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1Matemática Básica (Ing.)
Sesión 14.3
Sistema Coordenado Tridimensional y Vectoresen el espacio
2Matemática Básica (Ing.)
Información del curso
Tareas: ingresar al Aula Virtual e imprimir.
Talleres: Ver horarios en el panel (aula C -12).
3Matemática Básica (Ing.)
Habilidades
1. Describe el sistema coordenado tridimensional.
2. Localiza un punto en el plano cartesiano.
3. Determina la distancia entre dos puntos y obtienesu punto medio.
4. Identifica y grafica planos paralelos a los planoscoordenados y a los ejes.
5. Describe y grafica un plano en R3.
4Matemática Básica (Ing.)
Habilidades 6. Representa un vector en el espacio. Define los
vectores canónicos i, j, k.
7. Describe la operación de producto de un vectorpor un escalar.
8. Describe las operaciones con los vectores como: Igualdad, adición, sustracción, magnitud, vector unitario en la dirección de un vector no nulo dado y productor escalar.
9. Describe la operación de producto vectorial.
5Matemática Básica (Ing.)
Consideraciones previas
¿ Cómo podemos determinar las coordenadas del cañón de proyección respecto a la esquina O ?
z
y
O
x
6Matemática Básica (Ing.)
Espacio tridimensionalEl conjunto de todas las ternas ordenadas de números reales recibe el nombre de espacio tridimensional, y se denota por R3. Cada terna ordenada (x; y; z) se denomina punto del espacio tridimensional.
(x; y; z)x
y
z
P
x
y
z
(0; y; z)
(0; y; 0)
(x; y; 0)(x; 0; 0)
(x; 0; z)
(0; 0; z)
(0; 0; 0)
7Matemática Básica (Ing.)
Espacio tridimensional
plano xy: z = 0
plano xz: y = 0
plano yz: x = 0
xy
z
origen
(0;0;0)
Planos coordenados
8Matemática Básica (Ing.)
Espacio tridimensional
x
y
z
Plano x = a Plano y = b Plano z = c
Plano x = a es alplano yz (x = 0)
x = a
Plano yz
x
y
z
Plano xy
Plano x = a
z = c
Plano z = c
x
y
z
y = b
Plano xz
Plano
y = b
Plano y = b es al plano xz (y = 0)
Plano z = c es al plano xy (z = 0)
9Matemática Básica (Ing.)
Espacio tridimensional
x
y
z
(0;0;0)
Plano x = a
Plano z = cc
a
bPla
no
y =
b
La intersección de los planos paralelos a los planos coordenados x = a, y = b, z = c es el punto (a; b; c)
(a; b; c)
10Matemática Básica (Ing.)
Espacio tridimensional
x y
z
(0;0;0)
Primer octante
plano xy: z = 0
plano yz: x = 0plano xz: y = 0
11Matemática Básica (Ing.)
S t2 = a2 + b2
RQ
P
a
bt
d2 = t2 + c2
d2 = a2 + b2 + c2
cd
Teorema de Pitágoras en el cálculode la distancia en R3
Si P(x1; y1; z1) y S(x2; y2; z2) son puntos en R3, entonces se cumple que:
12Matemática Básica (Ing.)
Distancia y valor de punto medio en R3
x
z
Q
P
P = (x1; y1; z1)
Q = (x2; y2; z2)
x1
x2
y2y1
x 2 – x 1
y2 – y1 z2
– z
1
212
212
212 )()()(),( zzyyxxQPd
M
2
;2
;2
212121 zzyyxxM
z1
z2
Dado los puntos:
y
13Matemática Básica (Ing.)
Ejercicios1. Determine la distancia entre los puntos
P(-2, 3; 1) y Q(4; -1; 5) y además determine elvalor del punto medio de la línea PQ.
2. Determine la distancia entre los puntosR(-1, 2; 5) y S(3; -4; 6) y además determine elvalor del punto medio de la línea RS.
14Matemática Básica (Ing.)
r
Ecuación estándar de la esfera
x
y
z
2222 )()()( rlzkyhx
C P(x; y; z)
C(h; k; l)
Una esfera es el análogo tridimensional de unacircunferencia. En el espacio, el conjunto depuntos que están a una distancia fija de un puntofijo es una esfera.
