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Módulo de Aprendizaje #1 – Matemática 8° - II trimestre
MINISTERIO DE EDUCACIÓN
COLEGIO PADRE SEGUNDO FAMILIAR CANO
CO
LE
GIO
PAD
RE S
EGUNDO FA
MIL
IAR
CA
NO
MÓDULO DE APRENDIZAJE #1
MATEMÁTICA Octavo Grado
CONCEPTO DE ÁLGEBRA Y OPERACIONES
DOCENTES:
Profa. Mari Rubiela Tello A – B – C – D – E
Prof. Carlos A. Gómez P. F – G – H – I – J
Profa. Zuleika Barría K – L – M – N
ESTUDIANTE:
_____________________________
8° ___
Segundo Trimestre
Octubre – Diciembre 2020
1
Módulo de Aprendizaje #1 – Matemática 8° - II trimestre
BIENVENIDOS a este nuevo trimestre.
Ya hemos tenido un poco de experiencia, en como se
desarrolla este año lectivo, respecto a su nueva
modalidad.
Les exhortamos a que continúen esforzándose por
aprender un poco cada día, tanto en materia
tecnológica como académica.
Los contenidos y actividades propuestas en esta Guía
de Aprendizaje están relacionados al grado que cursas
(8°) y a tu nivel de madurez intelectual. Por tal razón,
todas las actividades deben ser desarrolladas
aplicando lo expuesto en la teoría y ejemplos
desarrollados en esta Guía, y no debes utilizar
métodos alternos a los indicados.
La entrega de esta Guía de Aprendizaje resuelta debe
ajustarse a lo indicado por el docente.
“Sé responsable y puntual con la entrega.”
Área: Álgebra
Asignatura: Matemática
“El Maravilloso Mundo del Álgebra”
Objetivo de Aprendizaje:
• Reconoce el concepto de álgebra, expresión algebraica y sus elementos.
• Resuelve operaciones con expresiones algebraicas atendiendo a sus algoritmos, con el
fin de valorar su utilidad en la solución de ejercicios.
Indicadores de Logros:
• Clasifica correctamente términos y expresiones algebraicas, atendiendo a sus
características.
• Determina con exactitud el grado absoluto y relativo de una expresión algebraica.
• Ordena correctamente expresiones algebraicas en forma ascendente o descendente.
• Encuentra el valor numérico de expresiones algebraicas atendiendo a los valores
asignados.
• Elimina signos de agrupación aplicando la supresión de signos, en el orden correcto.
• Resuelve correctamente operaciones básicas con monomios y polinomios, aplicando
correctamente los algoritmos establecidos.
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Módulo de Aprendizaje #1 – Matemática 8° - II trimestre
“El tema de este módulo no es del todo nuevo, ya que
algunas reglas básicas de la aritmética que han sido
desarrolladas en grados inferiores se utilizan también en
álgebra, por lo que, debes estar en la capacidad de
recordarlas y aplicarlas en los momentos requeridos de la asignatura”
Para la indagación de los contenidos previos relacionados con este módulo de aprendizaje,
se recomienda resolver, de manera individual, la siguiente Actividad #1.
ACTIVIDAD #1 – Diagnóstica Responda, a partir de sus conocimientos sobre teoría de números, la siguiente tabla con la
información solicitada, para ello encierre con un círculo la letra correspondiente.
Interrogante… Tu respuesta es:
1. Al sumar: ‒ 7 + 3, el resultado es…
a) 4
b) 10
c) ‒ 4
2. Al multiplicar: ‒ 𝟏
𝟐 por ‒ 10, el resultado es:
d) 5
e) 20
f) ‒ 5
3. Al sumar: ‒ 12 ‒ 4, el resultado es…
g) 16
h) ‒ 16
i) ‒ 8
4. Al multiplicar: 𝟑
𝟓 por ‒ 15, el resultado es:
j) 45
k) ‒ 15
l) ‒ 9
5. La regla de los signos de la división es semejante a la de:
m) Suma
n) Multiplicación
o) Sustracción
OBSERVACIÓN: Si consideras que no puedes desarrollar la ACTIVIDAD #1 en forma correcta, continúe con
el módulo de aprendizaje pues estaremos reforzando esos contenidos.
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Módulo de Aprendizaje #1 – Matemática 8° - II trimestre
Evaluación Diagnóstica: ✓ ACTIVIDAD #1 desarrolla los saberes previos, con cinco (5) preguntas sobre conceptos básicos de la teoría de
números decimales.
Lista de Cotejo
Reforzamiento de saberes previos…
Si necesitas reforzar alguna de las operaciones de la Actividad #1, las mismas aparecen bien
explicadas en las Guías de Aprendizaje del primer trimestre.
Debido a que el conocimiento sobre las diferentes
operaciones básicas de aritmética tiene un papel
relevante en el desarrollo del álgebra, es importante
el dominio de la teoría de números, los conceptos, las diferentes reglas, propiedades y/o
características de los números reales, para su posterior aplicación en las operaciones básicas
del álgebra.
Conózcamos algo de historia sobre el descubrimiento del álgebra, para despertar su interés
por el tema y así motivarlos a adentrarse en el aprendizaje y dominio de la matemática:
En la historia de las matemáticas, si bien la palabra “álgebra” viene del vocablo árabe “al-Jabr”,
sus orígenes se remontan a los antiguos babilonios, que habían desarrollado un avanzado
sistema aritmético con el que fueron capaces de hacer cálculos en una forma algebraica. Con el
uso de este sistema fueron capaces de aplicar las fórmulas y soluciones para calcular valores
desconocidos.
Aspectos a considerar… Logrado No logrado
1. Resuelve correctamente el ejercicio de adición con signos diferentes.
2. Resuelve correctamente el ejercicio de multiplicación con signos iguales.
3. Resuelve correctamente el ejercicio de adición con signos iguales.
4. Resuelve correctamente el ejercicio de multiplicación con signos diferentes.
5. Identifica correctamente la operación inversa a la división.
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Módulo de Aprendizaje #1 – Matemática 8° - II trimestre
CONCEPTO
El concepto algebraico de cantidad es mucho más amplio que el aritmético, puesto que
mientras en Aritmética las cantidades se representan por números, en Álgebra las cantidades
están representadas por letras, las cuales, a su vez, pueden representar cualquier valor que le
asignemos.
Así pues, los símbolos utilizados en Álgebra para representar cantidades pueden ser de dos
tipos: números y letras.
En Álgebra se utilizan tres tipos de signos:
• Operación: suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación,
• Relación: menor que “ < ”, mayor que “ > ” e igual que “ = ” , y
• Agrupación: paréntesis circular ( ), corchetes [ ], llaves { }.
EXPRESIONES ALGEBRAICAS Se llama expresión algebraica a toda agrupación de números y letras unidas por los signos
de las operaciones aritméticas. Así, por ejemplo, una expresión algebraica será:
Las expresiones algebraicas pueden ser: enteras, fraccionarias, racionales e
irracionales.
Se llama término de una expresión algebraica a las cantidades que están separadas por los
signos más ( + ) o menos ( – ). Así, por ejemplo, la expresión algebraica 3a – 2b consta de dos
(2) términos que son: 3a y – 2b.
En todo término algebraico pueden distinguirse cuatro elementos:
• el signo,
• el coeficiente,
• la variable o parte literal y
• el exponente o grado.
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Módulo de Aprendizaje #1 – Matemática 8° - II trimestre
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE #2 – Formativa
Complete el siguiente cuadro sobre los elementos del término…
TÉRMINO SIGNO COEFICIENTE PARTE LITERAL EXPONENTE
5 + 5 ------ ------
z + 1 z 1
‒ 3x4 ‒ 3 x 4
‒ 9m3n2r ‒ 9 m n r m: 3 , n: 2 , r:1
3x2y x: y:
‒ 5x3y2z x: y: z:
‒ 8m4n5p6 m: n: p:
Veamos ahora como se clasifican los términos…
CLASIFICACIÓN DE TÉRMINOS
Los términos suelen clasificarse individualmente en:
CLASIFICACIÓN CONDICIÓN EJEMPLOS
Término Entero Son aquellos que no presentan
denominadores. 4mn , 3m2n3
Término Fraccionario Son aquellos que presentan
denominadores literales.
