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Métodos Matemáticos I. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden. Introducción Casos simples de reducción del orden Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes - PowerPoint PPT Presentation
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1. Introducción
2. Casos simples de reducción del orden
3. Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes
4. Ecuaciones lineales no homogéneas con coeficientes constantes
5. Ecuaciones lineales no homogéneas con coeficientes variables
6. El método de las series de potencias
20 0 1 0 2 00
0 1 2
0
Una serie de potencias es una
serie infinita de la forma
donde , , , ... son constantes y
es un número fijo.
n
nn
a x x a a x x a x x
a a a
x
2
0 0 1 0 2 00
00
Una serie de potencias
es convergente en si el límite
lim
existe y es finito.
n
nn
Nn
nN
n
a x x a a x x a x x
x
a x x
En cualquier otro caso se dice
que la serie de potencias es
divergente.
2
0 0 1 0 2 00
00
Una serie de potencias
es convergente en si el límite lim existe y es finito.
n
nn
Nn
nNn
a x x a a x x a x x
x a x x
Una serie puede converger para ciertos
valores de y diverger para otros.x
2
0 0 1 0 2 00
00
Una serie de potencias
es convergente en si el límite lim existe y es finito.
En cualquier otro caso se dice que la serie de potencias es divergente.
n
nn
Nn
nNn
a x x a a x x a x x
x a x x
20 0 1 0 2 00
0
0
Si la serie de potencias
es convergente para toda en el intervalo
y es divergente siempre que ,
donde 0 , entonces es llamado el radio
de convergencia d
n
nn
a x x a a x x a x x
x
x x r
x x r
r r
e la serie de potencias.
00
0 00 0
La serie de potencias
converge absolutamente en el punto ,
si la serie
converge.
n
nn
n n
n nn n
a x x
x
a x x a x x
Si la serie converge absolutamente, entonces
la serie también converge.
El inverso no es necesariamente cierto.
00
0 00 0
La serie de potencias converge
absolutamente en el punto , si la serie
converge.
n
nn
n n
n nn n
a x x
x
a x x a x x
Una de las pruebas más útiles para la
convergencia absoluta de una serie de
potencias es la prueba de el cociente.
1
1 0 10 0
0
0
Si 0, y si, para un valor fijo de ,
lim lim ,
entonces la serie de potencias converge
absolutamente para aquellos valores de tales
que 1 y diverge si
n
n
n nnn n
nn
a x
a x x ax x x x L
aa x x
x
x x L x x
0
0
1.
Si 1, la prueba no nos da ninguna
conclusión.
L
x x L
0 0
00
Una función , definida en un intervalo
que contiene a , es analítica en el punto
si puede ser expresada como una serie
de potencias (su serie de Taylor)
que tiene un radio de c
n
nn
f x I
x x
f x
f x a x x
onvergencia mayor
que cero.
• Los polinomios, el seno, el coseno y la exponencial son analíticas en todos lados
•Sumas diferencias y productos de los polinomios, el seno, el coseno y la exponencial también son analíticas en todos lados
•Cocientes de dos de estas funciones son analíticas en todos los puntos en los cuales el denominador no se hace cero
2
2
d y dyP x Q x y x
dx dx
0
0
Un punto es llamado un punto ordinario
de la ecuación diferencial si los coeficientes
y , así como son funciones
analíticas en .
x
P x Q x x
x
2
2
d y dyP x Q x y x
dx dx
2
2
0
0
Un punto es llamado un punto ordinario de la ecuación diferencial si los
coeficientes y , así como son funciones analíticas en .
d y dyP x Q x y x
dx dxx
P x Q x x x
00
00
00
0
Es decir,
y
son convergentes para con 0.
n
nn
n
nn
n
nn
P x P x x
Q x Q x x
x x x
x x r r
Si un punto no es un punto ordinario,
se le llama punto singular.
