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Introdução aos Sistemas de Informação Geográfica
Alexandre GonçalvesDECivil - IST
alexandre.goncalves@tecnico.ulisboa.pt
Aulas 5 e 6Modelo matricial
Modelo matricial
1. Resolução2. Tipos de valores e dados3. Compatibilização4. Álgebra de mapas: funções locais, focais,
zonais (e globais)5. Interpolação6. Conversão vetorialmatricial7. Vetorial versus matricial
ISIG – MEC – IST 2020-21
Modelo matricial
Divide a área de estudo numa grelha regular de células numa sequência específica formando uma tesselação ou pavimentação
– cada célula tem um valor numérico associado– todo o local no interior da área de estudo é
preenchido com uma célula
Modelo matricial
As células não têm de ser quadradas.Quais os polígonos regulares que formam
tesselações (pavimentações)?
com pentágonos não dá
ISIG – MEC – IST 2020-21
Resolução espacial
5ISIG – MEC – IST 2020-21
Tipos de valores e dados
• Valores– Inteiros (pode ser uma grandeza
medida ou codificar algo)– Reais
• Dados– Funções contínuas (ex. temperatura,
altitude)– Dados categóricos (ex. uso do solo)
• Cada célula só tem um valor– muitas vezes inadequado: uma fronteira pode passar a meio de uma
célula• tem de haver alguma regra de decisão de classificação (ver
conversão vetorialmatricial, no fim)– onde não há dados, há o valor Sem valor / No Data / Null
No Data / NULL
6 (valor de um dos atributos
desta layer vetorial)
6aqui não há
nada
vetorial matricial
6ISIG – MEC – IST 2020-21
Exemplos de CDG matriciais
7
(têm tabela de atributos) (não têm tabela de atributos)
ISIG – MEC – IST 2020-21
Estrutura de uma matriz
8ISIG – MEC – IST 2020-21
Zonas são grupos de células com o mesmo valor
– Cada zona está associada a uma linha da tabela de atributos da matriz
Regiões são zonas contíguas
– O número de regiões varia consoante a definição de contiguidade de células
4
0 4 4 11
0 4 4 11
0 0 4 11
4
4
0
0
4
4
Null 11
4 11 11
11
Estrutura: Zonas e Regiões
Nesta matriz há ___ zonas e ___ regiões
9ISIG – MEC – IST 2020-21
Reamostragem
• Reamostragem é a alteração da resolução espacial de uma matriz (é produzida uma matriz nova com células de tamanho diferente)
• É preciso determinar o modo como se calcula o valor de cada célula da nova matriz
10ISIG – MEC – IST 2020-21
Quando se georreferencia uma imagem ou se transformam coordenadas é necessário “mover” e “alterar” um CDG matricial
• O valor da célula na imagem/grelha corrigida é o valor da célula mais próximo na imagem/grelha original, independentemente do desvio existente.
• Vantagens– Computacionalmente simples
– Não altera os valores originais
– Aplicável a escalas nominais
• Desvantagens– Objetos sofrem desvio de até meia célula
– Estruturas lineares ficam com aspeto zigzag
Compatibilização pelo método vizinho mais próximo
Imagem/grelha corrigida
11ISIG – MEC – IST 2020-21
Compatibilização pelo método da interpolação bilinear
• O valor da célula na matriz corrigida é uma média ponderada do valor das 4 células mais próximas na matriz original.
• Vantagens– Adequado a funções contínuas…
• Desvantagens– Pode suavizar demasiado os valores…– Altera os valores das células para
valores que não existiam na matriz original, pelo que não serve para dados nominais
Imagem/grelha original
Imagem/grelha corrigida
12ISIG – MEC – IST 2020-21
Álgebra de mapas (análise espacial matricial)• Funções locais
Usam o valor da célula na mesma posição na matriz(es) de entrada
• Funções focaisUsam os valores das células num foco de forma fixa
• Funções zonaisUsam os valores das células definidas segundo zonas
• Funções globaisTodas as restantes funções de álgebra de mapas
Funções locais
Populacao2010 Populacao2000 VarPop
_ =
Designam-se por funções locais as funções obtidas por combinação dos valores de uma ou mais matrizes com a mesma posição na matriz.