2
3𝑚,𝑥𝑦
5𝑧
Término
Independiente
Dentro de una expresión algebraica, es
aquel que sólo es un número, es decir
no presenta variables o letras.
En x + 2, el término
independiente es 2.
Término Racional Son aquellos que no contienen letras
bajo el signo radical. √5𝑥𝑦, −9𝑚3𝑛2
Término Irracional Son aquellos que contienen letras bajo
el signo radical. √𝑚𝑛4
, −3
√5𝑥
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Módulo de Aprendizaje #1 – Matemática 8° - II trimestre
Ahora bien, cuando se comparan con otros términos se clasifican en:
CLASIFICACIÓN CONDICIÓN EJEMPLOS
Términos
Semejantes
Son los que tienen sus mismas
variables (parte literal) y elevado al
mismo exponente.
5xy y 7xy
1
3𝑚3𝑛2 y
2
5𝑚3𝑛2
Términos No
Semejantes
Cuando sus partes literales o variables
son diferentes o cuando tienen su
misma variable, pero exponentes
diferentes.
a2b2 y 3m2n3
6xy y 2x2y
Términos Opuestos Son dos términos semejantes pero sus
coeficientes son números opuestos. De 5m3n2, el opuesto es ‒5m3n2
De – 6ab, el opuesto es 6ab
Términos Iguales Son términos semejantes y tienen
coeficientes iguales. 7x2y y 7x2y
‒ 5mn y ‒ 5mn
CLASIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Las expresiones algebraicas se clasifican dependiendo de la cantidad de términos en:
• Monomios: Expresiones algebraicas que constan de un solo término.
Ejemplo: 4x2y3z
• Binomios: Expresiones algebraicas que constan de dos términos.
Ejemplo: 4x ‒ 5y
• Trinomios: Expresiones algebraicas que constan de tres términos.
Ejemplo: 2xy + 4y ‒ 6xz
En general, las expresiones algebraicas que constan de dos o más términos reciben el nombre
de polinomios.
Resuelve ahora la siguiente actividad para afianzar lo explicado…
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Módulo de Aprendizaje #1 – Matemática 8° - II trimestre
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE #3 – Formativa Lee con detenimiento las indicaciones de cada parte de esta actividad. Utilizando un lápiz,
Intenta hacerlo sin observar el contenido proporcionado, al terminar verifica con la teoría
proporcionada y corrige de ser necesario.
I. A partir de los datos proporcionados, complete el siguiente cuadro.
II. Clasifique los siguientes términos. Puede encerrar más de una categoría.
a) √2𝑥3
Entero Racional Irracional Positivo Negativo
b) ‒ 3x2z Entero Racional Irracional Positivo Negativo
c) √−8 3
a3bc Entero Racional Irracional Positivo Negativo
d) 2
5𝑚5𝑛7 Entero Racional Irracional Positivo Fraccionario
III. En la siguiente lista de términos, encierra cada grupo de términos semejantes. Utiliza colores diferentes para identificar cada grupo.
0,5x2y 4xy2 2,3ab2 3a4bc
2
3 𝑥𝑦
2
3 a4bc
x2y −6ab2
5ab −10𝑥𝑦
2
5𝑥2
8x2y
−3,4𝑥2 −7xy2 4𝑥𝑦 𝑥𝑦
TÉRMINOS SIGNOS COEFICIENTES PARTE LITERAL EXPONENTES
m
‒ 6
5xyz x: y: z:
mnr m: n: r:
‒ 7,9amx a: m: x:
10x3y x: y:
−𝟓
𝟖𝒎𝟓𝒏
m: n:
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Módulo de Aprendizaje #1 – Matemática 8° - II trimestre
IV. Indique si las expresiones dadas son: monomio, binomio, trinomio o polinomio.
a) (3x2)(4y) + 3x _______________________
b) (8mn)(4n) ‒ 7m ‒ 4n + 1 _______________________
c) (4xy)(3yz)(2xz) _______________________
d) ab + cd + ef _______________________
e) 1
3𝑥3 −
1
4𝑡4 _______________________
V. Clasifique, según la cantidad de términos, las siguientes expresiones algebraicas.
Encierre con un círculo el número correspondiente a la clasificación.
(1) Monomio / (2) Binomio / (3) Trinomio / (4) Polinomio
a) ( 4x3
3a2 ) (
8m
3n) 1 2 3 4
b) 5x3 + √ 3a − 25x
y 1 2 3 4
c) (17𝑎2)(−3𝑏2) + (−9𝑐)(5) 1 2 3 4
d) 2x4y3z 1 2 3 4
e) x5 + x4 + x3 ‒ x2 ‒ x + 7 1 2 3 4
GRADO DE UN TÉRMINO
El grado de un término puede ser: absoluto o relativo (con relación a una letra).
• Grado Absoluto: es la suma de los exponentes de sus factores literales.
Ejemplos: 3x (primer grado, 1°) , 2x2y4 (sexto grado, 6°) , 4x2y3z4 (noveno grado, 9°).
• Grado Relativo: es el valor que tiene el exponente de la letra que se asigna.
Ejemplo: en 6x3y2 (tercer grado con respecto a la x, segundo grado con respecto a la y).
GRADO DE UN POLINOMIO
El grado de un polinomio puede ser: absoluto o relativo.
• Grado Absoluto: Es el grado del término que tiene el mayor grado absoluto en el
polinomio.
Ejemplo: El polinomio x5 ‒5x3 + x2 + 6x es de quinto grado, pues su término de mayor
grado es x5.
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Módulo de Aprendizaje #1 – Matemática 8° - II trimestre
• Grado Relativo: Es el grado con respecto a una letra del polinomio, luego el grado relativo
es el mayor exponente que tenga dicha letra.
Ejemplo: El polinomio a5 ‒ a4b2 + a3b + a2b3 es de quinto grado con respecto a la “a ” y
de tercer grado con respecto a la “b ”.
ORDEN DE UN POLINOMIO
Se dice que un polinomio está ordenado con respecto a una letra, si los exponentes de dicha
letra van aumentando o disminuyendo. La letra escogida recibe el nombre de letra ordenatriz.
• Orden Ascendente: Si los exponentes de la letra ordenatriz van aumentando desde el
menor hasta el mayor.
Ejemplo: 5x + 3x2 ‒ 4x3 + 5x4 está ordenado en forma ascendente con respecto a “x ”.
• Orden Descendente: Si los exponentes de la letra ordenatriz van disminuyendo desde el
mayor hasta el menor.
Ejemplo: b5 + 6ab4 ‒ 7a2b3 ‒ a3b2 + a4b está ordenado en forma descendente con
respecto a “b ”.
Resuelve ahora la siguiente actividad para afianzar lo explicado…
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE #4 – Formativa Lee con detenimiento las indicaciones de cada parte de esta actividad. Utiliza lápiz. Puedes
hacerlo con la ayuda del contenido proporcionado.
I. Escriba el grado relativo solicitado en los siguientes términos.
a) 6m5n3 m _____ , n _____
b) 3x8y5z x _____ , y _____ , z _____
c) a2b6c7 a _____ , b _____ , c _____
II. Diga el grado absoluto en los siguientes términos.
a) x4yz8 _____ b) 1,2ab3cd3 _____
c) 5m8n5 _____ d) mx7y5 _____
e) xyz6 _____ f) xy3z9 _____
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Módulo de Aprendizaje #1 – Matemática 8° - II trimestre
III. Escriba el grado absoluto de los siguientes polinomios.
a) x + x2 + x3 + x4 _____
b) 5b – 3b2 + 4b4 – 6 _____
c) a5 + a4b ‒6a3b2 + x2y4 ‒ 2y6 _____
d) 8 ‒ x6 + 2x5 ‒ x3 _____
IV. Escribe el grado relativo de cada polinomio con respecto a la letra solicitada.
a) t6 ‒ 3m3t4 ‒ 2m2 + 8 m _____ , t _____
b) m4nt5 ‒ 7m2t2 + 4n5t4 ‒ m3n2t3 m _____ , n _____ , t _____
c) r3s2t3 + x6y11 ‒ m10 + r15 ‒ s16 m _____ , r _____ , s _____ , t _____ , x _____ , y _____