2
2
0
0
Un punto es llamado un punto ordinario de la ecuación diferencial si los
coeficientes y , así como son funciones analíticas en .
d y dyP x Q x y x
dx dxx
P x Q x x x
0y P x y Q x y
0
0
El punto es un
de la ecuación diferencial si
o
no son a
punto sing
nalíticas
ula
n .
r
e
x
P x Q x
x
0
0
Un punto es llamado un punto ordinario
de la ecuación diferencial si los coeficientes
y , así como son funciones
analíticas en .
x
P x Q x x
x
2
2
d y dyP x Q x y x
dx dx
0
2
2
Si es un punto ordinario de la
ecuación diferencial lineal de segundo orden
,
entonces todas las soluciones pueden ser desarrolladas
en una única forma como una serie de potencias
x
d y dyP x Q x y x
dxdx
y x
0 00
,
donde el radio de convergencia .
n
nn
a x x x x R
R r
20
Un cascarón esférico de radio está a un
potencial sin .2
Encontrar el campo eléctrico en el interior
del cascarón esférico.
R
V V
0
0
E
E
0
0
E
E
0
implica que existe tal que
E
E
0
0
0 implica que existe tal que
E E
E E
2
0
0 0
E
2 0
más condiciones a la frontera
r
sin cos sin sin cos
0 0 0 2
x r
y
z
x r y r z r
r
22
2 2 2 2 2
1 1 1sin 0
sin sinr
r r r r r
2 0
más condiciones a la frontera
20
Un cascarón esférico de radio está a un
potencial sin .2
Encontrar el campo eléctrico en el interior
del cascarón esférico.
R
V V
22
2 2 2 2 2
1 1 1sin 0
sin sinr
r r r r r
22 2
1 1sin 0
sinr
r r r r
22 2
1 1sin 0
sinr
r r r r
R
22 2
1 1sin 0
sinr
r r r r
R
22 2
22 2
22 2
1 1sin 0
sin
sin 0sin
1 1sin 0
sin
R Rr
r r r r
d dR R d dr
r dr dr r d d
d dR d dr
r R dr dr r d d
22 2
2
1 1sin 0
sin
1 1sin 0
sin
d dR d dr
r R dr dr r d d
d dR d dr
R dr dr d d
22 2
1 1sin 0
sinr
r r r r
R
2 1sin
sin
10
d d
d
d dRr
R dr dr d
22 2
1 1sin 0
sinr
r r r r
R
21
1sin
sin
d dRr
R dr dr
d d
d d
22 2
1 1sin 0
sinr
r r r r
R
2 1sin
sin
10
d d
d
d dRr
R dr dr d
21 d dRr
R dr dr
21 d dRr
R dr dr
2 0d dRr R
dr dr
22
22 0
d R dRr r Rdr dr
21 d dRr
R dr dr
2 0d dRr R
dr dr
22
22 0
d R dRr r Rdr dr
¡¡¡Es una ecuación de Euler!!!
22
22 0
d R dRr r Rdr dr
2 2
2 2 2 2 2 2
2
2
2
2
ln
1
1 1 1 1 1 1 1
2 0
0
zr e z r
dR dR dz dR
dr dz dr r dz
d R d dR dR d dR dR d dR dz dR d R
dr dr r dz r dz r dr dz r dz r dz dz dr r dz r dz
dR d R dRR
dz dz dz
d R dRR
dz dz
2
20
d R dRR
dz dz
2
1 1 4 1 1 4
2 21 2
1 1 4 1 1 4ln ln
2 21 2
1 1 40
2
z z
r r
R c e c e
R c e c e
1 1 4 1 1 4
2 21 2R r c r c r
21 d dRr
R dr dr
1 1 4 1 1 4
2 21 2R r c r c r
2
1 1 4 1 1 4
2 21 2
1 d dRr
R dr dr
R r c r c r
1 1 2 3 4 5
0.5
0.5
1.0
1.5
1 1 2 3 4 5
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
20
Un cascarón esférico de radio está a un
potencial sin .2
Encontrar el campo eléctrico en el interior
del cascarón esférico.
