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Mecanica II
Tema 4
Dinamica relativa
Manuel Ruiz Delgado
8 de marzo de 2011
Movimiento relativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Fuerzas ficticias de inercia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Ejemplo de fuerzas de inercia: coord. polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Efectos de la fuerza de Coriolis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Movimiento relativo a la superficie de la Tierra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Equilibrio de la plomada: vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Forma de la tierra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Geoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Latitud. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Movimiento relativo al triedro orbital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1
Movimiento relativo
2
O1y1
z1
O
yz
x
MF
Movimiento M/S1: Absoluto
Movimiento M/S0: Relativo
Movimiento S0/S1: Arrastre
S1 inercial Ley de Newton: F = m M21
S0 no inercial F 6= m M20
Composicion: 2/1 = 2/0 + 0/1
absolutaM21
=
relativaM20
+
arrastreM01
+
Coriolis 2 01 v
M20
=
= M20
relativa
+ O01
+ 01 OM+ 01 ( 01 OM) arrastre
+ 2 01 vM20
Coriolis
S0 inercial: F = m M20
{O01 0
01 0 Transf. de Galileo
Manuel Ruiz - Mecanica II 2 / 17
Fuerzas ficticias de inercia
Ecuacion del movimiento relativo:
F = m M21 = m(M20
+ M01
+ 2 01 vM20
)Fm M
01m 2 01 v
M20
= F+ FIA + FIC = m M20
Fuerza de inercia de arrastre:
FIA = m M01
=
arrastre m O
01
azimutal m 01 OM
centrifuga m 01 ( 01 OM)
arrastre
Fuerza de inercia de Coriolis:
FIC = m 2 01 vM20
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2
Ejemplo de fuerzas de inercia: coord. polares
Partcula sobre recta que gira en un plano:
r
x
x1
y1Movimiento relativo: r
Movimiento de arrastre: (conocida)
Fuerzas directamente aplicadas: Fx, Fy
Reaccion normal N
Fuerzas de inercia:
FIA = 0m r j+m2 r i FIC = 2m r j
Con lo que las ecuaciones del movimiento seran:
Ligada{Fx +m
2 r = mr
Fy +N m r 2m r = 0
Libre{Fx = mr m
2 r
Fy +N = m r + 2m r
Partcula libre: ecuaciones en coordenadas polares (ejes moviles)
Manuel Ruiz - Mecanica II 4 / 17
Efectos de la fuerza de Coriolis
sin
sin
N
S
FIC = m 2 01 vM20
7, 292115 105 rad/s
g 9, 8 m/s2
Manuel Ruiz - Mecanica II 5 / 17
3
Efectos de la fuerza de Coriolis
B-P Cor
v
Coriolis
-P
A-P Cor
v
Coriolis
-P
Figura 1: Ciclon y anticiclon en el hemisferio Norte.
Manuel Ruiz - Mecanica II 6 / 17
Efectos de la fuerza de Coriolis
Figura 2: Ciclones y anticiclones en el hemisferio Norte y en el Sur
Manuel Ruiz - Mecanica II 7 / 17
4
Movimiento relativo a la superficie de la Tierra
t
23o
O
M
Movimiento de M respecto a ejes fijos a la Tierra:
Atraccion del Sol, mAM
Atraccion de la Tierra, mAM
Otras fuerzas dadas, F
Fuerzas de inercia
Ecuaciones del movimiento
mM20 = F+mAM +mAM m[O01 +
+01 OM + 01 (01 OM)]m 201 vM20
Se puede simplificar
Manuel Ruiz - Mecanica II 8 / 17
Movimiento relativo a la superficie de la Tierra
mM20
= F+
2
mAM +
3 mAM m
[ 2O01
+
+
1 ((((
((01 OM +
3 01 (01 OM)
]m 201 v
M20
1. 01 = k Cte. Error: 1015 m/s2
2. O01
= A AM (pert. Prob 2 cuerpos) Error: 106 m/s2
3. g = AM 01 (01 OM) Definicion de gravedad
mM20 = F+mg m 201 vM20
Manuel Ruiz - Mecanica II 9 / 17
5
Equilibrio de la plomada: vertical
Horizontal
c a
N
AM
M M
g
2MM 0 = T+mAM m01 (01 OM)
Peso: mg = T
Vertical: direccion de T
g = AM cos (a c) 2MM
cosa
0 = AM sin (a c) 2MM
sina
c: latitud geocentrica; a: latitud astronomica
Direccion aproximada de la vertical: suponemos tierra esferica, MM= RE cosc,
AM = /R2
E , y cosa cosc:
sin(a c) = 2R3E
cosa sina 0, 00346 cosa sina
Manuel Ruiz - Mecanica II 10 / 17
Forma de la tierra
Normal V
ertical
Horizontal
Geoide
Elipsoide
c g a
N
g
Primera aproximacion: esfera
Segunda aproximacion: efecto de la rotacion, elipsoidede revolucion
Modelo WGS84: RE =6378,137 km, Rp =6356,752 km,
achatamiento f =RERpRE
=1/298,257223563, diferenciaRE Rp = 21, 384 km
Tercera aproximacion: geoide: superficie equipotencial asociada al nivel medio de los oceanos
Cuarto nivel: descripcion detallada del suelo que se encuentra en los mapas, con todos susaccidentes e irregularidades.
