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Mariella Janette Berrocal Titomabet99@yahoo.com
Antonio José da Silva NetoFrancisco Duarte Moura Neto
Modelamiento de fluidos en medios porosos y Aplicaciones
UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO, IPRJ-UERJ
QUE SON MEDIOS POROSOS?
Medio poroso: es aquel medio que tiene huecos entre las partículas de las que esta compuesto.
Fluido: se define como una sustancia que sufre una deformación continua cuando se le aplica un esfuerzo cortante. Liquidos y gases.
En 1856 el ingeniero Henry Darcy, experimentalmente encontró la siguiente relación.
Que el caudal de agua que atraviesa un medio poroso, depende del gradiente de presión, Factores geométricos, la longitud, el area del medio
Permeabilidad: conductividad hidraúlica
LhKAQ ∆
−=
Caudal = area*velocidad
Permeabilidad=
LhKAQ ∆
−=
Pkv ∇−=µ
LhK
AQv ∆
−==
µkK =
Viscosidad, propiedad de un fluido que tiende a oponerse a su flujo cuando se le aplica una fuerza. Los fluidos de alta viscosidad presentan una cierta resistencia a fluir; los fluidos de baja viscosidad fluyen con facilidad.
Que necesitamos para modelar un fluido en un medio poroso,
Necesitamos de:
0=
∇−=
vdiv
pkvµ
Ec. Conservación o deBalance del flujo
Ec. gobernante de flujo Ley de Darcy
0=++dydv
dxdv
dtd
yxφφφ
Para determinar el camino de una perturbación:
Por que se estudia y se modela el paso del fluido en un medio poroso?
En la explotación del petróleo
En la agricultura, transporte de contaminantes en aguas subterraneas.En medio ambiente, para simular accidentes, evaluar daños, prevenir posibles accidentes por contaminación ambiental.En procesos industriales, cosntrucción de equipos, filtros, torres de absorción, etc
En la industria del petróleo
INYECTORSUCCIÓN
AGUA
RESERVORIOPETRÓLEORocas impermeables
- Para determinar el camino que sigue el fluido- En que lugares pueden ser colocados los pozos- Que calidad de agua se debe de usar
Por que se desea conocer la permeabilidad de un medio poroso?
Contaminación en aguas subterraneas
- Evaluar posibles daños- Prevenir de posibles accidentes
Quienes desarrollan o emplean estos modelos?
-Matemática-Física-Ing. química-Ing. petroquímica-Ing. Civil, -Ing. Ambiental-Ing. Agrícola-Ing. Metalúrgica-Geólogos-etc
Cómo se determina el campo de velocidades?
Para determinar el campo de velocidades es necesario discretizar el medio
-Método de diferencias finitas
-Método de elementos finitos
-Método de volumen finitos
Metodos usados para discretizar el dominio
0,0
Discretización del dominio
Lx
Ly
0,0
p(1,1) p(2,1)
p(2,1)
p(i,j)
p(I,J)
p(i+1,j)p(i-1,j)
p(i,j-1)
p(i,j+1)
I=5, J=5
x∆p(i,j-1)
pe(i,j)po(i,j)
ps(i,j)
pn(i,j)
ps(i,j+1)
pn(i-1,j)
po(i+1,j)po(i-1,j)
p(i,j+1)
p(i-1,j) p(i+1,j)p(i,j)y∆
)1,(),( += jipsjipn
Definimos:
),1(),( jipejipo −=)1,(),( −= jipnjips),1(),( jipojipe +=Condición de Dirichlet:
p(i,j-1)
ue(i,j)uo(i,j)
vs(i,j)
vn(i,j)
vs(i,j+1)
vn(i-1,j)
uo(i+1,j)uw(i-1,j)
p(i,j+1)
p(i-1,j) p(i+1,j)p(i,j)
,Condición de Robin: , ...