R
V V
22 2
1 1sin 0
sinr
r r r r
2 0
2
1sin
sin
1
d d
d
d dRr
R d r
d
r d
22 2
1 1sin 0
sinr
r r r r
R
2 1sin
sin
10
d d
d
d dRr
R dr dr d
1 1sin 0
sin
d d
d d
cos
1 1
x
x
Esta ecuación puede ser llevada
a una forma conocida mediante
el cambio de variable
Por tanto, debemos de buscar
la validez de la solución para
1 1sin 0
sin
d d
d d
cosx
1 1sin 0
sin
d d
d d
2
221 2 0
d x d xx x x
dxdx
sin
s
c
in
os
d d dx
d dx d
dx
d
d d
d
x
dx
Haciendo el cambio de variable tenemos
como
entonces
1 1sin 0
sin
d
d
d
d
1 10
sin
cos s
sin
in
d
d
d d dx dx
d dx d dx
d
d
2 2 2sin sin 1 cos 1d d d d
xd dx dx dx
2sin sin sin 1d d d d dx d d
xd d dx d d dx dx
2
sin1 1
0sin
cos sin
sin 1
d dx
d dx
d d
d
d dx
d
d
d x
21 1sin 1
sin
d d d dx
d d dx dx
2
2
0
cos sin
sin 1
sin sin 1
1 1sin
sin
d dx
d dx
d dx
d dx
d d d dx
d d dx
d
x
d
d
d
d
21 1sin 1
sin
d d d dx
d d dx dx
2
2
2
0
cos sin
sin 1
sin
1 1sin
si
sin 1
1 1sin 1
si
n
n
d dx
d dxd d
xd dx
d d d dx
d d dx dx
d d d dx
d d dx d
d
x
d
d d
2
2
11
1 0
d dx
dx dx
d dx
dx dx
La ecuación queda ahora
ó bien
21 1sin 1
sin
d d d dx
d d dx dx
21 0d d
xdx dx
2
221 2 0
d x d xx x x
dxdx
cosx
1 1sin 0
sin
d d
d d
2
221 2 0
d x d xx x x
dxdx
2
221 2 0
Esta ecuación es la ecuación de Legendre.
d x d xx x x
dxdx
Differential Equations. Linear, Nonlinear, Ordinary, Partial.
A.C. King, J. Billingham and S.R. Otto
Sección 2.7 The Associated Legendre Equation
Página 52 (65).
Arfken
Mathematical methods in the physical sciences. Second edition. Mary L. Boas
2
22
1 2 0d y dy
x x ydx dx
2
22
1 2 0d y dy
x x ydx dx
2
2 2 2
20
1 1
d y x dyy
dx x dx x
2
22
2
2 2 2
1 2 0
20
1 1
d y dyx x y
dx dx
d y x dyy
dx x dx x
2 2 12
0 0
2 22
0 0
12 2 2 para 1
1
para 11
Por lo tanto, 0 es un punto ordinario
n n
n n
n n
n n
x x x x xx
x x xx
x
2
2 2 2
2 01 1
d y dyx ydxdx x x
Los únicos puntos singulares son 1.
Por lo tanto, podemos resolver
la ecuación con series alrededor
de 0, ya que 0 es un punto
ordinario.
x
x x
0
21 2
20 0
2
0
2
( ) .
Tene
Por tanto, existe una única solución que se puede escribir como
y sustituyendo en la ecuación dif
mos
y
erencial,
1
1
1
nn
n
n nn n
n n
nn
n
y x a x
dy d yna x n n a x
dx dx
xx n n a
1
0 0
2 0n nn n
n n
x na x a x
2
22
1 2 0d y dy
x x ydx dx
2
0 0 0 0
1 1 2 0n n n nn n n n
n n n n
n n a x n n a x na x a x
2 1
0
22
2
2
0 0
1 2 0
1 2 0
1 n n nn n n
n n n
n
d y dyx x
n a x x na x a
yx d
x
d x
x
22
0 0
22
0 0
20 0 0 0
1 ( 2) 1
Regresando a la variable original
1 ( 2) 1
y ahora
( 2) 1 1 2 0
2n mn m
n m
n nn n
n n
n n n nn n n n
n n n n
n n a x m m a x
n n a x n n a x
n n a x n n a x na x a x
n m
2 1
0 0 0
0
2
0
22
0 0
2
2
1
1 2 0
1 1 2 0
1 2 0
n n nn n n
n n n
nnn
n nn n
nn
n n n
n n a x
n n a x x na x a x
n n
d
a x na x a
y dyx x
x
ydx dx
x
20 0 0
22
2
0
( 2) 1
1 2
1 2 0
0
n n n nn n n n
n n n n
n n a x
d y dyx x y
n n a x
dx d
x
x
na x a
20
2
2
2
2 1 1 2 0
Por lo tanto,
2 1 1 2 0
ó bien
1 2
2 1 2 1
nn n n n
n
n n n n
n n n
n n a n n a na a x
n n a n n a na a
n n n n na a a
n n n n
0 1
2 0
3 1
4 2
Los primeros coeficientes, y , son arbitrarios.