d) 3b6m4 – 9bm3 + b4m6 + b5 b _____ , m _____
V. Ordene en forma ascendente y descendente los siguientes polinomios.
a) m6n5 + 3m2n7 ‒ m5n8 + m3n4 con respecto a:
Ascendente (m): ___________________________________________________________
Descendente (n): ____________________________________________________________
b) 7b3x2 ‒ 2b3 + 4b2x + x3 con respecto a:
Ascendente (x): ___________________________________________________________
Descendente (b): __________________________________________________________
c) ‒10t15n12 + 4t12n3 ‒ 8t6n5 ‒ 15t3n6 + n7 ‒ 8t9n4 + t18n con respecto a:
Ascendente (n): ___________________________________________________________
Descendente (t): ___________________________________________________________
d) y12 − x3y6 + x9y4 − x12y10 con respecto a:
Ascendente (y): ___________________________________________________________
Descendente (x): ___________________________________________________________
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Módulo de Aprendizaje #1 – Matemática 8° - II trimestre Resuelve ahora la siguiente actividad como práctica general del tema…
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE #5 – Formativa Lee con detenimiento las indicaciones de cada parte de esta actividad. Utilizando un lápiz,
Intenta hacerlo sin observar el contenido proporcionado, al terminar corrobora con la teoría
proporcionada y corrige de ser necesario.
I. Indique al lado de cada expresión algebraica el grado absoluto y el grado relativo solicitado.
a) 5a4b3c _____ , b: _____
b) 4a3 − 8a2b4 + 5ab5 _____ , a: _____
c) 12m5n4 − 15m4n3 − 6m3n2 _____ , n: _____
d) − x6y + x5y2 − x4y3 + x3y4 _____ , x: _____
e) 2x3 + 4x4y5 − 3xy6 − 3xy6 + y7 _____ , y: _____
II. Clasifique, atendiendo a su condición, los siguientes términos. Coloque equis (X) en las casillas correspondientes.
Términos Positivo Negativo Entero Fraccionario Racional Irracional
2xy
5𝑧3
√3 p2qr
√−32 5
mn
– 8a3b
− 𝒘𝟐
𝟐𝐩
III. Ordene en forma ascendente y descendente los siguientes polinomios, según
lo solicitado en cada uno.
a) 2a3b2 – 5ab3 + 2a2b + b5 – 3a4
Ascendente (b): ___________________________________________________________
Descendente (a): ____________________________________________________________
¨En matemáticas no se deben despreciar ni los errores más diminutos¨
Isaac Newton
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Módulo de Aprendizaje #1 – Matemática 8° - II trimestre
Estudiante… Intenta ahora resolver la siguiente actividad sin mirar los contenidos ni las prácticas anteriores. Aplica los valores de honestidad y responsabilidad.
*** Debes utilizar bolígrafo con tinta de color NEGRO o AZUL***
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE #6 – SUMATIVA #1 Total: 45 Obtenidos: ____ Calificación
I PARTE. SELECCIÓN ÚNICA. Escriba en la raya a la derecha de cada enunciado, la letra que corresponda a la respuesta correcta. (10 puntos)
Toda agrupación de números y letras unidas por los signos de las operaciones ……………… ______
a. Expresiones Aritméticas b. Expresiones Geométricas c. Expresiones Algebraicas.
Son cantidades que están separadas por los signos de más o de menos………………………. ______
a. Términos b. Miembros c. Elemento
Término que presenta cuatro elementos…………………………...……………………................. ______
a. Aritmético b. Algebraico c. Geométrico
Son todos los términos que contienen letras bajo el signo radical ……………………………….. ______
a. Racional b. Independiente c. Irracional
Son aquellos términos que presentan denominadores literales ………………………………… ______
a. Entero b. Fraccionario c. Racional
Expresiones algebraicas que constan de dos o más términos…………………………………… ______
a. Binomios b. Trinomios c. Polinomios
Es el grado cuyo valor es la suma de los exponentes de sus factores literales………………… ______
a. Grado Absoluto b. Grado Relativo c. Grado literal
Letra que se utiliza para ordenar un polinomio recibe el nombre de: ……………………………. ______
a. Alfabética b. Vocal c. Ordenatriz
En un polinomio, si los exponentes van de mayor a menor, su orden es ...….…………………. ______
a. Trascendente b. Ascendente c. Descendente
Términos que tienen la misma variable y elevado al mismo exponente………………………… ______
a. Semejantes b. Iguales c. Independientes
II PARTE. Complete el siguiente cuadro respecto a los elementos de cada término. (9 puntos: 0,5 c/u)
TÉRMINO SIGNO COEFICIENTE PARTE LITERAL GRADO RELATIVO GRADO ABSOLUTO
x2 x: ____
−5m5n8 m: ____ n: ____
𝟐
𝟓x3yz
x:____ y:____ z: ____
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Módulo de Aprendizaje #1 – Matemática 8° - II trimestre III PARTE. Clasifique las siguientes expresiones algebraicas en: monomio, binomio, trinomio o
polinomio, coloque al lado el grado absoluto. (10 puntos)
EXPRESIÓN ALGEBRAICA
CLASIFICACIÓN GRADO ABSOLUTO
5x2 − 3y2
− 12x2y3z4
4x3 − 5x2 + 3x − 6
1 + x − x2
(−3x2)(8xy)(−5m)
IV PARTE. Compare las siguientes parejas de términos y clasifíquelos colocando una “X”, según
sea el caso. (6 puntos)
TÉRMINOS SEMEJANTES NO SEMEJANTES IGUALES
−8m3n ; 8m3n
2x4y2 ; 2x2y4
5abc ; 5bc
xyz ; xyz
7mn ; 8mn
V PARTE. Ordene los siguientes polinomios según se le indique. (10 puntos)
𝑥3 − 7𝑦3 − 2𝑥2𝑦 + 𝑥𝑦2 − 𝑥4𝑦5
Ascendente con 𝑥: _______________________________________________________ (2,5 p.)
Descendente con 𝑦: ______________________________________________________ (2,5 p.)
8𝑚5𝑥 − 10𝑚2𝑥3 + 3𝑚 + 5𝑚4𝑥6 − 2𝑚3𝑥5
Ascendente con 𝑚: _______________________________________________________ (2,5 p.)
Descendente con 𝑥: _______________________________________________________ (2,5 p.)
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Módulo de Aprendizaje #1 – Matemática 8° - II trimestre VALOR NUMÉRICO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
El valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al sustituir las
letras por números y realizar las operaciones indicadas, siguiendo la jerarquía para
operaciones combinadas. Una misma expresión algebraica puede tener distintos valores
numéricos, en función de los números que se le asigne a cada variable en la misma.
La utilidad de una expresión algebraica consiste en simplificar una situación real, por medio
de fórmulas matemáticas, en la que se han de realizar operaciones entre cantidades conocidas
(constantes) y cantidades desconocidas (incógnitas).
Ejemplos: Evalúe las siguientes expresiones algebraicas, según los valores asignados.
a) x2 + y + z si x = 5 , y = 1 , z = 3
x2 + y + z = (5)2+ 1 + 3 (sustituyendo)
= 25 + 1 + 3 (desarrollando la potencia)
= 29 (efectuando la suma algebraica)
b) 3x − 3y si x = 6 , y = 3
3x – 3y = 3(6) − 3(3) (sustituyendo)
= 18 − 9 (desarrollando los productos)
= 9 (efectuando la suma algebraica)
c) −4a + 2c si a = 3 , c = 1
2
−4a + 2c = −4(3) + 2( 1
2) (sustituyendo)
= −12 + 1 (desarrollando los productos)
= −11 (efectuando la suma algebraica)
d) b − (a − c) si a = 4 , b = 2 , c = 5
b − (a − c) = (2) − [(4) − (5)] (sustituyendo)
= 2 − [4 − 5] (eliminando los paréntesis)
= 2 − [− 1] (efectuando la suma algebraica dentro del paréntesis)
= 2 + 1 (eliminando el paréntesis y multiplicar signos)
= 3 (efectuando la suma algebraica)
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Módulo de Aprendizaje #1 – Matemática 8° - II trimestre Resuelve ahora la siguiente actividad para afianzar lo explicado…
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE #7 – Formativa Lee con detenimiento las indicaciones de esta actividad. Utiliza lápiz. Puedes hacerlo
apoyándote con los ejemplos resueltos.
