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Matemática Básica (Ing.) 1
Sesión 11.3
Álgebra de matrices
Matemática Básica (Ing.)
Algebra de matrices
• Clasificación de los SEL por los tipos de respuesta.• Necesidad de la modelación usando SEL.• Matrices.• Suma y resta de matrices.• Multiplicación de una matriz por un escalar y matriz cero.• Multiplicación de matrices.• Matriz identidad.• Inversa de una matriz cuadrada.• Verificación de una matriz inversa.• Inversa de una matriz 2x2.• Determinante de una matriz.• Determinante de una matriz.• Menores y cofactores.• Existencia de la inversa de una matriz .• Propiedades de matrices.
Matemática Básica (Ing.) 3
Consideraciones previas
2. Determine las dimensiones de un jardín rectangular que tiene perímetro de 100 pies y área de 300 pies2.
xy
1. La compañía Ruiz invierte un total de $30 000. Una parte al 6% y el resto al 9 %. Los dividendos anuales de las dos inversiones son iguales a los que ganaría todo el dinero si estuviera invertido al 7 %. Encontrar la cantidad invertida a cada tasa.
Matemática Básica (Ing.) 4
Clasificación de los SEL por los tipos de respuesta
3. Resuelva los siguientes sistemas
Sistema compatible
determinado
Sistema incompatible
Sistema compatible
indeterminado
2153
532
yx
yx
462
23
yx
yx
61512
254
yx
yx
x
y
x
y
x
y
3
-2
Matemática Básica (Ing.) 5
Se dispone de tres marcas de fertilizante que proporcionan los siguientes nutrientes: nitrógeno, ácido fosfórico y potasio.
• Una bolsa de la marca A proporciona 1 unidad de nitrógeno, 3 unidades de ácido fosfórico y 2 unidades de potasio. • Una bolsa de la marca B proporciona 2 unidades de nitrógeno y 1 unidad de ácido fosfórico y • Una bolsa de la marca C proporciona 3 unidades de nitrógeno, 2 de ácido fosfórico y 1 unidad de potasio.
Para un crecimiento ideal, el suelo necesita 18 unidades de nitrógeno, 23 unidades de ácido fosfórico y 13 unidades de potasio por acre.
Plantee un modelo matemático que permita determinar cuántas bolsas de cada marca de fertilizante deben usarse por acrepara lograr un crecimiento ideal.
Necesidad de la modelación usando SEL
Matemática Básica (Ing.) 6
Matrices
Una matriz es un arreglo rectangular de números
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
de m filas y n columnas de números reales y se lee matriz de m n. El orden de la matriz es m n.Si m = n, la matriz es cuadrada.
m filas
n columnas
Matemática Básica (Ing.) 7
Ejemplos
a) La matriz
402
321 tiene orden 2 x 3.
tiene orden 4 x 2.
tiene orden 3 x 3.
b) La matriz
23
12
40
11
c) La matriz
987
654
321
Matemática Básica (Ing.) 8
Notación abreviada para la matriz
También se usa la notación abreviada A = [aij] paraesta matriz.
mnmm
n
n
ij
aaa
aaa
aaa
a
21
22221
11211
A
El elemento aij está en la fila i y la columna j.
Matemática Básica (Ing.) 9
Ejemplo
Determine la matriz A, si:
ji
jiji
ji
,1
4,13,1,1
,0
A
Matemática Básica (Ing.) 10
Suma y resta de matrices
Sean A = [aij] y B = [bij], matrices de orden m n
1. La suma A + B es la matriz de m n.
A + B = [aij + bij]
2. La resta A - B es la matriz de m n.
A - B = [aij - bij]
Matemática Básica (Ing.) 11
Multiplicación de una matriz por unescalar y la matriz 0.
El producto de un número real k y la matrizA = [aij] de orden m n, es la matriz de orden m n
kA = [kaij]
La matriz kA = [kaij] es un múltiplo escalar de A.
La matriz 0 = [0] de orden m n, contieneúnicamente ceros, es la matriz cero.
