Medidas de tendencia central en series agrupadas

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MEDIDAS ESTADÍSTICAS DETENDENCIA CENTRAL

MSP. GLORIA HERNÁNDEZ GÓMEZ

Series agrupadas

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL(Para datos agrupados )

• MEDIA O PROMEDIO ARITMÉTICO

•MEDIANA

• MODA ó MODO

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3

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

MoModa

MαMediana

(Μ ) ( X )Media o Promedio

Aritmético

SIMBOLOSMEDIDA

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Media ó Promedio aritmético (Μ ) ( X )

Es la suma de todos los valores dividido entre el número de observaciones ( N) o (n)

Fórmula:

Series simples

Σxi

Ν=

x1+x2+x3…

NX=

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Mediana (Μα )

Es el valor que divide al conjunto de datos en dos partes iguales; si el número es impar la mediana será el valor que se encuentre en medio una vez ordenados de menor a mayor o viceversa

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Mediana (Μα )

Fórmula para ubicar la posición en series simples:Cuando es par se suman los dos números que dividen la muestra en dos partes iguales y se divide entre dos

7

Mediana (Μα )

Fórmula para ubicar la posición

2N + 1

(Μα )=

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Media ó Promedio aritmético (Μ ) ( X )

Fórmula:

Series agrupadas

X=x1f1+x2f2+x3f3…

f1 + f2 + f3…

= Σxifi

Ν

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Mediana (Μα )

Fórmula en series agrupadas para el valor que la representa

Μα= Lim.inf de la clase donde esta la observación

+ Los que faltan X amplitud

de claseTotal de la clase

1.- Definiciones

Una Medida de Tendencia Central corresponde a una posición que representa de manera Óptima a un conjunto de datos, indicando donde se encuentra el punto de equilibrio en su distribución.

MEDIANA

Observación o dato que ocupa el lugar que se encuentra en el centro de una serie o de una distribución ordenada y que divide al conjunto en dos grupos de observaciones de igual tamaño.

MEDIA ARITMÉTICA o PROMEDIO

En un conjunto de observaciones es el Valor que debería tener cada observación, si todas las observaciones fueran iguales.

Las Medidas de Tendencia Central pueden obtenerse de una serie de datos individuales o de agrupaciones de datos.

MEDIANA

Observación o dato que ocupa el lugar que se encuentra en el centro de una serie o de una distribución ordenada y que divide al conjunto en dos grupos de observaciones de igual tamaño.

MEDIA ARITMÉTICA o PROMEDIO

En un conjunto de observaciones es el Valor que debería tener cada observación, si todas las observaciones fueran iguales.

Las Medidas de Tendencia Central pueden obtenerse de una serie de datos individuales o de agrupaciones de datos.

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MEDIANA o Md

Definición:

Es la observación o dato que se localiza en el centro de una serie ordenada de datos, dividiéndolos en dos grupos de igual tamaño.

Características:

• Métrica

•No se afecta por valores extremos

Ejemplo: La mediana de edad del grupo es de 40 años

Cálculo para datos individuales:

Se ordenan los datos en forma ascendente o descendente.

Ejemplo:

X: 13, 15, 7, 9, 11

Se ordenan los datos

X: 7, 9, 11, 13, 15

Mediana = 11

Conjunto impar de datos

La mediana es el dato que se encuentra en medio de la secuencia, quedando dos grupos de datos de igual tamaño.

Posición de la mediana = Número de observaciones + 1=

2 Ejemplo: En un conjunto IMPAR de observaciones

X: 7, 9, 11, 13, 15

Número de observaciones = 5

Posición de la mediana = 5 + 1 = 6 = 3 2 2

El valor que corresponde a la posición 3 es el 11

Valor de la mediana = 11

Ejemplo: En un conjunto PAR de observaciones

X: 7, 9, 11, 13, 15, 17Número de observaciones = 6

Posición de la mediana = 6 + 1 = 7 = 3.5 2 2 El valor que corresponde a la posición 3.5 es el punto entre los valores que se encuentran entre las posiciones 3 y 4

Posición 3 = 11 Posición 4 = 13

Valor de la mediana = 11 + 13 = 24 = 12 2 2

MODO o MODA o MO

Definición:

En un conjunto de datos, Modo o Moda es lo que aparece con mayor frecuencia.

Características:

•Categórica (más hombres)

•Numérica (peso, talla, etc.)

Cálculo para datos individuales:

Se identifica contando el número de veces que aparece cada valor en el conjunto de datos (valor que aparece con mayor frecuencia en una serie de datos).

Ejemplo:

X: 2, 2, 4, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8. Modo=6

Si dos o más valores coinciden en aparecer el mayor número de veces, la distribución será:

BimodalEjemplo:

1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8

Modo= 3 y 7Trimodal

Ejemplo:1, 1, 1, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8

Modo= 1, 3 y 7Multimodal

MEDIA ARITMÉTICA o PROMEDIO

Símbolo:XDefinición:

En un conjunto de observaciones, la media es el valor que debiera tener cada observación si todas las observaciones fueran iguales.

C a r a c t e r í s t i c a s:

•Métrico

Ejemplo: El promedio de edad del grupo es de 30 años

• Es la medida más utilizada • Depende de cada uno de los valores • Se afecta por valores extremos • Se pueden realizar operaciones algebraicas

A) Cálculo para datos individuales

Fórmula

X = Suma de los valores de las observaciones = Número de observaciones

Ejemplo:

En el conjunto de observaciones

7, 9, 11, 13, 15

Número de observaciones = 5

X = 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 55 = 11 5 5

B) Cálculo para datos agrupados

El modo se encuentra en el intervalo de clase que tiene la frecuencia mayor.