169 3 99 35 87 2 94 24 94 1 5 11
Null 62 46 19 Null 32 39 13 Null 30 7 6
Null 74 156 38 Null 74 89 35 Null 0 75 3
52 100 34 123 48 69 22 100 4 31 12 23
14ISIG – MEC – IST 2020-21
Funções locais
VarPop=((Pop2010–Pop2000)/(Pop2000))*100
169 3 99 35 87 2 94 24
Null 62 46 19 Null 32 39 13
Null 74 156 38 Null 74 89 35
52 100 34 123 48 69 22 100
0 0 0 0 94 50 5 46
Null 0 0 0 Null 94 18 46
Null 0 0 0 Null 0 75 9
0 0 0 0 8 45 55 23
Pop2010 Pop2000
resultado se se usar a
divisão inteira(onde 2/3 = 0)
resultado se se usar a
divisão real
15
Funções locaisOperadores Aritméticos
•Os operadores básicos (+,-,*,/) estão geralmente disponíveis.•Atenção aos problemas de arredondamento e precedência de operadores.
Operadores Booleanos ou LógicosOutput: 0=FALSE, 1=TRUE / Input: 0=FALSE, ~0=TRUE
AND =0 3 5 1 Null 0 2 Null Null 0 1 Null
Null 3 1 8 Null 2 0 7 Null 1 0 1
Null 9 5 4 Null 2 3 0 Null 1 1 0
6 5 7 3 0 3 2 1 0 1 1 1
16ISIG – MEC – IST 2020-21
Funções locais: Reclassificação
é uma dasoperações mais usadas
3 1 [0,2]=0 ]2,6]=1 ]6,9]=2
2
7
6 5
9
1 5
8
0 1 0
1 1
2 2 2
17
Funções focais
...
6 4 5 9
3 7 5 6
4 5 6 7
...
...
5
...
6
As funções focais têm em consideração não somente o valor de uma célula isolada mas também os valores das células situadas numa vizinhança próxima, definida em geral por uma janela, designada foco.
exemplo: média focal com janela de 3x3
18ISIG – MEC – IST 2020-21
Funções focais
Nas funções focais propriamente ditas há uma janela móvel, i.e., as vizinhanças sobrepõem-se.
Nas funções de bloco as vizinhanças são justapostas.
O valor de output é igual em todas as células de um dado bloco.
19
Funções focaisdefinição de um foco
O foco pode tomar qualquer forma
vizinhança circular
células incluídas no foco
célula a processar
vizinhança anelar (donut)
células incluídas no foco
célula a processar
20ISIG – MEC – IST 2020-21
Funções focais
© Paul Bolstad, GIS Fundamentals
Exemplos de aplicação:• Remoção do “ruído” (deteção de
erros/outliers)• Cálculo de declive e orientação• Índice de rugosidade
2
,
)( celji
ijcel XXR −=
21
Funções zonais
• As funções zonais são semelhantes às focais, com a diferença de a vizinhança não ter uma forma fixa, podendo a zona ser definida numa outra matriz.
• Calculam para cada célula uma determinada função ou estatística usando o valor dessa célula e de todas as que pertencem à mesma zona.
• Algumas funções zonais (tipo I) nas quais as zonas são definidas por um valor isolado permitem obter estatísticas ou quantificar as características da geometria das zonas de input.
• Outras funções zonais (tipo II) nas quais as zonas são definidas através de uma segunda matriz permitem obter estatísticas ou preencher zonas específicas com valores da matriz de input.
22ISIG – MEC – IST 2020-21
Funções zonaisExemplos do tipo I:Área zonal, Perímetro zonal, Profundidade zonal
resposta a perguntas do tipo “Qual a área de cada zona”, “Qual o perímetro de cada zona”, “Qual a distância mínima a que se encontram células de outro valor?”
