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09/09/2015 Material Apoyo 1
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
A N Á L I S I S E S TA D Í S T I C O I I I N G E N I E R Í A E N P R E V E N C I Ó N D E R I E S G O S
MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
INTRODUCCIÓN
Una de las preocupaciones de los científicos ha sido construir modelos de distribuciones
de probabilidad que pudieran representar el comportamiento teórico de diferentes
fenómenos aleatorios que aparecían en el mundo real. La pretensión de modelar lo
observable ha constituido siempre una necesidad básica para el científico empírico,
dado que a través de esas construcciones teóricas, los modelos, podía experimentar
sobre aquello que la realidad no le permitía. Por otra parte, un modelo resulta
extremadamente útil, siempre que se corresponda con la realidad que pretende
representar o predecir, de manera que ponga de relieve las propiedades más
importantes del mundo que nos rodea, aunque sea a costa de la simplificación que
implica todo modelo. En esta sección se analizarán los modelos probabilísticos
discretos más comunes y de mayor aplicación práctica.
09/09/2015 Material Apoyo 2
MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETOS.
MODELO DE BERNOUILLI
Corresponde a experimentos como el lanzamiento de una moneda. Sirve de modelo
para muchas situaciones en las que sólo puede haber dos posibles resultados
complementarios (A y no A): uno de ellos con probabilidad p y el otro con probabilidad
(1-p).
Ejemplos:
• Inspeccionar un objeto para ver si es o no es defectuosos.
• Preguntar a una persona si tiene o no tiene trabajo
• Comprobar si una empresa está o no está en quiebra
• Ver si un alumno apruebe o no aprueba un examen
09/09/2015 Material Apoyo 3
MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETOS.
LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Se repite n veces de forma independiente un experimento de Bernouilli con probabilidad de éxito igual a p. La variable aleatoria x que expresa el número de “éxitos” obtenidos en este proceso sigue una distribución binomial con parámetros n y p: B(n,p). Una vez se tiene la probabilidad de que suceda k, y el número de permutaciones, ya se puede calcular la probabilidad de que se den k éxitos con n ensayos:
La esperanza matemática será:
La varianza será: donde
09/09/2015 Material Apoyo 4
knk ppk
nkXPxf
)1()()(
npxE )(
npqxV )( 1 qp
MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETOS.
LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Ejemplo: Un vendedor de seguros de vida afirma que el 30% de las veces que sale a la caza de clientes concreta una venta. ¿Cuál es la probabilidad de que en las 10 próximas visitas realice al menos una venta?
Solución: Entonces, la probabilidad de obtener al menos una venta en las próximas diez
visitas será
09/09/2015 Material Apoyo 5
)0(1)1(1)1( xPxPxP
0282,0)3,01(3,00
10)0( 0100
xP
9717,00282,01)0(1)1(1)1( xPxPxP
MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETOS.
LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Ejemplo: La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el punto de que el 80% de los lectores ya la han leído. Un grupo de 4 amigos son aficionados a la lectura. A. ¿Cuál es la probabilidad de que el grupo hayan leído la novela 2 personas?
B. ¿Y cómo máximo 2?
Solución: A.
La probabilidad es del 15,36%
09/09/2015 Material Apoyo 6
1536,0)8,01(8,02
4)2( 242
xP
MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETOS.
LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
¿Y cómo máximo 2?
Solución B.
09/09/2015 Material Apoyo 7
)2()1()0()2( xPxPxPxP
0016,0)8,01(8,00
4)0( 040
xP 0256,0)8,01(8,0
1
4)1( 141
xP
1536,0)8,01(8,02
4)2( 242
xP
1808,01536,00256,00016,0)2( xP
MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETOS.
LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Ejemplo: La probabilidad de que un artículo producido por una fabrica sea defectuoso es 0,02. Se envió un cargamento de 10.000 artículos a unos almacenes. Hallar el número esperado de artículos defectuosos, la varianza y la desviación típica.
09/09/2015 Material Apoyo 8
20002,0000.10)( npxE
19698,002,0000.10)( npqxV
14196)( npqxDS
MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETOS.
LA DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA
Los experimentos que tienen este tipo de distribución tienen las siguientes características:
• Al realizar un experimento con este tipo de distribución, se esperan dos tipos de resultados.
• Las probabilidades asociadas a cada uno de los resultados no son constantes.
