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Matematicas yMusica
Pablo Pedregal
Planteamiento
Proporciones eintervalos
Soluciones
El “clave bientemperado”
Breve conclusion
Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusion
Matematicas y Musica. El codigooculto de J. S. Bach
Pablo Pedregal, UCLM
ESTALMAT, Castilla-La Mancha
Albacete, Octubre, 2014
Matematicas yMusica
Pablo Pedregal
Planteamiento
Proporciones eintervalos
Soluciones
El “clave bientemperado”
Breve conclusion
Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusion
El problema
NO SE PUEDE AFINAR UN TECLADO DE MANERAEXACTA (!!!).
Antes del barroco: ninguna dificultad.
La musica de J. S. Bach era mucho mas exigente.
Matematicas yMusica
Pablo Pedregal
Planteamiento
Proporciones eintervalos
Soluciones
El “clave bientemperado”
Breve conclusion
Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusion
El problema
NO SE PUEDE AFINAR UN TECLADO DE MANERAEXACTA (!!!).
Antes del barroco: ninguna dificultad.
La musica de J. S. Bach era mucho mas exigente.
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Proporciones eintervalos
Soluciones
El “clave bientemperado”
Breve conclusion
Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusion
El problema
NO SE PUEDE AFINAR UN TECLADO DE MANERAEXACTA (!!!).
Antes del barroco: ninguna dificultad.
La musica de J. S. Bach era mucho mas exigente.
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Proporciones eintervalos
Soluciones
El “clave bientemperado”
Breve conclusion
Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusion
El problema
NO SE PUEDE AFINAR UN TECLADO DE MANERAEXACTA (!!!).
Antes del barroco: ninguna dificultad.
La musica de J. S. Bach era mucho mas exigente.
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Soluciones
El “clave bientemperado”
Breve conclusion
Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusion
El problema
NO SE PUEDE AFINAR UN TECLADO DE MANERAEXACTA (!!!).
Antes del barroco: ninguna dificultad.
La musica de J. S. Bach era mucho mas exigente.
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Planteamiento
Proporciones eintervalos
Soluciones
El “clave bientemperado”
Breve conclusion
Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusion
El problema (continuacion)
Andreas Werckmeister desarrollo un nuevo metodo deafinacion.
Entusiasmo de Bach.Compone “El clave bien temperado” con preludios yfugas en todas las tonalidades.
Matematicas yMusica
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Proporciones eintervalos
Soluciones
El “clave bientemperado”
Breve conclusion
Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusion
El problema (continuacion)
Andreas Werckmeister desarrollo un nuevo metodo deafinacion.
Entusiasmo de Bach.Compone “El clave bien temperado” con preludios yfugas en todas las tonalidades.
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Proporciones eintervalos
Soluciones
El “clave bientemperado”
Breve conclusion
Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusion
El problema (continuacion)
Andreas Werckmeister desarrollo un nuevo metodo deafinacion.
Entusiasmo de Bach.
Compone “El clave bien temperado” con preludios yfugas en todas las tonalidades.
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Proporciones eintervalos
Soluciones
El “clave bientemperado”
Breve conclusion
Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusion
El problema (continuacion)
Andreas Werckmeister desarrollo un nuevo metodo deafinacion.
Entusiasmo de Bach.Compone “El clave bien temperado” con preludios yfugas en todas las tonalidades.
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El “clave bientemperado”
Breve conclusion
Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusion
El codigo oculto de J. S. Bach
Pregunta
¿En que consistıa este nuevo modo de afinacion?
Bradley Lehman: codigo oculto en la portada
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El “clave bientemperado”
Breve conclusion
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El codigo oculto de J. S. Bach
Pregunta
¿En que consistıa este nuevo modo de afinacion?
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El codigo oculto de J. S. Bach
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¿En que consistıa este nuevo modo de afinacion?
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El “clave bientemperado”
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Las escalas aditivas y multiplicativas no se llevan bien
LA: 440 vibraciones/segundo 7→ 1
LA: 880 vibraciones/segundo 7→ 2 (octava mas arriba)
LA: 1760 vibraciones/segundo 7→ 4 (octava mas arriba)
PREGUNTA: ¿Que pasa con el 3? ¿Que nota corresponde a440× 3 = 1320? ¿O si normalizamos, quitando una octava(dividiendo entre 2), a 660, o proporcion 3/2?LA QUINTA: MI, proporcion 3/2.
LA
4407→ MI
6607→ LA
880
LA CUARTA: MI-LA, proporcion 880/660 = 4/3.
LA
4407→ RE
5877→ MI
6607→ LA
880
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Las escalas aditivas y multiplicativas no se llevan bien
LA: 440 vibraciones/segundo 7→ 1
LA: 880 vibraciones/segundo 7→ 2 (octava mas arriba)
LA: 1760 vibraciones/segundo 7→ 4 (octava mas arriba)
PREGUNTA: ¿Que pasa con el 3? ¿Que nota corresponde a440× 3 = 1320? ¿O si normalizamos, quitando una octava(dividiendo entre 2), a 660, o proporcion 3/2?LA QUINTA: MI, proporcion 3/2.
LA
4407→ MI
6607→ LA
880
LA CUARTA: MI-LA, proporcion 880/660 = 4/3.
LA
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Las escalas aditivas y multiplicativas no se llevan bien
LA: 440 vibraciones/segundo 7→ 1
LA: 880 vibraciones/segundo 7→ 2 (octava mas arriba)
LA: 1760 vibraciones/segundo 7→ 4 (octava mas arriba)
PREGUNTA: ¿Que pasa con el 3? ¿Que nota corresponde a440× 3 = 1320? ¿O si normalizamos, quitando una octava(dividiendo entre 2), a 660, o proporcion 3/2?LA QUINTA: MI, proporcion 3/2.
LA
4407→ MI
6607→ LA
880
LA CUARTA: MI-LA, proporcion 880/660 = 4/3.
LA
4407→ RE
5877→ MI
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El “clave bientemperado”
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Las escalas aditivas y multiplicativas no se llevan bien
LA: 440 vibraciones/segundo 7→ 1
LA: 880 vibraciones/segundo 7→ 2 (octava mas arriba)
LA: 1760 vibraciones/segundo 7→ 4 (octava mas arriba)
PREGUNTA: ¿Que pasa con el 3? ¿Que nota corresponde a440× 3 = 1320? ¿O si normalizamos, quitando una octava(dividiendo entre 2), a 660, o proporcion 3/2?LA QUINTA: MI, proporcion 3/2.