I. Calcule el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas, según los valores
asignados.
Utilice: a = – 3 , b = 1 , c = 2
1 , d =
3
1− , e = – 2
a) 3b − 2c
b) − 4a + 6c
c) − 3d + 5a
d) e + 6d
e) c − d
f) a2 + b2 + e
g) a − (b + e)
h) e − (b − a)
RESPUESTAS
a) 1 b) 15 c) −14 d) −4 e) 5
6 f) 8 g)) − 2 h) −6
REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES
Dos o más términos son semejantes cuando tienen la misma parte literal (variables) y elevada
a los mismos exponentes, aunque tengan distintos signos y coeficientes.
Ejemplos: Los siguientes grupos de términos son semejantes.
a) 3x3 , 5x3 , −8x3 (parte literal semejante: x3)
b) 5xy2 , xy2 , −3xy2 (parte literal semejante: xy2)
Se llama reducción de términos semejantes a la operación que consiste en reunir (reducir)
dos o más términos semejantes en uno solo.
En la reducción de términos semejantes pueden presentarse tres casos:
• Que todos los términos tengan igual signo. Para esto, se suman todos los coeficientes,
se coloca el mismo signo y la parte literal se mantiene igual.
Ejemplos:
Al reducir: 2xy + 4xy + 5xy tendremos: (2 + 4 + 5 = 11) entonces: 2xy + 4xy + 5xy = 11xy
Al reducir: −7x − 8x − 6x tendremos: (−7 − 8 − 6 = − 21) entonces: −7x − 8x − 6x = − 21x
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Módulo de Aprendizaje #1 – Matemática 8° - II trimestre
Reducir los siguientes términos semejantes de igual signo:
8a + 9a + 6a =
−9x − 5x − 11x =
5𝒙𝒎 + 7𝒙𝒎 + 9𝒙𝒎 + 𝟔𝒙𝒎 =
• Que los términos que se van a reducir tengan distintos signos. Primero, se suman los
coeficientes de los términos que tengan igual signo; seguidamente, se restan los coeficientes
con diferentes signos y se le coloca a la respuesta el signo de la cantidad cuyo valor absoluto
sea mayor.
Ejemplos:
al reducir: − 4x2y + 7x2y − 5x2y,
tendremos: − 4x2y + 7x2y − 5x2y = 7x2y − 5x2y − 4x2y (ordenamos términos de igual signo)
= 7x2y − 9x2y (reduciendo términos de igual signo)
= − 2x2y (reduciendo términos de diferente signo)
Reducir los siguientes términos semejantes de diferente signo:
− 𝒙𝟐𝒚 + 𝒙𝟐𝒚 =
30mn – 70mn + 20mn =
− 28𝒙𝒂+𝟐 + 17𝒙𝒂+𝟐 − 31𝒙𝒂+𝟐 =
• CASO ESPECIAL. En caso tal que los términos que se van a reducir, no todos sean
semejantes entre sí, se sigue las indicaciones dadas en los dos primeros casos, y sólo se
reducen los que sean semejantes entre sí, y los que no sean semejantes se mantienen
iguales, dando como resultado una expresión algebraica de más de un término.
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Módulo de Aprendizaje #1 – Matemática 8° - II trimestre SIGNOS DE AGRUPACIÓN
Los signos de agrupación permiten llevar un orden al
resolver operaciones. Si la situación matemática contiene más
de dos signos de agrupación, se elimina el que está más a lo
interno.
Por otro lado, si delante de estos signos de agrupación
encontramos un signo negativo, las cantidades que están
dentro del signo de agrupación cambian de signo. Si al signo de
agrupación le antecede el signo positivo, las expresiones que
están dentro del signo de agrupación no cambian de signo.
Ejemplos:
Eliminar los signos de agrupación en: −{𝟒𝒙 + [−𝟑𝒙 − (𝟓𝒙 − 𝟒𝒚) + 𝟖𝒛 ] }
−{4x + [−3x − (5x − 4y) + 8z ] }
= −{4x + [−3x − 5x + 4y + 8z ] } (eliminamos paréntesis circular, cambiamos signos)
= −{4x − 3x − 5x + 4y + 8z } (eliminamos el corchete, mantenemos signos)
= −4x + 3x + 5x − 4y − 8z (eliminamos las llaves, cambiamos signos)
= −4x + 8x − 4y − 8z (reducimos términos semejantes de igual signo)
= 𝟒𝐱 − 4y − 8z (reducimos términos semejantes de diferente signo)
Eliminar los signos de agrupación en: −{− [−(−𝟕𝐱 − 𝟐𝐲 ) ] } + {−[− (𝟐𝐲 + 𝟕𝐱) ] }
−{− [−(−𝟕𝐱 − 𝟐𝐲 ) ] } + {−[− (𝟐𝐲 + 𝟕𝐱) ] }
= −{− [ 7x + 2y ] } + {−[− 2y − 7x ] }
= −{−7x − 2y} + { 2y + 7x }
= 7x + 2y + 2y + 7x
= 7x + 7x + 2y + 2y
= 14x + 4y
18
Módulo de Aprendizaje #1 – Matemática 8° - II trimestre Resuelve ahora la siguiente actividad para afianzar lo explicado…
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE #8 – Formativa Lee con detenimiento las indicaciones de esta actividad. Utiliza lápiz. Puedes hacerlo
apoyándote con los ejemplos resueltos.
I. Reduzca los siguientes términos semejantes.
a) −11ab − 15ab + 26ab
b) 12𝑚𝑛 − 23𝑚𝑛 − 5𝑚𝑛
c) −xy − 8𝑥𝑦 − 19𝑥𝑦 + 40𝑥𝑦
d) 13m + 4n − 8m + 12n + 5n −20n
e) 25a + 12a −78b + 13a + 15b
f) 5mx − 3nx+1 − 8px+2−5mx − 20 + 4nx+1 − 10 + px+2
II. Elimine signos de agrupación y reduzca términos semejantes.
g) 2x + [x − (x + y)]
h) 3a −[ a + b − (2a + b) ]
i) 2x− [ (x − y) − (x + y) + 1 ]
j) x2− {−7xy + [−y2 + (−x2 + 3xy − 2y2) ] }
k) 7m2−{−[ m2 + 3n − (5 − n) − (−3 + m2) ] } − (2n + 3)
l) 2a −(−4a + b) − {− [−4a + (b − a) − (−b + a) ] }
“La esencia de las matemáticas no es hacer las cosas simples complicadas,
sino hacer las cosas complicadas simples”. S. Gudder.
19
Módulo de Aprendizaje #1 – Matemática 8° - II trimestre
Estudiante… Resuelve la siguiente actividad sin mirar los contenidos ni las prácticas anteriores. Aplica los valores de honestidad y responsabilidad.
*** Debes utilizar bolígrafo con tinta de color NEGRO o AZUL***
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE #9 – SUMATIVA #2 Total: 40 Obtenidos: ____ Calificación
I PARTE. SELECCIÓN ÚNICA. Escriba en la raya a la derecha de cada enunciado, la letra que corresponda a la respuesta correcta. (5 puntos)
Dado los siguientes términos − 4m2 − 8m2, su resultado es …………..……….…………….… ______
a. − 12m4 b. − 12m c. − 12m2
Dada la expresión {3𝑥 − [ (4𝑥 + 7) + 2𝑦] }, se elimina primero ……………..………………. ______
a. paréntesis circular b. corchete c. llave
Si tenemos − 8x2y + 3xy, obtenemos …………………………...……………………................... ______
a. − 5x2y b. − 8x2y + 3xy c. − 5xy
Si tengo −(2𝑎 + 5𝑏), su resultado es ……………………………..……………………………….. ______
a. 2𝑎 − 5𝑏 b. − 2𝑎 − 5𝑏 c. −7𝑎𝑏
Dada la expresión 𝑥 − 𝑦 , si 𝑥 = 2 , 𝑦 = −3; al reemplazar el valor de la expresión es…...…… ______
a. − 5 b. − 1 c. 5
II PARTE. Encuentra el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas. (16 puntos)
• 4a − 5b − 3c a = 2 , b = 3 , c = 1 (6 p.)
