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Modelado de Sistemas FísicosModelado de Sistemas Físicos
ProfesoraAnna Patete, Dr. M.Sc. Ing.
Departamento de Sistemas de ControlDepartamento de Sistemas de Control. Escuela de Ingeniería de Sistemas.
Universidad de Los Andes, Mérida, Venezuela.
C l ó i @ lCorreo electrónico: apatete@ula.vePágina web: http://webdelprofesor.ula.ve/ingenieria/apatete/
1Universidad de Los AndesProf. Anna Patete
Modelado de Sistemas FísicosModelado de Sistemas Físicos
Unidad II: Modelado de sistemas mecánicos yelectromecánicos.
T 1 (P á i ) C bá i d i á iTema 1. (Parte mecánica) Componentes básicos de un sistema mecánico.Leyes de Newton. Modelos matemáticos de sistemas mecánicos.
Tema 2 Analogías Ecuaciones de movimiento de LagrangeTema 2. Analogías. Ecuaciones de movimiento de Lagrange.
2Universidad de Los AndesProf. Anna Patete
Conceptos BásicosConceptos Básicos
Ecuaciones de Lagrange
Las Ecuaciones de Lagrange son también conocidas como Ecuaciones deEuler-Lagrange, o simplemente de Euler.
Permiten contar con un sistema analítico para llegar a las ecuaciones quedescriben el comportamiento físico de las partículas.
N t t d t í i d di t d l t í N t iNo se trata de una nueva teoría independiente de la teoría Newtoniana.
3Universidad de Los AndesProf. Anna Patete
Conceptos Básicos
Trabajo y Energía
Conceptos Básicos
Trabajo y Energía
Trabajo: el trabajo realizado en un sistema es el producto de la fuerza por ladistancia recorrida.
dFWTrabajo t *== θτ *== rWTrabajo
Energía: en general la energía se define como la capacidad para hacertrabajo. Se dice que un sistema tiene energía cuando puede trabajar.
La ley de conservación de energía establece que la energía no se crea ni sedestruye solo se transfiere o se transformadestruye, solo se transfiere o se transforma
Conceptos BásicosConceptos Básicos
EnergíaEnergíaEl concepto de energía puede ser usado para modelar diferentes sistemasfísicosfísicos.
La energía cinética , corresponde al trabajo o las transformaciones queun cuerpo puede producir debido a su movimiento es decir todos los
Tun cuerpo puede producir, debido a su movimiento, es decir, todos loscuerpos en movimiento tienen energía cinética, cuando está en reposo, notiene energía cinética.
La energía potencial se almacena en los cuerpos en reposo capaces demoverse o que luego la liberan.
U
5Universidad de Los AndesProf. Anna Patete
Conceptos BásicosConceptos BásicosEnergía cinética Tg
La energía cinética de un objeto puntual (que no rote) está dada por laecuación:
21 ( ),2
T mv t=m=( )v t =
masavelocidad
1∫ 21 ( ),
2T W F dr mv t= = =∫
6Universidad de Los AndesProf. Anna Patete
Conceptos BásicosConceptos BásicosEnergía potencial Ug p
dWPdt
=U W F dr= = ∫dt
F drPdt
=
PotenciaU W F dr= = ∫
define la posiciónrdt
( ),U m g h t= m=( )h t =
masaaltura
g = gravedadEnergía potencial gravitacional
7Universidad de Los AndesProf. Anna Patete
Fuentes, Elementos Acumuladoresy Disipadores de Energía
Voltaje de entrada
Capacitanciaev =
=CFuente
Acumulador p
Resistencia
C
=R(Potencial)
Disipador
InductanciaL = Acumulador
eV C
Fuerza de entradau = Fuente
InductanciaL = Acumulador(Cinética)
Fuerza de entrada
Constante del resorte
Constante de la
u=k
=b
Fuente
Acumulador (Potencial)
b m
x
k u
Constante de la fuerza de fricción
=b Disipador
masam = Acumulador(Cinética)
m
Conceptos BásicosConceptos BásicosEnergía potencial en un capacitor:Ug p p
