecuacion:
z = −5 i z + (−5 + i)
Reporte el valor de x y de y.
Solucion
A tener presente:
Que es el conjugado de un numero complejo:
x+ y i = x− y i
Cuando dos numeros complejos son iguales:
a1 + b1 i = a2 + b2 i→ a1 = a2 y b1 = b2
Un numero complejo es cero si y solo si su parte real y su parte imaginaria son cero:
w = 0 ↔ Re(w) = 0 y Im(w) = 0
Sustituyendo z = x+ y i en la ecuacion:
z = −5 i z + (−5 + i)
x+ y i = −5 i (x+ y i) + (−5 + i)
= −5 i (x− y i) + (−5 + i)
= −5 y − 5x i +−5 + i
x+ y i = −5 y − 5 + (1− 5x) i
De la igualdad obtenemos las ecuaciones:
x = −5 y − 5
y = 1− 5x
Resolviendo las ecuaciones obtenemos:
x =5
12y y = −13
12
Debemos entregar como respuesta
0.416,−1.083
Este problema se puede hacer facilmente en la calculadora. Primeramente se limpian la variables x, y y z. Despues se define
z como x+ y i. Seguido de ello notamos que como en muchas situaciones es mas conviente escribir la relacion A = B como
A−B = 0; con esta observacion la expresion que va a dar origen a nuestras ecuaciones se maneja como
z − (−5 i z + (−5 + i)) = 0
Salvamos el lado derecho en una variable auxiliar, y resolvemos para x y y obligando que la parte real y la parte imaginaria
sean cero.
Ma3002, Numeros Complejos: Problemas Resueltos 9
13. Determine el numero complejo z = x+ y i que satisface la ecuacion:
z = (1 + i) z + (3 + 3 i)
Reporte el valor de x y de y.
Solucion
A tener presente:
Que es el conjugado de un numero complejo:
x+ y i = x− y i
Cuando dos numeros complejos son iguales:
a1 + b1 i = a2 + b2 i→ a1 = a2 y b1 = b2
Un numero complejo es cero si y solo si su parte real y su parte imaginaria son cero:
w = 0 ↔ Re(w) = 0 y Im(w) = 0
Sustituyendo z = x+ y i en la ecuacion:
x+ y i = (1 + i) ·(x+ y i
)+ (3 + 3 i)
= (1 + i) · (x− y i) + (3 + 3 i)
= (1 + i) · x− (1 + i) · y · i + 3 + 3 i
= x+ x i− y · i + y + 3 + 3 i
x+ y i = x+ y + 3 + (x− y + 3) i
De la igualdad obtenemos las ecuaciones:
x = x+ y + 3
y = x− y + 3
Resolviendo las ecuaciones obtenemos:
x = −9 y y = −3
Debemos entregar como respuesta
−9,−3
Este problema se puede hacer facilmente en la calculadora. Primeramente se limpian la variables x, y y z. Despues se define
z como x+ y i. Seguido de ello notamos que como en muchas situaciones es mas conviente escribir la relacion A = B como
A−B = 0; con esta observacion la expresion que va a dar origen a nuestras ecuaciones se maneja como
z − ((1 + i) z + (3 + 3 i)) = 0
Salvamos el lado derecho en una variable auxiliar, y resolvemos para x y y obligando que la parte real y la parte imaginaria
sean cero.
Ma3002, Numeros Complejos: Problemas Resueltos 10
14. Determine el numero complejo z = x+ y i que satisface la ecuacion:
z = (−2 + i) z + (−2 + 5 i)
Reporte el valor de x y de y.
Solucion
A tener presente:
Que es el conjugado de un numero complejo:
x+ y i = x− y i
Cuando dos numeros complejos son iguales:
a1 + b1 i = a2 + b2 i→ a1 = a2 y b1 = b2
Un numero complejo es cero si y solo si su parte real y su parte imaginaria son cero:
w = 0 ↔ Re(w) = 0 y Im(w) = 0
Sustituyendo z = x+ y i en la ecuacion:
z = (−2 + i) z + (−2 + 5 i)
x+ y i = (−2 + i) (x+ y i) + (−2 + 5 i)
= −2x− y + (x− 2 y) i + (−2 + 5 i)
x+ y i = −2x− y − 2 + (x− 2 y + 5) i
De la igualdad obtenemos las ecuaciones:
x = −2x− y − 2
y = x− 2 y + 5
Resolviendo las ecuaciones obtenemos:
x = −11
10y y =
13
10
Debemos entregar como respuesta
−1.1, 1.3
Este problema se puede hacer facilmente en la calculadora. Primeramente se limpian la variables x, y y z. Despues se define
z como x+ y i. Seguido de ello notamos que como en muchas situaciones es mas conviente escribir la relacion A = B como
A−B = 0; con esta observacion la expresion que va a dar origen a nuestras ecuaciones se maneja como
z − ((−2 + i) z + (−2 + 5 i)) = 0
Salvamos el lado derecho en una variable auxiliar, y resolvemos para x y y obligando que la parte real y la parte imaginaria
sean cero.
Ma3002, Numeros Complejos: Problemas Resueltos 11
15. Suponga un numero complejo z = x+y i, con x 6= 0 y y 6= 0; suponga tambien que esta determinando su argumento principal
calculando
θ = tan−1(yx
)Para cada una de las siguiente alternativas:
a) z en el segundo cuadrante
b) z en el primer cuadrante
c) z en el cuarto cuadrante
d) z en el tercer cuadrante
indique la opcion que contiene el argumento principal en la lista:
1) θ
2) θ + π
3) θ − π
Recuerde las reglas: el argumento de un numero complejo se calcula directamente con la tangente inversa si el complejo esta
en los cuadrantes a la derecha (1 y 4) pero se suma π para si el complejo esta segundo cuadrante y se resta π si el complejo
esta en el tercer cuadrante.
a) z en el segundo cuadrante, Arg(z) = θ + π
b) z en el primer cuadrante, Arg(z) = θ
c) z en el cuarto cuadrante, Arg(z) = θ
d) z en el tercer cuadrante, Arg(z) = θ − π
16. Sin hacer uso de una calculadora, determine el argumento principal de cada uno de los siguientes numeros complejos:
a) z1 = 1 + i b) z2 = −1−√
3 i c) z3 = −√
3− i
d) z4 = −1 + i e) z5 =√
3− i
Respuesta:
Debemos tener en mente los trıangulos obtenidos del cuadrado de lado 1 y el trıangulo equilatero de lado 2.