• x3 + 5y x = ‒ 1 , y = 3 (4 p.)
• m2 − 5mn + n2 m = 2 , n = 4 (6 p.)
20
Módulo de Aprendizaje #1 – Matemática 8° - II trimestre III PARTE. ENSAYO. Reduzca términos semejantes en las siguientes expresiones algebraicas. Coloque sus cálculos auxiliares. (7 puntos)
• 15mx+1 + 3mx+1 + mx+1 + 6mx+1 (1 p.)
• 0,6a2 ‒ 0,8ab + 7b2 ‒ 1,4ab + 0,5b2 + 3,2a2 (3 p.)
• 2x2 + 5x + 3 ‒ 4x2 + 2x + 8x (3 p.)
IV PARTE. Elimine signos de agrupación y reduzca términos semejantes. (12 puntos)
x2 − {−7𝑥𝑦 + [−𝑦2 + (−𝑥2 + 3𝑥𝑦 − 2𝑦2) ] } (6 p.)
3a + {−5𝑥 − [−𝑎 + (9𝑥 − 𝑎 − 𝑥) ] } (6 p.)
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Módulo de Aprendizaje #1 – Matemática 8° - II trimestre
OPERACIONES ALGEBRAICAS CON MONOMIOS Y POLINOMIOS
CONCEPTO
Para el desarrollo de las diferentes operaciones algebraicas con monomios y polinomios, se
toma muy en cuenta las leyes de los signos. Por otro lado, en algunas de las operaciones habrá
que hacer uso de la reducción de términos semejantes (páginas 15 y 16).
ADICIÓN DE MONOMIOS
En la adición de monomios se toma en cuenta los signos y los coeficientes, como también se
verifica que los monomios sean semejantes. Primero se escriben como una suma algebraica,
eliminando las comas y colocando cada monomio con su propio signo Ejemplos:
a) Sumar 8ab , −13ab , 5ab
Escribimos todos los monomios como suma algebraica: 8ab − 13ab + 5ab
ordenamos la expresión algebraica: 8ab + 5ab − 13ab
reduciendo términos semejantes de igual signo: 13ab − 13ab
reduciendo términos semejantes de diferente signo: 0
b) Sumar − 0,5ax ; 0,8x ; − 2,7x ; 1,5x
− 0,5ax + 0,8x − 2,7x + 1,5x expresando como suma algebraica.
− 0,5ax + 0,8x + 1,5x − 2,7x ordenamos la expresión algebraica.
− 0,5ax + 2,3x − 2,7x reduciendo términos semejantes de igual signo
− 0,5ax − 0,4x reduciendo términos semejantes de diferente signo
c) Sumar 1
2𝑎 ; −
3
4𝑎 ;
1
3𝑎
Expresamos todos los monomios como suma algebraica y resolvemos como con fracciones:
𝟏
𝟐𝒂 −
𝟑
𝟒𝒂 +
𝟏
𝟑𝒂 =
6𝑎 − 9𝑎 + 4𝑎
12
= 6𝑎 + 4𝑎 − 9𝑎
12
= 10𝑎 − 9𝑎
12
= 1
12 𝑎
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Módulo de Aprendizaje #1 – Matemática 8° - II trimestre
ADICIÓN DE POLINOMIOS
En la adición de polinomios, estos se ordenan en forma ascendente o descendente y se
colocan unos debajo de los otros de manera que los términos semejantes queden en la misma
columna. A continuación, se reducen los términos semejantes separando unos de otros con sus
signos correspondientes.
Ejemplos:
a) Sumar: b − c , 2b + 3c − d , − 4b + 5c
b − c 2b + 3c − d − 4b + 5c
− b + 7c − d
El resultado es: − b + 7c − d
b) Sumar: 0,3m − 1,2n + 4,2 ; 6n + 4p − 5 ; 0,8m − n − 4p
0,3m − 1,2n + 4,2 + 6n + 4p − 5
0,8m − n − 4p 1,1m + 3,8n − 0,8
El resultado es: 1,1m + 3,8n − 0,8
c) Sumar: 3x2 − 4xy + y2 , − 5xy + 6x2 − 3y2 , − 6y2 − 8xy − 9x2
Recuerde ordenar los polinomios con respecto a la misma letra y luego colocar los semejantes en columna.
3x2 − 4xy + y2
6x2 − 5xy − 3y2
− 9x2 − 8xy − 6y2
− 17xy − 8y2
El resultado es: − 17xy − 8y2
Resuelve ahora la siguiente actividad para afianzar lo explicado…
Se colocan los términos semejantes en una misma columna. Se dejan espacios en blanco para los términos faltantes.
Reduciendo términos semejantes por columna.
Se colocan los términos semejantes en una misma columna. Se dejan espacios en blanco para los términos faltantes.
Se reducen términos semejantes por columna
Recuerde que el dominio de las matemáticas, se fundamenta en el
conocimiento de la teoría, leyes y principios básicos, pero sobre todo, en
la constancia y práctica permanente, así como la disposición para
aprender.
23
Módulo de Aprendizaje #1 – Matemática 8° - II trimestre
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE #10 – Formativa Lee con detenimiento las indicaciones de esta actividad. Utiliza lápiz. Puedes hacerlo
apoyándote con los ejemplos resueltos.
I. Realice las siguientes adiciones de monomios.
a) m2 ; +3m2 ; +6m2
b) − 5x ; − 14x ; − 3x ; − 4x
c) mn ; − 0,05mn ; + 1,5mn ; +2mn
d) 6m2n ; +3xy ; + 8m2n ; − 7xy
e) 15z2 ; − 6zw ; − 8z2 ; − 7zw ; − z2w
II. Realice las siguientes adiciones de polinomios.
a) 3𝑎 + 2𝑏 − 𝑐 ; 2𝑎 + 3𝑏 − 𝑐
b) 𝑥2 + 4𝑥 ; −5𝑥 + 𝑥2
c) 𝑚2 + 𝑛2 ; −3𝑚𝑛 + 4𝑛2 ; −5𝑚2 − 5𝑛2
d) 8xy − 2yz ; 2xy − z + 6yz ; 9yz − 7yx − 3z
e) −7𝑚2𝑛 + 4𝑛3 ; 𝑚3 + 6𝑚𝑛2 − 𝑛3 ; −𝑚3 + 7𝑚2𝑛 + 5𝑛3
SUSTRACCIÓN O RESTA
En aritmética la resta siempre implica disminución, mientras que la resta algebraica tiene un
carácter más general, pues puede significar aumento o disminución.
SUSTRACCIÓN DE MONOMIOS Y POLINOMIOS
Para restar monomios y polinomios debemos seguir los siguientes pasos:
1. Ordenar el minuendo y sustraendo en forma ascendente o descendente.
2. Escribimos el minuendo con sus propios signos.
3. La palabra restar se reemplaza por el signo de menos seguidamente el
sustraendo se coloca entre paréntesis.
4. Cambiamos todos los signos del sustraendo y luego se reducen términos semejantes si los
hay.
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Módulo de Aprendizaje #1 – Matemática 8° - II trimestre
Ejemplos: a) De − 8a restar 5a
Escribimos el minuendo y reemplazamos restar por (−): − 8a − (5a)
Eliminamos el paréntesis y cambiamos signo al sustraendo: − 8a − 5a
Reducimos términos semejantes de igual signo: − 13ª
b) De 2a + 8b + 4c restar a + 3b + 2c
2a + 8b + 4c − (a + 3b + 2c) reemplazar restar por signo (−) y el minuendo en paréntesis
2a + 8b + 4c − a − 3b − 2c cambiar todos los signos del sustraendo al quitar el paréntesis
2a − a + 8b − 3b + 4c − 2c ordenamos términos semejantes
a + 5b + 2c se reducen los términos semejantes de diferente signo
c) Restar 3a2 + ab − 6b2 de −5b2 + 8ab + a2
De a2 + 8𝑎𝑏 −5b2 Restar 3a2 + ab − 6b2 ordenamos el enunciado y el minuendo
a2 + 8ab − 5b2 − (3a2 + ab − 6b2) reemplazar restar por signo (−) y el minuendo en paréntesis
a2 + 8ab −5b2 − 3a2 − ab + 6b2 cambiar todos los signos del sustraendo al quitar el paréntesis
a2 − 3a2 + 8ab − 𝑎𝑏 −5b2 + 6b2 ordenamos términos semejantes
− 2a2 + 7ab + b2 se reducen los términos semejantes de diferente signo
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE #11 – Formativa Lee con detenimiento las indicaciones de esta actividad. Utiliza lápiz. Puedes hacerlo
apoyándote con los ejemplos resueltos.