• Cada ensayo o repetición del experimento no es independiente de los demás.
• El número de repeticiones del experimento (n) es constante.
Ejemplo:
En una urna o recipiente hay un total de N objetos, entre los cuales hay una cantidad a de objetos que son defectuosos, si se seleccionan de esta urna n objetos al azar, y sin reemplazo, ¿cuál es la probabilidad de obtener x objetos defectuosos?
09/09/2015 Material Apoyo 9
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MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETOS.
LA DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA
ESPERANZA MATEMÁTICA
Varianza
09/09/2015 Material Apoyo 10
n
N
xn
N
x
N
xXP
21
)(
N
NnXE 1)(
1)( 21
N
nN
N
N
N
NnXV
MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETOS.
LA DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA
Ejemplos:
Para evitar que lo descubran en la aduana, un viajero ha colocado 6 tabletas de narcótico en una botella que contiene 9 píldoras de vitamina que son similares en apariencia. Si el oficial de la aduana selecciona 3 tabletas aleatoriamente para analizarlas, a) ¿Cuál es la probabilidad de que el viajero sea arrestado por posesión de narcóticos?, b) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea arrestado por posesión de narcóticos?.
Solución:
a) N = 9+6 =15 total de tabletas
a = 6 tabletas de narcótico
n = 3 tabletas seleccionadas
x = 0, 1, 2, o 3 tabletas de narcótico = variable que nos indica el número de tabletas de narcótico que se puede encontrar al seleccionar las 3 tabletas
09/09/2015 Material Apoyo 11
MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETOS.
LA DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA
09/09/2015 Material Apoyo 12
4747,0
3
15
2
9
1
6
)1(
XP
2967,0
3
15
1
9
2
6
)2(
XP
0439,0
3
15
0
9
3
6
)3(
XP 0,8143
MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETOS.
LA DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA
b) p(no sea arrestado por posesión de narcóticos)
09/09/2015 Material Apoyo 13
1846,0
3
15
3
9
0
6
)0(
XP
MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETOS.
LA DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA
Ejemplos: De un lote de 10 proyectiles, 4 se seleccionan al azar y se disparan. Si el lote contiene 3 proyectiles defectuosos que no explotarán, ¿cuál es la probabilidad de que , a) los 4 exploten?, b) al menos 2 no exploten?
Solución:
a) N = 10 proyectiles en total
N1 = 7 proyectiles que explotan
n = 4 proyectiles seleccionados
x = 0, 1, 2, 3 o 4 proyectiles que explotan = variable que nos define el número de proyectiles que explotan entre la muestra que se dispara
09/09/2015 Material Apoyo 14
MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETOS.
LA DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA
09/09/2015 Material Apoyo 15
1666,0
4
10
0
3
4
7
)4(
XP
3333,0)3()2()2( xPxPxP
30,0
4
10
2
3
2
7
)2(
XP
0333,0
4
10
3
3
1
7
)3(
XP
MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETOS.
DISTRIBUCIÓN DE POISSON
La distribución de Poisson se llama así en honor a su creador, el francés Simeón Dennis
Poisson (1781-1840), Esta distribución de probabilidades fue uno de los múltiples trabajos
matemáticos que Dennis completó en su productiva trayectoria.
La distribución de Poisson se utiliza en situaciones donde los sucesos son impredecibles o de
ocurrencia aleatoria. En otras palabras no se sabe el total de posibles resultados.
Permite determinar la probabilidad de ocurrencia de un suceso con resultado discreto.
Es muy útil cuando la muestra o segmento n es grande y la probabilidad de éxitos p es
pequeña.
Se utiliza cuando la probabilidad del evento que nos interesa se distribuye dentro de un
segmento n dado como por ejemplo distancia, área, volumen o tiempo definido.
09/09/2015 Material Apoyo 16
MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETOS.
DISTRIBUCIÓN DE POISSON
A continuación veremos la función de probabilidad de la distribución de Poisson.
Donde:
P(X=K) es la probabilidad de ocurrencia cuando la variable discreta X toma un valor
finito k.
λ = Lambda es la ocurrencia promedio por unidad (tiempo, volumen, área, etc.). Es
igual a p por el segmento dado. La constante e tiene un valor aproximado de 2,711828
K es el número de éxitos por unidad
09/09/2015 Material Apoyo 17
!)(
k
ekXP
k
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MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETOS.