Los siguientes
2
2
6
6
12
...
a a
a a
a a
a a
2
2 ; 0,1, 2,3,2 1n n
n na a n
n n
0
1
2
0
2
1
2 3
0
2 3
1
2 3 4
0
2 3 4
1
21
( )3 6
( )4 24
1 7( )5 60 120
13( )
6 360 720
1 37 11( )7 420 1260 5040
101 17( )
8 3360 10080 40320
1 533 727 5( )9 7560 90720 18144 362880
a
a
a
a
a
a
a
a
2
2 2 1
0,1,2,3,
n n
n na a
n n
n
2
2 ; 0,1, 2,3,2 1n n
n na a n
n n
0
2
0
2 3
0
2 3 4
0
2 3 4 5
0
2 3 4 5 6
0
2
( )4 24
13( )
6 360 720
101 17( )
8 3360 10080 40320
641 509( )
10 25200 302400 25920 3628800
7303 31841 5377 5( )
12 332640 19958400 119750400 9580032 479001600
a
a
a
a
a
a
2
2 ; 0,1, 2,3,2 1n n
n na a n
n n
1
2
1
2 3
1
2 3 4
1
2 3 4 5
1
2
1( )3 6
1 7( )5 60 120
1 37 11( )7 420 1260 5040
1 533 727 5( )9 7560 90720 18144 362880
1 1627 11971 2977 19( )11 27720 1663200 9979200 3991680 39916800
1 18107 17477(13 360360 270270
a
a
a
a
a
3 4 5 6
1
15493 1321 23)
0 51891840 222393600 444787200 6227020800a
2 01
2 1 11
En general, para 1, 2,3,... tenemos
1(2 2)(2 1)
2 !
y
( 1)2 (2 1)
2 1 !
k k
kj
k k
kj
k
a k k ak
a k k ak
2
2 ; 0,1, 2,3,2 1n n
n na a n
n n
2
1 1
2 1
1 1
1( ) 1 (2 2)(2 1)
2 !
( 1)( ) 2 (2 1)
2 1 !
Tenemos entonces dos soluciones
y
k kk
k j
k kk
k j
u x j j xk
v x x j j xk
2
22
1 2 0d y dy
x x ydx dx
1
1 0 10 0
0
0
Si 0, y si, para un valor fijo de ,
lim lim ,
entonces la serie de potencias converge
absolutamente para aquellos valores de tales
que 1 y diverge si
n
n
n nnn n
nn
a x
a x x ax x x x L
aa x x
x
x x L x x
0
0
1.
Si 1, la prueba no nos da ninguna
conclusión.
L
x x L
2
2 2 2
2 2 222 2
2 22
4 2 ; 0,1,2,3,
2 2 2 1
4 2
4 6 2
n n
nn
nn
n na a n
n n
T n n xx
T n n x
2
2 ; 0,1, 2,3,2 1n n
n na a n
n n
Por lo tanto,
si 1 la serie es absolutamente convergente,
si 1 no podemos concluir nada.
x
x
2
2 3 2 1
2 2 322 3
2 2 12 1
2 1 2 1 ; 0,1,2,3,
2 1 2 2 1 1
2 6 4
6 10 4
n n
nn
nn
n na a n
n n
T n n xx
T n n x
2
2 ; 0,1, 2,3,2 1n n
n na a n
n n
Por lo tanto,
si 1 la serie es absolutamente convergente,
si 1 no podemos concluir nada.
x
x
2
1 1
2 1
1 1
1( ) 1 (2 2)(2 1)
2 !
( 1)( ) 2 (2 1)
2 1 !
Tenemos entonces dos soluciones
y
k kk
k j
k kk
k j
u x j j xk
v x x j j xk
2
22
1 2 0d y dy
x x ydx dx
2
1 1
2 1 2 1
1 11
2 1 2 1
1 0
1( ) 1 (2 2)(2 1) 1
2 !