Carga( ) ( )
( )( )
q t i t
dq ti t
= ∫( )( )
1( ) ( )
qi tdt
V t i tC
=
= ∫
1 1
( ) ( )C
i t CV t=
( )t 21 1 ( )2
U q tC
=( )
qq tW dqC
= ∫
9Universidad de Los AndesProf. Anna Patete
Conceptos BásicosConceptos BásicosEnergía cinética en un inductor:Tg
2 21 1( ) ( )2 2
W Li t L q t= =
21 ( )2
T L q t=
Energía disipada por una resistencia :R
2 21 1( ) ( )W Ri t R q t= =
21 ( )D R q t=
( ) ( )2 2
W Ri t R q t= =
10Universidad de Los AndesProf. Anna Patete
( )2
q
Conceptos BásicosConceptos BásicosEnergía potencial en un resorte:Ug p
21 ( )2kU W F dx k x t= = =∫
21 ( )2
U k x t=
Energía cinética en un masa:
21 ( )T W F dr mv t∫
T
21 ( )2
T m x t=
( ),2
T W F dr mv t= = =∫
11Universidad de Los AndesProf. Anna Patete
2
Conceptos BásicosConceptos BásicosEnergía disipada por la fricción:Dg p p
21 ( ),2bW F dx b x t= =∫
21 ( )2
D b x t=
12Universidad de Los AndesProf. Anna Patete
Energía de los ElementosEnergía de los Elementos
C it i 21 C( )Capacitancia
Resistencia
=C
=R
21 ( )2
U q tC
=
21 ( )2
D R q t=
Carga( )q t =
( )( ) dq ti tdt
=
InductanciaL = 21 ( )2
T L q t=
2( ) ( )q t i t= ∫
Constante del resorte
Constante de la
=k
=b
21 ( )2
U k x t=
1Constante de la fuerza de fricción
=b
masam = 21 ( )2
T m x t=
21 ( )2
D b x t=
2
Universidad de Los AndesProf. Anna Patete
Ecuaciones de LagrangeEcuaciones de Lagrange
Lagrangiano
El Lagrangiano se define como:L
T U= −L
Donde: es la energía cinética total del sistema y es la energíapotencial del sistema.
T Up
14Universidad de Los AndesProf. Anna Patete
Modelado de SistemasModelado de SistemasModelar un sistema usando el Lagrangiano
⎡ ⎤T U= −L0
( ) ( )i i
ddt p t p t⎡ ⎤∂ ∂
− =⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦
L L
-Energía cinética total del sistema : suma de las energías cinéticas de laspartículas.
T
-Energía potencial total del sistema : suma de las energías potenciales delas partículas.
U
-Coordenada generalizada : cada grado de libertad del sistema seexpresa mediante una coordenada generalizada.
( )p t
15Universidad de Los AndesProf. Anna Patete
- Velocidad generalizada : derivada temporal de las coordenadasgeneralizadas.
( )p t
Modelado de SistemasModelado de SistemasAlgoritmo para modelar un sistema usando el Lagrangianog p g g
a) Para sistemas conservativos:
1) Calcule la energía cinética total del sistema,2) Calcule la energía potencial total del sistema,3) Obtenga:4) C l l ∂L
T U= −L
TU
∂L d ⎡ ⎤∂L4) Calcule ,( )ip t
∂∂
L ,( )ip t
∂∂
L( )i
ddt p t⎡ ⎤∂⎢ ⎥∂⎣ ⎦
L
Para cada valor de i
5) Obtenga: 0( ) ( )i i
ddt p t p t⎡ ⎤∂ ∂
− =⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦
L L
16Universidad de Los AndesProf. Anna Patete
Modelado de SistemasModelado de SistemasAlgoritmo para modelar un sistema usando el Lagrangianog p g g
b) Para sistemas no conservativos:
1) Calcule la energía cinética total del sistema,2) Calcule la energía potencial total del sistema,3) Calcule la energía disipada total del sistema,4) Ob T UL
TUD
4) Obtenga:5) Calcule
T U= −L
,( )D
p t∂∂
,( )ip t
∂∂
L ,( )ip t
∂∂
L,
( )i
ddt p t⎡ ⎤∂⎢ ⎥∂⎣ ⎦
L
6) Obtenga:
( ) ( ) ( ) id D Qdt t t t⎡ ⎤∂ ∂ ∂
− + =⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎣ ⎦
L L Donde es la sumatoria delas fuerzas (fuentes) en el
Q
( )ip ( )ip ( )ip⎣ ⎦
17Universidad de Los AndesProf. Anna Patete
( ) ( ) ( ) ii i idt p t p t p t⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎣ ⎦ sistema.