LA
4407→ MI
6607→ LA
880
LA CUARTA: MI-LA, proporcion 880/660 = 4/3.
LA
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5877→ MI
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Las escalas aditivas y multiplicativas no se llevan bien
LA: 440 vibraciones/segundo 7→ 1
LA: 880 vibraciones/segundo 7→ 2 (octava mas arriba)
LA: 1760 vibraciones/segundo 7→ 4 (octava mas arriba)
PREGUNTA: ¿Que pasa con el 3? ¿Que nota corresponde a440× 3 = 1320? ¿O si normalizamos, quitando una octava(dividiendo entre 2), a 660, o proporcion 3/2?
LA QUINTA: MI, proporcion 3/2.
LA
4407→ MI
6607→ LA
880
LA CUARTA: MI-LA, proporcion 880/660 = 4/3.
LA
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5877→ MI
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Las escalas aditivas y multiplicativas no se llevan bien
LA: 440 vibraciones/segundo 7→ 1
LA: 880 vibraciones/segundo 7→ 2 (octava mas arriba)
LA: 1760 vibraciones/segundo 7→ 4 (octava mas arriba)
PREGUNTA: ¿Que pasa con el 3? ¿Que nota corresponde a440× 3 = 1320? ¿O si normalizamos, quitando una octava(dividiendo entre 2), a 660, o proporcion 3/2?LA QUINTA: MI, proporcion 3/2.
LA
4407→ MI
6607→ LA
880
LA CUARTA: MI-LA, proporcion 880/660 = 4/3.
LA
4407→ RE
5877→ MI
6607→ LA
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El “clave bientemperado”
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Las escalas aditivas y multiplicativas no se llevan bien
LA: 440 vibraciones/segundo 7→ 1
LA: 880 vibraciones/segundo 7→ 2 (octava mas arriba)
LA: 1760 vibraciones/segundo 7→ 4 (octava mas arriba)
PREGUNTA: ¿Que pasa con el 3? ¿Que nota corresponde a440× 3 = 1320? ¿O si normalizamos, quitando una octava(dividiendo entre 2), a 660, o proporcion 3/2?LA QUINTA: MI, proporcion 3/2.
LA
4407→ MI
6607→ LA
880
LA CUARTA: MI-LA, proporcion 880/660 = 4/3.
LA
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El “clave bientemperado”
Breve conclusion
Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusion
Las escalas aditivas y multiplicativas no se llevan bien
LA: 440 vibraciones/segundo 7→ 1
LA: 880 vibraciones/segundo 7→ 2 (octava mas arriba)
LA: 1760 vibraciones/segundo 7→ 4 (octava mas arriba)
PREGUNTA: ¿Que pasa con el 3? ¿Que nota corresponde a440× 3 = 1320? ¿O si normalizamos, quitando una octava(dividiendo entre 2), a 660, o proporcion 3/2?LA QUINTA: MI, proporcion 3/2.
LA
4407→ MI
6607→ LA
880
LA CUARTA: MI-LA, proporcion 880/660 = 4/3.
LA
4407→ RE
5877→ MI
6607→ LA
880
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Proporciones eintervalos
Soluciones
El “clave bientemperado”
Breve conclusion
Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusion
Las escalas aditivas y multiplicativas no se llevan bien
LA: 440 vibraciones/segundo 7→ 1
LA: 880 vibraciones/segundo 7→ 2 (octava mas arriba)
LA: 1760 vibraciones/segundo 7→ 4 (octava mas arriba)
PREGUNTA: ¿Que pasa con el 3? ¿Que nota corresponde a440× 3 = 1320? ¿O si normalizamos, quitando una octava(dividiendo entre 2), a 660, o proporcion 3/2?LA QUINTA: MI, proporcion 3/2.
LA
4407→ MI
6607→ LA
880
LA CUARTA: MI-LA, proporcion 880/660 = 4/3.
LA
4407→ RE
5877→ MI
6607→ LA
880
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Planteamiento
Proporciones eintervalos
Soluciones
El “clave bientemperado”
Breve conclusion
Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusion
Cada intervalo tiene su proporcion
Nota base con frecuencia: n.
octava: 2n
quinta: 3n/2
cuarta: 4n/3
segunda: 9n/8
tercera: 5n/4
sexta: 8n/5
septima: 16n/9
PROBLEMA
Serie de quintas
Do
n7→ Sol
(3/2)n7→ Re
(3/2)2n7→ La
(3/2)3n7→
Mi
(3/2)4n7→ Si
(3/2)5n7→ Fa#
(3/2)6n7→ Do#
(3/2)7n7→
Sol#
(3/2)8n7→ Re#
(3/2)9n7→ La#
(3/2)10n7→ Fa
(3/2)11n7→ Do
(3/2)12n132 CHAPTER 11. RATIONAL NUMBERS AS INTERVALS
C GD
A
EBG!D!
A!
E!
B!
F
12-octave clock with tempered fifths
If we plot the 7-octave circle of fifths using just fifths, the twelve intervalsadd up to slightly more than one rotation, wrapping around the clock andending up clockwise of the 12 o’clock position by precisely the comma ofPythagoras, as shown below. Thus the tuning of C would be problematic.
C GD
A
EB
G!D!A!
E!
B!
FC
7-octave clock with just fifths
This small but nonnegligible interval, not quite a quarter of a semitone, wasgreatly disturbing to Pythagoras.
Irrationality of Equally-Tempered Intervals. We will now show that allintervals between notes of the equally tempered scale, excepting iterationsof the octave, are irrational, that is, they correspond to ratios which areirrational numbers, i.e., lie outside of Q. In fact, this holds even in non-standard equally tempered scales.