( 1) ( 1)( ) 2 (
Tenemos entonces dos
2 1) 1 (2 )!2 1 ! 2 1 !
arctanh2 1 2
solucione
y
1
s
k kk
k j
k kkkk k
k kj
k k
k k
u x j j xk
v x x j j x x k xk k
x xx x
k k
2
22
1 2 0d y dy
x xdx dx
0
22
21 2 0 ;
( ) 1 ; ar
c n
0
ta hu
d y dyx x y
dxx
dxx v x
1.0 0.5 0.5 1.0
3
2
1
1
2
3
arctanh 1
2
1
Si para muy grande
1
donde está acotada para
suficientemente grande,
entonces converge para
1 y diverge para 1.
n
n
n
n
B nu hu n n
B n
n
u
h h
22
2 2 22 2
4 6 2 1 (1 )1 ;
4 2 2 4
lim4
n
n
n
B nT n n n nB n
T n n n n n n
B n
2
2
2
2 2 2
2 2 22 2
2 22
; 0,1,2,3,2 1
4 2 ; 0,1,2,3,
2 2 2 1
4 2
4 6 2
n n
n n
nn
nn
n na a n
n n
n na a n
n n
T n n x
T n n x
1x
Por lo tanto, si la serie no se corta, diverge en 1.x
2
2
2
2 3 2 1
2 2 32 3
2 2 12 1
; 0,1, 2,3,2 1
2 1 2 1 ; 0,1, 2,3,
2 1 2 2 1 1
2 6 4
6 10 4
n n
n n
nn
nn
n na a n
n n
n na a n
n n
T n n x
T n n x
1x
22 1
2 2 22 3
6 10 4 1 (1 )( 2 )1 ;
2 6 4 2 6 4
2lim
4
n
n
n
B nT n n n nB n
T n n n n n n
B n
Por lo tanto, si la serie no se corta, diverge en 1.x
24 6
8
3 5
7
1 1( ) 1 (6 ) (6 )(20 )
2 24 720
(6 )(20 )(42 )...
40320
1 1( ) (2 ) (2 )(12 )
6 120
(2 )(12 )(30 )...
50
y
40
xu x x x
x
v x x x x
x
2
22
11 2 0
2
d y dyx x y
dx dx
4 6 8 102
12 14 16 18 20 22
( ) 13 5 7 9
... 1 arctanh11 13 15
y
17 19 21
( )
x x x xu x x
x x x x x xx x
v x x
2
22
1 2 0 2d y dy
x x ydx dx
2La constante tiene que ser tal que 0n n
2
2 ; 0,1,2,3,2 1n n
n na a n
n n
La constante tiene que ser 1
donde es un entero positivo.
l l
l
No se consideran los negativos, porque para 1
encontramos la misma : 1 1 1 1
l
l l l l
2
1 1
2 1
1 1
1( ) 1 1 (2 2)(2 1)
2 !
( 1)( ) 1
Tenemos entonces dos solu
2 (2 1)2 1 !
ciones
y
k kk
k j
k kk
k j
u x l l j j xk
v x x l l j j xk
2
22
1 2 1 0d y dy
x x l l ydx dx
2
2
1 ; 0,1,2,3,
2 1n n
n n l la a l
n n
4 6 8 102
12 14 16 18 20 22
( ) 13 5 7 9
... 1 arctanh11 13 15
y
17 19 21
( )
x x x xu x x
x x x x x xx x
v x x
2
22
1 2 1 0 1d y dy
x x l l y ldx dx
2
3 5 7 9 11
13 15 17 19
( ) 1 3
2 4 5 2( )
3 5 35 63 33
7 8 3 10...
143 195 85 3
y
23
u x x
x x x x xv x x
x x x x
2
22
1 2 1 0 2d y dy
x x l l y ldx dx
6 8 102 4
12 14 16 18 20
3
4 3 2( ) 1 6 3
5 7 7
7 24 9 2 33...
33 143 65 1
y
7 323
5( )
3
x x xu x x x
x x x x x
xv x x
2
22
1 2 1 0 3d y dy
x x l l y ldx dx
42
5 7 9 11 133
15 17 19 21
35( ) 1 10
3
6 2 28( ) 3
5 7 7 11 429
36 9 11 66...