23ISIG – MEC – IST 2020-21
Funções zonais
A
G A A X
G A A X
G G A X
A
1
1
1
3
A
G
G
A
A
Null X
A X X
X
2 2
0 0
5 6
2 1
0 3
2 4
0 1
2
1 12
2
2
0
1
25
25
25
25
10 25
25 25
Null 14
14 14
10 10
25 10
10 10
25
25 25
14
14
14
14
resultado de uma soma zonal
layer de zonas layer de valores a agrupar
Exemplos do tipo II:Maioria, Máximo, Média, Mediana, Mínimo, Minoria, Intervalo, Desvio-padrão, Variância, Soma, Variedade
Outras funções• Distâncias• Interpolação• ...
ISIG – MEC – IST 2020-2125
Distância euclidiana• Pode ser a aplicada a um
conjunto de entidades (pontos, linhas, polígonos)
• Cada célula contém a distância (do centro) até à entidade mais próxima
ISIG – MEC – IST 2020-21 26
Interpolação
• A interpolação é uma técnica para estimar valores desconhecidos de uma função a partir de valores conhecidos da mesma função
x f(x)
a f(a)
b ?
c f(c)
d f(d)
ISIG – MEC – IST 2020-2127
Interpolação na conversão de formatos
Necessária na conversão de pontos matrizOpcional na conversão de matriz pontos
Dois modos de considerar os valores da grandeza representada por uma matriz: com interpolação usando os valores mais próximos (esq.) ou usando só o mais próximo (dir.)
3D
latt
ice –
su
ave
3D
gri
d –
po
r b
loco
s
28ISIG – MEC – IST 2020-21
Interpolação na reamostragem
• Vizinho mais próximo– para dados categóricos (discretos)
• Interpolação bilinear• Convolução cúbica/bicúbica
Matriz original
Nova matriz
Reamostragem é a alteração da resolução espacial de uma
matriz, ou o recálculo dos valores das células que é
necessário quando se faz uma transformação de coordenadas
29ISIG – MEC – IST 2020-21
Interpolação na reamostragem
• Vizinho mais próximo• Interpolação bilinear
– para funções contínuas
• Convolução cúbica/bicúbica Matriz original
Nova matriz
30ISIG – MEC – IST 2020-21
Interpolação na reamostragem
• Vizinho mais próximo• Interpolação bilinear• Convolução cúbica/bicúbica
– para funções contínuas
31ISIG – MEC – IST 2020-21
Interpolação na reamostragem
ww
w.c
hri
sm
ad
de
n.c
o.u
k
32
Interpolação na reamostragemOutra maneira, como função focal
33
Interpolação
34
Interpolação
Interpolação linear (grau 1)
Interpolação polinomial (grau >1)
35ISIG – MEC – IST 2020-21
Interpolação
• Splines (regularized / tension)• Utilizam splines baseados nos pontos
de input mais próximos• Criam superfícies suavizadas de
curvatura mínima• Exatas nos pontos de input
• Triangulações• A mais simples interp. linear
K
J
I
AOJKAOIJ
AOIK
O
f(x,y) = z = ax + by + c
z1 = ax1 + by1 + c z2 = ax2 + by2 + c z3 = ax3 + by3 + c
ISIG – MEC – IST 2020-2136
Interpolação
• IDW – Inverse Distance Weighted
Parâmetros:• Potência n• Número máximo de
vizinhos ou raio de procura máximo
37ISIG – MEC – IST 2020-21
Interpolação
• IDW– quanto maior a potência, maior a
diferença entre células vizinhas– quanto maior a vizinhança, mais
suave será a superfície– estima exctamente nos pontos
amostrais– à medida que se afasta destes, tende
para a média da região– necessita de boa distribuição das
amostras
ISIG – MEC – IST 2020-2138
Interpolação
• Exemplo de IDWx y f(x,y)=zi Dist. à obs.