1
1
11
√2
45o
2
22
1
√3
60o
30o
De aquı:
tan (45o) =1
1, tan (60o) =
√3
1, tan (30o) =
1√3
o en terminos de las inversas:
tan−1(
1
1
)= 45o =
π
4, tan−1
(√3
1
)= 60o =
π
3, tan−1
(1√3
)= 30o =
π
6
a) Para Arg (z1), al estar z1 en el primer cuadrante tenemos que
Arg (z1) = tan−1(
Im(z1)
Re(z1)
)= tan−1
(1
1
)=π
4
Ma3002, Numeros Complejos: Problemas Resueltos 12
b) Para Arg (z2), grafiquemos el numero complejo y utilicemos adecuadamente el triangulo obtenido del triangulo equilate-
ro.
−1
60o
−√
3
z2
Arg (z2)
De la figura anterior obtenemos
Arg (z2) = −(180o − 60o) = −(π − 1
3π) = −2
3π
c) Para Arg (z3), grafiquemos el numero complejo y utilicemos adecuadamente el triangulo obtenido del triangulo equilate-
ro.
−130o
−√
3
z3
Arg (z3)
De la figura anterior obtenemos
Arg (z3) = −(180o − 30o) = −(π − 1
6π) = −5
6π
d) Para Arg (z4), grafiquemos el numero complejo y utilicemos adecuadamente el triangulo obtenido del cuadrado.
−1
45o1
z4
Arg (z4)
De la figura anterior obtenemos
Arg (z4) = 180o − 45o = π − 1
4π =
3
4π
Ma3002, Numeros Complejos: Problemas Resueltos 13
e) Para Arg (z5), grafiquemos el numero complejo y utilicemos adecuadamente el triangulo obtenido del triangulo equilate-
ro.
√3
−1
30oArg (z5)
z5
De la figura anterior obtenemos
Arg (z5) = −30o = −1
6π
17. Realice los siguientes calculos:
a) z1 = i16
b) z2 = i21
c) z3 = i23
d) z4 = i−10
e) z5 = i−17
y calcule el argumento principal de cada uno.
Solucion
Como
a) z1 = i16 = i4·4 =(i4)4
= 1, Arg (z1) = 0.
b) z2 = i21 = i5·4+1 =(i4)5 · i = i, Arg (z2) = π/2
c) z3 = i23 = i5·4+3 =(i4)5 · i3 = i3 = −i, Arg (z3) = −π/2
d) z4 = i−10 = i−3·4+2 =(i4)−3 · i2 = i2 = −1, Arg (z4) = π
e) z5 = i−17 = i−5·4+3 =(i4)−5 · i3 = i3 = −i, Arg (z5) = −π/2
18. Determine el modulo de cada uno de los numeros complejos:
a) z1 = 9 + 2 i
b) z2 = 3 i
c) z3 = 4− 3 i
Solucion
Recuerde que el modulo de un complejo z = x+ y i representa la distancia del origen en el plano complejo al punto (x, y) y
por tanto:
|z| = |x+ y i| =√x2 + y2
y representando distancia, no puede tomarse la raız negativa. Otra cosa a recordar es no llevar i en y2.
a) |z1| =√
(9)2 + (2)2 =√
81 + 4 =√
85
b) |z2| =√
(0)2 + (3)2 =√
0 + 9 =√
9 = 3
c) |z3| =√
(4)2 + (−3)2 =√
16 + 9 =√
25 = 5
Ma3002, Numeros Complejos: Problemas Resueltos 14
19. Si |z1| = 6 y |z2| = 2, determine el modulo de los siguientes numeros complejos:
1) z2
2) z1 · z23) z2/z1
4) z21
5) (z1)2
Solucion
Recordemos las propiedades importantes que tiene el modulo de un numero complejo
El modulo del conjugado de un numero complejo es el modulo del complejo original:
|z| = |z|
El modulo de un producto es el producto de los modulos:
|z1 · z2| = |z1| · |z2|
El modulo de una division es la division de los modulos:∣∣∣∣z1z2∣∣∣∣ =|z1||z2|
El modulo de una potencia real es la potencia de los modulos
|zn| = (|z|)n
Con ello mente para determinar
1) |z2| = |z2| =dato 2
2) |z1 · z2| = |z1| · |z2| =dato 6 · 2 = 12
3) |z2/z1| = |z2| / |z1| =dato 2/6 = 1/3
4)∣∣z21∣∣ = |z1|2 =dato 62 = 36
4)∣∣(z2)2
∣∣ = |(z2)|2 = |z2|2 =dato 22 = 4
20. Suponga dados los siguientes numeros complejos en sus diferentes representaciones:
1) z1 = 3− 2 i
2) z2 = (2, 4)
3) z3 = 5 e13 π i
4) z4 = 5 cis(− 43 π)
5) z5 =
[5 −2
2 5
]
Ma3002, Numeros Complejos: Problemas Resueltos 15
Determine el modulo de cada uno.
Solucion
a) |z1| =√
32 + (−2)2 =√
13
b) |z2| =√
22 + 42 =√
20
c) En el formato POLAR tenemos directamente el modulo del complejo:
|z3| = |5 e13 π i| = 5
d) En el formato CIS tenemos directamente el modulo del complejo:
|z4| = |5 cis(−4/3π)| = 5
e) En el formato matricial el primer renglon contiene las partes real y compleja del numero:
|z5| =√
52 + (−2)2 =√
29
21. Suponga dados los siguientes numeros complejos en sus diferentes representaciones:
1) z1 = 3− 2 i
2) z2 = (2, 4)
3) z3 = 5 e13 π i
4) z4 = 5 cis(− 43 π)
5) z5 =
[5 −2
2 5
]Determine el argumento de cada uno de los numeros complejos dados. Reporte su resultado en radianes en (−π,+π].