715 221 323 226
y
1
xu x x
x x x x xv x x x
x x x x
2
22
1 2 1 0 4d y dy
x x l l y ldx dx
2
22
1 2 1 0d y dy
x x l l ydx dx
42
2
3
1 Algo
2 1 3 Algo
3 Algo
4
5
3
351 10
3
l x
l x
l
l
xx
xx
3 5
Algo
5 Algo 14 21
3 5
x xl x
2
1 1
2 1
22
1 1
2
1( ) 1 1 (2 2)(2 1)
2 !
( 1)( ) 1 2 (2 1)
1 2
!
1
1
0
2
k kk
k j
k kk
k j
d y d
u
yx x l l ydx d
x l l j j xk
v x x l l j j xk
x
1. Si no es un entero positivo, tenemos dos
series infinitas que convergen para 1.
2. Si es un entero positivo, una de las dos series
infinitas termina para dar un simple polinómio.
l
x
l
El polinomio de Legendre
se define como la solución polinomial
de la ecuación de Legendre con ,
que también satisface la condición
1 1.
n
n
P x
l n
P
2
1 1
2 1
22
1 1
2
1( ) 1 1 (2 2)(2 1)
2 !
( 1)( ) 1 2 (2 1)
1 2
!
1
1
0
2
k kk
k j
k kk
k j
d y d
u
yx x l l ydx d
x l l j j xk
v x x l l j j xk
x
Escribiendo la solución
se tiene que para par,1
y para impar.1
es una serie infinita que converge para 1.
l l
ll
l
ln
l
l
y x AP x BQ x
u xP x l
u
v xP x l
v
Q x x
2
1 1
2 1
22
1 1
2
1( ) 1 1 (2 2)(2 1)
2 !
( 1)( ) 1 2 (2 1)
1 2
!
1
1
0
2
k kk
k j
k kk
k j
d y d
u
yx x l l ydx d
x l l j j xk
v x x l l j j xk
x
0 1P x
2
1 1
2 1
22
1 1
2
1( ) 1 1 (2 2)(2 1)
2 !
( 1)( ) 1 2 (2 1)
1 2
!
1
1
0
2
k kk
k j
k kk
k j
d y d
u
yx x l l ydx d
x l l j j xk
v x x l l j j xk
x
1P x x
2
1 1
2 1
22
1 1
2
1( ) 1 1 (2 2)(2 1)
2 !
( 1)( ) 1 2 (2 1)
1 2
!
1
1
0
2
k kk
k j
k kk
k j
d y d
u
yx x l l ydx d
x l l j j xk
v x x l l j j xk
x
1 2 2 22
2
22
1 2 1 21 1 1 1 3
2 ! 2
1 2
13 1
2
u xl l
x x x
u x
P x x
2
1 1
2 1
22
1 1
2
1( ) 1 1 (2 2)(2 1)
2 !
( 1)( ) 1 2 (2 1)
1 2
!
1
1
0
2
k kk
k j
k kk
k j
d y d
u
yx x l l ydx d
x l l j j xk
v x x l l j j xk
x
1 3 3 33
3
33
2 1 3 2 3 1 51
32
13
1
! 3! 3
5 32
l lx xv x x x x
v x
P x x x
x
2
1 1
2 1
22
1 1
2
1( ) 1 1 (2 2)(2 1)
2 !
( 1)( ) 1 2 (2 1)
1 2
!
1
1
0
2
k kk
k j
k kk
k j
d y d
u
yx x l l ydx d
x l l j j xk
v x x l l j j xk
x
2/2
0
Los polinomios son los
polinomios de Legendre
y puede ser escritos como
2 2 !1
2 ! ! 2 !
