Matemáticas II

CAPITULO ICAPITULO IFunciones

CAPITULO IICAPITULO IIIntegrales

CAPITULO IIICAPITULO IIIEcuaciones diferenciales

CAPITULO IVCAPITULO IVMétodo para resolver una ecuación diferencial

FuncionesFunciones

1.1 Exponenciales y Logarítmicas

1.2 Diferenciación de una Función Exponencial

1.3 Diferenciación de una Función Logarítmica 1.3.1 Diferenciación Logarítmica

IntegralesIntegrales

2.1 Integral Indefinida

2.2 Integración de Funciones Trigonométricas

2.3 Teorema Fundamental del Cálculo

2.4 Método de Sustitución 2.4.1 Sustitución para integrales definidas

2.5 Integración por partes

Ecuaciones DiferencialesEcuaciones Diferenciales

3.1 Introducción

3.2 Solución de una Ecuación Diferencial 3.2.1 Comprobación de la solución de una ED

3.3 Obtención de una Ecuación Diferencial a partir de la solución general.

Métodos Para Resolver una EDMétodos Para Resolver una ED

4.1 Introducción 4.1.1 Objetivo de los métodos para la obtención de la solución general.

4.2 Ecuaciones de Variables Separables

4.3 Ecuaciones Homogéneas

4.4 Ecuaciones Exactas

Cálculo con Geometría AnalíticaR. E. Larson y R. P. HostetlerMc. Graw-Hill, 2000

Cálculo con Geometría

L. LeiitholdHarla, 1992

Cálculo, Concepto y ContextosJ. StewartInternacional Thompson, 1999

Ecuaciones DiferencialesE. D. RainvilleNueva Editorial Interamericana, 1987

Cálculo

Frnakes Ayres Jr., Elliot MendelsonMc. Graw-Hill, 2001

Matemáticas Superiores para IngenieríaC. Ray WyleMc. Graw-Hill, 1994

DefiniciónDefinición

La función denota una regla que asigna a cada elemento de x del conjunto A, exactamente un elemento, denotados por f(x) del conjunto B.

BAf :f Función

A y B Conjuntos

f(a)BA

Considerando que los conjuntos A y B son conjuntos de números reales:

Dominio es el conjunto A de la función, denotado por D(f).

Rango es el conjunto de todos los valores posibles f(x) conforme varía en todo el dominio A.

El número f(x) es el valor de f en x.

y=f(x)

Dominio

AxxffR :)()(

EjemploEjemplo

Encuentre el dominio y rango de cada función:1. f(x)=2x-12. g(x)=x2

SoluciónSolución1. La ecuación de la gráfica es y=2x-1, la cual es la ecuación de una recta con pendiente y ordenada en el origen de -1. La expresión esta definida por todos los números reales, de manera que D(f)=R y su rango es también R(f)=R.

SoluciónSolución2. La ecuación de la gráfica g(x)=x2, la cual representa una parábola. La función g esta definida para cualquier número real, así D(g)=R y su rango es positivo.

1 2-1-2

Funciones PotenciaFunciones Potencia

Funciones donde la base es una variable y la potencia es una constante, tiene la siguiente forma:

Ejemplos:

xf )( Ra

Función ExponencialFunción Exponencial

Función donde la base es una constante y la potencia es una variable, es la función exponencial de base a, tiene la siguiente forma:

Ejemplos:

xf )(R

xf23)(

Propiedades de la Función ExponencialPropiedades de la Función Exponencial

Siendo:

yxyx aaa

xxx baab

yxyx aa

0, ba Ryx,

En cálculo se decide trabajar como base el número irracional e que tiene un valor aproximado de 2.718281828.

DefiniciónDefiniciónLa función exponencial para cualquier x є R se define como:

Cuenta con las mismas propiedades que cualquier función exponencial de base a.