Si A = [aij], entonces: A + 0 = A
Matemática Básica (Ing.) 12
EjemploSean A = [aij] y B = [bij], matrices de 2 2, conaij = 3i – j y bij = i2 + j2 – 3, para i = 1, 2 y j = 1, 2
1. Determine A y B.
2. Determine el inverso aditivo, -A de A y verifique que A + (-A) = [0].¿Cuál es el orden de [0]?
3. Determine 3A - 2B.
Matemática Básica (Ing.) 13
Sea A = [aij] una matriz de m r y B = [bij] una matriz de r n
El producto AB = [cij] es la matriz m n, donde
Multiplicación de matrices
rjirjijiij bababac 2211
rnrr
n
n
mrmm
r
r
ijij
bbb
bbb
bbb
aaa
aaa
aaa
ba
21
22221
11211
21
22221
11211i
j
Matemática Básica (Ing.) 14
La manera de hallar el producto AB con A y B es:
210
312A
01
20
41
B
11)3(0112
1
0
1
31211
c
60)3(21)4(2
0
2
4
31212
c
2120110
1
0
1
21021
c
20221)4(0
0
2
4
21022
c
22
61C
Multiplicación de matrices
¿Existe el producto BA?
Matemática Básica (Ing.) 15
Matriz identidadLa matriz In de n n, con unos en la diagonalprincipal y 0 en el resto de las entradas, es la matriz identidad de orden n n.
1000
0100
0010
0001
nI
Diagonal principal
Ejemplos,
10
012I
100
010
001
3I
Matemática Básica (Ing.) 16
Inversa de una matriz cuadrada
Sea A = [aij] una matriz de orden n n. Si existeuna y matriz B tal que
entonces B es la inversa de A. Escribimos B = A-1 (se lee “A inversa”)
nIBAAB
Matemática Básica (Ing.) 17
Verificación de una matriz inversa
1. Pruebe que las matrices A y B son inversa, una de la otra
12
36A
2. Pruebe que la matriz A es singular, es decir A no tiene inversa.
31
21
11
23BA
Matemática Básica (Ing.) 18
Inversa de una matriz 2 2
Si ad – bc ≠ 0, entonces
ac
bd
bcaddc
ba 11
El número ad – bc es el determinante de lamatriz 2 x 2 se expresa
bcaddc
baA det
dc
baASi entonces
Matemática Básica (Ing.)
Sea A = [aij] una matriz de orden n n (n > 2)El determinante de A, expresado como det A o |A|es la suma de las entradas de cualquier fila ocualquier columna multiplicada por sus respectivoscofactores Aij.
19
Determinante de una matriz
mnmm
n
n
ij
aaa
aaa
aaa
a
21
22221
11211
ininiiii AaAaAa 1211det AA
Matemática Básica (Ing.) 20
Determinante de una matrizPresentemos una matriz A =[aij] de 3 3.
333231
232221
131211
][
aaa
aaa
aaa
aijA
2332
232222
222112
21
232322222121
)1()1()1(
det
MaMaMa
AaAaAa
A
3332
131221 aa
aaM
Se llama cofactor de aij, en este caso de a21
M21 Se llama menor o determinante menor de aij, en este caso de a21
3331
131122 aa
aaM
3231
121123 aa
aaM
Matemática Básica (Ing.) 21
3332
131221 aa
aaM
3331
131122 aa
aaM
3231
121123 aa
aaM
Menores y cofactores
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
La manera de hallar los menores Mij es la siguiente:
i
j
i
j
i
j
En general, los cofactores Aij se determinan así:
Aij=(-1)i+jMij
Matemática Básica (Ing.) 22
Existencia de la inversa de una matrizUna matriz A de n n, tiene una inversa sí y sólosí det A ≠ 0.
Ejemplo
Determine si la matriz tiene una inversa. Si esAsí, encuentre su matriz inversa.
a) b)
24
13A
101
312
121
B
Matemática Básica (Ing.) 23
Propiedades de matricesSean I una matriz identidad; A, B y C matrices cuyos órdenes son tales que las sumas, diferencias y productos siguientes están definidos:
1. Propiedad conmutativa
Suma: A + B = B + A
Mult.: en general no se cumple
2. Propiedad de la identidadSuma: A + 0 = A
Mult.: AI = IA = A
3. Propiedad distributiva
A(B ± C) = AB ± AC
(A ± B)C = AC ± BC
4. Propiedad asociativa
Suma: (A + B) + C = A + (B + C)
Mult.: (AB)C = A(BC)
5. Propiedad del inversoSuma: A + (-A) = 0
Mult.: AA-1 = A-1A = I
Matemática Básica (Ing.) 24
Los alumnos deben revisar los ejercicios del libro texto guía.
Ejercicios: 16, 22, 26, 36, 38,40, 64 y 66 de las páginas590 al 593.
Sobre la tarea,
está publicada en el AV Moodle.
Importante
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