Mecánica de Materiales II: Relaciones constitutivas Esfuerzo – …¡nica de Materiales... ·...

Universidad Simón Bolívar

Mecánica de Materiales II:Relaciones constitutivas Esfuerzo – Deformación

Andrés G. Clavijo V., Universidad Simón Bolívar

Universidad Simón Bolívar

• Conceptos• Conceptos

• Ley de Hooke• Ley de Hooke

• Módulo de Young• Módulo de Young

• Módulo de Poisson• Módulo de Poisson

• Relaciones• Esfuerzo – Deformación• Deformación - Esfuerzo

• Relaciones• Esfuerzo – Deformación• Deformación - Esfuerzo

• Estado plano• De Esfuerzos• De Deformaciones

• Estado plano• De Esfuerzos• De Deformaciones

ContenidoContenido

Universidad Simón Bolívar

Material Homogéneo:Material que tiene propiedades iguales en cada uno de sus puntos

Material Elástico:Material que recupera completamente sus dimensiones originales alretirar las cargas que produjeron las deformaciones

Material Lineal:Material en el cual las deformaciones producidas por la acción de unestado de cargas son muy pequeñas (< 0,1%)

Isótropo:Material en el que las propiedades físicas son iguales en todas lasdirecciones

Conceptos Ley de Hooke

Módulo de Young

Módulo de Poisson Relaciones Estado

plano

Universidad Simón Bolívar

Elástico

Lineal

Conceptos Ley de Hooke

Módulo de Young

Módulo de Poisson Relaciones Estado

plano

Universidad Simón Bolívar

Para un material homogéneo, elástico, lineal e isotrópico,la matrizde deformaciones depende linealmente de la matriz de esfuerzos:

yzxzxyzyxyz

yzxzxyzyxxz

yzxzxyzyxxy

yzxzxyzyxz

yzxzxyzyxy

yzxzxyzyxx

ffffff

ffffff

ffffff

ffffff

ffffff

ffffff

τττσσσγτττσσσγτττσσσγ

τττσσσετττσσσε

τττσσσε

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

[ ]nmf = matriz de flexibilidad

Conceptos Ley de Hooke

Módulo de Young

Módulo de Poisson Relaciones Estado

plano

Universidad Simón Bolívar

De manera similar, es posible expresar los valores de los esfuerzosen dependencia lineal de las deformaciones:

yzxzxyzyxyz

yzxzxyzyxxz

yzxzxyzyxxy

yzxzxyzyxz

yzxzxyzyxy

yzxzxyzyxx

kkkkkk

kkkkkk

kkkkkk

kkkkkk

kkkkkk

kkkkkk

γγγεεετγγγεεετγγγεεετγγγεεεσγγγεεεσ

γγγεεεσ

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

[ ]nmk = matriz de rigidez

Conceptos Ley de Hooke

Módulo de Young

Módulo de Poisson Relaciones Estado

plano

Universidad Simón Bolívar

Supongamos una barra sometida a tracción:

y

z x

xx f σε ⋅= 11

xy f σε ⋅= 21

xz f σε ⋅= 31

Ley de Hooke(1678)

Robert Hooke (1635-1703): científicoinglés quien descubrió laproporcionalidad entre las cargas y losalargamientos experimentando conalambres y resortes.

ConceptosLey de Hooke

Módulo de Young

Módulo de Poisson Relaciones Estado

plano

Universidad Simón Bolívar

A principios del siglo XVIII cuando elcientífico inglésThomas Young (1773-1829)introdujo el concepto de Módulo deElasticidad, como la constante deproporcionalidad entre los esfuerzos ydeformaciones

x

xEεσ=

El Módulo de Young, como también se leconoce, fue medido por primera vez por elcientífico francésLouis Navier (1785-1836)en 1826.

Conceptos Ley de Hooke

Módulo de Young

Módulo de Poisson Relaciones Estado

plano

Universidad Simón Bolívar

En 1830 el científico francésSimeón Poisson(1781-1829) demostró que :

Ex

x

σε =

xzy ενεε ⋅−==

Concluyendo que:

Ef

111 =

Eff

ν−== 3121

Al coeficiente νννν se le conoce comoMódulo de Poisson y para el caso deesfuerzos uniaxial descrito lasexpresiones son:

xy Eσνε ⋅= xz E

σνε ⋅=

Conceptos Ley de Hooke

Módulo de Young

Módulo de Poisson

Relaciones Estado plano

Universidad Simón Bolívar

De esta manera volvemos a las expresiones generales querelacionan las deformaciones:

yzxzxyzyxyz

yzxzxyzyxxz

yzxzxyzyxxy

yzxzxyzyxz

yzxzxyzyxy

yzxzxyzyxx

kkkkkk

kkkkkk

kkkkkk

kkkkkk

kkkkkk

kkkkkk

γγγεεετγγγεεετγγγεεετγγγεεεσγγγεεεσ

γγγεεεσ

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

[ ]nmk = matriz de rigidez

Los coeficienteskij son 36 propiedades elásticas del materialtotalmente imprácticas de medir experimentalmente.Por lo que para un material homogéneo, isótropo, elástico y lineal,es posible demostrar que con 2 propiedades es suficiente.