I. Realice las siguientes sustracciones de monomios.
a) De 5a restar 7a
b) 𝑹𝒆𝒔𝒕𝒂𝒓 − 2𝑎 𝒅𝒆 9𝑎
c) Restar − 9ma+2 de − 5ma+2
d) Restar 0,75 s3t2 de 0,90 s3t2
II. Realice las siguientes sustracciones de polinomios.
e) Restar 4x − 3y + 12 de 6x − 2y + 9
f) De 8ax + 2by − 7cz restar 2by − 3ax − 7cz
g) Restar 67a + 49b − 37c − 51 de − 45 + 37b − 53c + 76a
h) De 0,85x2 − 0,8xy + 0,6y2 restar 0,05y2 − 0,3xy + 0,98x2
25
Módulo de Aprendizaje #1 – Matemática 8° - II trimestre
MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS Y POLINOMIOS
Al multiplicar, tenemos que recordar las leyes de los exponentes y de los signos, en donde:
• En el producto de bases iguales los exponentes se suman: (x2)(x3) = x5
• El producto de dos cantidades con signos iguales es positivo: (3y)(9xy) = 27xy2
(− 8,2ab)(− 4a3b2) = 32,8a4b3
• El producto de dos cantidades con signos diferentes es negativo:
(−2
3𝑚5𝑛) (
1
4𝑚𝑛5) = −
1
6𝑚6𝑛6
• El producto de más de dos factores tendrá respuesta negativa cuando la cantidad de signos
negativos que intervienen sea impar, de lo contrario, siempre será positiva.
(3y)(− 9xy) (− x2)(− x3) = − 27x6y2
MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS
Al multiplicar monomios, se multiplican los coeficientes y a este resultado se le escriben las
letras de los factores en orden alfabético con sus respectivos exponentes y signos.
Ejemplos:
Multiplicar los siguientes monomios. Cálculos auxiliares
a) (− 2ab)(4x2) = − 8abx2
b) (2x3y2)(5x4y) = 10x7y3
c) (− 6xm+2)(4xm+1)(x) = − 24x2m+4
d) (− 0,2ab)(0,3a2c)(− 4a3b5c2) = 0,24a6b6c3
e) (1
4𝑎2𝑏3) (
1
2𝑎𝑏4) =
1
8𝑎3𝑏7
MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS POR MONOMIOS
En estos casos, es muy importante ordenar el polinomio (generalmente en forma
descendente), luego se procede a multiplicar el monomio por cada término del polinomio.
Ejemplos:
• Multiplicar: xy2 + 2x2y por 2x3y2
Forma horizontal: (2x3y2)(2x2y + xy2) = (2x3y2)(2x2y) + (2x3y2)(xy2) = 4x5y3 + 2x4y4
1
4𝑥
1
2=
1
8
(0,2)(0,3)(4) = 0,24
m + 2 m +1 +1 2m + 4
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Módulo de Aprendizaje #1 – Matemática 8° - II trimestre
Forma vertical: La operación suele disponerse así:
2x2y + xy2
2x3y2
4x5y3 + 2x4y4
• Multiplicar: a2 + 3ab − 2b2 por 2ab
El resultado será:
a2 + 3ab − 2b2
2ab
2a3b + 6a2b2 − 4ab3
Resuelve ahora la siguiente actividad para afianzar lo explicado…
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE #12 – Formativa Lee con detenimiento las indicaciones de esta actividad. Utiliza lápiz. Puedes hacerlo apoyándote con los ejemplos resueltos.
I. Realice las siguientes multiplicaciones de monomios.
a) (a2b)(a2)
b) (xy2)(x2y)
c) (4ab)(ab2)
d) ( 1
3𝑚3𝑛2) (
1
2𝑚𝑛)
e) (3ma+2 na+3)( − 6ma+4 na+5)
f) (− b3c4)(bc2)(5bmcn)( − 2b2)
II. Realice las siguientes multiplicaciones de polinomios por monomios.
g) m2 − 2m + 1 por m
h) 2xy2 por 3y + 4
i) 3xy por 2x2 + 4y2 − 1
j) mn3 por m3 − 2mn − 4n2
k) − 2x2y por x3 + 5x2y2 − 3y4
l) ma+5 − 4ma+3 − 2ma+1 + 5ma+4 por 3m2
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Módulo de Aprendizaje #1 – Matemática 8° - II trimestre
Estudiante… Resuelve la siguiente actividad sin mirar los contenidos ni las prácticas anteriores. Aplica los valores de honestidad y responsabilidad.
*** Debes utilizar bolígrafo con tinta de color NEGRO o AZUL***
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE #13 – SUMATIVA #3 Total: 42 Obtenidos: ____ Calificación
I PARTE. SELECCIÓN ÚNICA. Escriba en la raya a la derecha de cada enunciado, la letra que corresponda a la respuesta correcta. (10 puntos)
Al sumar ‒ x ; ‒ 8x ; ‒ 2x ; ‒ 6x su resultado es: ...……………………………………. ______
a. ‒ 16x b. ‒ 17x c. 17x
De 6m restar 8m obtendremos: ………...…………………………………………………… ______
a. ‒ 2m b. 14m c. 2m
Al Restar 4x de ‒ 6x obtenemos: …………………………………………...……..…………... ______
a. 10x b. ‒2x c. ‒10x
Si sumamos: xy ; 3yz ; 4xy ; ‒ 9yz el resultado es: ….………………..………….. ______
a. 5xy ‒ 6yz b. 5xy + 6yz c. 4xy ‒ 6yz
Sumando 1
3 𝑥3 ;
4
3 𝑥3 obtenemos ………………………………………….…………........... ______
a. 7
3 𝑥3 b.
5
3𝑥3 c.
5
6 𝑥3
Al multiplicar (4xy2) (‒9x3y) su resultado es: ...……………………………............. ______ a. ‒36x3y3 b. ‒ 36x4y3 c. 36x4y3
Si multiplicamos (‒7abc4 )(‒ ab3c ) (a2b) obtendremos: ………………………. ______
a. 7a4b5c5 b. ‒7a4b5c5 c. 7a4b5c4
El resultado de multiplicar (‒3mn2)(‒2nm2)(m5) es: …………..……………. ______
a. 6m7n2 b. ‒6m8n3 c. 6m8n3
Si multiplicamos (− 2
5 𝑎𝑏2) (
1
9𝑎6𝑏𝑐𝑑) , 𝒐𝒃𝒕𝒆𝒏𝒆𝒎𝒐𝒔:………….……………………. ______
a. 2
45𝑎7𝑏3𝑐𝑑 b. −
2
45𝑎7𝑏3𝑐𝑑 c. −
2
45𝑎6𝑏2𝑐𝑑
El resultado de multiplicar (‒m4)(‒7n5z)(‒m2nz) es: ….……............................…… ______
a. ‒7m6n5z b. 7m6n6z2 c. ‒7m6n6z2
II PARTE. SELECCIÓN ÚNICA. Resuelva las siguientes adiciones y sustracciones de polinomios. Ordene de manera descendente. (24 puntos)
• Sumar: 9mn2 ‒ 4 + 8m2n ; ‒9mn2 + 5 ; ‒ 6mn2 + 16m2n (6 p.)
Proceso ptos ordenar 3 reducir términos semejantes 3
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Módulo de Aprendizaje #1 – Matemática 8° - II trimestre
• Sumar: a3b ‒ b4 + ab3 ; ‒ 2a2b2 + 4ab3 + 2b4 ; 5a3b ‒ 4ab3 ‒ 6a2b2 ‒ b4 ‒ 6 (7 p.)
• De 3x2y ‒ 2x3y2 + xy restar ‒ 2x2y + x3y2 + 5xy (6 p.)