718281828.211

xxLime

Gráfica de la Función Exponencial “base Gráfica de la Función Exponencial “base e”e”

-1 -0.5

Función LogarítmicaFunción LogarítmicaPara a>0 y a1 y x>0 denotamos la función logaritmo de base a por logax, y se define como:

Si x>0 entonces logax es el exponente al que debe elevarse la base a para dar x.

xabx ba log

Las funciones exponenciales y logarítmicas son funciones inversas una de otra, como se puede ver en los siguientes ejemplos:

Forma Logarítmica

Forma Exponencial

log28=3 23=8

loga1=0 a0=1

log10 0.1=-1 10-1=0.1

log10 1000=3 103=1000

Propiedades de la Función LogarítmicaPropiedades de la Función Logarítmica

Siendo: a, b 1 y x, y >0 se tienen las siguientes características:

3. 4. 5. 6.

01log a1log aa

yxxy aaa logloglog yxyx

aaa logloglog

xnx an

a loglog ax

ba log

loglog

ba log

Logaritmo NaturalLogaritmo Natural

Es la función para un x>0 se define como la función logaritmo cuya base es el número e y se denota por:

Esta función goza de las mismas características que la función logarítmica de base a, dados x, y > 0.

xx elogln

Función de Logaritmo NaturalFunción de Logaritmo Natural

Propiedades como Funciones InversasPropiedades como Funciones Inversas

1.Si a > 0 y a 1 se tiene:

2.Si a = e se tiene:

xaxa log

xa xa log

xex lnRx

xe x ln

Ejemplo:Ejemplo:

Desarrolla las siguientes expresiones:

log5 23ln x5

Solución:Solución:

1. Aplicando la propiedad 4 de logaritmos:

9log10log910

log 555

ylogxlogyx

log aaa

2. Aplicando la propiedad 5 de logaritmo natural:

23ln21

23ln xx

xnlogxlog an

3. Aplicando la propiedad 3 y 4 de logaritmos:

5logloglog5

log 2222 yxxy

ylogxlogxylog aaa ylogxlogyx

log aaa

4. Aplicando la propiedad 3, 4 y 5 de logaritmo natural:

ln3ln21ln3ln1

2ln 32

xxxxxx

ylogxlogxylog aaa

ylogxlogyx

log aaa

xnlogxlog an

Ejercicios para Resolver en Clase:Ejercicios para Resolver en Clase:

1. Escribir cada ecuación logarítmica mediante exponencial y viceversa: a) ln8.4 = 2.128 b) 491/2 = 7

2. Desarrolla cada una de las siguientes ecuaciones: a) log2x2y b) ln(z-1)2

Ejercicios de Tarea:Ejercicios de Tarea:

1. Desarrolla la siguiente expresión:

2. Despejar x de las siguientes expresión:

a) b) c)

1log3log 1010 xx 4ln xe 3ln xe

Funciones de Base ArbitrariaFunciones de Base Arbitraria

Para a>0 y a1 y u=u(x) una función diferencial en x donde xєR entonces la derivada de ax es:

y para la derivada de au es:

xx aaadxd

aaadxd uu ln

Ejemplo:Ejemplo:

1. Derivar las siguientes funciones:(a)y=2x (b) y=2senx

(a) (b) xx

y 22ln2' senx

senxxy 22lncos'

senxdxd

y senx22ln'

Funciones de Base Funciones de Base ee

Para a>0 y a1 y u=u(x) una función diferencial en x donde xєR entonces la derivada de ex es:

y para la derivada de eu es:

xx eedxd

eedxd uu

Ejercicios para Realizar en Clase:Ejercicios para Realizar en Clase:

1.Calcular las derivadas de las siguientes expresiones: a) y=e3x+1

b) y=(ex+1)2

c) y=e3x

d) y=etan3x

1.Calcular las derivadas de las siguientes expresiones: a) y=a5x-1

b) y=x2ex

c) y=e5x

Derivación con Base Arbitraria:Derivación con Base Arbitraria:

Si a>0, a1 y u=u(x), es una función diferenciable de x, donde x>0, entonces la derivada de logax es:

y la derivada de logau es:

Ejemplo:Ejemplo:

1.Derivar las siguientes funciones:(a)y=log10cosx (b) y=log5(2+senx)