Theorem Let I be an the interval between two notes in the chromatic n-scale. If I is not the iteration of octaves (i.e., the ratio corresponding to I is
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Planteamiento
Proporciones eintervalos
Soluciones
El “clave bientemperado”
Breve conclusion
Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusion
Cada intervalo tiene su proporcion
Nota base con frecuencia: n.
octava: 2n
quinta: 3n/2
cuarta: 4n/3
segunda: 9n/8
tercera: 5n/4
sexta: 8n/5
septima: 16n/9
PROBLEMA
Serie de quintas
Do
n7→ Sol
(3/2)n7→ Re
(3/2)2n7→ La
(3/2)3n7→
Mi
(3/2)4n7→ Si
(3/2)5n7→ Fa#
(3/2)6n7→ Do#
(3/2)7n7→
Sol#
(3/2)8n7→ Re#
(3/2)9n7→ La#
(3/2)10n7→ Fa
(3/2)11n7→ Do
(3/2)12n132 CHAPTER 11. RATIONAL NUMBERS AS INTERVALS
C GD
A
EBG!D!
A!
E!
B!
F
12-octave clock with tempered fifths
If we plot the 7-octave circle of fifths using just fifths, the twelve intervalsadd up to slightly more than one rotation, wrapping around the clock andending up clockwise of the 12 o’clock position by precisely the comma ofPythagoras, as shown below. Thus the tuning of C would be problematic.
C GD
A
EB
G!D!A!
E!
B!
FC
7-octave clock with just fifths
This small but nonnegligible interval, not quite a quarter of a semitone, wasgreatly disturbing to Pythagoras.
Irrationality of Equally-Tempered Intervals. We will now show that allintervals between notes of the equally tempered scale, excepting iterationsof the octave, are irrational, that is, they correspond to ratios which areirrational numbers, i.e., lie outside of Q. In fact, this holds even in non-standard equally tempered scales.
Theorem Let I be an the interval between two notes in the chromatic n-scale. If I is not the iteration of octaves (i.e., the ratio corresponding to I is
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Proporciones eintervalos
Soluciones
El “clave bientemperado”
Breve conclusion
Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusion
Cada intervalo tiene su proporcion
Nota base con frecuencia: n.
octava: 2n
quinta: 3n/2
cuarta: 4n/3
segunda: 9n/8
tercera: 5n/4
sexta: 8n/5
septima: 16n/9
PROBLEMA
Serie de quintas
Do
n7→ Sol
(3/2)n7→ Re
(3/2)2n7→ La
(3/2)3n7→
Mi
(3/2)4n7→ Si
(3/2)5n7→ Fa#
(3/2)6n7→ Do#
(3/2)7n7→
Sol#
(3/2)8n7→ Re#
(3/2)9n7→ La#
(3/2)10n7→ Fa
(3/2)11n7→ Do
(3/2)12n132 CHAPTER 11. RATIONAL NUMBERS AS INTERVALS
C GD
A
EBG!D!
A!
E!
B!
F
12-octave clock with tempered fifths
If we plot the 7-octave circle of fifths using just fifths, the twelve intervalsadd up to slightly more than one rotation, wrapping around the clock andending up clockwise of the 12 o’clock position by precisely the comma ofPythagoras, as shown below. Thus the tuning of C would be problematic.
C GD
A
EB
G!D!A!
E!
B!
FC
7-octave clock with just fifths
This small but nonnegligible interval, not quite a quarter of a semitone, wasgreatly disturbing to Pythagoras.
Irrationality of Equally-Tempered Intervals. We will now show that allintervals between notes of the equally tempered scale, excepting iterationsof the octave, are irrational, that is, they correspond to ratios which areirrational numbers, i.e., lie outside of Q. In fact, this holds even in non-standard equally tempered scales.
Theorem Let I be an the interval between two notes in the chromatic n-scale. If I is not the iteration of octaves (i.e., the ratio corresponding to I is
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Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusion
Cada intervalo tiene su proporcion
Nota base con frecuencia: n.
octava: 2n
quinta: 3n/2
cuarta: 4n/3
segunda: 9n/8
tercera: 5n/4
sexta: 8n/5
septima: 16n/9
PROBLEMA
Serie de quintas
Do
n7→ Sol
(3/2)n7→ Re
(3/2)2n7→ La
(3/2)3n7→
Mi
(3/2)4n7→ Si
(3/2)5n7→ Fa#
(3/2)6n7→ Do#
(3/2)7n7→
Sol#
(3/2)8n7→ Re#
(3/2)9n7→ La#
(3/2)10n7→ Fa
(3/2)11n7→ Do
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C GD
A
EBG!D!
A!
E!
B!
F
12-octave clock with tempered fifths
If we plot the 7-octave circle of fifths using just fifths, the twelve intervalsadd up to slightly more than one rotation, wrapping around the clock andending up clockwise of the 12 o’clock position by precisely the comma ofPythagoras, as shown below. Thus the tuning of C would be problematic.
C GD
A
EB
G!D!A!
E!
B!
FC
7-octave clock with just fifths
This small but nonnegligible interval, not quite a quarter of a semitone, wasgreatly disturbing to Pythagoras.
Irrationality of Equally-Tempered Intervals. We will now show that allintervals between notes of the equally tempered scale, excepting iterationsof the octave, are irrational, that is, they correspond to ratios which areirrational numbers, i.e., lie outside of Q. In fact, this holds even in non-standard equally tempered scales.
Theorem Let I be an the interval between two notes in the chromatic n-scale. If I is not the iteration of octaves (i.e., the ratio corresponding to I is
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Cada intervalo tiene su proporcion
Nota base con frecuencia: n.
octava: 2n
quinta: 3n/2
cuarta: 4n/3
segunda: 9n/8
tercera: 5n/4
sexta: 8n/5
septima: 16n/9
PROBLEMA
Serie de quintas
Do
n7→ Sol
(3/2)n7→ Re
(3/2)2n7→ La
(3/2)3n7→
Mi
(3/2)4n7→ Si
(3/2)5n7→ Fa#
(3/2)6n7→ Do#
(3/2)7n7→
Sol#
(3/2)8n7→ Re#
(3/2)9n7→ La#
(3/2)10n7→ Fa
(3/2)11n7→ Do
(3/2)12n132 CHAPTER 11. RATIONAL NUMBERS AS INTERVALS
C GD
A
EBG!D!
A!
E!
B!
F
12-octave clock with tempered fifths
If we plot the 7-octave circle of fifths using just fifths, the twelve intervalsadd up to slightly more than one rotation, wrapping around the clock andending up clockwise of the 12 o’clock position by precisely the comma ofPythagoras, as shown below. Thus the tuning of C would be problematic.
