Mecánica Cuántica

I. Introducción1.1 La ecuación de Schrödinger1.2 Problemas unidimensionales

1.2.1 La partícula libre1.2.2 Pozos1.2.3 Barreras y tuneleo1.2.4 El oscilador armónico

II. El formalismo de la Mecánica Cuántica

III. Descripción cuántica del átomo.

IV. Interacción semiclásica átomo-radiación.

2ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ ; 2pH V r L r pm

2

2

, 0

, 0

, 0z

z

H L

H L

L L

, , ,

1, 2,3...; 1;

mnlm nl lr R r Y

n l n m l

32 1

130 0 0 0

29

0 2

1 !2 2 2exp2 !

1,2,3...; 1;

donde

5.3 10 cm

ll

nl n l

n l r r rR r Lna na na nan n l

n l n m l

ame

2 2

ˆ

ˆ 1

ˆ

z nlm nlm

nlm nlm

nlm n nlm

L m

L l l

H E

4

2 2

1 1,2,3...2nmeE n

n

, , ,

1,2,3...; 1;

mnlm nl lr R r Y

n l n m l

4

2 2

1 1,2,3...2nmeE n

n

2

°

1

113.605 691 72 eV 1,2,3...

911.267 050 550 A

nE nn

1 2

°

1

113.598 296 eV 1,2,3,...

911.763 342 A

E nn

2

°

1

113.605 691 72 eV 1,2,3...

911.267 050 550 A

nE nn

NP

e1

1

13.609,340 eV

911.515,320 A

E

2

°

1

113.605 691 72 eV 1,2,3...

911.267 050 550 A

nE nn

NP

e

1

1

13.609,340 eV

911.515,320 A

E

Líneas desplazadas hacia el azul respecto a las del hidrógeno

Diferencia en Hα de 1.78 Amstrongs

1

°

1

13.598 296 eV

911.763 342 A

E

P

e

e- 1

e

ZM m

1 6.803 eVE

e+

Línea de aniquilación: 0.511 MeV (Rayos X)

2 21 2

2 11 2

2 2 2 2

2 1 1 2 1 22 21 1 2 2

1 2

ˆ ˆˆ2 2

, ,2 2

donde

p p V x xm m

V x x x x E x xm x m x

E E E

H

2 1

1 1 2 2

1 2

Coordenada relativa:

Coordenada del centro de masa:

x x xm x m x

Xm m

2 21 2

2 11 2

2 2 2 2

2 1 1 2 1 22 21 1 2 2

1 2

ˆ ˆˆ2 2

, ,2 2

donde

p p V x xm m

V x x x x E x xm x m x

E E E

H

1 2

2 2 2

2

2 2 2

1

1 2 2

Sea , una función arbitraria,

ó como operador

f x x

f f x f Xx x x X x

x X mx x x x X x M X

x X mx x x x X x M X

2 1

1 1 2 2

1 2

Coordenada relativa:

Coordenada del centro de masa:

x x xm x m xXm m

22 2 2 22 2

2 2 22

22 2 2 21 1

2 2 21

2 2 2 2

2 2 2 21 1 2 2

2

2

1 1 1 1

m mx x M x X M X

m mx x M x X M X

m x m x x M X

2

2 2 2

1

1 2 2

x X mx x x x X x M X

x X mx x x x X x M X

2 2 2 2

2 2 , ,2 2

V x x X E x XM X x

2 2 2 2

2 2 2 21 1 2 2

1 1 1 1m x m x x M X

1 2

22

2

22

2

,

2

2

X x

X

x

x X W X w x

E E E E E

W XE W X

M Xw x

V x w x E w xx

2 2 2 2

2 2 , ,2 2

V x x X E x XM X x

La fuerza es atractiva si 0 y repulsiva si 0.F r F r

1 1 2 2

1 2

ˆ ˆ m r F r r m r F r r

r r r

1 1 2 21 2

1 2

En lugar de las seis coordenadas usuales, usamos

y m r m rR r r rm m

1 1 2 2

1 2

ˆ ˆ m r F r r m r F r rr r r

1 1 2 2

1 1 2 21 2

1 2

Sumando las dos ecuaciones, tenemos0

o bien

0

y por tanto

0

m r m r

m r m rm mm m

MR

1 1 2 2 1 2

1 1 2 21 2

1 2

ˆ ˆ, donde

,

m r F r r m r F r r r r r

m r m rR r r rm m

1 21 2

1 21 2

1 21 2

1 2

1 2

1 2 1 2

ˆ ˆ

1 1 ˆRestamos las dos ecuaciones:

ˆObtenemos:

ˆy por tanto

1 1 1donde ó

F r r F r rr r

m m

r r F r rm m

mm r r F r rm m

r F r r

m mm m m m

1 1 2 2 1 2

1 1 2 21 2

1 2

ˆ ˆ, donde

,

m r F r r m r F r r r r r

m r m rR r r rm m

1 1 2 2

1 2

ˆ ˆ m r F r r m r F r r

r r r

1 2

1 2 1 2

01 1 1ˆ donde ó

MRmmr F r rm m m m

1 2

1 2

mmm m

1 2

1 2

24Tierra

30Sol

24Reducida

5.9742 10 Kg

1.98892 10 Kg

5.9742 10 Kg

mmm m

M

M

M

1 2

1 2

mmm m

1 2

1 2

27Protón

31Electrón

31Reducida

1.67 10 Kg

9.11 10 Kg

9.105 10 Kg

mmm m

M

M

M

4 2

2 2 1,2,3...2R

nm e ZE n

n

4 2

2 2

si

entonces y

1,2,3...2

e NR N

e N

R e

en

m mm mm m

m m

m e ZE nn

4 2

2 2 1,2,3...2R

nm e ZE n

n

45 1

2

°

2

2

1 1.097 373 156 852 5(73) 10 cm2

13.605 691 72 eV

1 / 911.267 050 550 A

13.605 691 72 eV 1,2,3...

e

n

m eRhc

R hc

R

ZE nn

4 2

2 2 1,2,3...2R

nm e ZE n

n

4 2

2 2 , 1,2,3... ; 2R e

n Re

m e Z m ME n mn m M

4 2

2 2

2

2

1 1,2,3...1 / 2

1 1,2,3...1 /

en

e

ne

m e ZE nm M n

hcR ZE nm M n

2 1 2 1 2 1

2 1

2 1

2

2 22 1

2 22 1

2 2 22 1

1 11 /

1 /

n n n n n ne n n

en n

hcR Z hcE E hm M n n

m M n nZ R n n

2

2

1 1,2,3...1 /n

e

hcR ZE nm M n

1

°

1

/ 1 / 13.598 296 eV

911.763 342 A

p eE R hc m m

2 1 2 1

2 2 22 1

2 2 2 2 22 1 2 1

1 1 1 / ; 1 /

en n n n

e

hcR Z m M n nE Em M n n Z R n n

NP

e

1

1

13.609,340 eV

911.515,320 A

E

2 1 2 1

2 2 22 1

2 2 2 2 22 1 2 1

1 1 1 / ; 1 /

en n n n

e

hcR Z m M n nE Em M n n Z R n n

NP

e

1

1

13.609,340 eV

911.515,320 A

E

Líneas desplazadas hacia el azul respecto a las del hidrógeno

Diferencia en Hα de 1.78 Amstrongs

1

°

1

13.598 296 eV

911.763 342 A

E

P

e

NP

e 27,294.3 e

ZM m

1

1

54.415 eV

227.848 A

E

NP

e 2655.847 masas atómicas

ZM

21 13.6 eV

es el deficit de electrones

E A

A

2 1Serie de Lyman: 6.38 keV Rayos E E X

e- 1

e

ZM m

1 6.803 eVE

e+

Línea de aniquilación: 0.511 MeV (Rayos X)

a) La ecuación de Schrödinger da un espectro muy cercano a la realidad

b) Cuando se examina con cuidado se ve que hay diferencias

c) La ecuación de Schrodinger no es relativista

No toma en cuenta los efectos propiamente relativistas

No toma en cuenta los espines

No toma en cuenta detalles de los campos generados

No toma en cuenta el campo cuántico

•Correcciones relativistas

•Estructura fina

•Estructura hiperfina

•La ecuación de Dirac

•Corrimiento Lamb

El momento angular de una partícula alrededorde algun punto, se define como

donde es la posición de la partícula, expresadacomo un vector de desplazamiento desde elpunto de rotación y es

L r pr

p

el momento lineal de lapartícula.