(a) (b) xdxd

y coslog' 10

xy cos

cos10ln1

10lntan

cos10ln'

senxdxd

y 2log' 5

)2(5lncos

'senxx

senxdxd

)2(5ln1

Derivación con Base Derivación con Base ee

Si a>0, a1 y u=u(x), es una función diferenciable de x, donde x>0, entonces la derivada de lnx es:

y la derivada de lnu es:

Ejemplo:Ejemplo:

1.Derivar las siguientes funciones:(a) (b)

(a) (b) 1ln' 3 xdxd

1ln 3 xy2

Ejercicios para Resolver en Clase:Ejercicios para Resolver en Clase:

1.Derivar las siguientes funciones: a)

coslnf

xxxf ln

1.Derivar las siguientes funciones: a)

4log 23 xxf

xxf ln

El cálculo de derivadas de funciones complicadas que comprenden productos, cocientes o potencias se puede simplificar tomando logaritmos.

Método de la Derivación Logarítmica:Método de la Derivación Logarítmica:1. Tome logaritmos naturales en ambos miembros de una ecuación y=f(x) y aplique la propiedad de los logaritmos para simplificar.2. Derive con respecto a x.3. Resuelva la ecuación resultante para y’.

Ejemplo:Ejemplo:1. Derivar las siguiente ecuación:

23ln51ln21

ln 2 xxxy

Ejercicios para Resolver en Clases:Ejercicios para Resolver en Clases:

1. Aplique la derivación logarítmica para hallar la derivada de las siguientes funciones:

a) b) 324 1873 xxy senxxy

1. Aplique la derivación logarítmica para hallar la derivada de las siguientes funciones:

a) b) 8

xxy xxy

DefiniciónDefiniciónUna función F se dice que es una primitiva o antiderivada de f en un intervalo I si F’(x)=f(x) para todo x є I.

EjemploEjemploSe necesita encontrar una función F que su derivada sea f(x)=4x3, por los conocimientos en diferenciación se diría que:

Por lo tanto F es una primitiva de f.

4)( xxF 34 4xxdxd

Familia de Primitivas:Familia de Primitivas:Si F es una primitiva de f en un intervalo I, entonces G es una primitiva de f en I si y solo si G es de la forma:

EjemploEjemploSabemos que la función F(x)=x4 es una primitiva de f(x)=4x3 así que las siguientes funciones:

G1(x)=x4+5 G2(x)=x4-123

también son primitivas de f(x).

CxFxG R

CxxG 4 Es la familia de primitivas de f(x)

Para denotar la primitiva de una función f se usa la notación:

DefiniciónDefiniciónEl proceso de calcular las primitivas de una función f se denomina integración, así que tenemos:

lo que significa que:

CxFdxxf

xfxFCxFdxd

Partes de la Integración:Partes de la Integración:

CxFdxxf

Variable de Integración

Integrando

Símbolo de la

Integración

Constante de

Integración

Reglas de la Integración:Reglas de la Integración:

dxxgdxxfdxxgxf

dxxfkdxxkf

Cedxe xx Ca

Cxsenxdx cos Csenxxdxcos

Reglas de la Integración:Reglas de la Integración:

9. 10.

11. 12.

13. 14.

Cxxdx tansec2 Cxxdx cotcsc2

Cxxdxx sectansec Cxxdxx csccotcsc

Cxsendxx

Ejemplo:Ejemplo:

Encuentre las siguientes integrales indefinidas:

senxdx2 dxx 2

dxxxx 24 53

dxx 3 CxCx

dxx 232

C2cosx2senxdx Cxdxsenx cos22

dxdxx 2

xdxdxxdxx 24 53dxx5x3x 24

x53 235

Ejercicios para resolver en Clase:Ejercicios para resolver en Clase:

dxxx 24 sec210

dxxx 63

dxxx 122/3

dxxsenx cos32

Identidades Fundamentales:Identidades Fundamentales:

tan xsenxx coscot

cot 1cos22 xxsen

xx 22 sec1tan xx 22 csc1cot

Con las identidades mencionadas anteriormente se extienden las fórmulas básicas de integración:

15. 16.