C GD
A
EB
G!D!A!
E!
B!
FC
7-octave clock with just fifths
This small but nonnegligible interval, not quite a quarter of a semitone, wasgreatly disturbing to Pythagoras.
Irrationality of Equally-Tempered Intervals. We will now show that allintervals between notes of the equally tempered scale, excepting iterationsof the octave, are irrational, that is, they correspond to ratios which areirrational numbers, i.e., lie outside of Q. In fact, this holds even in non-standard equally tempered scales.
Theorem Let I be an the interval between two notes in the chromatic n-scale. If I is not the iteration of octaves (i.e., the ratio corresponding to I is
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Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusion
Cada intervalo tiene su proporcion
Nota base con frecuencia: n.
octava: 2n
quinta: 3n/2
cuarta: 4n/3
segunda: 9n/8
tercera: 5n/4
sexta: 8n/5
septima: 16n/9
PROBLEMA
Serie de quintas
Do
n7→ Sol
(3/2)n7→ Re
(3/2)2n7→ La
(3/2)3n7→
Mi
(3/2)4n7→ Si
(3/2)5n7→ Fa#
(3/2)6n7→ Do#
(3/2)7n7→
Sol#
(3/2)8n7→ Re#
(3/2)9n7→ La#
(3/2)10n7→ Fa
(3/2)11n7→ Do
(3/2)12n132 CHAPTER 11. RATIONAL NUMBERS AS INTERVALS
C GD
A
EBG!D!
A!
E!
B!
F
12-octave clock with tempered fifths
If we plot the 7-octave circle of fifths using just fifths, the twelve intervalsadd up to slightly more than one rotation, wrapping around the clock andending up clockwise of the 12 o’clock position by precisely the comma ofPythagoras, as shown below. Thus the tuning of C would be problematic.
C GD
A
EB
G!D!A!
E!
B!
FC
7-octave clock with just fifths
This small but nonnegligible interval, not quite a quarter of a semitone, wasgreatly disturbing to Pythagoras.
Irrationality of Equally-Tempered Intervals. We will now show that allintervals between notes of the equally tempered scale, excepting iterationsof the octave, are irrational, that is, they correspond to ratios which areirrational numbers, i.e., lie outside of Q. In fact, this holds even in non-standard equally tempered scales.
Theorem Let I be an the interval between two notes in the chromatic n-scale. If I is not the iteration of octaves (i.e., the ratio corresponding to I is
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Cada intervalo tiene su proporcion
Nota base con frecuencia: n.
octava: 2n
quinta: 3n/2
cuarta: 4n/3
segunda: 9n/8
tercera: 5n/4
sexta: 8n/5
septima: 16n/9
PROBLEMA
Serie de quintas
Do
n7→ Sol
(3/2)n7→ Re
(3/2)2n7→ La
(3/2)3n7→
Mi
(3/2)4n7→ Si
(3/2)5n7→ Fa#
(3/2)6n7→ Do#
(3/2)7n7→
Sol#
(3/2)8n7→ Re#
(3/2)9n7→ La#
(3/2)10n7→ Fa
(3/2)11n7→ Do
(3/2)12n132 CHAPTER 11. RATIONAL NUMBERS AS INTERVALS
C GD
A
EBG!D!
A!
E!
B!
F
12-octave clock with tempered fifths
If we plot the 7-octave circle of fifths using just fifths, the twelve intervalsadd up to slightly more than one rotation, wrapping around the clock andending up clockwise of the 12 o’clock position by precisely the comma ofPythagoras, as shown below. Thus the tuning of C would be problematic.
C GD
A
EB
G!D!A!
E!
B!
FC
7-octave clock with just fifths
This small but nonnegligible interval, not quite a quarter of a semitone, wasgreatly disturbing to Pythagoras.
Irrationality of Equally-Tempered Intervals. We will now show that allintervals between notes of the equally tempered scale, excepting iterationsof the octave, are irrational, that is, they correspond to ratios which areirrational numbers, i.e., lie outside of Q. In fact, this holds even in non-standard equally tempered scales.
Theorem Let I be an the interval between two notes in the chromatic n-scale. If I is not the iteration of octaves (i.e., the ratio corresponding to I is
Matematicas yMusica
Pablo Pedregal
Planteamiento
Proporciones eintervalos
Soluciones
El “clave bientemperado”
Breve conclusion
Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusion
Cada intervalo tiene su proporcion
Nota base con frecuencia: n.
octava: 2n
quinta: 3n/2
cuarta: 4n/3
segunda: 9n/8
tercera: 5n/4
sexta: 8n/5
septima: 16n/9
PROBLEMA
Serie de quintas
Do
n7→ Sol
(3/2)n7→ Re
(3/2)2n7→ La
(3/2)3n7→
Mi
(3/2)4n7→ Si
(3/2)5n7→ Fa#
(3/2)6n7→ Do#
(3/2)7n7→
Sol#
(3/2)8n7→ Re#
(3/2)9n7→ La#
(3/2)10n7→ Fa
(3/2)11n7→ Do
(3/2)12n132 CHAPTER 11. RATIONAL NUMBERS AS INTERVALS
C GD
A
EBG!D!
A!
E!
B!
F
12-octave clock with tempered fifths
If we plot the 7-octave circle of fifths using just fifths, the twelve intervalsadd up to slightly more than one rotation, wrapping around the clock andending up clockwise of the 12 o’clock position by precisely the comma ofPythagoras, as shown below. Thus the tuning of C would be problematic.
C GD
A
EB
G!D!A!
E!
B!
FC
7-octave clock with just fifths
This small but nonnegligible interval, not quite a quarter of a semitone, wasgreatly disturbing to Pythagoras.
Irrationality of Equally-Tempered Intervals. We will now show that allintervals between notes of the equally tempered scale, excepting iterationsof the octave, are irrational, that is, they correspond to ratios which areirrational numbers, i.e., lie outside of Q. In fact, this holds even in non-standard equally tempered scales.