Solucion
a) Notamos que por los signos de la parte real e imaginaria el numero complejo esta en el cuarto cuadrante. Por tanto
Arg(z1) = −tan−1(2/3) ≈ −0.588
b) Notamos que por los signos de la parte real e imaginaria el numero complejo esta en el cuarto cuadrante. Por tanto
Arg(z2) = +tan−1(4/2) ≈ 1.107
c) En el formato POLAR tenemos directamente el argumento del complejo:
Arg(z3) = arg(5 e13 π i) = 1
3 π
d) En el formato CIS tenemos directamente el argumento del complejo:
Arg(z4) = arg(5 cis(−4/3π)) = −4/3π
e) En el formato matricial el primer renglon contiene las partes real y compleja del numero y por los signos de la parte
real e imaginaria el numero complejo esta en el cuarto cuadrante :
arg(z5) = +tan−1(−2
5
)≈ −0.308
El problema con este formato es que no esta consolidado; algunos autores utilizan la primera columna. En cuyo caso,
el complejo estara en el primer cuadrante y por tanto,
Arg(z5) = tan−1(
2
5
)≈ 0.308
22. Para los siguientes numeros complejos:
1) z1 = 3∠80o
2) z2 = 2∠ 16 π
3) z3 = 4 cis (40o)
4) z4 = 3 cis(16 π)
5) z5 = 3 cis (120o)
determine
Ma3002, Numeros Complejos: Problemas Resueltos 16
a) La parte imaginaria de z1
b) La parte imaginaria de z2
c) La parte imaginaria de z3
d) La parte real de z4
e) La parte real de z5
Escribimos los numeros en sus formas binomicas:
1) z1 = 3∠80o = 3 · cos (80o) + 3 · sin (80o) · i ≈ 0.52094 + 2.9544 · i2) z2 = 2∠ 1
6 π= 2 · cos
(16 π)
+ 2 · sin(16 π)· i ≈ 1.73205 + i
3) z3 = 3 cis (40o) = 3 · cos (40o) + 3 · sin (40o) · i ≈ 2.29813 + 1.92836 · i4) z4 = 3 cis
(16 π)
= 3 · cos(16 π)
+ 3 · sin(16 π)· i ≈ 2.59808 + 1.5 · i
5) z5 = 3 cis (120o) = 3 · cos (120o) + 3 · sin (120o) · i ≈ −1.5 + 2.59808 · i
23. Sin hacer uso de una calculadora, determine la opcion que contiene el argumento principal de cada uno de los siguientes
numeros complejos:
a) z1 = −e− 14 π i
b) z2 = −e 14 π i
c) z3 = e−14 π
d) z4 = e−14 π i
e) z5 = e14 π i
c) Aquı z3 = e−14 π es real positivo, y por tanto Arg (z3) = 0.
d) Al estar z4 = e−14 π i en su forma polar, Arg (z4) = − 1
4 π.
e) Al estar z5 = e14 π i en su forma polar, Arg (z5) = 1
4 π.
a) Observe que el complejo z1 = −e− 14 π i, no esta en su forma polar: el signo negativo delantero cambia las cosas; si
zo = e−14 π i y z1 = −zo entonces zo sı esta en su forma polar y z1 es su opuesto respecto al origen. Arg (zo) = − 1
4 π y
queda en el cuarto cuadrante mientras que z1 queda en el segundo, y ası
Arg (z1) = Arg (zo) + π = π − 1
4π =
3
4· π
b) Similarmente al inciso anterior z2 = −e 14 π i, no esta en su forma polar: el signo negativo delantero cambia las cosas; si
zn = e14 π i y z2 = −zn entonces zn sı esta en su forma polar y z2 es su opuesto respecto al origen. Arg (zn) = 1
4 π y
queda en el primer cuadrante mientras que z2 queda en el tercero, y ası
Arg (z2) = Arg (zn)− π =1
4π − π = −3
4· π
24. Describa el efecto geometrico sobre el numero complejo z visto como vector al multiplicarlo por zo si zo es . . .
a) zo =√32 + 1
2 i
b) zo = 12 +
√32 i
c) zo = −2 i
d) zo = 16 − i
e) zo = 12 i
Ubique el efecto en la lista siguiente:
1) Se comprime
2) Se comprime y cambia de sentido
3) Se estira
Ma3002, Numeros Complejos: Problemas Resueltos 17
4) Se estira y cambia de sentido
5) Gira en el sentido del reloj
6) Gira en contra del sentido del reloj
7) Se comprime y gira en el sentido del reloj
8) Se comprime y gira en contra del sentido del reloj
9) Se estira y gira en el sentido del reloj
10) Se estira y gira en contra del sentido del reloj
Solucion
A tener presente: Que cuando se usa la representacion polar para el producto de complejos z1 = a∠φ y zo = r∠θ:
z1 · z2 = (a∠φ) · (r∠θ) = (a · r)∠φ+θ
es decir: los modulos se multiplican y los argumentos se suman. Ası desde el punto de vista del modulo r:
Si |zo| = r > 1, el modulo del producto a ·r sera mayor que a. Por consiguiente, esto equivale a estirar el vector original.
Si |zo| = r = 1, el modulo del producto a · r sera igual que a. Por consiguiente, esto equivale a mantener la longitud del
vector original.
Si 0 < |zo| = r < 1, el modulo del producto a · r sera menor que a. Por consiguiente, esto equivale a comprimir el vector
original.
Por otro lado, desde el punto de vista de θ:
Si θ > 0, entonces φ+ θ > φ y como los angulos son positivos en sentido contrario a las manecillas del reloj, entonces
la multiplicacion hara un giro en el sentido contrario de las manecillas del reloj.
Si θ < 0, entonces φ + θ < φ y como los angulos son negativos en sentido de las manecillas del reloj, entonces la
multiplicacion hara un giro en el sentido de las manecillas del reloj.