n
n rnr
n nr
P x
n r xP x
r n r n r
2
3
2 4
3 5
2 4 6
3 5 7
2 4 6 8
1
1 ( 1 3 )21 ( 3 5 )21 (3 30 35 )81 (15 70 63 )81 ( 5 105 315 231 )
161 ( 35 315 693 429 )
161 (35 1260 6930 12012 6435 )
128
x
x
x x
x x
x x x
x x x
x x x x
x x x x
1.0 0.5 0.5 1.0
1.0
0.5
0.5
1.0
1.0 0.5 0.5 1.0
0.4 0.2
0.20.40.60.81.0
1.0 0.5 0.5 1.0
1.0
0.5
0.5
1.0
1.0 0.5 0.5 1.0
0.4 0.2
0.20.40.60.81.0
1.0 0.5 0.5 1.0
0.5
1.0
1.5
2.0
, 1.0 0.5 0.5 1.0
3
2
1
1
2
0 0
1 1ln1 ( 1) ln(1 )
2 2, P xx xQ x
1.0 0.5 0.5 1.0
1.0
0.5
0.5
1.0
, 1.0 0.5 0.5 1.0
1.0
0.5
0.5
1.0
1 1
1 1ln( 1) ln(1 ) 1
2,
2 P x x Q xx x x
1.0 0.5 0.5 1.0
0.4
0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
, 1.0 0.5 0.5 1.0
3
2
1
1
2
3
22
22
1 1 33 1 3 1 ln( 1) ln(1 ),
2 4 2
xx xP x Q x xx
1.0 0.5 0.5 1.0
1.0
0.5
0.5
1.0
,
1.0 0.5 0.5 1.0 0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
33
22
3
1 5 1 25 3 3 5 ln( 1) ln(1 )
2 2 4 3, P
xx x x x xx Q x x
1.0 0.5 0.5 1.0
0.4
0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
, 1.0 0.5 0.5 1.0
2
1
1
2
3
4 24 4
4 21 35 1 5535 30 3 35 30 3 ln( 1) ln(1 )
8 8 1,
24
6P x
x xx x x x x xQ x
3/2 3/2, P x Q x
1.0 0.5 0.5 1.0
0.5
0.5
1.0
1.5
,
1.0 0.5 0.5 1.0
1
2
3
1.0 0.5 0.5 1.0
1.0
0.5
0.5
1.0
, 1.0 0.5 0.5 1.0
1.0
0.5
0.5
1.0
1.5
5/9 5/9, P x Q x
0 0
1 1
22
22
1 1ln( 1) ln(1 )
2 21 1
ln( 1) ln
1,
(1 ) 12 2
,
1 1 33 1 3 1 ln
, ( 1) ln(1 )2 4 2
P x Q x
P x x Q x
P x
x x
x x x
xx x xQ x x
¿Para entero positivo, una vez que tenemos
el polinomio cómo encontramos la otra
solución?
l
2
2
1
Resolver la ecuación
cuando se conoce una solución
de la ecuación h
0
omogénea asociada.
d y dyb x c x y
dxdx
y x
0
11 2 12
1
expx
x
cy x y x b d d c y x
y
0 0
1
2 2
1
2 2
1 1ln( 1) ln(1 )
2 2
ln( 1) ln(1 ) 1
1 1 33 1 3 1 ln( 1) ln(1 )
2 4 2
1,
, 2
,
x x
x x
xx
P x Q x
xP x x Q x
P x Q x x x x
22
2
2 1 21
2 1 2 21
1 2 1 0
1 exp
1 11
x
x
d y dyx x l l y
dxdx
y x y x b d dy
y x y x dy
coslP
1 1sin 1 0
sin
d dl l
d d
2/2
0
2 2 !1
2 ! ! 2 !
l rlr
l lr
l r xP x
r l r l r
20
Un cascarón esférico de radio está a un
potencial sin .2
Encontrar el campo eléctrico en el interior
del cascarón esférico.
R
V V
22 2
1 1sin 0
sinr
r r r r
2 0
21
1sin
sin
d dRr
R dr dr
d d
d d
22 2
1 1sin 0
sinr
r r r r
R
2 1sin
sin
10
d d
d
d dRr
R dr dr d
2
1 1 4 1 1 4
2 21 2
1
1 0,1,2,3,...
d dRr
R dr dr
R r c r c r
l l l
1 2 1
1ll
R r c r cr
2
22 2
0
1 1sin 0
sinr
r r r r
10
, cosl ll ll
l
Br A r P
r
20
22 2
Un cascarón esférico de radio está a un potencial sin .2
Encontrar el campo eléctrico en el interior del cascarón esférico.
1 1sin 0 más condiciones a
sin
R V V
rr r r r
10
la frontera.