Theorem Let I be an the interval between two notes in the chromatic n-scale. If I is not the iteration of octaves (i.e., the ratio corresponding to I is
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Planteamiento
Proporciones eintervalos
Soluciones
El “clave bientemperado”
Breve conclusion
Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusion
Cada intervalo tiene su proporcion
Nota base con frecuencia: n.
octava: 2n
quinta: 3n/2
cuarta: 4n/3
segunda: 9n/8
tercera: 5n/4
sexta: 8n/5
septima: 16n/9
PROBLEMA
Serie de quintas
Do
n7→ Sol
(3/2)n7→ Re
(3/2)2n7→ La
(3/2)3n7→
Mi
(3/2)4n7→ Si
(3/2)5n7→ Fa#
(3/2)6n7→ Do#
(3/2)7n7→
Sol#
(3/2)8n7→ Re#
(3/2)9n7→ La#
(3/2)10n7→ Fa
(3/2)11n7→ Do
(3/2)12n132 CHAPTER 11. RATIONAL NUMBERS AS INTERVALS
C GD
A
EBG!D!
A!
E!
B!
F
12-octave clock with tempered fifths
If we plot the 7-octave circle of fifths using just fifths, the twelve intervalsadd up to slightly more than one rotation, wrapping around the clock andending up clockwise of the 12 o’clock position by precisely the comma ofPythagoras, as shown below. Thus the tuning of C would be problematic.
C GD
A
EB
G!D!A!
E!
B!
FC
7-octave clock with just fifths
This small but nonnegligible interval, not quite a quarter of a semitone, wasgreatly disturbing to Pythagoras.
Irrationality of Equally-Tempered Intervals. We will now show that allintervals between notes of the equally tempered scale, excepting iterationsof the octave, are irrational, that is, they correspond to ratios which areirrational numbers, i.e., lie outside of Q. In fact, this holds even in non-standard equally tempered scales.
Theorem Let I be an the interval between two notes in the chromatic n-scale. If I is not the iteration of octaves (i.e., the ratio corresponding to I is
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Planteamiento
Proporciones eintervalos
Soluciones
El “clave bientemperado”
Breve conclusion
Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusion
Cada intervalo tiene su proporcion
Nota base con frecuencia: n.
octava: 2n
quinta: 3n/2
cuarta: 4n/3
segunda: 9n/8
tercera: 5n/4
sexta: 8n/5
septima: 16n/9
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Serie de quintas
Do
n7→ Sol
(3/2)n7→ Re
(3/2)2n7→ La
(3/2)3n7→
Mi
(3/2)4n7→ Si
(3/2)5n7→ Fa#
(3/2)6n7→ Do#
(3/2)7n7→
Sol#
(3/2)8n7→ Re#
(3/2)9n7→ La#
(3/2)10n7→ Fa
(3/2)11n7→ Do
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A
EBG!D!
A!
E!
B!
F
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If we plot the 7-octave circle of fifths using just fifths, the twelve intervalsadd up to slightly more than one rotation, wrapping around the clock andending up clockwise of the 12 o’clock position by precisely the comma ofPythagoras, as shown below. Thus the tuning of C would be problematic.
C GD
A
EB
G!D!A!
E!
B!
FC
7-octave clock with just fifths
This small but nonnegligible interval, not quite a quarter of a semitone, wasgreatly disturbing to Pythagoras.
Irrationality of Equally-Tempered Intervals. We will now show that allintervals between notes of the equally tempered scale, excepting iterationsof the octave, are irrational, that is, they correspond to ratios which areirrational numbers, i.e., lie outside of Q. In fact, this holds even in non-standard equally tempered scales.
Theorem Let I be an the interval between two notes in the chromatic n-scale. If I is not the iteration of octaves (i.e., the ratio corresponding to I is
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Proporciones eintervalos
Soluciones
El “clave bientemperado”
Breve conclusion
Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusion
Cada intervalo tiene su proporcion
Nota base con frecuencia: n.
octava: 2n
quinta: 3n/2
cuarta: 4n/3
segunda: 9n/8
tercera: 5n/4
sexta: 8n/5
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Do
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(3/2)n7→ Re
(3/2)2n7→ La
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Mi
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(3/2)6n7→ Do#
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(3/2)11n7→ Do
(3/2)12n
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A
EBG!D!
A!
E!
B!
F
12-octave clock with tempered fifths
If we plot the 7-octave circle of fifths using just fifths, the twelve intervalsadd up to slightly more than one rotation, wrapping around the clock andending up clockwise of the 12 o’clock position by precisely the comma ofPythagoras, as shown below. Thus the tuning of C would be problematic.
C GD
A
EB
G!D!A!
E!
B!
FC
7-octave clock with just fifths
This small but nonnegligible interval, not quite a quarter of a semitone, wasgreatly disturbing to Pythagoras.
Irrationality of Equally-Tempered Intervals. We will now show that allintervals between notes of the equally tempered scale, excepting iterationsof the octave, are irrational, that is, they correspond to ratios which areirrational numbers, i.e., lie outside of Q. In fact, this holds even in non-standard equally tempered scales.
Theorem Let I be an the interval between two notes in the chromatic n-scale. If I is not the iteration of octaves (i.e., the ratio corresponding to I is
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Proporciones eintervalos
Soluciones
El “clave bientemperado”
Breve conclusion
Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusion
Cada intervalo tiene su proporcion
Nota base con frecuencia: n.
octava: 2n
quinta: 3n/2
cuarta: 4n/3
segunda: 9n/8
tercera: 5n/4
sexta: 8n/5
septima: 16n/9
PROBLEMA
Serie de quintas
Do
n7→ Sol
(3/2)n7→ Re
(3/2)2n7→ La
(3/2)3n7→
Mi
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(3/2)5n7→ Fa#
(3/2)6n7→ Do#
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Sol#
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(3/2)9n7→ La#
(3/2)10n7→ Fa
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A!
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If we plot the 7-octave circle of fifths using just fifths, the twelve intervalsadd up to slightly more than one rotation, wrapping around the clock andending up clockwise of the 12 o’clock position by precisely the comma ofPythagoras, as shown below. Thus the tuning of C would be problematic.
C GD
A
EB
G!D!A!
E!
B!
FC
7-octave clock with just fifths
This small but nonnegligible interval, not quite a quarter of a semitone, wasgreatly disturbing to Pythagoras.