17. 18.

Cxxdx coslntan Csenxxdx lncot

Cxxxdx tanseclnsec Cxxxdx cotcsclncsc

Ejemplo:Ejemplo:

Calcular la siguiente integral

dyy 1tan2

Ctany ydydyy 22 sec1tan

Ejercicios para Resolver en Clases:Ejercicios para Resolver en Clases:

1. Resolver las siguientes integrales

dxxsenx cos32

dxxxcotcsc1

dxsenxx2sec

Entre ambas ramas existe una relación descubierta independientemente por Isaac Newton y Gottfried Leibniz, que se denomina Teorema Fundamental del Cálculo, el cual afirma que la diferenciación e integración son operaciones mutuamente inversas.

Teorema Fundamental de CálculoTeorema Fundamental de Cálculo

Si f(x) es una función continua en [a, b] y F es una primitiva de f en [a, b] entonces:

Para aplicarlo se va a utilizar la siguiente notación:

aFbFdxxf )()(

ba aFbFxFdxxf )()(

Propiedades de la Integral DefinidaPropiedades de la Integral Definida

Sea f(x) una función integrable en [a, b], entonces:

1. Si k es cualquier constante entonces:

2. Si g(x) es una función integrable en [a, b], entonces:

dxxfkdxxkfb

dxxgdxxfdxxgxfb

3. Sea c є [a, b], es decir, a<c<b. Entonces f es integrable en [a, b], si solo si f es integrable en [a, c] y en [c, b]:

4. La integral definida sobre un punto es cero, esto es:

dxxfdxxfdxxfb

0 dxxfa

5. La integral definida de a a b de f es igual a menos la integral definida de b a a de f, es decir:

dxxfdxxfa

EjemploEjemplo

Resuelva las siguientes integrales:

Solución:Solución:1. Geométricamente la integración de la función (1) en el intervalos [1, 2] es el área de la región sombreada:

2 3dxdxxdx3x1

Solución:Solución:2. Geométricamente la integración de la función (2) en el intervalos [1, 4] es el área de la región sombreada:

xdxx /dxx3

2/32/3 1242

Ejercicios para Resolver en ClaseEjercicios para Resolver en Clase

Resolver las siguientes integrales:

Ejercicios de TareaEjercicios de Tarea

Resolver las siguientes integrales:

Método de SustituciónMétodo de SustituciónSea g una función cuyo rango es un intervalo I, y sea f una función continua en I. Si g es diferenciable en su dominio y F es una primitiva de f en I, entonces:

Si hacemos el cambio de variable u=g(x) entonces du=g’(x)dx y:

Este método es comparable a la regla de la cadena en la diferenciación.

CxgFdxxgxgf '

CuFduuf

Ejemplo:Ejemplo:

1. Resolver la integral:

dxxx 13 32

duuduudxxx 2/132 13

2/32/3

C1x32 33 cx

2/33 132

Ejercicios para Resolver en ClasesEjercicios para Resolver en Clases

1. Resuelva las siguientes ecuaciones:

dxxx 42 12

dxxx 22 1

dxxx 5cos5

Existen dos métodos para evaluar una integral definida por sustitución.

Uno de ellos es evaluar primero la integral indefinida y en seguida aplicar el TFC, por ejemplo:

0 2/312

xdxxdxx

1231 2/32/3

El otro método suele ser el mas adecuado, en este se cambian los límites de integración cuando se cambie la variable, como se explica a continuación:

Si g’ es continua sobre el intervalo [a, b] y f lo es sobre el rango de u=g(x) entonces

duufdxxgxgfbg

EjemploEjemplo

SoluciónSoluciónTomando la sustitución u=2x+1 tenemos que

Hallamos los nuevos límites de integración:

dxdu 2 dudx21

110200 ux

914244 ux

Por lo tanto:

dx12x4

912/39

2/32/3 1931

Ejemplo:Ejemplo:Evaluar la siguiente integral dxxx

21 11000 2 ux

21111 2 ux

duuduu 2

44 1281 214

Evaluar las siguientes integrales:

Calcular las siguientes integrales

dxxx 292

Sea f y g funciones diferenciables en un intervalo I, entonces:

Se puede utilizar otra notación, que es más fácil de recordar, la cual se muestra a continuación:

dxxfxgxgxfdxxgxf ''

dxxgdv

dxxfdu

vduuvudv

EjemploEjemplo

SoluciónSolución

De manera que:

dxxsenxxudxdu

senxdvxv cos

dxxxxdxxxxdxxsenx coscoscoscos

Csenxxcosx

SoluciónSoluciónNotamos que si hubiéramos elegido u=senx y dv=xdx, entonces du=cosx y v=x2/2 por lo que:

es una integral mas difícil de calcular.

dxxsenx

dxxxsenxx

dxxsenx cos21

dxcosxx2

EjemploEjemplo

SoluciónSolución

De manera que:

La integral obtenida es mas sencilla que la inicial pero aun no es obvia, por lo cual hay que volver a aplicar la integración por partes.

dxex x 2

2xuxdxdu 2

dxedv xxev

dxxeexdxex xxx 222

dxxexxu dxdu dxedv x xev

Cexedxexedxxe xxxxx 2

Sustituyendo el resultado de la segunda ecuación tenemos que: Cexeexdxxeexdxex xxxxxx 22 222

1xxx2 C2e2xeex CC 21

dxsenxexdxxx ln2

dxx 3sec

Fórmula de Integración por Partes para Fórmula de Integración por Partes para Integrales DefinidasIntegrales Definidas

ba vduuvudv

EjemploEjemplo

De donde:

Por lo tanto:

dxxex1

xxxxx exedxexedxxe 1 10 ee

dxxe x 2

dxxx cos

dxxsen 1

dxsen cos

dxxx 1

DefiniciónDefiniciónUna ecuación diferencial (ED) es una ecuación que involucra derivadas de una función desconocida de una o varias variables.

EjemploEjemploLas siguientes expresiones son ejemplos de ED’s:

dxyd y

Conocida como Ley de Crecimiento Exponencial

En basa a la definición anterior se tiene que:

a) Si la función desconocida depende de solo una variable la ecuación se llama Ecuación Diferencial Ordinaria.

b) Si la función desconocida depende de más de una variable la ecuación se llama Ecuación Diferencial Parcial.

2 yxy 2'

Las ecuaciones diferenciales pueden clasificarse por su orden y grado.

OrdenOrdenEl orden de una ecuación diferencial es el orden de la derivada mas alta que aparece en la ecuación.

EjemploDeterminar el orden de las ecuaciones diferenciales:

xsendx

Solución

La ecuación diferencial:

Es de primer orden dado que la derivada mas alta que figura en la ecuación diferencial es la primera derivada.

La ecuación diferencial:

Es de segundo orden dado que la derivada más alta que figura en la ecuación diferencial es la de la segunda derivada.

xsendx

Ejercicios para resolver en clase

Determinar el orden de las siguientes ecuaciones:

735 25

GradoGradoEl grado de una ecuación diferencial es el grado algebraico de su derivada de mayor orden, es decir, el grado de una ecuación diferencial es la potencia a la que esta elevada la deriva que nos dio el orden de la ecuación diferencial.

EjemploEl grado de la ecuación diferencial es:

de tercer grado, dado que la primera derivada está elevada cubo.

xxydxdy

Ejercicios para resolver en clase

Determinar el grado de las siguientes ecuaciones:

735 25

NOTA: cuando alguna derivada este dentro de un radical o en polinomio, el cual este elevado a una potencia fraccionaria, tendremos que eliminar dicho radical para después determinar el grado de la ecuación diferencial.

Ejercicios para resolver en clases

Determinar el orden y grado de las siguientes ecuaciones diferenciales:

17 2 xdxdy

Ejercicios para resolver en clases

17 2 xdxdy

Ejercicios de Tarea

yddxdy

Una solución de una ED es cualquier función que satisface la ED, este es, la reduce a una identidad.