El momento angular de una partículaalrededor de algun punto, se defineen mecánica cuántica como

donde es la posición de la partícula,y es el momento lineal de la partí

ˆ ˆ

cula.

ˆr

L p

p

r

,

,

,

x y z

y z x

z x y

L L i L

L L i L

L L i L

2

2 2 2 2

, 0 ; , ,

donde

i

x y z

L L i x y z

L L L L

, ; , ; ,x y z y z x z x yL L i L L L i L L L i L

En la representación de coordenadas

ˆ ˆ r r r p p i

El momento angular de una partícula alrededor dealgun punto, se define en mecánica cuántica como

donde es la posición de la partícula, y es elmomento lineal de la partí

ˆ ˆ

cul

ˆ

a.r

L pp

r

En mecánica cuántica el momento angulares un operador.

En la representación de coordenadas estádado como

L̂ i r

En mecánica cuántica el momento angular es un operador.ˆEn la representación de coordenadas está dado como L i r

ˆ

ˆ

ˆ

x

y

z

L y zi z y

L z xi x z

L x yi y x

ˆ ˆ

ˆ ˆ y

L r p

r r p i

ˆ sin cot cos

ˆ cos cot sin

ˆ

x

y

z

L i

L i

L i

ˆ ˆ

ˆ ˆ y

L r p

r r p i

2 22 2

2 2 2

1 1tan sin

L

ˆ ˆ

ˆ ˆ y

L r p

r r p i

2 2ˆ , 1 ,

ˆ , ,

0, 1, 2,... y

m ml l

m mz l l

L Y l l Y

L Y m Y

l l m l

En la mecánica cuántica, el momento angular está cuantizado;es decir, no puede variar continuamente,sino sólo en "saltos cuánticos" entreciertos valores permitidos.

En la mecánica cuántica, el momento angular está cuantizado;pero no sólo eso, sino que laproyección del momento angulartambién está cuantizada. A estose le llama "cuantización espacial"

2ˆ

ˆz

L f f

L f f

2

, ; , ; ,

, 0

x y z y z x z x yL L i L L L i L L L i L

L L

x yL L iL

2

, ; , ; ,

, 0

x y z y z x z x yL L i L L L i L L L i L

L L

, , ,

=

,

z z x z y

y x x y

z

L L L L i L L

i L i i L L iL

L L L

2, ; , ; , ; , 0x y z y z x z x y

x y

L L i L L L i L L L i L L L

L L iL

2, ; , ; , ; , 0

,x y z y z x z x y

x y z

L L i L L L i L L L i L L L

L L iL L L L

2 , 0L L

2

2

, ; , ; , ;

, 0

;

, ; , 0

x y z y z x z x y

x y

z

L L i L L L i L L L i L

L L

L L iL

L L L L L

2Si es una función propia de , también lo es.f L

L f

2 2

2Resumiendo:

L L f L L f

L f L

f

f

L f L

L

2Si es una función propia de , también lo es.f L

L f

Si es una función propia de , también lo es

zf LL f

=

Resumiendo:

z z z z

z

L L f L L L L f L L f

L

L f

f L f L f

fL L

Si es una función propia de , también lo es.

zf LL f

zL L f L f

es un operador de "ascenso"

es un operador de "descenso"

L

L

zL L f L f

Dado que la componente del momentoangular no puede rebasar el momentoangular total, existe una "top" tal que:1) Existe un tope superior, tal que 0

t

t

z

f

L f

2

1) Existe un tope superior, tal que 0

2) Llamamos al valor propio de

t

z

z t t t t

L f

l L

L f lf L f f

2

1) Existe un tope superior, tal que 0

2) Llamamos al valor propio de

t

z

z t t t t

L f

l L

L f lf L f f

2

2 2

2 2

2 2

ˆPara ver cuánto vale , escribimo en términosˆde :