Irrationality of Equally-Tempered Intervals. We will now show that allintervals between notes of the equally tempered scale, excepting iterationsof the octave, are irrational, that is, they correspond to ratios which areirrational numbers, i.e., lie outside of Q. In fact, this holds even in non-standard equally tempered scales.
Theorem Let I be an the interval between two notes in the chromatic n-scale. If I is not the iteration of octaves (i.e., the ratio corresponding to I is
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Planteamiento
Proporciones eintervalos
Soluciones
El “clave bientemperado”
Breve conclusion
Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusion
Coma pitagorica
Deberıamos tener (3
2
)12
= 27
pues 7 es el numero de octavas recorridas.
¡¡¡¡NO ES CIERTO !!!!: 219 = 312 ????219 = 524288, 312 = 531441.
DESAJUSTE:
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A
EBG!D!
A!
E!
B!
F
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C GD
A
EB
G!D!A!
E!
B!
FC
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This small but nonnegligible interval, not quite a quarter of a semitone, wasgreatly disturbing to Pythagoras.
Irrationality of Equally-Tempered Intervals. We will now show that allintervals between notes of the equally tempered scale, excepting iterationsof the octave, are irrational, that is, they correspond to ratios which areirrational numbers, i.e., lie outside of Q. In fact, this holds even in non-standard equally tempered scales.
Theorem Let I be an the interval between two notes in the chromatic n-scale. If I is not the iteration of octaves (i.e., the ratio corresponding to I is
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El “clave bientemperado”
Breve conclusion
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Coma pitagorica
Deberıamos tener (3
2
)12
= 27
pues 7 es el numero de octavas recorridas.
¡¡¡¡NO ES CIERTO !!!!: 219 = 312 ????219 = 524288, 312 = 531441.
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A!
E!
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If we plot the 7-octave circle of fifths using just fifths, the twelve intervalsadd up to slightly more than one rotation, wrapping around the clock andending up clockwise of the 12 o’clock position by precisely the comma ofPythagoras, as shown below. Thus the tuning of C would be problematic.
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A
EB
G!D!A!
E!
B!
FC
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This small but nonnegligible interval, not quite a quarter of a semitone, wasgreatly disturbing to Pythagoras.
Irrationality of Equally-Tempered Intervals. We will now show that allintervals between notes of the equally tempered scale, excepting iterationsof the octave, are irrational, that is, they correspond to ratios which areirrational numbers, i.e., lie outside of Q. In fact, this holds even in non-standard equally tempered scales.
Theorem Let I be an the interval between two notes in the chromatic n-scale. If I is not the iteration of octaves (i.e., the ratio corresponding to I is
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El “clave bientemperado”
Breve conclusion
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Coma pitagorica
Deberıamos tener (3
2
)12
= 27
pues 7 es el numero de octavas recorridas.
¡¡¡¡NO ES CIERTO !!!!:
219 = 312 ????219 = 524288, 312 = 531441.
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EBG!D!
A!
E!
B!
F
12-octave clock with tempered fifths
If we plot the 7-octave circle of fifths using just fifths, the twelve intervalsadd up to slightly more than one rotation, wrapping around the clock andending up clockwise of the 12 o’clock position by precisely the comma ofPythagoras, as shown below. Thus the tuning of C would be problematic.
C GD
A
EB
G!D!A!
E!
B!
FC
7-octave clock with just fifths
This small but nonnegligible interval, not quite a quarter of a semitone, wasgreatly disturbing to Pythagoras.
Irrationality of Equally-Tempered Intervals. We will now show that allintervals between notes of the equally tempered scale, excepting iterationsof the octave, are irrational, that is, they correspond to ratios which areirrational numbers, i.e., lie outside of Q. In fact, this holds even in non-standard equally tempered scales.
Theorem Let I be an the interval between two notes in the chromatic n-scale. If I is not the iteration of octaves (i.e., the ratio corresponding to I is
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Proporciones eintervalos
Soluciones
El “clave bientemperado”
Breve conclusion
Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusion
Coma pitagorica
Deberıamos tener (3
2
)12
= 27
pues 7 es el numero de octavas recorridas.
¡¡¡¡NO ES CIERTO !!!!: 219 = 312 ????
219 = 524288, 312 = 531441.
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A!
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C GD
A
EB
G!D!A!
E!
B!
FC
7-octave clock with just fifths
This small but nonnegligible interval, not quite a quarter of a semitone, wasgreatly disturbing to Pythagoras.
Irrationality of Equally-Tempered Intervals. We will now show that allintervals between notes of the equally tempered scale, excepting iterationsof the octave, are irrational, that is, they correspond to ratios which areirrational numbers, i.e., lie outside of Q. In fact, this holds even in non-standard equally tempered scales.
Theorem Let I be an the interval between two notes in the chromatic n-scale. If I is not the iteration of octaves (i.e., the ratio corresponding to I is
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Soluciones
El “clave bientemperado”
Breve conclusion
Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusion
Coma pitagorica
Deberıamos tener (3
2
)12
= 27
pues 7 es el numero de octavas recorridas.
¡¡¡¡NO ES CIERTO !!!!: 219 = 312 ????219 = 524288, 312 = 531441.
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A
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A!
E!
B!
F
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If we plot the 7-octave circle of fifths using just fifths, the twelve intervalsadd up to slightly more than one rotation, wrapping around the clock andending up clockwise of the 12 o’clock position by precisely the comma ofPythagoras, as shown below. Thus the tuning of C would be problematic.
C GD
A
EB
G!D!A!
E!
B!
FC
7-octave clock with just fifths
This small but nonnegligible interval, not quite a quarter of a semitone, wasgreatly disturbing to Pythagoras.
Irrationality of Equally-Tempered Intervals. We will now show that allintervals between notes of the equally tempered scale, excepting iterationsof the octave, are irrational, that is, they correspond to ratios which areirrational numbers, i.e., lie outside of Q. In fact, this holds even in non-standard equally tempered scales.
Theorem Let I be an the interval between two notes in the chromatic n-scale. If I is not the iteration of octaves (i.e., the ratio corresponding to I is
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Deberıamos tener (3
2
)12
= 27
pues 7 es el numero de octavas recorridas.
¡¡¡¡NO ES CIERTO !!!!: 219 = 312 ????219 = 524288, 312 = 531441.