EjemplosEjemplos1) Considere el sistema masa-resorte-amortiguador) g
x
k ub m
( ) ( ),p x x t=
( ),Q u t=
21 ( ) ,2
T m x t= 21 ( ) ,2
U k x t= 21 ( )2
D b x t=
2 21 1( ) ( )2 2
T U m x t k x t= − = −L
18Universidad de Los AndesProf. Anna Patete
EjemplosEjemplos2 21 1( ) ( )T U m x t k x t= − = −L ( ) ( )
2 2T U m x t k x t= − = −L
1 2 ( )( ) 2
k x tt
∂= −
∂L
[ ]( ) ( )d d m x t m x t⎡ ⎤∂= =⎢ ⎥
L( ) 2x t∂
1 2 ( )( ) 2
m x tx t∂
=∂L
[ ]( ) ( )( )
m x t m x tdt x t dt
= =⎢ ⎥∂⎣ ⎦
1 2 ( )D b x t∂=( ) 2x t∂
,( ) ( ) ( )
d D Qdt p t p t p t⎡ ⎤∂ ∂ ∂
− + =⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎣ ⎦
L L
2 ( )( ) 2
b x tx t∂
( ) ( ),p x x t=
( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )1( ) ( ) ( ) ( )
dt p t p t p tm x t k x t b x t u t
k b
∂ ∂ ∂⎣ ⎦− − + =
19Universidad de Los AndesProf. Anna Patete
( ) ( ) ( ) ( )x t x t x t u tm m m
+ + =
EjemplosEjemplos1) Considere el circuito RLC de la figura) g
VeV CCoordenadageneralizada
Carga
( ) ( ),p t q t=
( ),eQ V t=21 ( ) ,
2U q t
C=21 ( ) ,
2T L q t=
21 ( )2
D R q t=
Carga
2 21 1( ) ( )2 2
T U L q t q tC
= − = −L
( )( )
( ) ( )
dq ti tdt
q t i t
=
∫20Universidad de Los AndesProf. Anna Patete
2 2C ( ) ( )q t i t= ∫Carga
EjemplosEjemplos2 21 1( ) ( )
2 2T U L q t q t
C= − = −L
1 2 ( )( ) 2
q tq t C∂
= −∂L
[ ]( ) ( )( )
d d L q t L q tdt q t dt⎡ ⎤∂
= =⎢ ⎥∂⎣ ⎦
L
2 2C
( )q
1 2 ( )( ) 2
L q tq t∂
=∂L
( )dt q t dt∂⎣ ⎦
1 2 ( )( ) 2D R q t
q t∂
=∂
,( ) ( ) ( )
d D Qdt p t p t p t⎡ ⎤∂ ∂ ∂
− + =⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎣ ⎦
L L
( ) 2q t∂
( ) ( ),p t q t=( ) ( ) ( )
1( ) ( ) ( ) ( )e
p p p
L q t q t R q t v tC
⎣ ⎦⎛ ⎞− − + =⎜ ⎟⎝ ⎠
21Universidad de Los AndesProf. Anna Patete
1( ) ( ) ( ) ( )eL q t q t R q t v tC
+ + =
EjemplosEjemplos
Si la salida de interés es el voltaje en el capacitor (por ejemplo), sabemos que:
( ) ( )cV t y t=
1 ( )cV i tC
= ∫∫
( ) cq t CV=
( ) ( )c yCarga( ) ci t CV=∫
( ) ( )i t q t=∫1( ) ( ) ( ) ( )eL q t q t R q t v tC
+ + =
( ) ( )q t i t= ∫( ) cq( ) ( )i t q t=∫
( )1 1 ( )
c c c e
c c c e
CLCV V RCV v t
RCV V V v t
+ + =
+ + =
22Universidad de Los AndesProf. Anna Patete
( )c c c eLC LC LC
Modelado de Sistemas FísicosModelado de Sistemas Físicos
Referencias del material usado para estas diapositivas:
•Material de las diapositivas de la Prof. Mariela Cerrada. Departamento deControl Facultad de Ingeniería Universidad de Los Andes MéridaControl, Facultad de Ingeniería, Universidad de Los Andes, Mérida,Venezuela, 2012.
•Ogata, K. Dinámica de Sistemas, Prentice Hall, 1987.g , , ,
•Lewis, J. Modelling Engineering Systems, High Text Publications, 1994.
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