• Restar 0,5m ‒ 2,4n ‒ 8 de 2,5m ‒ 1,6n + 6 (5 p.)
III PARTE. ENSAYO. Resuelva las siguientes multiplicaciones con polinomios. Coloque sus cálculos auxiliares. Ordene de manera descendente. (8 puntos)
• Multiplique 8y3 + 2x3y + 3x2y2 por 4x2y (4 p.)
• Multiplique 2b2 ‒ 5ab + 3a2 por 4a (4 p.)
Proceso ptos ordenar 3 reducir términos semejantes 4
Proceso ptos ordenar 2 Cambio de signo 1 reducir términos semejantes 3
Proceso ptos Ordenar la resta 1 Cambio de signo 1 reducir términos semejantes 3
Proceso ptos ordenar 1 reducir términos semejantes 3
Proceso ptos ordenar 1 reducir términos semejantes 3
29
Módulo de Aprendizaje #1 – Matemática 8° - II trimestre
MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIO POR POLINOMIO
Regla: Se ordenan ambos polinomios (preferiblemente en orden descendente), luego se
procede a multiplicar cada término del primer factor polinomio por cada uno de los términos del
segundo factor polinomio.
Ejemplos:
• Multiplicar: x + 5 por x − 2
x + 5
x − 2
x2 + 5x − 2x − 10
x2 + 3x − 10
• Multiplicar: m + m 2 − m3 por m + 1
− m 3 + m 2 + m
m + 1
− m 4 + m 3 + m 2
− m 3 + m 2 + m
− m 4 + 2m 2 + m
Resp. − m 4 + 2m 2 + m
• Multiplicar: m3 − 3m2n + 2mn2 por −2mn − 8n2 + m2
m3 − 3m2n + 2mn2
m2 − 2mn − 8n2
m5 − 3m4n + 2m3n2
− 2m4n + 6m3n2 − 4m2n3
− 8m3n2 + 24m2n3 − 16mn4
m5 − 5m4n + 20m2n3 − 16mn4
Resp. m5 − 5m4n + 20m2n3 − 16mn4
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Módulo de Aprendizaje #1 – Matemática 8° - II trimestre
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE #14 – Formativa Lee con detenimiento las indicaciones de esta actividad. Utiliza lápiz. Puedes hacerlo
apoyándote con los ejemplos resueltos.
I. Realice las siguientes multiplicaciones de polinomios.
a) x2 + 2x + 1 por 2x − 3
b) 6m3 − 3m2 por − 4m2 − 5m
c) 28x2 − 30y2 − 11xy 𝒑𝒐𝒓 4x – 5y
d) ma+2 − 4 ma − 2 ma+1 por − 2m + m2
e) 2y3 + y − 3y2 − 4 por 2y + 5
f) m x – 2 − 4m x – 1 − m x por m2 + m + 1
DIVISIÓN DE MONOMIOS Y POLINOMIOS
En la división de expresiones algebraicas debemos recordar las leyes de los exponentes y de
los signos.
o En el cociente de potencias de bases iguales, se coloca la misma base y su exponente será
el resultado de restar el exponente del dividendo con el exponente del divisor.
( x4 ) ( x2 ) = 𝑥4
𝑥2 = x 4 − 2 = x2
o La ley de los signos en la división es similar a la de la multiplicación: el cociente de dos
cantidades con signos iguales es positivo y el negativo.
(+)
(+)= +
(−)
(−)= +
(+)
(−)= −
(−)
(+)= −
Signos Iguales Signos Diferentes
DIVISIÓN DE MONOMIOS
Se escriben los monomios (dividendo y divisor) como una fracción, luego se divide el
coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor y se escriben a continuación las letras en
orden alfabético con sus respectivos exponentes (aplica la propiedad de la potencia sobre el
cociente de bases iguales). El signo se coloca respetando la ley de los signos.
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Módulo de Aprendizaje #1 – Matemática 8° - II trimestre
Ejemplos:
Resolver las siguientes operaciones con monomios:
• Dividir: 6x7 entre − 2x3
(escribimos como fracción el dividendo y divisor) 6𝑥7
−2𝑥3
(dividimos los coeficientes y aplicamos las leyes de los signos y potencias) 6𝑥7
−2𝑥3 = −3𝑥7−3
(resolvemos para la suma algebraica en el exponente) = −3𝑥7−3 = −3𝑥4
• Dividir: − 8x2y3 entre − 2xy2
en forma horizontal −8𝑥2𝑦3
−2𝑥𝑦2 = 4𝑥2−1𝑦3−2 = 4𝑥𝑦
• Dividir: 6xa ym zn entre 2xy2z3
en forma horizontal 6𝑥𝑎𝑦𝑚𝑧𝑛
2𝑥𝑦2𝑧3 = 3𝑥𝑎−1𝑦𝑚−2𝑧𝑛−3
• Dividir: xa+4 yb+2 entre xa+2yb+1
en forma vertical 𝑥𝑎+4𝑦𝑏+2
𝑥𝑎+2𝑦𝑏+1 = 𝑥𝑎+4−(𝑎+2)𝑦𝑏+2−(𝑏+1)
= 𝑥𝑎+4−𝑎−2𝑦𝑏+2−𝑏−1
= 𝑥2𝑦
DIVISIÓN DE POLINOMIO ENTRE MONOMIO
Se ordena el polinomio (preferiblemente en forma descendente), lo escribimos como fracción
y luego dividimos cada uno de los términos del polinomio entre el monomio separando cada
cociente con sus propios signos.
Ejemplos:
Resolver las siguientes operaciones con monomios:
Cálculos auxiliares:
a + 4 b + 2 – a – 2 – b – 1
+2 +1
32
Módulo de Aprendizaje #1 – Matemática 8° - II trimestre
• Dividir: 4x4 − 6x5 entre 2x3
(ordenamos y escribimos como fracción el dividendo y divisor) −6𝑥5+4𝑥4
2𝑥3
(separando cada término del numerador entre el denominador monomio) −6𝑥5
2𝑥3 +4𝑥4
2𝑥3
(resolviendo cada término y colocando el resultado) − 3x2 + 2x
• Dividir: − 2x2y + 12x5y2 − 6x7y3 entre 2xy
−6𝑥7𝑦3 + 12𝑥5𝑦2 − 2𝑥2𝑦
2𝑥𝑦 = −
6𝑥7𝑦3
2𝑥𝑦+
12𝑥5𝑦2
2𝑥𝑦−
2𝑥2𝑦
2𝑥𝑦
= − 3x6 y2 + 6x4 y − x
Resuelve ahora la siguiente actividad para afianzar lo anterior, falta poco.
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE #15 – Formativa Lee con detenimiento las indicaciones de esta actividad. Utiliza lápiz. Puedes hacerlo
apoyándote con los ejemplos resueltos.
I. Realice las siguientes divisiones de monomios.
a) 4x6 entre 2x2
b) − 6a8b7 entre 18a4b9
c) 9a2b5 entre 36a6b10
d) − 8ma + 3n a – 1 entre − 4m 4n3
e) 4x5y z2 entre – 24
4
1yzx
II. Realice las siguientes divisiones de polinomios entre monomios.
f) 4x – 8y entre 2
g) 6x4 – 4x2 entre 2x
h) 15xy + 5x entre 5x
i) – 30x2 y4 – 45x2 y3 z entre – 15x2 y3
j) 5m x + 2m x + 2 + 6m x + 4 entre 2m3
¨Dios usó las hermosas matemáticas al crear el mundo¨. Paul Dirac
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Módulo de Aprendizaje #1 – Matemática 8° - II trimestre
DIVISIÓN DE POLINOMIO ENTRE POLINOMIO
Para efectuar esta división debemos seguir los siguientes pasos:
1. Ordenamos el dividendo y el divisor en el mismo sentido. (forma descendente)
2. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor y obtenemos el
primer término del cociente.
3. Luego, el cociente obtenido lo multiplicamos por todo el divisor y el producto se coloca debajo
del dividendo con los signos cambiados, para efectuar la suma algebraica.
4. Se baja el siguiente término del dividendo original para obtener un nuevo dividendo.
De aquí en adelante, se repite el proceso tantas veces como sea necesario hasta que el residuo
sea cero; o en tal caso, un resultado cuya potencia mayor, sea menor que la potencia del primer
término del divisor.