DESAJUSTE:
132 CHAPTER 11. RATIONAL NUMBERS AS INTERVALS
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A
EBG!D!
A!
E!
B!
F
12-octave clock with tempered fifths
If we plot the 7-octave circle of fifths using just fifths, the twelve intervalsadd up to slightly more than one rotation, wrapping around the clock andending up clockwise of the 12 o’clock position by precisely the comma ofPythagoras, as shown below. Thus the tuning of C would be problematic.
C GD
A
EB
G!D!A!
E!
B!
FC
7-octave clock with just fifths
This small but nonnegligible interval, not quite a quarter of a semitone, wasgreatly disturbing to Pythagoras.
Irrationality of Equally-Tempered Intervals. We will now show that allintervals between notes of the equally tempered scale, excepting iterationsof the octave, are irrational, that is, they correspond to ratios which areirrational numbers, i.e., lie outside of Q. In fact, this holds even in non-standard equally tempered scales.
Theorem Let I be an the interval between two notes in the chromatic n-scale. If I is not the iteration of octaves (i.e., the ratio corresponding to I is
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Soluciones
El “clave bientemperado”
Breve conclusion
Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusion
La solucion equitativa
Una octava con proporcion 2 dividida en 12 semitonos:
CADA SEMITONO CORRESPONDE A UNAPROPORCION 21/12 (¡numero irracional!).
La coma pitagorica se reparte entre todas las quintas y ...
¡¡NINGUNA QUINTA SUENA PERFECTA !!
Es la solucion electronica: la usan los teclados electronicos.
Nuestro oıdo esta acostumbrado a esta solucion. Permiteesencialmente tocar en cualquier tonalidad pues no sefavorece ninguna.
Matematicas yMusica
Pablo Pedregal
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El “clave bientemperado”
Breve conclusion
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La solucion equitativa
Una octava con proporcion 2 dividida en 12 semitonos:
CADA SEMITONO CORRESPONDE A UNAPROPORCION 21/12 (¡numero irracional!).
La coma pitagorica se reparte entre todas las quintas y ...
¡¡NINGUNA QUINTA SUENA PERFECTA !!
Es la solucion electronica: la usan los teclados electronicos.
Nuestro oıdo esta acostumbrado a esta solucion. Permiteesencialmente tocar en cualquier tonalidad pues no sefavorece ninguna.
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La solucion equitativa
Una octava con proporcion 2 dividida en 12 semitonos:
CADA SEMITONO CORRESPONDE A UNAPROPORCION 21/12 (¡numero irracional!).
La coma pitagorica se reparte entre todas las quintas y ...
¡¡NINGUNA QUINTA SUENA PERFECTA !!
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Nuestro oıdo esta acostumbrado a esta solucion. Permiteesencialmente tocar en cualquier tonalidad pues no sefavorece ninguna.
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CADA SEMITONO CORRESPONDE A UNAPROPORCION 21/12 (¡numero irracional!).
La coma pitagorica se reparte entre todas las quintas y ...
¡¡NINGUNA QUINTA SUENA PERFECTA !!
Es la solucion electronica: la usan los teclados electronicos.
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CADA SEMITONO CORRESPONDE A UNAPROPORCION 21/12 (¡numero irracional!).
La coma pitagorica se reparte entre todas las quintas y ...
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Una octava con proporcion 2 dividida en 12 semitonos:
CADA SEMITONO CORRESPONDE A UNAPROPORCION 21/12 (¡numero irracional!).
La coma pitagorica se reparte entre todas las quintas y ...
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Es la solucion electronica: la usan los teclados electronicos.
Nuestro oıdo esta acostumbrado a esta solucion. Permiteesencialmente tocar en cualquier tonalidad pues no sefavorece ninguna.
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La solucion equitativa
Una octava con proporcion 2 dividida en 12 semitonos:
CADA SEMITONO CORRESPONDE A UNAPROPORCION 21/12 (¡numero irracional!).
La coma pitagorica se reparte entre todas las quintas y ...
¡¡NINGUNA QUINTA SUENA PERFECTA !!
Es la solucion electronica: la usan los teclados electronicos.
Nuestro oıdo esta acostumbrado a esta solucion. Permiteesencialmente tocar en cualquier tonalidad pues no sefavorece ninguna.
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La solucion mesotonica
Se carga la coma pitagorica esencialmente en la ultimaquinta (“la quinta del lobo”), y las otras se afinanpracticamente de manera exacta.
El temperamento usado antes del barroco por los afinadoresde clavicordios.
Para J. S. Bach no era una solucion valida por lacomplejidad de su musica.
No existe una solucion ideal: cualquier solucion seradefectuosa.
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La solucion mesotonica
Se carga la coma pitagorica esencialmente en la ultimaquinta (“la quinta del lobo”), y las otras se afinanpracticamente de manera exacta.
El temperamento usado antes del barroco por los afinadoresde clavicordios.
Para J. S. Bach no era una solucion valida por lacomplejidad de su musica.
No existe una solucion ideal: cualquier solucion seradefectuosa.
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Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusion
La solucion mesotonica
Se carga la coma pitagorica esencialmente en la ultimaquinta (“la quinta del lobo”), y las otras se afinanpracticamente de manera exacta.
El temperamento usado antes del barroco por los afinadoresde clavicordios.
Para J. S. Bach no era una solucion valida por lacomplejidad de su musica.
No existe una solucion ideal: cualquier solucion seradefectuosa.
Matematicas yMusica
Pablo Pedregal
Planteamiento
Proporciones eintervalos
Soluciones
El “clave bientemperado”
Breve conclusion
Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusion
La solucion mesotonica
Se carga la coma pitagorica esencialmente en la ultimaquinta (“la quinta del lobo”), y las otras se afinanpracticamente de manera exacta.
El temperamento usado antes del barroco por los afinadoresde clavicordios.
Para J. S. Bach no era una solucion valida por lacomplejidad de su musica.
No existe una solucion ideal: cualquier solucion seradefectuosa.
Matematicas yMusica
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Planteamiento
Proporciones eintervalos
Soluciones
El “clave bientemperado”
Breve conclusion
Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusion
Idea de B. Lehman
La afinacion esta oculta en la portada original de “El clavebien temperado”
Codigo oculto de Bach
Once volutas encima del tıtulo: once son las quintas que hayque determinar en la serie de quintas!!