,

o bien

x y x y x y x y

z z

z z

L

L

L L L iL L iL L L i L L

L L i i L

L L L L L

2 1l l

2 2z zL L L L L

2 2

2 2 2 2 0 1

t t z z t

t t

L f L L L L f

l l f l l f

2

1) Existe un tope inferior (por la mismarazón que ), tal que 0

2) Llamamos al valor propio de

t b

b z

z b b b b b

f L f

l L

L f l f L f f

2

1) Existe un tope inferior , tal que 0

2) Llamamos al valor propio de

b

b z

z b b b b b

L f

l L

L f l f L f f

2 2

2 2 2 2 0 1

b t z z b

b b b b b b

L f L L L L f

l l f l l f

2 2z zL L L L L

2 1b bl l

2 21 1b bl l l l

2

22

,1

,2

1 1

1 0

1 1 4 1 1 2 1 1 2 11 1 4 42 2 2 2

2 2 12

b b

b b

b

b

b

l l l l

l l l l

l l l ll ll

ll l

l l

a) 1No es posible porque sería mayor que ,que es el mayor valor posible.

b) Es el resultado posible.

b

b

b

l ll l

l l

2 21 1b bl l l l

ˆLos valores propios de son y van de a en pasos,siendo un entero.Es decir,

con

z

m mz l l

L ml l N

N

L f mf

l m l

ˆLos valores propios de son y van de a en pasos, siendo unentero.Es decir,

con

z

m mz l l

Lm l lN N

L f mf

l m l

con m mz l lL f mf l m l

será

Tenem

un entero o un semi-en

os que

ó sea

2eroy t .

l l N

Nl

l

2 2

Así que

1

y

con1 30, , 1, ,... y 2 2

m ml l

m mz l l

L f l l f

L f mf

l l m l

2 2

Así que

, 1 ,

y, ,

con1 30, , 1, ,... y 2 2

z

L l m l l l m

L l m m l m

l l m l

2

, ; , ; ,

, 0

x y z y z x z x y

x y

L L i L L L i L L L i L

L L

L L iL

†† † †x y x y x yL L iL L iL L iL L

zL L f L f

, , 1lmL l m C l m

†

†

*

2

2

, ,

, 1 , 1

, 1 , 1

, 1 , 1

lm lm

lm lm

lm

lm

L l m L l m

C l m C l m

l m C C l m

C l m l m

C

, , 1lmL l m C l m

† †

2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

, , , ,

, ,

, ,

, 1 ,

1 , ,

1

z z

L l m L l m l m L L l m

l m L L l m

l m L L L l m

l m l l m m l m

l l m m l m l m

l l m m

2 2

2 2

z z

z z

L L L L L

L L L L L

†L L

1 1lmC l l m m

2†, , lmL l m L l m C

† 2 2 2 2, , 1L l m L l m l l m m

, 1 1 , 1

ˆ 1 , 1

L l m l l m m l m

L lm l m l m l m

2

, ; , ; ,

, 0

x y z y z x z x y

x y

L L i L L L i L L L i L

L L

L L iL

2 2 2

Se tiene que:ˆ ˆ y z zL m L m

2 2 2ˆ ˆ y z zL m L m

Se tiene que:ˆ ˆ, ,

, , , ,

z zL m l L m l

m l m m l m m l m l m

Se cumple queˆ ˆ0 y 0x yL L

Recordemos queˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

y que por tanto,1 1 y 2 2

x y x y

x y

L L iL L L iL

L L L L L Li

ˆ ˆDemostrar que 0 y 0x yL L

1 1, ,2 2

1 1, , , ,2 21 1 1 , , 12

1 1 1 , , 12

0

xL L L m l L L m l

m l L m l m l L m l

l l m m l m l m

l l m m l m l m

ˆ ˆDemostrar que 0 y 0x yL L

ˆ ˆ ˆx yL L iL

2

2 2ˆ 12xL l l m

22 2

2 2

2 2

1ˆ ˆ ˆ ˆ, , , ,4

1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , ,41 1ˆ ˆ , , , ,4 4

1 1ˆ ˆ ˆ ˆ + , , , ,4 4

x xL l m L l m l m L L l m

l m L L L L L L l m

l m L l m l m L l m

l m L L l m l m L L l m

2

2 2ˆ 12xL l l m

Recordemos la acción de los

operadores de creación y aniquilación.