Si θ = 0, entonces φ+ θ = φ entonces la direccion del vector se mantiene.
a) Como zo =√32 + 1
2 i = 1∠30o , entonces el efecto sobre z de multiplicarlo por zo sera: mantener su misma longitud y girarlo
en el sentido contrario de las manecillas del reloj ( un angulo de 30o)
c) Como zo = −2 i = 2∠−90o , entonces el efecto sobre z de multiplicarlo por zo sera: estirarlo (en un factor 2) y girarlo en el
sentido de las manecillas del reloj ( un angulo de 90o)
e) Como zo = −1/2 i = 0.5∠90o , entonces el efecto sobre z de multiplicarlo por zo sera: comprimirlo (a la mitad de su
longitud) y girarlo en el sentido contrario de las manecillas del reloj ( un angulo de 90o)
Es importante observar que para ubicar la opcion con la respuesta correcta no hace falta determinar el valor exacto del
modulo, solo si es mayor que 1, igual a 1 o menor que uno. Y que para ello se pueden usar las propiedades
|Re(z)| ≤ |z| y |Im(z)| ≤ |z|
Ası es obvio que | 16 − i| > 1, porque la parte imaginaria es 1 y la real no es cero. O que | 32 + 12 i| > 1 porque la parte real es
mayor que 1. Por otro lado, para distinguir si el giro es en contra o a favor de la manecillas del reloj, no hace falta calcular
el valor preciso del argumento; basta ubicar el cuadrante donde se encuentra el complejo y para ello basta con los signos de
la parte real y de la parte imaginaria.
25. Determine el cuadrante donde se encuentra 1/z si
1) z se encuentra en el interior del cuadrante 4
2) z se encuentra en el interior del cuadrante 1
3) z se encuentra en el interior del cuadrante 2
4) z se encuentra en el interior del cuadrante 3
Ma3002, Numeros Complejos: Problemas Resueltos 18
(1 significara primero, 2 segundo, etcetera)
Solucion
A tener presente:
Que el inverso de un numero complejo z = x+ y i es:
1z = x
x2+y2 −y
x2+y2 i
= 1x2+y2 (x− y i)
= 1x2+y2 · z
Que la multiplicacion por un real positivo r deja al producto r z en el mismo cuadrante donde estaba z.
Como consecuencia de los puntos anteriores y puesto que
a =1
x2 + y2
es un real positivo: 1/z y z estan en el mismo cuadrante.
Que al tomar el conjugado a un numero complejo lo pasa del primer cuadrante al cuarto cuadrante y viceversa; y del
segundo cuadrante al tercero y viceversa.
Respuesta:
a) Si z esta en el cuarto cuadrante, entonces z esta en el primer cuadrante; por tanto, 1/z esta en el primer cuadrante.
b) Si z esta en el primer cuadrante, entonces z esta en el cuarto cuadrante; por tanto, 1/z esta en el cuarto cuadrante.
26. Para cada opcion indique en que cuadrante estara 1/z si
1) z = 6− 4 i
2) z = 5− 3 i
3) z = −5− 4 i
4) z = −5 + 3 i
5) z = −2− 3 i
Solucion
Recuerde que si z = x+ y i
1
z=
x
x2 + y2− y
x2 + y2i =
1
x2 + y2· (x− y i) =
1
|z|2· z
es decir que 1z tiene la misma direccion que z; es decir, que 1
z y z estan en el mismo cuadrante:
1) z = 6− 4 i esta en el cuadrante 4: su conjugado esta en cuadrante 1. Por tanto, su inverso esta en el cuadrante 1.
2) z = 5− 3 i esta en el cuadrante 4: su conjugado esta en cuadrante 1. Por tanto, su inverso esta en el cuadrante 1.
3) z = −5− 4 i esta en el cuadrante 3: su conjugado esta en cuadrante 2. Por tanto, su inverso esta en el cuadrante 2.
4) z = −5 + 3 i esta en el cuadrante 2: su conjugado esta en cuadrante 3. Por tanto, su inverso esta en el cuadrante 3.
5) z = −2− 3 i esta en el cuadrante 3: su conjugado esta en cuadrante 2. Por tanto, su inverso esta en el cuadrante 2.
27. Si z1 = 3∠35o , z2 = 2∠−30o y z3 = 7∠70o , calcule:
a) z1 · z3b) z23
c) 1/z21
d) z1/z2
e) z1 · z22/z3
Ma3002, Numeros Complejos: Problemas Resueltos 19
Solucion
a) z1 · z3 = 3∠35o · 7∠70o = (3 · 7)∠35o+70o = 21∠105o
b) z23 = (7∠70o)2
=(72)∠2·70o = 49∠140o
c) 1/z21 = (1/3∠35o)2
=((1/3)∠−35o
)2= (1/9)∠−70o
d) z1/z2 = (3∠35o) / (2∠−30o) = (3/2)∠35o−(−30o) = (3/2)∠65o
e) z1 · z22/z3 =3∠35o ·(2∠−30o )
2
7∠70o=
3∠35o ·(22)∠2·(−30)o
7∠70o
=3∠35o ·4∠−60o
7∠70o=
12∠35o−60o
7∠70o=
12∠−25o
7∠70o
=(127
)∠−25o−70o =
(127
)∠−95o
28. Para cada uno los numeros complejos:
1) z1 =
(√3 + i
)(−2− 2 i)
2) z2 =(−2− 2 i)
(√
3 + i)
3) z3 =1
(−2− 2 i) · (√
3 + i)
4) z4 =
(√3 + i
)(−2− 2 i)2
5) z5 =1
(−2− 2 i) · (√
3 + i)2
determine el argumento principal en grados. Sugerencia: Utilice la forma polar.
Solucion
Observe que los numeros c1 =√
3 + i y c2 = −2− 2 i se repiten en los calculos que debemos hacer. Y observe tambien que
estos son faciles de llevar a la forma polar:
Para c1 =√
3 + i, a = |c1| =√
(√
3)2 + 1 =√
4 = 2 y que al estar c1 en el primer cuadrante su argumento principal se
puede calcular como
θ = tan−1(
1√3
)= 30o
Para c2 = −2− 2 i, b = |c2| =√
(−2)2 + (−2)2 =√
8 = 2√
2 y que al estar en el tercer cuadrante debemos corregir la
tangente inversa para el calculo de su argumento
φ = tan−1(−2√−2
)− 180o = 45o − 185o = −135o
Por lo tanto c1 = 2∠30o y c2 =(2√
2)∠−135o
1) z1 =
(√3 + i
)(−2− 2 i)
=c1c2
= 2∠30o
(2√2)
∠−135o
=(
22√2
)∠30o−(−135o)
=(
1√2
)∠165o
2) z2 =(−2− 2 i)
(√
3 + i)=c2c1
=(2√2)
∠−135o
2∠30o=(
2√2
2
)∠−135o−30o
=√
2∠−165o
Ma3002, Numeros Complejos: Problemas Resueltos 20
3) z3 =1
(−2− 2 i) · (√
3 + i)=
1
c2 · c1= 1
(2√2)
∠−135o·2∠30o
= 1
(4√2)
∠−135o+30o
= 1
(4√2)
∠−105o
=(
14√2
)∠−(−105o)
=(
14√2
)∠105o
4) z4 =
(√3 + i
)(−2− 2 i)2
=c1c22
= 2∠30o((2√2)
∠−135o
)2 = 2∠30o((2√2)
2)∠2·(−135o)
= 2∠30o
8∠−270o
=(28
)∠30o−(−270o) =
(14
)∠300o
=(14
)∠300o−360o =
(14
)∠−60o Corregir para argumento principal
29. Con los numeros complejos:
1) z1 =(7 + 8 i)
(8 + 7 i)
2) z2 =(8 + 7 i)
(7 + 8 i)
3) z3 =1
(7 + 8 i) · (8 + 7 i)
4) z4 =(8 + 7 i)
(7 + 8 i)2
5) z5 =1
(7 + 8 i) · (8 + 7 i)2
determine:
a) el modulo de z1
b) el argumento de z2
c) el argumento de z3
d) el modulo de z4
e) el modulo de z5
Sugerencia: Utilice la forma polar.
