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Exponemos el método de Newton y presentamos algunos resultado importantes para usarlo. Mostramos una bibliografía de la cual nos hemos servido y que puede ser consultada para ampliar información.
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Método de Newton
Joel Torres Del valle Universidad de Cartagena
Facultad de ciencias exactas y naturales
Programa de matemáticas
Asignatura: Métodos numéricos
Recordemos: 1.1. Teorema del punto fijo: Sea 𝑔 una función continua y derivable en [𝑎, 𝑏] ademas que 𝑔 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 ; ∀𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 supongamos que |𝑔′ 𝑥 | ≤ 𝑘 para x en 𝑎, 𝑏 y 𝑘 ∈ 0,1 para 𝑃𝑂 un punto sobre (a,b) la sucesión definida por: 𝑃𝑛 ≔ 𝑔(𝑃𝑛−1) Converge al único punto fijo.
1.2. Teorema del valor medio: Sea 𝑓 una función continua y derivable 𝑎, 𝑏 en entonces existe un cierto 𝑐 tal que :
𝑓′ 𝑐 =𝑓 𝑏 − 𝑓(𝑎)
𝑏 − 𝑎
Cuando uno se ha movido de un punto to a un punto t del espacio, y su trayectoria fue “continua”, entonces, existe un T to tal que,
𝑇 < 𝑡 ≤ 𝑡0 ⟹ |𝑓 𝑡 − 𝑓 𝑡𝑜 | < 휀 La traducción de este enunciado es, Existe un T’ tal que
𝑡0 < 𝑇′ y 𝑡0 ≤ 𝑡 < 𝑇′ ⟹ |𝑓 𝑡 − 𝑓 𝑡0 | < 휀 Sea 𝛿 = min 𝑡0 − 𝑇, 𝑇′ − 𝑡0 . 𝑆𝑖 |𝑡 − 𝑡0| < 𝛿, entonces o bien
𝑇 < 𝑡 ≤ 𝑡0 ó 𝑡0 ≤ 𝑡 < 𝑇 En cualquiera de los casos 𝑓 𝑡 − 𝑓(𝑡0 | < 휀 como la trayectoria fue escogida arbitrariamente entonces se sigue que: (∀휀 > 0)(∃𝛿 > 0)(∀𝑡)(|𝑡 − 𝑡0| < 𝛿 ⟹ |𝑓 𝑡 − 𝑓 𝑡0 | < 휀
Analicemos Aquí queremos aproximaros a P un cero de la función F(x) para lo cual tomamos una aproximación inicial xi en el intervalo dado, y calculamos la recta tangente en ese punto y así de forma sucesiva, tal que en algún momento una tangente corta a el eje x en el cero de la función.
2. Método de Newton
De la ecuación Punto-pendiente de la recta se sigue que:
𝑦 − 𝑓 𝑥0 = 𝑓′(𝑥0)(𝑥 − 𝑥0) Si queremos hallar el valor x1 donde se corta a x se hace: y=0, y despejando se obtiene:
𝑥1 = 𝑥0 −𝑓(𝑥0)
𝑓′(𝑥0)
Resulta fácil deducir que de forma general si queremos hacer el n-esimo termino tenemos:
𝑥𝑛 = 𝑥𝑛−1 −𝑓(𝑥𝑛−1)
𝑓′(𝑥𝑛−1)
Antes de continuar acordemos lo siguiente, definamos una función T(x) por la “formula”:
𝑇 𝑥 = 𝑥 −𝑓(𝑥)
𝑓′(𝑥)
O por: 𝑥𝑛+1 = 𝑇𝑛(𝑥0)
luego:
𝑥𝑛 = 𝑇𝑛−1 𝑥0
donde 𝑇𝑛 denota el producto de la composición de T consigo misma n veces. Se dice que,
𝑥𝑛+1 = 𝑇𝑛 𝑥0
Es un n-esimo iterado de 𝑥0 bajo T.