=+− )1,(),( jipsjipn ))1,(),(( ++ jivsjivnβ
Definimos:
)1,(),( +−= jivsjivn),1(),( jiuejiuo −−=)1,(),( −−= jivnjivs),1(),( jiuojiue +−=Condición de Neuman:
=+− ),1(),( jipsjipe )),1(),(( jivojive ++β
yjivsjivn
xjiuojiue
∆+
+∆+ ),(2),(2),(2),(2
fvdiv =
),( jif=
0),1(),(),(),1()),1(),((),(),(
=∆
+−+−+++−
xjipojipejipjipjiuojiue
jikjiµ
0)1,(),(),()1,())1,(),((),(),(
=∆
+−+−+++−
xjipsjipnjipjipjivsjivn
jikjiµ
pkv ∇−=µ
+−+++−++∆
+ )),1(),1(()),1(),1((),(2),( jiuejiuojipejipoxjixjif γγγγ βξ=+ ),(1 jipγ
))1,()1,(()1,()1,((),(2 −+++−++∆
jivnjivsjipnjipsyjiy γγγγ βξ
),(1jiξ
Luego la Ecuación de balance de masa:
y la ecuación de Darcy: 0=∇+ pvkµ
Con esta ecuación podemos encontrar la distribución de las presiones y el campo de velocidades
Ejemplo
0
10
20
0
10
20-2
-1
0
1
2
xy
P
0 5 10 15 20
0
5
10
15
20
x
y
0 5 10 15 20
0
5
10
15
20
x
y
Cómo se modela una perturbación?Métodos que se emplean?Una vez determinado el campo de velocidadesPodemos determinar el comportamiento de una perturbación en el tiempo
Se emplean en la discretización del dominio y del tiempo
-Método de diferencias finitas
-Método de lagrangeano de curvas de nivel
0=++dydv
dxdv
dtd
yxφφφ
Y simular la trayectoria de un trazador
Lx
Ly
0,0
Según las posiciones de las fuentesObtenemos el campo de velocidades
0 5 10 15 200
5
10
15
20
x
y
0 5 10 15 200
5
10
15
20
-10
-5
0
5
10
y
x
P
Y simular la trayectoria de un trazador
En tiempo creciente, 0,3,5,10,15,20sResultado obtenido con el metodo semi lagrangeano de las curvas de nivel
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Y simular la trayectoria de un trazador
En tiempo decreciente, 0 –5,-10, -20, -30, -50s.Resultado obtenido con el método de diferencia finitas
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Resultados
Resultados obtenidos por Moura Neto y Goncalves
medio poroso saturado por agua salada mas densa y viscosa que el agua dulce
Resultados obtenidos por Moura Neto y Goncalves
agua dulce
agua salada
Resultados obtenidos por Moura Neto y Goncalves
medio poroso saturado por agua dulce menos densa y viscosa que el agua salada
agua dulce
agua salada
En que trabajamos?En tratar de estimar la permeabilidad del medio a partir de la presión medida en los:pozos inyectores:
ypozos productores:
+f
−f
Como lo resolvemos?Si conocemos la geometria de los medios que forman el dominio, y tenemos mas incógnitas que datos podemos utilizar los metodos de mínimos cuadrados y Levenberg MarquardtEjemplo
Lx
Ly
0,0
10 medidas de presión
10 medidas de presión
3 incognitas , 20 datos
k1
k2
k3
Medio HeterogéneoResultados
Lx
Ly
0,0
2 4 6 8 100.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
iteraciones
k
aprox. k1aprox. k2aprox. k3
2 4 6 8 100.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
iteracones
k
aprox. k1aprox. k2aprox. k3
Ruido menores a 1.5%
Lx
Ly
0,0
k1=0.5k2=0.3k3=0.7
y si?queremos saber la geometria de las regiones, y conocemos los posibles valores que puedan estar formado el medio. Ejemplo Este problema
es resuelto con una estrategia de resistencia medias
Algunos ejemplos donde estimamos forma y los valores de la permeabilidad en un medio poroso, considerando medidas externas de presión
Seguimos trabajando para mejorar nuestros resultados, hasta la proxima ....
1 2 3 4
1
2
3
4
k2=5k1k1
1 2 3 4
1
2
3
4
k2=4 K1k1
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