EjemploLa función definida por es una solución de la ecuación diferencial:

puesto que:

y al sustituir en la ED se obtiene una identidad

22 99 x

Una solución particular de una ED es toda solución obtenida asignando valores específicos a las constantes que intervienen en la solución general.

EjemploVerificar que y=Cx3 es solución de la ecuación diferencial

Hallar la solución particular sujeta a la condición inicial:

03' yxy

2)3( y

SoluciónDerivando y=Cx3 tenemos que y’=3Cx2, luego, sustituyendo en la ED:

de esta manera y=Cx3 es solución de la ED.

Para obtener la solución particular, apliquemos la condición inicial y(-3)=2 en la solución general esto es:

La solución particular es:

033 32 CxCxx

CC 2732 3

C 3x272

Para comprobar que una ecuación es o no la solución de una ecuación dada, se aplica el siguiente método:

Método1.Observemos que derivada o derivadas aparecen en la ecuación diferencial.2.Estas derivas las encontramos al derivar la ecuación que se supone solución.3.La ecuación será solución cuando al sustituir el valor de las derivadas encontradas (paso 2) dentro de la ecuación diferencial, aparezca una identidad a=a (donde aєR) al reducir la ecuación ya sustituida.

EjemploComprobar que la y=x2+C no es solución de la ecuación diferencial

Solución1.Observando la ecuación diferencial vemos que aparece una derivada por lo tanto, encontramos su valor derivando la supuesta solución.2.Derivando y=x2+C tenemos

Solución3.Sustituyendo el valor de la derivada encontrada en la ecuación diferencial tenemos:

Por lo tanto y=x2+C si es solución de la ecuación diferencial

Ejercicios para resolver en claseDetermine si cada ecuación es solución o no de la ecuación diferencial dada:

yxdxdy

025);5cos()5(2

ydxBxAseny

084; 23

xydxdy

Ejercicios de tareaDetermine si cada ecuación es solución o no de la ecuación diferencial dada:

2412 ''; yxxyyCxCy

senxysenxdxdy

senyCye x

cos;cos1cos

225 1606;38 x

Para obtener la ED a partir de su solución general, aplicaremos el siguiente método:

1.Observemos el número de constantes de integración que aparecen en la solución general dada.

2.Derivemos la solución general tantas veces como el número de constantes de integración aparezcan en ella. En otras palabra, si la solución general tienen n constantes de integración diferentes, entonces derivaremos n veces tal solución.

3. Tomando en cuenta el resultado de la última derivada obtenida, se nos pueden presentar los siguientes casos:a) Si en la última derivada ya no aparecen

constantes de integración, esta será la ED que de la solución general dada.

b) Si la última derivada contiene constantes de integración, habrá que eliminarlas, pudiendo utilizar para esto, las ecuaciones de las derivadas encontradas, asó como también la solución general dada. En la ED NO deben aparecer constantes de integración.

EjemploEncuentre la ED cuya solución general es y=x2+C

SoluciónObservemos que sólo aparece una constante de integración, de manera que derivamos una sola vez la solución general y=x2+C. Así

Como en esta derivada no aparecen constantes de integración, quiere decir que esta es la ED de la solución general presentada al inicio.

EjemploEncuentre la ED cuya solución general es y=Cx2

SoluciónObservemos que sólo aparece una constante de integración, de manera que derivamos una sola vez la solución general y=Cx2. Así

Se va a despejar C de la solución general y se sustituye el valor encontrado en la ED.

Cxdxdy

SoluciónPor lo tanto:

Es la ED de la solución general puesto que ya no aparecen constantes de integración.

Ejercicios para resolver en claseEncuentre la ED de las siguientes soluciones generales

;21xx eCeCy

)2cos()2( 213 xCxsenCey x

Ejercicios de tareaEncuentre la ED de las siguientes soluciones generales

)3tan( Cxy

221 CyCx

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