Ejemplos: Resolver las siguientes divisiones con polinomios.
• Dividir:
5x + x2 + 6 entre x + 3
x2 + 5x + 6 x + 3 (ordenamos ambos polinomios en forma descendente)
x2 + 5x + 6 x + 3 (dividimos el primer término del dividendo entre el primer término del divisor)
x (obtenemos el primer término del cociente)
x2 + 5x + 6 x + 3 (multiplicamos el cociente obtenido por todo el divisor)
− x2 − 3x x (colocando el resultado debajo del dividendo con los signos cambiados)
x2 + 5x + 6 x + 3
− x2 − 3x x
2x + 6 (efectuamos la suma algebraica y bajamos el otro término del dividendo original)
x2 + 5x + 6 x + 3
− x2 − 3x x + 2 (dividimos el primer término del nuevo dividendo entre el primer término del
2x + 6 divisor y repetimos los pasos anteriores hasta obtener residuo cero)
− 2x − 6
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Módulo de Aprendizaje #1 – Matemática 8° - II trimestre
Resolvemos ahora la siguiente división, aplicando el proceso antes detallado.
• Dividir:
27x2y2 − 9x4y + x6 − 27y3 entre − 3y + x2
Ordenamos ambos polinomios y luego dividimos:
x6 − 9x4y + 27x2y2 − 27y3 x2 − 3y
− x6 + 3x4y x4 − 6x2y + 9y2
− 6x4y + 27x2y2
6x4y − 18x2y2
9x2y2 − 27y3
− 9x2y2 + 27y3
• Dividir:
x4 + 3x3 + 3x2 + 3x + 2 entre x + 2
Como están ordenados los polinomios, procedemos a dividir:
x4 + 3x3 + 3x2 + 3x + 2 x + 2
− x4 − 2x3 x3 + x2 + x + 1
x3 + 3x2
− x3 − 2x2
x2 + 3x
− x2 − 2x
x + 2
− x − 2
• Dividir:
m6 + m5 − 4m4 − 4m + m2 − 1 entre m3 + m2 − 4m − 1
Ordenamos dejando los espacios de los términos ausentes y luego dividimos:
m6 + m5 – 4m4 ..... + m2 – 4m – 1 m3 + m2 – 4m – 1
− m6 − m5 + 4m4 + m3 m3 + 1
m3 + m2 – 4m – 1
− m3 − m2 + 4m + 1
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Módulo de Aprendizaje #1 – Matemática 8° - II trimestre Resuelve la siguiente actividad para afianzar lo anterior, ya casi terminas.
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE #16 – Formativa
Lee con detenimiento las indicaciones de esta actividad. Utiliza lápiz. Puedes hacerlo
apoyándote con los ejemplos resueltos.
I. Realice las siguientes divisiones de polinomios entre polinomios.
a) x2 + 3x + 2 entre x + 1
b) 4y2 – 8y – 5 entre 2y + 1
Resolver en el cuaderno…
c) 9x2 + 6x + 1 entre 3x + 1
d) 8m2 + 2m – 5 entre m + 2
e) x2 – 2x – 24 entre x – 6
f) y2 + 7y + 28 entre y + 7
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Módulo de Aprendizaje #1 – Matemática 8° - II trimestre
Estudiante… Resuelve la última actividad sumativa. *** Debes utilizar bolígrafo con tinta de color NEGRO o AZUL***
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE #17 – SUMATIVA #4 Total: 50 Obtenidos: ____ Calificación
I PARTE. SELECCIÓN ÚNICA. Escriba en la raya a la derecha de cada enunciado, la letra que corresponda a la respuesta correcta. (7 puntos)
Al dividir ‒ 14𝑎3𝑏4 entre ‒ 2 𝑎 𝑏2, su cociente es: ...…………………………………. ______
a. ‒ 7𝑎2𝑏2 b. 7𝑎2𝑏2 c. 1
7 7𝑎2𝑏2
Dividir 54x2y2z3 entre ‒ 6xy2z3 obtendremos: ……………………………………… ______
a. ‒ 9𝑥 b. 9𝑥𝑦𝑧 c. ‒ 9𝑥𝑦𝑧
El cociente de dividir ‒7m3n entre ‒21mn5 …………………………...……..…….. ______
a. 3𝑚2n4
b. ‒ m2
3n4 c.
m2
3n4
Si dividimos ‒ 48 𝑚4𝑛3 + 12mn entre 6mn es: ….………….………..…… ______
a. ‒8𝑚3n2 + 2 b. 8𝑚3n2 + 2 c. ‒8𝑚3n + 2mn
Al dividir 3
5m4n entre
1
5 𝑚𝑛 …………………………………….……………………… ______
a. 3m3n b. ‒3m3n c. 3m3
El cociente de dividir 40𝑎3𝑏6𝑐8 entre 5 a2bc5es …….……………………….… ______
a 8ab5c3 b. ‒8ab5c3 c. 8ab6c3
Al dividir 45𝑤7𝑦6𝑚 ‒ 35wy entre 5wy obtenemos: ………………………… ______
a. 9𝑤6𝑦6𝑚−1 ‒ 7 b. 9𝑤6𝑦6𝑚 ‒ 7 c. 9𝑤6𝑦6𝑚 ‒ 7wy
II PARTE. Resuelva las siguientes multiplicaciones de polinomios. (17 puntos) Ordene de manera descendente.
4mn3 + 5m2n2 ‒ 2m3n por 2m2n2 ‒ 3m3n (6 p.)
Proceso ptos Ordenar 1 multiplicar 3 reducir términos semejantes 2
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Módulo de Aprendizaje #1 – Matemática 8° - II trimestre
m + 4m3 ‒ 3m2 ‒ 1 por 3m + m2 ‒ 4 (11 p.)
III PARTE. Resuelva las siguientes divisiones de polinomios entre monomio. (9 puntos) Ordene de manera descendente.
– 30x5 y4 – 45x4 y3 z entre – 15x2 y3 (4 p.)
15x ‒ 5x3 + x4 entre ‒ 5x (5 p.)
Proceso ptos Ordenar 1 multiplicar 6 reducir términos semejantes 4
Proceso ptos expresar división / ordenar
1
expresar cocientes por separado
1
obtener cocientes 2
Proceso ptos expresar división / ordenar
1
expresar cocientes por separado
1
obtener cocientes 3
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Módulo de Aprendizaje #1 – Matemática 8° - II trimestre IV PARTE. Resuelva las siguientes divisiones de polinomios entre polinomio. (17 puntos) Ordene de manera descendente.
5n2 + 6m2 − 11mn 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆 m − n (6 p.)
7x − x3 + 2x4 − 3 entre 2𝑥 + 3 (11 p.)
Proceso ptos ordena descendente (m ) 1
obtener cociente 2
multiplica cocientes x el divisor
2
realiza la suma algebraica 1
Proceso ptos
ordena descendente 1
obtener cociente 4
multiplica cocientes x el divisor
4
realiza la suma algebraica 2
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Módulo de Aprendizaje #1 – Matemática 8° - II trimestre
BIBLIOGRAFÍA
*** Apuntes del profesor (Módulo #1 – Álgebra)
*** Cualquier libro de Matemática para 8° que contenga los temas de Álgebra y sus operaciones.
Sitios Web
www.matematicadeoctavo.weebly.com
Videos sobre reducción de términos semejantes https://matematicadeoctavo.weebly.com/viacutedeos-reduccioacuten-de-teacuterminos-semejantes.html
Videos sobre adición y sustracción de polinomios https://matematicadeoctavo.weebly.com/viacutedeos-de-adicioacuten-y-sustraccioacuten-de-polinomios.html
Videos sobre multiplicación de monomios y polinomios https://matematicadeoctavo.weebly.com/viacutedeos-de-multiplicacioacuten-de-monomios-y-polinomios.html
Videos sobre división de monomios y polinomios https://matematicadeoctavo.weebly.com/viacutedeos-de-divisioacuten-de-monomios-y-polinomios.html
Videos sobre división de polinomio entre polinomio https://matematicadeoctavo.weebly.com/viacutedeos---polinomio-entre-polinomio.html
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