Solucion
Observe que los numeros c1 = 7 + 8 i y c2 = 8 + 7 i se repiten en los calculos que debemos hacer. Y observe tambien que
aunque los argumentos no son faciles de calcular son complementarios. Es decir, suma 90 grados. Le conviene hacer un
trıangulo con catetos 7 y 8 para observar la relacion.
Para c1 = 7 + 8 i, a = |c1| =√
72 + 82 =√
113 y que al estar c1 en el primer cuadrante su argumento principal se puede
calcular como
θ = tan−1(
8
7
)≈ 48.814o Con calculadora
Para c2 = 8 + 7 i, b = |c2| =√
82 + 72 =√
113 = a al estar c2 en el primer cuadrante su argumento principal se puede
calcular
φ = tan−1(
7
8
)= 90o − tan−1
(8
7
)= 90o − θ
Por lo tanto c1 = a∠θ y c2 = a∠90o−θ
1) z1 =(7 + 8 i)
(8 + 7 i)=c1c2
= a∠θa∠90o−θ
=(aa
)∠θ−(90o−θ)
= 1∠2·θ−90o = 1∠2·48.81o−90o = 1∠7.62o θ obtenida con calculadora
Ma3002, Numeros Complejos: Problemas Resueltos 21
2) z2 =(8 + 7 i)
(7 + 8 i)=c2c1
=1
z1= 1
1∠7.62o=(11
)∠−7.62o = (1)∠−7.62o
3) z3 =1
(7 + 8 i) · (8 + 7 i)=
1
c1 · c2= 1
a∠θ · a∠90o−θ= 1
(a2)∠θ+90o−θ= 1
(a2)∠90o
=(
1a2
)∠−(90o) =
(1a2
)∠−90o =
(1
113
)∠−90o = − 1
113 i
30. Si z = 5 + 7 i determine el cuadrante donde esta
1) z3
2) z5
3) z7
4) z9
5) z11
Etiquete los cuadrantes por enteros de manera que 1 significara primero, 2 segundo, etcetera.
Solucion
La forma polar de z = 5 + 7 i = r eθ i tiene
r ≈ 8.602
θ ≈ 0.9505 ≈ 54.46o
Por tanto,
1) el argumento de z3 es 3 θ ≈ 163.38o. Por tanto, z3 cae en el segundo cuadrante.
2) el argumento de z5 es 5 θ ≈ 272.311o. Por tanto, z5 cae en el cuarto cuadrante.
31. Si z = 1 +√
3 i , determine la parte real de:
1)z−2 2)z2 3)z3 4)z4 5)z6
Solucion
Recuerde que el calculo de potencias y raıces se facilita con la notacion polar. Y en este caso el complejo z tiene un argumento
facil de calcular. Como esta en el primer cuadrante su argumento principal es:
Arg(z) = tan−1
(√3
1
)= 60o
su modulo sera r = |z| =√
12 + (√
3)2 =√
1 + 3 =√
4 = 2. Por tanto la forma polar queda z = 2∠60o .
1) z−2 = (2∠60o)−2
=(2−2)∠−2·60o =
(14
)∠−120o
= 14 · (cos(−120o) + sen(−120o) i) = 1
4 ·(− 1
2 −√32 i)
= − 18 −
√38 i
2) z2 = (2∠60o)2
=(22)∠2·60o = 4∠120o
= 4 · (cos(120o) + sen(120o) i) = 4 ·(− 1
2 +√32 i)
= −2 + 2√
3 i
4) z4 = (2∠60o)4
=(24)∠4·60o = 16∠240o
= 16 · (cos(240o) + sen(240o) i) = 16 ·(− 1
2 −√32 i)
= −8− 8√
3 i
5) z6 = (2∠60o)6
=(26)∠6·60o = 64∠360o
= 64∠360o−360o = 64∠0o = 64 = 64 + 0 i
Un estudiante de Ingenierıa deberıa conocer los valores de las funciones trigonometricas en angulos simples.
Ma3002, Numeros Complejos: Problemas Resueltos 22
32. Si z = −4− 4 i determine el cuadrante donde esta
1) la segunda raız de 4√z
2) la tercera raız de 5√z
3) la segunda raız de 6√z
4) la primera raız de 7√z
Solucion
Notas: 1) Las raıces estaran ordenadas de manera que la primera raız es la principal; ubicando la raız primera las siguientes
estaran ubicadas siguiendo el orden de aparicion en el sentido antihorario. 2) Para los cuadrantes estaran etiquetados por
enteros de manera que 1 significara primero, 2 segundo, etcetera.
A tener presente:
Que si z = rCIS(θ) entonces la j raız n-esima de z es
n√r · CIS
(θ + 2π (j − 1)
n
)
Respuesta: La forma CIS de z es z = 4√
2 · CIS(− 3
4 π). Por lo tanto,
1) el argumento de la segunda raız de 4√z es
α =− 3
4 π + 2π (2− 1)
4=
5
16π ≈ 56.25o
por tanto, tal raız esta en el primer cuadrante.