2.1 Teorema: Sea 𝑓 una función tal que 𝑓 𝑝 = 0 y que 𝑓′(𝑝) ≠ 0 y que 𝑓′′ existe en [a,b] luego existe un entorno de P talque:
lim𝑛→∞
𝑇𝑛𝑥 = 𝑃 ∀𝑥 ∈ 𝛽
Antes de proceder a hacer la demostración es importante resaltar un enunciado equivalente del teorema anterior
“Sea 𝑓 ∈ 𝐶2[𝑎, 𝑏]. Si 𝑃 ∈ 𝑎, 𝑏 es tal que, 𝑓 𝑝 = 0 𝑦 𝑓′(𝑝) ≠ 0 entonces existe un 𝛿 > 0 tal
que el método de Newton genera una sucesión:{𝑃𝑛}𝑛=1
∞ que converge a P para cualquier aproximación inicial 𝑃0 en 𝑃 − 𝛿, 𝑝 + 𝛿 "
Demostracion: Bajo la hipótesis del teorema podemos señalar que P es un punto fijo de 𝑇(𝑥), ademas es claro que:
𝑇′ 𝑥 =[𝑓′ 𝑥 ]2−𝑓 𝑥 𝑓′′(𝑥)
[𝑓′ 𝑥 ]2=
𝑓 𝑥 𝑓′′(𝑥)
[𝑓′ 𝑥 ]2
Luego en particular 𝑇′ 𝑝 = 0 (¿Por qué?) De forma que la demostración del teorema se resume a la siguiente proposición:
2.2 Proposición: Si P es un punto fijo de una función 𝜑 con: |𝜑′ 𝑥 | < 1, entonces existe un entorno U de p tal que:
lim𝑛→∞
𝜑𝑛 𝑥 = 𝑃
Esto para todo 𝑥 ∈ 𝑈
Demostración: Podemos suponer que: 𝑃 = 0 sin
perder generalidad-¿Por qué?- Tomemos un k tal que: 𝜑′ 𝑜 = 𝜑′ 𝑥 < 𝑘 < 1
Observemos que:
lim𝑛→0
𝜑 𝑥 − 𝜑′ 0 𝑥
𝑥= 𝜑′ 0 − 𝜑′ 0 = 0
Luego existe un 𝛿 > 0 -¿Porqué?-tal que:
0 < 𝑥 < 𝛿 ⟹𝜑 𝑥 − 𝜑′ 0 𝑥
𝑥< 𝑘 − |𝜑′ 0 |
Ahora obtenemos que: 𝑥 < 𝛿 ⟹ 𝜑 𝑥 − 𝜑′ 0 𝑥 < 𝑘 − 𝜑′ 0 𝑥
⟹ 𝜑 𝑥 ≤ 𝜑 𝑥 − 𝜑′ 0 𝑥 + |𝜑′ 0 𝑥| ≤ 𝑘|𝑥|
Esto gracias a la desigualdad del triangulo.
Tomemos: 𝑈 = 𝑥/|𝑥| < 𝛿
entonces este es un entorno de 𝑃 = 0 y 𝑥 ∈ 𝑈 ⟹ |𝜑 𝑥 | ≤ 𝑘|𝑥|
Como: 0 < 𝑘 < 1 la anterior desigualdad implica que: 𝜑 𝑥 ∈ 𝑈. Por inducción deducimos que 𝑥 ∈ 𝑈, y la sucesión de iterados:
𝜑𝑛 𝑥 Esta toda contenida en U, y ademas para todo n en los naturales se sigue que:
𝜑𝑛 𝑥 ≤ 𝑘𝑛 𝑥 Ahora si 𝑛 → ∞, 𝑘𝑛 → 0 luego:
lim𝑛→∞
𝜑𝑛 𝑥 = 0 = 𝑃
Es decir que esta sucesión converge a P para cualquier valor de x en U.
Pero resulta que no solo podemos quedarnos con la anterior demostración, de hecho existe una forma mas sencilla de demostrar el teorema y se resume en el siguiente: Lema: Sea 0 < 𝑘 < 1 entonces existe 𝛿 > 0 tal que: 𝜑 𝑥 ∈ [𝑝 − 𝛿, 𝑝 + 𝛿] esto para cada valor de x en dicho intervalo, y ademas que:
|𝜑′ 𝑥 | ≤ 𝑘 < 1 Demostración: Como 𝑓′ es continua y 𝑓′(𝑝) ≠ 0, entonces existe un tal que:
𝑓′ 𝑥 ≠ 0, ∀𝑥 ∈ 𝑝 − 𝛾, 𝑝 + 𝛾 = 𝑈 ⊆ [𝑎, 𝑏] También,
𝑇′ 𝑥 =𝑓 𝑥 𝑓"(𝑥)
[𝑓′ 𝑥 ]2
Esto para cada x en el intervalo que hemos construido, como f es continua y dos veces derivables en el intervalo [a, b] se sigue que 𝜑 𝑥 lo es en el intervalo U, Ademas en particular:
𝜑′ 𝑝 = 0 Luego como es continua se sigue que existe un tal que:
0 < 𝛿 < 𝛾 Que satisface:
𝑥 − 𝑝 < 𝛿 ⟹ 𝜑′ 𝑥 − 𝜑′ 0 < 𝑘 Luego |𝜑′ 𝑥 | < 𝑘 para cada x en intervalo U se sigue que: 𝑦 ∈ 𝜑 𝑈 ⟹ 𝑦 = 𝜑(𝑥) para algún x en U Con lo cual: 𝑦 − 𝑝 = 𝜑 𝑥 − 𝜑 𝑝 = 𝜑′ 𝛼 |𝑦 − 𝑝| ≤ 𝑘|𝑦 − 𝑝|
< |𝑥 − 𝑝| < 𝛿 Para algún entre x y p por lo tanto: |𝑦 − 𝑝| < 𝛿 ⟹ 𝑦 ∈ 𝑈
Hemos visto en lema anterior que la función T(x) satisface las hipótesis del teorema del punto fijo, entonces se cumple que:
lim𝑛→∞
𝑇𝑛 𝑥 = 𝑃
O su equivalente:
{𝑃𝑛}𝑛=1∞ converge a P para cualquier
aproximación inicial de Po en U lo que demuestra el teorema.
Veamos que un resultado importante de este teorema es: “podemos decir que la velocidad de convergencia de los iterados es mas eficiente mientras mas cerca de P este nuestra aproximación inicial”.
Bibliografía:
• Calculo J. W. Kitchen primera edición en español 1992 editorial Mc Graw Hill.
• Análisis numérico Burden, Faires séptima Edición. Editorial Thomson. 2002
• Análisis numérico soluciones de ecuaciones de una variable, CNM425 universidad de Antioquia.
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