Manuel Ruiz - Mecanica II 11 / 17
6
Geoide
Ondulacion del geoide muy exagerada. Imagenes cortesa NASA.
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Latitud
Normal V
ertical
Horizontal
Geoide
Elipsoide
c g a
N
g
Latitud geocentrica c: radio vector con el plano ecua-torial.
Latitud geodesica o geografica g: normal al elipsoi-de con el plano ecuatorial (mapas).
Latitud astronomica a: vertical local la normal algeoide con el plano ecuatorial (plomadas, niveles)
Desviacion de la vertical es la diferencia entre la latitud astronomica y la geodesica.
Coordenadas geograficas: longitud, Latitud geodesica o geografica g, altura sobre el elipsoide.
Manuel Ruiz - Mecanica II 13 / 17
7
Movimiento relativo al triedro orbital
z1
x1
y1
R t
E
O
M
x
y
zOrbita circular de O: 01 =
R3
k1
mr = m
|EM|3EM+ FIA + FIC
Donde EM = (R+ x, y, z).
FIA = m[O01
+01 OM+ 01 (01 OM)]=
= m
R3
R00
+m R3
xy0
FIC = 2m01 r = 2m
R3
yx0
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Movimiento relativo al triedro orbital
Normalmente, |OM| R (103): linealizar la gravedad
|EM|3 =(R2 + 2xR+
x2 + y2 + z2)3/2
(R2 + 2xR
)3/2= R3
(1 + 2
x
R
)3/2Desarrollo (1 + )3 = 1 3
2+ . . . , pues = 2x/R 1:
m
|EM|3EM =
m
R3(1 3x/R)
R+ xyz
=
= m
R3
R 3x+ x
3x2/Ry
3xy/Rz
3xz/R
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8
Movimiento relativo al triedro orbital
Conservando solo terminos de orden x/R,
mr = m
R3
R 2x
yz
+m R3
R00
+m R3
x
y0
+ 2m
R3
yx0
Se llega a las ecuaciones de Hill:
x = 32 x +2 y
y = 2 x
z = 2 z
Gradiente de gravedad: variacion de la gravedad + fuerza centrfuga Plano orbital atractor, planohorizontal local repulsor
Manuel Ruiz - Mecanica II 16 / 17
Movimiento relativo al triedro orbital
Las ecuaciones de Hill son lineales de coeficientes constantes y tienen solucion analtica: lasEcuaciones de Clohessy-Wiltshire
x = 4x0 + 2y0
(3x0 + 2
y0
)cos t +
x0
sin t
y = y0 2x0
+ 2x0
cos t + 2
(3x0 + 2
y0
)sin t 3 (y0 + 2x0) t
z = z0 cos t +z0
sin t
Utiles para la aproximacion final entre dos satelites:Dados x0, y0, z0 y x0, y0, z0 en t0, obtener el v (impulso del motor) que lleva a x = 0, y = 0, z = 0en t1. Cerca del origen hay que dar otro v para frenar.
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Movimiento relativoFuerzas ficticias de inerciaEjemplo de fuerzas de inercia: coord. polaresEfectos de la fuerza de CoriolisEfectos de la fuerza de CoriolisEfectos de la fuerza de CoriolisMovimiento relativo a la superficie de la TierraMovimiento relativo a la superficie de la TierraEquilibrio de la plomada: verticalForma de la tierraGeoideLatitudMovimiento relativo al triedro orbitalMovimiento relativo al triedro orbitalMovimiento relativo al triedro orbitalMovimiento relativo al triedro orbital
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