33. Si una raız cuarta del numero complejo z es el complejo
w = 2− 2 i
determine el argumento en grados de las raıces restantes de z. Reporte sus resultados como numeros en el intervalo
(−180o, 180o].
Solucion
Sabemos que las raıces n-esimas de un numero complejo forman un polıgono regular de n lados. Tenemos que se tratan de
raıces cuartas. Es decir, que el polıgono regular es de cuatro lados. En angulo en el cual estan separadas es 3600/4 = 90o. Y
todas ellas tienen el mismo modulo. Para generar todas las raıces de z, usemos la raız conocida w rotandola angulos de 90
grados. Llevemos a w a su forma polar:
|w| =√
22 + (−2)2 =√
8 = 2√
2 y Arg(w) = tan−1(−2
2
)= −45o
Observe que al estar w en el cuarto cuadrante no hubo necesidad de corregir el valor que da la tangente inversa. Ası
w = ro =(2√
2)∠−45o . Las tres raıces que nos faltan (son cuatro en total y w es una) son:
r1 =(
2√
2)∠−45o+90o
=(
2√
2)∠45o
r2 =(
2√
2)∠−45o+2·90o
=(
2√
2)∠135o
r3 =(
2√
2)∠−45o+3·90o
=(
2√
2)∠225o
=(
2√
2)∠225o−360o
=(
2√
2)∠−135o
34. Resuelva la ecuacion:
4− i+ 4 z + z2 = 0
Reporte las partes imaginarias de las raıces.
Solucion
Ma3002, Numeros Complejos: Problemas Resueltos 23
Esta sera la estrategıa: dejaremos solo los terminos en z en el lado derecho; en vista de que la mayor potencia de z es 2,
completaremos cuadros perfectos.
z2 + 4 z = −4 + i
z2 + 4 z + 4 = 4− 4 + i
(z + 2)2 = i
Si tomamos raız cuadrada en ambos lados tenemos:
z + 2 =2√i
las raıces cuadradas de i se obtienen de la formula:
R = cis
( π2 + 2π j
2
), para j = 0, 1
Es decir,
R =
{+ 1
2
√2 + 1
2
√2 i
− 12
√2− 1
2
√2 i
Ası las soluciones a la ecuacion son:
z = −2 +R =
{−2 + 1
2
√2 + 1
2
√2 i
−2− 12
√2− 1
2
√2 i
35. Resuelva la ecuacion:
(z − (−1 + 5 i))3
= i
Reporte los modulos de las raıces.
Solucion
De la ecuacion tenemos al sacar raız cubica:
z − (−1 + 5 i) =3√i
y de allı
z = −1 + 5 i+3√i
Ma3002, Numeros Complejos: Problemas Resueltos 24
Las tres raıces cubicas de i son
r0 = CIS(π6 ) =√32 + 1
2 i
r1 = CIS(π6 + 2π3 ) = −
√32 + 1
2 i
r2 = CIS(π6 + 4π3 ) = i
Por tanto, las tres raıces de nuestra ecuacion son
z1 =√32 − 1 + 11
2 i→ |z1| ≈ 5.501
z2 = −√32 − 1 + 11
2 i→ |z2| ≈ 5.807
z3 = −1 + 4 i→ |z3| ≈ 4.123
Para hacer este problema en la calculadora, primeramente definimos la funcion cis:
Ela figura anterior tambien se muestra como generar las raıces cubicas de i. En la siguiente figura se ilustra como sumar a
cada una de estas raıces el complejo −1 + 5 i.
Teniendo la lista de resultados, el siguiente paso es obtener el modulo y luego su aproximacion numerica.
36. Resuelva la ecuacion:
(3− 5 i+ (−3− i) z)4 = −1
Reporte las partes reales de las raıces.
Solucion
Primeramente obtengamos las raıces cuartas de z0 = −1:
r = |z0| = 1
θ = arg(zo) = −π
Ma3002, Numeros Complejos: Problemas Resueltos 25
Las raices cuartas estan dadas por la formula:
R =4√
1cis
(θ + 2π n
4
)para n = 0, 1, 2, 3
Ası al tomar raız cuadrta en la ecuacion original se tiene
3− 5 i+ (−3− i) z = R
Por tanto
z =R− 3 + 5 i
−3− i
Teniendo la lista de resultados, el siguiente paso es obtener la parte real de cada complejo y luego su aproximacion numerica.
37. Suponga dados los siguientes numeros complejos en sus diferentes representaciones:
1) z1 = 3− 2 i
2) z2 = (2, 4)
3) z3 = 5 e13 π i
4) z4 = 5 cis(− 43 π)
5) z5 =
[5 2
−2 5
]
Ma3002, Numeros Complejos: Problemas Resueltos 26
Determine la parte real de
w = 3 z1 − z2 − 3 z3 − 4 z4 + z5
Solucion
Como hay sumas involucradas, es conveniente convertir todos los complejos a la forma binomial:
1) z1 = 3− 2 i
2) z2 = 2 + 4 i
3) z3 = 5 ·(cos( 1
3 π) + sen( 13 π) i
)= 5
2 + 5√3
2 i
4) z4 = 5 ·(cos(− 4
3 π) + sen(− 43 π) i
)= − 5
2 + 5√3
2 i
5) z5 = 5 + 2 i
Entonces basta capturar los numeros complejos y hacer la operacion pedida:
38. Suponga dados los siguientes numeros complejos en sus diferentes representaciones:
1) z1 = 3− 2 i
2) z2 = (2, 4)
3) z3 = 5 e13 π i
4) z4 = 5 cis(− 43 π)
5) z5 =
[5 −2
2 5
]Determine la parte real y la parte imaginaria de:
z3 + 5 z42 z1 + 2 z5
Solucion
Ma3002, Numeros Complejos: Problemas Resueltos 27
39. Suponga dados los siguientes numeros complejos en sus diferentes representaciones:
1) z1 = 3− 2 i
2) z2 = (2, 4)
3) z3 = 5 e13 π i
4) z4 = 5 cis(− 43 π)
5) z5 =
[5 −2
2 5
]Determine la parte real de:
1) (z1)2
2) (z2)3
3) (z3)4
4) (z4)5
Solucion
40. Suponga dados los siguientes numeros complejos en sus diferentes representaciones:
1) z1 = 3− 2 i
2) z2 = (2, 4)
3) z3 = 5 e13 π i
4) z4 = 5 cis(− 43 π)
5) z5 =
[5 −2
2 5
]Determine la parte imaginaria de la raız principal de:
1) 2√z1
2) 3√z2
3) 4√z3
Ma3002, Numeros Complejos: Problemas Resueltos 28
4) 5√z4
Solucion
Si recordamos que la calculadora proporciona la raız principal de numeros complejos y que ya tenemos capturados los
numeros de un problema anterior:
41. Suponga dados los siguientes numeros complejos en sus diferentes representaciones:
1) z1 = −4 + 5 i
2) z2 = (3, 5)
3) z3 = 3 e12 π i
4) z4 = 3 cis(− 23 π)
Determine el argumento principal de cada uno. Reporte su resultado en radianes en (−π,+π].