Matematicas yMusica
Pablo Pedregal
Planteamiento
Proporciones eintervalos
Soluciones
El “clave bientemperado”
Breve conclusion
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Idea de B. Lehman
La afinacion esta oculta en la portada original de “El clavebien temperado”
Codigo oculto de Bach
Once volutas encima del tıtulo: once son las quintas que hayque determinar en la serie de quintas!!
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Pablo Pedregal
Planteamiento
Proporciones eintervalos
Soluciones
El “clave bientemperado”
Breve conclusion
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Idea de B. Lehman
La afinacion esta oculta en la portada original de “El clavebien temperado”
Codigo oculto de Bach
Once volutas encima del tıtulo: once son las quintas que hayque determinar en la serie de quintas!!
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Planteamiento
Proporciones eintervalos
Soluciones
El “clave bientemperado”
Breve conclusion
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Idea de B. Lehman
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Codigo oculto de Bach
Once volutas encima del tıtulo:
once son las quintas que hayque determinar en la serie de quintas!!
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Soluciones
El “clave bientemperado”
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Codigo oculto de Bach
Once volutas encima del tıtulo: once son las quintas que hayque determinar en la serie de quintas!!
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Planteamiento
Proporciones eintervalos
Soluciones
El “clave bientemperado”
Breve conclusion
Planteamiento Proporciones e intervalos Soluciones El “clave bien temperado” Breve conclusion
Descripcion
Observamos:
tres volutas simples;
tres volutas con un lazo sencillo en su interior;
cinco volutas con un lazo doble.
INTERPRETACION DE LEHMAN
1 las volutas simples: quintas puras;
2 las volutas con un lazo simple: quintas que pierden unsexto de la coma pitagorica;
3 las volutas dobles: quintas que pierden un doceavo dela coma pitagorica.
Matematicas yMusica
Pablo Pedregal
Planteamiento
Proporciones eintervalos
Soluciones
El “clave bientemperado”
Breve conclusion
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Descripcion
Observamos:
tres volutas simples;
tres volutas con un lazo sencillo en su interior;
cinco volutas con un lazo doble.
INTERPRETACION DE LEHMAN
1 las volutas simples: quintas puras;
2 las volutas con un lazo simple: quintas que pierden unsexto de la coma pitagorica;
3 las volutas dobles: quintas que pierden un doceavo dela coma pitagorica.
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Planteamiento
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Soluciones
El “clave bientemperado”
Breve conclusion
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Descripcion
Observamos:
tres volutas simples;
tres volutas con un lazo sencillo en su interior;
cinco volutas con un lazo doble.
INTERPRETACION DE LEHMAN
1 las volutas simples: quintas puras;
2 las volutas con un lazo simple: quintas que pierden unsexto de la coma pitagorica;
3 las volutas dobles: quintas que pierden un doceavo dela coma pitagorica.
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Planteamiento
Proporciones eintervalos
Soluciones
El “clave bientemperado”
Breve conclusion
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Descripcion
Observamos:
tres volutas simples;
tres volutas con un lazo sencillo en su interior;
cinco volutas con un lazo doble.
INTERPRETACION DE LEHMAN
1 las volutas simples: quintas puras;
2 las volutas con un lazo simple: quintas que pierden unsexto de la coma pitagorica;
3 las volutas dobles: quintas que pierden un doceavo dela coma pitagorica.
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El “clave bientemperado”
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Descripcion
Observamos:
tres volutas simples;
tres volutas con un lazo sencillo en su interior;
cinco volutas con un lazo doble.
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1 las volutas simples: quintas puras;
2 las volutas con un lazo simple: quintas que pierden unsexto de la coma pitagorica;
3 las volutas dobles: quintas que pierden un doceavo dela coma pitagorica.
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El “clave bientemperado”
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Observamos:
tres volutas simples;
tres volutas con un lazo sencillo en su interior;
cinco volutas con un lazo doble.
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3 las volutas dobles: quintas que pierden un doceavo dela coma pitagorica.
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El “clave bientemperado”
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Descripcion
Observamos:
tres volutas simples;
tres volutas con un lazo sencillo en su interior;
cinco volutas con un lazo doble.
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2 las volutas con un lazo simple: quintas que pierden unsexto de la coma pitagorica;
3 las volutas dobles: quintas que pierden un doceavo dela coma pitagorica.
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El “clave bientemperado”
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Observamos:
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cinco volutas con un lazo doble.
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2 las volutas con un lazo simple: quintas que pierden unsexto de la coma pitagorica;
3 las volutas dobles: quintas que pierden un doceavo dela coma pitagorica.
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El “clave bientemperado”
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Descripcion
Observamos:
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tres volutas con un lazo sencillo en su interior;
cinco volutas con un lazo doble.
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1 las volutas simples: quintas puras;
2 las volutas con un lazo simple: quintas que pierden unsexto de la coma pitagorica;
3 las volutas dobles: quintas que pierden un doceavo dela coma pitagorica.
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El “clave bientemperado”
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Todavıa una pregunta importante
¿Que nota corresponde a que voluta?
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El “clave bientemperado”
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No solo teorıa
Buen resultado
Lehman ha grabado discos con ese temperamento.
Idea hermosa
Bach, el compositor mas matematico, nos dejo en un codigosecreto una indicacion sobre la afinacion del clavicordio.
No es un problema grave
Afortunadamente, la mayorıa de entre nosotros podemosdisfrutar de la musica de Bach sin preocuparnos demasiadopor la afinacion.
LAS MATEMATICAS EXPLICAN POR QUE NO SEPUEDE AFINAR EXACTAMENTE UN TECLADO.
Matematicas yMusica
Pablo Pedregal
Planteamiento
Proporciones eintervalos
Soluciones
El “clave bientemperado”
Breve conclusion
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Bach, el compositor mas matematico, nos dejo en un codigosecreto una indicacion sobre la afinacion del clavicordio.
No es un problema grave
Afortunadamente, la mayorıa de entre nosotros podemosdisfrutar de la musica de Bach sin preocuparnos demasiadopor la afinacion.
LAS MATEMATICAS EXPLICAN POR QUE NO SEPUEDE AFINAR EXACTAMENTE UN TECLADO.
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