Desventaja:

La imprecisión del modo aumenta en la medida en que aumenta la amplitud del intervalo de clase.

Período deincubación (hrs.)

Número de casos

8 - 9.9

10 - 11.9

12 - 13.9

14 - 15.9

16 - 17.9

6

23

9

1

2

Total 41

Modo = 10 - 11.9 horas

Cálculo para datos agrupados

Se asume que en cada intervalo de clase los valores se distribuyen uniformemente.

Se debe localizar el caso que se encuentra en la posición central y estimar su valor.

Ejemplo:

Númerode casos

“f”

Período deincubación

(hrs.)“x”

Puntomedio(PM)“x”

Producto delNúmero de casos

por el PM“fx”

Casosacumulado

6

23

9

1

2

8 - 9.9

10 - 11.9

12 - 13.9

14 - 15.9

16 - 17.9

9

11

13

15

17

54

253

117

15

34

6

29

38

39

41

Total ∑f = 41 - - ∑ fx =473 --

1.- Identificar el caso medio:

Número de observaciones = 41

Caso medio = (41 + 1) = 42 = 21 2 2

2.- Identificar el intervalo de clase que contiene al caso medio:

• El caso medio se encuentra entre las 10 y las 11.9 horas

3.- Identificar cuántos casos se localizan por abajo del caso medio y pertenecen al intervalo que contiene a éste, excluyendo los que pertenecen a intervalos inferiores:

• Casos que pertenecen a intervalos inferiores = 6

21 - 6 = 1515 Casos pertenecen al intervalo 10 - 11.9 horas

4.- Calcular la proporción del tiempo que requiere el intervalo correspondiente a los primeros 15 casos (inferiores al caso medio)

• Casos del intervalo = 23 • Amplitud del intervalo = 2 horas

15 / 23 = 0.65(Proporción de las 2 horas correspondiente a los 15 casos)

2 x 0.65 = 1.3 horas

5.- Sumar la proporción del tiempo de los casos inferiores al caso medio, al límite inferior del intervalo.

Límite inferior del intervalo = 10 horas

10 + 1.3 = 11.3 Horas

Valor de la Mediana para el Período de Incubación: 11.3 Horas

Li = Límite inferior del intervalo que contiene la mediana

Fac = Frecuencia acumulada del intervalo inferior al que contiene la mediana

F = Número de casos del intervalo que contiene la mediana

i = Amplitud del intervalo que contiene la mediana

−⟩+⟨+= i

F

FacN

LiMd 2

1

=

−++= 6

23

2

14110Md

2 hrs.

.30.11.223

62110 hrshrs =

−+=

Período deincubación

(hrs.)“x”

Númerode casos

“f”

Puntomedio(PM)“x”

Producto delNúmero de casos

por el PM“fx”

Casosacumulado

8 - 9.9

10 - 11.9

12 - 13.9

14 - 15.9

16 - 17.9

6

23

9

1

2

9

11

13

15

17

54

253

117

15

34

6

29

38

39

41

Total N = 41 - 473

−++ fa

fl

NLi

21

W

−++ 6

23

2

14110

2 L

223

15102

23

62110 +=

−+=

[ ] 3.1102)65.0(10 +=+= = 11.3

Cálculo para datos agrupados

Fórmula

Ejemplo:

=XSuma del producto de la frecuencia

por el punto medioNúmero de observaciones n

Efx

Sumatoria de (frecuencia x punto medio)

Número de observaciones=X

INCUBACIÓN (HRS.) CASOS “x” “f”

8-19.910-11.912-13.914-15.916-17.9TOTAL

623 9 1 2N= 41

Pasos para el cálculo

1.- Obtener el punto medio para cada intervalo de clase

PERÍODO DE NÚMERO DE PUNTO INCUBACIÓN (HRS.) CASOS MEDIO

“x” “f” (PM)

0 8-09.9

10-11.9

12-13.9

14-15.9

16-17.9

6

23

9

1

2

9

11

13

15

17TOTAL 41

X = Efx n

2.- Obtener el producto de multiplicar el punto mediopor el número de casos para cada intervalo de clase

PERÍODO DE NÚMERO DE PUNTO PRODUCTO DEL NÚMERO INCUBACIÓN CASOS MEDIO DE CASOS POR EL PM

“x” “f” (PM) “fx”

8-9.910-11.912-13.914-15.916-17.9

623 9 1 2

911131517

542531171534TOTAL 41 - 473

n Efx

3.- Sustituyendo en la fórmula

X = 473 = 11.5 Horas 41

OTRAS MEDIDAS DE POSICIÓN

(Localización)

PERCENTILES

Si se divide el número de observaciones de una distribución entre 100, cada uno de los centésimos obtenidos recibe el nombre de PERCENTIL.

Una distribución tiene 100 percentiles. Siendo el menor el percentil 1 y el mayor el percentil 100.

Es posible dividir una distribución en tantas partes como lo requiera su análisis, por ejemplo, pueden obtenerse:

10 partes = DÉCILES = 10 percentiles

5 partes = QUINTILES = 20 percentiles

4 partes = CUARTILES = 25 percentiles

La posición de cada una de las divisiones corresponderá a un percentil de la distribución.

Para DÉCILES las partes corresponderán a los percentiles:

10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 y 100

Para QUINTILES, las partes corresponderán a los percentiles:

20, 40, 60, 80 y 100

Para CUARTILES las partes corresponderán a los percentiles:

25, 50, 75 y 100