aPara z1 = −4+5 i, reconocemos que el numero esta en la forma binomica y podemos calcular el argumento usando la
tangente inversa, pero estando el numero en el segundo cuadrante debemos corregir sumando π:
Arg (z1) = π + tan−1(
5
−4
)≈ 2.2455
a) bPara z2 = (3,+5), reconocemos que el numero esta en la forma de par ordenado y podemos calcular el argumento
usando la tangente inversa, estando el numero en el primer cuadrante directamente tenemos:
Arg (z2) = tan−1(
5
3
)≈ 1.03038
b) cPara z3 = 3 e12 π i, reconocemos que el numero esta en la forma polar y obtenemos directamente el modulo (r = 3) y
el argumento (θ = 12 π):
Arg (z3) =1
2π ≈ 1.5708
c) dPara z4 = 3 cis(− 2
3 π), reconocemos que el numero esta en la notacion CIS y obtenemos directamente el modulo
(r = 3) y el argumento (θ = − 23 π):
Arg (z4) = −2
3π ≈ −1.04719755
d)42. Si
z =1
2i− 1
2
√3
determine las raıces cuartas de z. Reporte los argumentos de la raız principal y las dos siguientes; debe reportar 3 valores
intepretados como angulos en radianes en el intervalo (−π, π].
Solucion
En los problemas de potencias y raıces es mas conveniente usar la forma polar. En nuestro ejemplo
z = −1
2
√3 +
1
2i = 1 · e 5
6 π i
de donde
r = 1
θ = 56 π = 150o
Ma3002, Numeros Complejos: Problemas Resueltos 29
θ = 56π
r = 1
Las raıces cuartas de z se obtienen de la formula:
aj = 4√r · e
(θ + 2π j
4
)i
para los valores j = 0, 1, 2, 3
θ0 = θ4= 5
24π
θ1 = θ0 +14π
Capturamos z y determinamos su modulo (r) y su argumento (θ):
Habiendo limpiado la variable ındice j, capturamos la formula de las raıces cuartas:
Ma3002, Numeros Complejos: Problemas Resueltos 30
Generamos con el comando seq la lista con las raıces cuartas:
Y determinamos sus argumentos (note la ventaja de aplicar la funcion angle sobre una lista):
43. Si
1) z1 = −5 + 3 i
2) z2 = 2 e34 π i
calcule
w1 =z1 + z2z1 − z2
y w2 =z32
z1 − z2
Reporte Re(w1), Im(w1), Re(w2) y Im(w2)
Solucion
Capturamos los numeros complejos en nuestra calculadora y ponemos las formulas que definen w1 y w2.
Ma3002, Numeros Complejos: Problemas Resueltos 31
44. Para cada uno de los numeros complejos:
1) z1 = (−1 + 5 i) · (−5− 4 i)
2) z2 = (3 + 5 i)2
3) z3 =(5 + 4 i) · (2 + 5 i)
5− 5 i
4) z4 =(−1 + 2 i)
(5 + 3 i)2
5) z5 =1
(4 + 5 i) · (−1− 3 i)2
Determine:
a) la parte imaginaria de z1
b) la parte real de z2
c) el modulo de z3
d) el argumento de z4
e) el argumento de z5
Solucion
Al ingresar los datos en la calculadora automaticamente se realizan las operaciones. Capturaremos cada calculo en una
variable; como los nombres z1, z2 etc son palabras reservadas, utilizaremos otros nombres para las variables donde se
almacenaran los resultados.
Lo que se pide de los numeros complejos se obtiene en forma directa mediante algunos comandos de la calculadora como se
ilustra en las figuras siguientes:
Ma3002, Numeros Complejos: Problemas Resueltos 32
45. Determine el numero complejo z = x+ y i que satisface la ecuacion:
z = −5 i z + (−5 + i)
Reporte el valor de x y de y.
Solucion
A tener presente:
Que es el conjugado de un numero complejo:
x+ y i = x− y i
Cuando dos numeros complejos son iguales:
a1 + b1 i = a2 + b2 i→ a1 = a2 y b1 = b2
Un numero complejo es cero si y solo si su parte real y su parte imaginaria son cero:
w = 0 ↔ Re(w) = 0 y Im(w) = 0
Sustituyendo z = x+ y i en la ecuacion:
z = −5 i z + (−5 + i)
x+ y i = −5 i (x+ y i) + (−5 + i)
= −5 i (x− y i) + (−5 + i)
= −5 y − 5x i +−5 + i
x+ y i = −5 y − 5 + (1− 5x) i
De la igualdad obtenemos las ecuaciones:
x = −5 y − 5
y = 1− 5x
Resolviendo las ecuaciones obtenemos:
x =5
12y y = −13
12
Debemos entregar como respuesta
0.416,−1.083
Este problema se puede hacer facilmente en la calculadora. Primeramente se limpian la variables x, y y z. Despues se define
z como x+ y i. Seguido de ello notamos que como en muchas situaciones es mas conviente escribir la relacion A = B como
A−B = 0; con esta observacion la expresion que va a dar origen a nuestras ecuaciones se maneja como
z − (−5 i z + (−5 + i)) = 0
Salvamos el lado derecho en una variable auxiliar, y resolvemos para x y y obligando que la parte real y la parte imaginaria
sean cero.
Ma3002, Numeros Complejos: Problemas Resueltos 33
46. Sean z1 y z2 dos numeros complejos tales que
|z1| = 3 y |z2| = 6
Determine el modulo de 1) z1 + z2 y el de 2) z1 − z2 si el angulo entre z1 y z2 es de 30 grados.