Conceptos Ley de Hooke

Módulo de Young

Módulo de Poisson Relaciones Estado

plano

Universidad Simón Bolívar

Si un material es homogéneo, elástico, lineal e isótropo, entonceslos esfuerzos y deformaciones en cada punto están relacionados através de las siguientes ecuaciones:

( )zyxxx G εεελεσ ++⋅+⋅⋅= 2

( )zyxyy G εεελεσ ++⋅+⋅⋅= 2

( )zyxzz G εεελεσ ++⋅+⋅⋅= 2

xyxy G γτ ⋅⋅= 2

xzxz G γτ ⋅⋅= 2

yzyz G γτ ⋅⋅= 2

Conceptos Ley de Hooke

Módulo de Young

Módulo de Poisson Relaciones Estado

plano

Teorema

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Donde λ y G son las dos propiedadeselásticas del material conocidos comoconstantes de Lamé.En honor al ingeniero francés GabrielLamé (1795-1870), cuyas expresionesson:

( ) ( )νννλ

⋅−⋅+⋅=

211

E

( )v

EG

+⋅=

12

Al sustituir en las expresiones anteriores se tiene:

Conceptos Ley de Hooke

Módulo de Young

Módulo de Poisson Relaciones Estado

plano

Teorema

Universidad Simón Bolívar

( )

++⋅⋅−

+⋅+

= zyxxx

E εεεν

νεν

σ211

( )

++⋅⋅−

+⋅+

= zyxyy

E εεεν

νεν

σ211

( )

++⋅⋅−

+⋅+

= zyxzz

E εεεν

νεν

σ211

xyxy

E γν

τ ⋅+

=1

xzxz

E γν

τ ⋅+

=1

yzyz

E γν

τ ⋅+

=1

Conceptos Ley de Hooke

Módulo de Young

Módulo de Poisson Relaciones Estado

plano

Esfuerzo - Deformación

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( )zyx

x EEσσνσε +⋅−=

( )zxy

y EEσσνσ

ε +⋅−=

( )yxz

z EEσσνσε +⋅−=

xyxy Eτνγ ⋅+= 1

xzxz Eτνγ ⋅+= 1

yzyz Eτνγ ⋅+= 1

Conceptos Ley de Hooke

Módulo de Young

Módulo de Poisson Relaciones Estado

plano

Deformación - Esfuerzo

Universidad Simón Bolívar

yx

x EEσνσε ⋅−=

xy

y EEσνσ

ε ⋅−=

( )yxz Eσσνε +⋅−=

xyxy Eτνγ ⋅+= 1

0=xzγ

0=yzγ

[ ]yxx

E ενεν

σ ⋅+⋅−

=21

[ ]xyy

E ενεν

σ ⋅+⋅−

=21

0=zσ

xyxy

E γν

τ ⋅+

=1

0=xzτ

0=yzτ

Conceptos Ley de Hooke

Módulo de Young

Módulo de Poisson Relaciones

Estado plano

Estado plano de esfuerzos

Universidad Simón Bolívar

( ) ( ) ( )[ ]yxx

E ενεννν

σ ⋅+⋅−⋅⋅−⋅+

= 1211

xyxy

E γν

τ ⋅+

=1

0=xzτ

0=yzτ

( ) ( ) ( )[ ]xyy

E ενεννν

σ ⋅+⋅−⋅⋅−⋅+

= 1211

( ) ( ) [ ]yxz

E εενν

νσ +⋅⋅−⋅+

⋅=211

( )[ ]yxx Eσνσννε ⋅−⋅−⋅+= 1

1

0=zε

xyxy Eτνγ ⋅+= 1

0=xzγ

0=yzγ

( )[ ]xyy Eσνσννε ⋅−⋅−⋅+= 1

1

Conceptos Ley de Hooke

Módulo de Young

Módulo de Poisson Relaciones

Estado plano

Estado plano de deformaciones