8 = diwi=1/ di
(1/di) / (ΣΣΣΣ1/di)
1 61 139 477 4.5 0.2222 0.2088
2 63 140 696 3.6 0.2778 0.2610
3 64 129 227 8.1 0.1235 0.1160
4 68 128 646 9.5 0.1053 0.0989
5 71 140 606 6.7 0.1493 0.1402
6 73 141 791 8.9 0.1124 0.1056
7 75 128 783 13.5 0.0741 0.696
8 65 137 ? 0 0 0
ΣΣΣΣ1/di = 1.0644 1.0
f ^(65,137) = 594.0
pesos normalizadospesos
ISIG – MEC – IST 2020-2139
Interpolação
• Vizinho mais próximo
40
Interpolação
• Vizinho natural– a área de cada polígono de
Thiessen dá o peso de cada ponto/polígono para calcular o valor
ISIG – MEC – IST 2020-2141
Interpolação
• Raio fixo
ISIG – MEC – IST 2020-2142
Interpolação
• Trend– Polinómio ajustado por mínimos
quadrados (até grau 12 no ArcGIS)– Não exata
ISIG – MEC – IST 2020-2143
Interpolação
• Krigagem– baseada na variabilidade espacial, segundo direções e segundo a
distância entre pontos– considera autocorrelação (relação estatística entre pontos amostrais)– múltiplos métodos, e cada um usa fórmulas para avaliar a relação
entre a posição dos pontos e os respetivos valores da grandeza a interpolar
– fornecem ainda medida (e mapa) da incerteza de estimação
44
Interpolação
• Quantificação de margens de erro
e = f^(x,y) - f(x,y) erro de estimação
e = 1/n Σ f^(x,y) - f(x,y) erro médiopara os n pontos
MAE =e = 1/n Σ f^(x,y) - f(x,y) erro absolutomédio
MSE = 1/n Σ [ f^(x,y) - f(x,y) ]2 erro quadrático médio
f^(x,y) é o valor estimado; f(x,y) é o valor conhecido
45ISIG – MEC – IST 2020-21
Álgebra de mapas: cuidados
© Paul Bolstad, GIS Fundamentals
• As matrizes podem diferir– Na resolução espacial– Na orientação dos eixos– Nas coordenadas dos cantos– No tipo de valores numéricos
que guardam– No valor associado a NoData– ...
46ISIG – MEC – IST 2020-21
Conversão vetorialmatricial
• só há um valor por célula• necessidade de regras de atribuição
– maior parte da área (para áreas)– valor no centro– presença na célula (para entidades lineares)– necessidade de preservar algumas entidades “raras”
• escolha da resolução espacial: é boa prática a regra de escolher para resolução espacial nunca mais que ½ do menor comprimento ou ¼ da área do menor elemento vetorial não pontual
Conversão vetorialmatricial
48ISIG – MEC – IST 2020-21
“Vantagens” do matricial
• Estrutura de dados simples
• Análise fácil• A plataforma
computacional não é exigente
• Dados da deteção remota são em formato matricial
• Modelação simples• Algoritmia geralmente
mais simples
49
• Inexatidão posicional• Como cada célula tende à
generalização do conteúdo, o resultado tem resolução inferior ao vetorial.
• Não indica precisamente o que existe em dado local.
• Cada célula tem de ser classificada, mesmo que nada lá exista.
• Grande volume de dados
“Desvantagens” do matricial
50
“Vantagens” do vetorial
• Mais aproximado aos “mapas”
• Resolução mais elevada
• Maior precisão no posicionamento dos objetos
• Menor volume de dados (em geral)
• Interpretação evidente• Topologia• Produtos cartográficos
mais “apelativos”
51
“Desvantagens” do vetorial
• Manipulação mais “difícil” do que matricial
• Requer processamento geométrico
• Edição mais demorada
ISIG – MEC – IST 2020-2152
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