Solucion
A tener presente:
Que la suma y la resta de numeros complejos se rigen por la ley del paralelogramo.
z1
z2
z1 + z2
z2 − z1
α
α 180o − α
La ley de los cosenos: que en un triangulo cuyos lados a y b y cuyo angulo entre ellos es θ el lado apuesto a θ, digamos
c, debe cumplir:
c2 = a2 + b2 − 2 a b cos(θ)
a
b c
θ
Respuesta:
De los resultados comentados si a = |z1|, b = |z2|, c = |z2 − z1| y d = |z2 + z1| entonces
c2 = 32 + 62 − 2 · 3 · 6 · cos(30o)
= 45− 18√
3
por tanto, c = |z2 − z1| ≈ 3.7179.
d2 = 32 + 62 + 2 · 3 · 6 · cos(1800 − 30o)
= 45 + 18√
3
por tanto, d = |z2 + z1| ≈ 8.7279.
Ma3002, Numeros Complejos: Problemas Resueltos 34
47. Si |z1| = 3 y |z2| = 5, determine el modulo de los siguientes numeros complejos:
1) z1/z2
2) z1 z2
3) z2√z1
4) (z1)2√z2
5) (z1)2/ 3√z2
Solucion
A tener presente:
Las propiedades del modulo en numeros complejos:
• El modulo del conjugado es igual al modulo del numero sin conjugar:
|z| = |z|• El modulo de un producto es igual al producto de los modulos:
|z1 · z2| = |z1| · |z2|• El modulo de una potencia es la potencia del modulo:
|zn| = |z|n
• El modulo de una raız es la raız del modulo:
| n√z| = n
√|z|
Respuesta:
1) |z1/z2| = |z1|/|z2| = 3/5
2) |z1 z2| = |z1| · |z2| = 3 · 5 = 15
3) |z2√z1| = |z2| · |
√z1| = |z2| ·
√|z1| = 5
√3
48. Sean z1 y z2 dos numeros complejos tales que
|z1| =√
65 y |z2| = 9
Suponga que z1 − z2 = −1 + i. Determine el modulo de z1 + z2.
Solucion
A tener presente:
Que la suma y la resta de numeros complejos se rigen por la ley del paralelogramo.
z1
z2
z1 + z2
z2 − z1
α
α 180o − α
La ley de los cosenos: que en un triangulo cuyos lados a y b y cuyo angulo entre ellos es θ el lado apuesto a θ, digamos
c, debe cumplir:
c2 = a2 + b2 − 2 a b cos(θ)
Ma3002, Numeros Complejos: Problemas Resueltos 35
a
b c
θ
Como z1 − z2 = −1 + i =√
2 CIS( 34 π), entonces para calcular el angulo θ entre z1 y z2 utilicemos la ley de los cosenos con:
a = |z1| =√
65
b = |z2| = 9
c = |z2 − z1| =√
2
Despejamos θ de:
c2 = a2 + b2 − 2 a b cos(θ)
y obtenemos
θ ≈ .1243549945 = 7.125016344o
Si nosotros utilizamos la informacion del problema 15 de esta misma tarea tenemos:
|z1 + z2|2 = |z1|2 + |z2|2 − 2 |z1| |z2| cos(180o − 7.125016344o)
Por tanto,
|z1 + z2| ≈ 17.02938637
49. Resuelva la ecuacion:
(3− 5 i + (−3− i) z)4
= −1
Reporte las partes reales de las raıces.
Solucion
Primeramente obtengamos las raıces cuartas de z0 = −1:
r = |z0| = 1
θ = Arg(zo) = −π
Las raices cuartas estan dadas por la formula:
R =4√
1 · cis
(θ + 2π n
4
)para n = 0, 1, 2, 3
Ası al tomar raız cuarta en la ecuacion original se tiene
3− 5 i+ (−3− i) z = R
Por tanto
z =R− 3 + 5 i
−3− i
Ma3002, Numeros Complejos: Problemas Resueltos 36
Teniendo la lista de resultados, el siguiente paso es obtener la parte real de cada complejo y luego su aproximacion numerica.
50. Si
z1 + z2 = 10 + 4 i , z1 + z2 = 10− 8 i
z1 − z3 = 4− 2 i , z1 − z3 = 4 + 4 i
z1 · z4 = 1 + 5 i , z1 · z4 = −5− i
z1/z5 = −1
2, z1/ (z5) =
2
5+
3
10i
determine la parte imaginaria de:
1) z1 − z32) z1 − z33) z1 · z44) z1 + z2
5) (z1) / (z5)
Solucion
Recordemos las propiedades importantes que tiene el conjugado de un numero complejo
El conjugado del conjugado de un numero complejo es el numero complejo original:
(c) = c
El conjugado de una suma(resta) de numeros complejos es la suma(resta) de los conjugados de los complejos:
c ± e = c ± e
El conjugado de un producto de numeros complejos es el producto de los conjugados de los complejos:
c · e = c · e
El conjugado de un division de numeros complejos es la division de los conjugados de los complejos:( ce
)=
c
e
Ma3002, Numeros Complejos: Problemas Resueltos 37
Con ello mente para determinar
1) z1 − z3, calculemos su conjugado
z1 − z3 = z1 − z3 = z1 − z3 =dato 4 + 4 i
Por lo tanto, z1 − z3 = 4 + 4 i = 4− 4 i
2) z1 − z3, calculemos su conjugado
z1 − z3 = z1 − z3 =dato 4− 2 i
Por lo tanto, z1 − z3 = 4− 2 i = 4 + 2 i
3) z1 · z4, calculemos su conjugado
z1 · z4 = z1 · z4 = z1 · z4 =dato 1 + 5 i
Por lo tanto, z1 · z4 = 1 + 5 i = 1− 5 i
4) z1 + z2, calculemos su conjugado
z1 + z2 = z1 + z2 = z1 + z2 =dato 10− 8 i
Por lo tanto, z1 + z2 = 10− 8 i = 10 + 8 i
5) (z1) / (z5), calculemos su conjugado(z1z5
)=
z1z5
=z1z5
=dato −1/2
Por lo tanto, (z1) / (z5) = −1/2 = −1/2 = −1/2 + 0 i
Recommended