, cos más condiciones a la frontera.l ll ll
l
Br A r P
r
Para que el potencial sea finito en 0,
necesariamente 0 para todo 0,1,2,...l
r
B l
0
, cosll l
l
r A r P
20
22 2
0
Un cascarón esférico de radio está a un potencial sin .2
Encontrar el campo eléctrico en el interior del cascarón esférico.
1 1sin 0
sin
, cosll l
l
R V V
rr r r r
r A r P
0
, cosll l
l
R AR P V
0
, cosll l
l
R AR P V
' '0
' '00 0
' '0 0 0
cos cos sin cos sin
cos cos sin cos sin
cos cos sin cos sin
ll l l l
l
ll l l l
l
ll l l l
l
AR P P V P
AR P P d V P d
A R P P d V P d
'
0
, '
0 'cos cos sin 2
'2 1
2
2 1
l l
l l
l lP P d
l ll
l
1
,
1
2
2 1m n m nP x P x dxn
0
, cosll l
l
R AR P V
' '0 0 0
, ' '0 0
'' '
0
cos cos sin cos sin
2cos sin
2 1
2cos sin
2 ' 1
ll l l l
l
ll l l l
l
ll l
AR P P d V P d
A R V P dl
A R V P dl
0
2 1cos sin
2l ll
lA V P d
R
20
22 2
0
Un cascarón esférico de radio está a un potencial sin .2
Encontrar el campo eléctrico en el interior del cascarón esférico.
1 1sin 0
sin
, cosll l
l
R V V
rr r r r
r A r P
0
2 1cos sin
2l ll
lA V P d
R
20
0
2 1sin cos sin
2 2l ll
lA V P d
R
20
0
2 1sin cos sin
2 2l ll
lA V P d
R
20 1
1 cos 1sin cos cos
2 2 2P P
0 0 1
0
0 0 1
0 0
2 1 1cos cos cos sin
2 2
2 1cos cos sin cos cos sin
4
l ll
l ll
lA V P P P d
R
lV P P d P P d
R
'
0
, '
0 'cos cos sin 2
'2 1
2
2 1
l l
l l
l lP P d
l ll
l
1
,
1
2
2 1m n m nP x P x dxn
20
0
2 1sin cos sin
2 2l ll
lA V P d
R
0 0 1
0
0 0 1
0 0
0 0 1
2 1 1cos cos cos sin
2 2
2 1cos cos sin cos cos sin
4
2 1 22
4 3
l ll
l ll
l ll
lA V P P P d
R
lV P P d P P d
R
lV
R
00
01
2
2
VA
VA
R
20
22 2
0
Un cascarón esférico de radio está a un potencial sin .2
Encontrar el campo eléctrico en el interior del cascarón esférico.
1 1sin 0
sin
, cosll l
l
R V V
rr r r r
r A r P
0 00 1
2 2
V VA A
R
0 0, cos2 2
V Vr r
R
20
22 2
Un cascarón esférico de radio está a un potencial sin .2
Encontrar el campo eléctrico en el interior del cascarón esférico.
1 1sin 0
sin
R V V
rr r r r
0 cos, 1
2
V rr
R
0
0
E
E
0
implica que existe tal que
E
E
1 1ˆ ˆ ˆ, ,
sinr
f f ff r e e e
r r r
0 0
0
cos 1 sinˆ ˆ,
2 2
ˆ ˆcos sin2
r
r
V V rE r e e
R r R
VE e e
R
0 cos , 1
2
V rE r
R
ˆ
ˆ
ˆˆ ˆcos sin sin sin cos
ˆˆ ˆcos cos cos sin sin
re
e
i j k
i j k
0
0
cos , 1
2
ˆ ˆcos sin2 r
V rE r
R
VE e e
R
0
0
2 2
0
ˆ ˆcos cos
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆcos sin sin sin cos cos cos cos sin sicos n
ˆ ˆcos siˆ ˆcos sin sin s
sin2
2
ˆ
sin in cos ssin cos co
2
n ns i
VE
R
VE
R
VE k
i j k i j k
i k
R
jikj
5
0
5 5
0
5
5
0
5
0 ˆ,2
VE r k
R
20Un cascarón esférico de radio está a un potencial sin .
2
Encontrar el campo eléctrico en el interior del cascarón esférico.
R V V
0 ˆ,2
VE r k
R
5
0
5 5
0
5
5
0
5
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