ˆ 1 , 1

ˆ 1 , 1

L lm l m l m l m

L lm l m l m l m

2

2

2

ˆ , 1 , 1

Aplicando dos veces el operadorˆ ˆ, 1 , 1

1 1 2 , 2

Sacando ahora el valor esperadoˆ, , 1 1 2 , , 2

ˆ, , 0

L l m l m l m l m

L l m l m l m L l m

l m l m l m l m l m

l m L l m l m l m l m l m l m l m

l m L l m

2 221 1 1 1ˆ, ,ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , , , , , , ,4 4 4 4xl m L l m l m L l m l m L L l m l m L L l ml m L l m

2

2

2

ˆ , 1 , 1

Aplicando dos veces el operador,ˆ ˆ, 1 , 1

1 1 2 , 2

Ahora sacamos el valor esperadoˆ, , 1 1 2 , , 2

ˆ, , 0

L l m l m l m l m

L l m l m l m L l m

l m l m l m l m l m

l m L l m l m l m l m l m l m l m

l m L l m

22 21 1 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , , , , , , ,4 4 4

,4

ˆ,x l m L ll m L l m l m L l m l m L L l m m L L l mm l

2

2

2

ˆ , 1 , 1

Ahoraˆ ˆ ˆ, 1 , 1

1 1 ,

Ahora sacamos el valor esperadoˆ ˆ, , 1 , ,ˆ ˆ, , 1

L l m l m l m l m

L L l m l m l m L l m

l m l m l m l m l m

l m L L l m l m l m l m l m

l m L L l m l m l m

2 2 21 1 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , , , , , ˆ ˆ , ,4

,4

,4 4x l m L L ll m L l m l m L l m l m L l m l mm L L l m

2

2

2

ˆ 1 , 1

Ahoraˆ ˆ ˆ1 , 1

1 1 ,

Ahora sacamos el valor esperadoˆ ˆ, 1 , ,ˆ ˆ, 1

L lm l m l m l m

L L lm l m l m L l m

l m l m l m l m l m

l m L L lm l m l m l m l m

l m L L lm l m l m

2 2 21 1 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , , , , , , ,4 4 4 4

ˆ ˆ, ,xl m L l m l m L l m l m L l m l m L L l m l m L L l m

2

2 2ˆDemostrar que 12xL l l m

2

2 2

2 2

2 2 2 2 2

22 2 2 2

ˆ, ,

1 1 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , , , , , , ,4 4 4 4

1 10 0 1 14 4

141 2 2 2 14 2

xl m L l m

l m L l m l m L l m l m L L l m l m L L l m

l m l m l m l m

l lm lm m l m l lm lm m l m

l m l l l m

2

2 2ˆDemostrar que 12yL l l m

Se hace igual

22 2

22 2

ˆ ˆ0 12

ˆ ˆ0 12

x x

y y

L L l l m

L L l l m

222

222

1ˆ ˆ2

1ˆ ˆ2

x

y

L x x

L y y

l l mL L

l l mL L

2

2 2

Como

, ; , ; , ;

, 0

yˆ ˆ1 y

los valores de y están completamente

"indeterminados"

x y z y z x z x y

z

x y

L L i L L L i L L L i L

L L

L lm l l lm L lm m lm

L L

2 2 1

y

con1 30, , 1, ,... y 2 2

m ml l

m mz l l

L f l l f

L f mf

l l m l

2 2 1

y

con0,1,2,... y

m ml l

m mz l l

L Y l l Y

L Y mY

l l m l

¿Y qué sucedió con los valoresde semienteros?l

¿Y qué sucedió con los valores de semienteros?

¡El espín!l