15Matemática Básica (Ing.)
Ejercicios
1. Determine la ecuación estándar de la esferacon centro en (3; -2; 5) y radio 4.
2. Determine la ecuación estándar de la esferacuyo diámetro tiene como extremos a los
puntos P(-2, 3; 1) y Q(4; -1; 5).
16Matemática Básica (Ing.)
Planos en R3
Todo plano puede escribirse como
donde A, B y C no todos iguales a cero.
0 DCzByAx
x
y
z
Punto de cortecon el eje x
Punto de cortecon el eje z
Punto de cortecon el eje y
traza
traza
traza
17Matemática Básica (Ing.)
Ejercicio1. Elabore la gráfica de la ecuación
2x + 3y + 5z = 30
x
y
z
Punto de cortecon el eje x
Punto de cortecon el eje z
Punto de cortecon el eje y
traza
traza
traza
Nota: Debe obtener los puntos de corte de la ecuación del plano con los ejes coordenados y luego hace la traza del plano.
18Matemática Básica (Ing.)
Vectores en el espacioEl concepto de vector en el plano se puede extender de manera natural – con sólo ligeros cambios- en el espacio.
Los vectores tienen tres componentes en lugar de dos y al igual que en el plano, el conjunto de segmentos dirigidos de rectas (o flechas) son vectores.
19Matemática Básica (Ing.)
Vectores en el espacio
El vector v = v1; v2; v3
v1; v2; v3
x
y
z
v1
v2
v3
v
ij
k
Se definen:
Vectores unitarioscanónicos i, j, k:
Vector cero o nulo: 0;0;00
v = v1; v2; v3 = v1i + v2j + v3k
0;0;1i 0;1;0j
1;0;0k
20Matemática Básica (Ing.)
Vectores en el espacio
x
y
z
Q1
Q2
Q3
vi
jk
Q
P
P1
P2
P3
El vector v que estárepresentado por laflecha que va de P a Qes:
v = PQ = OQ - OP
21Matemática Básica (Ing.)
Vectores en el espacio
Un v se puede multiplicar por un escalar c de lade la siguiente manera:
cv = cv1; v2; v3 = cv1; cv2; cv3
v
cv0 < c < 1
cv
c > 1cv
c < -1
cv-1 < c < 0
22Matemática Básica (Ing.)
Vectores en el espacio: Propiedades
0 , :unitarioVector
:punto Producto
:Magnitud
;; :nSustracció
;; :Adición
y si sólo y si :Igualdad
332211
23
22
2
332211
332211
332211
1
vvv
u
wv
v
wv
wv
wv
wvw vwv
v vv
wvw vwv
wvw vwv
wvw, vwv
,;; y ;; vectores los Para 321321 wwwwvvvv
:tiene se
23Matemática Básica (Ing.)
Vectores en el espacio: Propiedades
Si u, v y w son vectores y c es un número real, se cumple que:
donde es el ángulo que forman los vectores u y v
u
v
u v = v u
u (v + w)= u v + u w
c(u v) = (cu) v = u (cv)
0 u = 0 2
uuu
cosvuvu
24Matemática Básica (Ing.)
Son perpendiculares si y solo si u v = 0
El ángulo que forman se puede calcular a partir de la ecuación:
vuvu
cos
Vectores en el espacio: Propiedades
Si u y v son vectores no nulos
u
v
25Matemática Básica (Ing.)
Ejercicio de cálculo con vectores
a) 3-2; 1; 4
b) 6; 0; -7 + -5; 5; 8
c) 1; -3; 4 - -2; -4; 5
d) |2; 0; -6|
e) 5; 3; -1 -6; 2; 3
Resuelva según el caso
26Matemática Básica (Ing.)
Los alumnos deben revisar los ejercicios del libro texto guía.
Ejercicios: 22, 24, 26, 28,30, 32 y 34 de la página 693.
Sobre la tarea,
está publicada en el AV Moodle.
Importante
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