DISTRIBUCIÓN DE POISSON
Ejemplo 1 :La producción de televisores en SAMSUNG trae asociada una probabilidad
de defecto del 2%, si se toma un lote o muestra de 85 televisores, obtener la
probabilidad de que existan 4 televisores con defectos.
09/09/2015 Material Apoyo 18
n = 85
P = 0,02
X = 4
lambda = 1,7
0635,0!4
7,1)4(
47,1
e
XP
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MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETOS.
DISTRIBUCIÓN DE POISSON
Ejemplo 2 :En una jaula con 100 pericos 15 de ellos hablan ruso calcular la probabilidad
de que si tomamos 20 pericos al azar 3 de ellos hablen ruso.
09/09/2015 Material Apoyo 19
n = 20
p = 0.15
X = 3
lambda =3
2240,0!3
3)3(
33
e
XP
MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETOS.
DISTRIBUCIÓN DE POISSON
Ejemplo 3 :Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por día, ¿cuáles son las
probabilidades de que reciba, a) cuatro cheques sin fondo en un día dado, b) 10
cheques sin fondos en cualquiera de dos días consecutivos?
09/09/2015 Material Apoyo 20
Solución: a) x = variable que nos define el número de cheques sin fondo que llegan al banco en un día cualquiera = 0, 1, 2, 3, etc.
= 6 cheques sin fondo por día 13392024
0024801296
4
7182664
64
.).)((
!
).()(),x(p
MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETOS.
DISTRIBUCIÓN DE POISSON
09/09/2015 Material Apoyo 21
b) x= variable que nos define el número de cheques sin fondo que llegan al banco en dos días consecutivos = 0, 1, 2, 3, ......, etc.
= 6 x 2 = 12 cheques sin fondo en promedio que llegan al banco en dos días consecutivos
Nota: siempre debe de estar en función de x siempre o dicho de otra forma, debe “hablar” de lo mismo que x.
10495303628800
00000615101019173646
10
7182121210
1210
.).)(.(
!
).()(),x(p
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MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETOS.
DISTRIBUCIÓN DE POISSON
Ejemplo 4: En la inspección de hojalata producida por un proceso electrolítico continuo,
se identifican 0.2 imperfecciones en promedio por minuto. Determine las
probabilidades de identificar a) una imperfección en 3 minutos, b) al menos dos
imperfecciones en 5 minutos, c) cuando más una imperfección en 15 minutos.
09/09/2015 Material Apoyo 22
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MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETOS.
DISTRIBUCIÓN DE POISSON
09/09/2015 Material Apoyo 23
MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETOS.
DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA
• La variable aleatoria al igual que en la distribución binomial, sólo puede tomar dos
valores (éxito o fracaso).
• Las pruebas son también idénticas e independientes entre sí.
• La probabilidad de éxito es p y se mantiene constante de prueba en prueba.
Sin embargo, mientras que en la distribución binomial se buscaba el número de éxitos que
ocurrían en “n” pruebas, en la distribución geométrica lo que se busca es el número de
pruebas necesarias para que ocurra un éxito, es decir, el experimento consiste de una serie
de pruebas, las cuales concluyen cuando un éxito es observado.
09/09/2015 Material Apoyo 24
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MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETOS.
DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA
Función de probabilidad o cuantía: Se a X una V.A. definida como el numero de
realizaciones o repeticiones (independientes) en un experimento de Bernoulli hasta
conseguir el primer éxito y que toma los valores discretos superiores o iguales a 1 (x≥1). La
función de cuantía de la distribución Geométrica Ge (p) 0< p<1 ( p es la probabilidad de
obtener éxito) viene dada por :
Varianza
09/09/2015 Material Apoyo 25
ppxXP x 1)1()(
Esperanza Matemática
pXE
1)( 2
1)(
p
pXV
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DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA
Ejemplo 1: Sí la probabilidad de que un cierto dispositivo de medición muestre una
desviación excesiva es de 0,05, ¿cuál es la probabilidad de que; a) el sexto de estos
dispositivos de medición sometidos a prueba sea el primero en mostrar una desviación
excesiva?, b) el séptimo de estos dispositivos de medición sometidos a prueba, sea el
primero que no muestre una desviación excesiva?.
09/09/2015 Material Apoyo 26
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MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETOS.
DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA
Solución:
a) x = 6 que el sexto dispositivo de medición probado sea el primero que muestre una
variación excesiva p = 0,05 =probabilidad de que un dispositivo de medición muestre una
variación excesiva q = 0,95 =probabilidad de que un dispositivo de medición no muestre
una variación excesiva.
09/09/2015 Material Apoyo 27
03869,005,0)05,01()6( 16 XP
MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETOS.
DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA
Solución:
b) x = 5 que el quinto dispositivo de medición probado, sea el primero que no muestre una
desviación excesiva p = 0,95 = probabilidad de que un dispositivo de medición no muestre
una variación excesiva q = 0,05 = probabilidad de que un dispositivo de medición muestre
una variación excesiva
09/09/2015 Material Apoyo 28
0000059,095,0)05,0()6( 15 XP
MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETOS.
DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA
Ejemplo 2: Los registros de una compañía constructora de pozos, indican que la
probabilidad de que uno de sus pozos nuevos, requiera de reparaciones en el término de
un año es de 0.20. ¿Cuál es la probabilidad de que el quinto pozo construido por esta
compañía en un año dado sea el primero en requerir reparaciones en un año?.
09/09/2015 Material Apoyo 29
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MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETOS.
DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA
Solución : x = 5 que el quinto pozo sea el primero que requiera reparaciones en un año p =
0,20 = probabilidad de que un pozo requiera reparaciones en el término de un año q = 0,80
= probabilidad de que un pozo no requiera reparaciones en el término de un año
09/09/2015 Material Apoyo 30
08192,020,0)80,0()6( 15 XP
MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETOS.
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL NEGATIVA
Puede definirse como una generalización del modelo Geométrico o de Pascal. Así, dado un
suceso A y su complementario Ac, cuando X representa el número de veces que se da Ac
(ausencias, fallos, etc.) hasta que se produce r veces el suceso A, en una serie de
repeticiones de la experiencia aleatoria en condiciones independientes, decimos que X
sigue la distribución Binomial negativa. Nótese que, cuando r = 1, tenemos exactamente el
modelo geométrico.
Este modelo queda definido por dos parámetros p (la probabilidad de A: p = P(A)) y r (el
número de veces que debe producirse A para que detengamos la experiencia).
09/09/2015 Material Apoyo 31
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MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETOS.
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL NEGATIVA
La función de densidad viene dada por:
09/09/2015 Material Apoyo 32
rxr ppr
xxXPxf
)1(
1
1)()(
Esperanza Matemática
p
rXE )(
Varianza 2
)1()(
p
prXV
MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETOS.
Ejemplo: Encuentre la probabilidad de que una persona que lanzares monedas obtenga
solo caras o solo sellos por segunda vez en el quinto lanzamiento.
09/09/2015 Material Apoyo 33
1054,0256
27)
4
11(
4
1
12
15)5()( 25
2
XPxf
MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETOS.
Ejemplo: Para tratar a un paciente de una afección de pulmón han de ser operados en
operaciones independientes sus 5 lóbulos pulmonares. La técnica a utilizar es tal que si
todo va bien, lo que ocurre con probabilidad de 7/11, el lóbulo queda definitivamente
sano, pero si no es así se deberá esperar el tiempo suficiente para intentarlo
posteriormente de nuevo. Se practicará la cirugía hasta que 4 de sus 5 lóbulos funcionen
correctamente. ¿Cuál es el valor esperado de intervenciones que se espera que deba
padecer el paciente? ¿Cuál es la probabilidad de que se necesiten 10 intervenciones?
09/09/2015 Material Apoyo 34
MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETOS.
Solución: Este es un ejemplo claro de experimento aleatorio regido por una ley binomial
negativa, ya que se realizan intervenciones hasta que se obtengan 4 lóbulos sanos, y éste
es el criterio que se utiliza para detener el proceso.
09/09/2015 Material Apoyo 35
285,67
44
11
7
4)(
p
rXE
0318,0)11
71(
11
7
14
110)10()( 410
4
XPxf
MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETOS.
Ejercicios: Para evitar que lo descubran en la aduana, un viajero ha colocado 6 tabletas de
narcótico en una botella que contiene 9 píldoras de vitamina que son similares en
apariencia. Si el oficial de la aduana selecciona 3 tabletas aleatoriamente para analizarlas,
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el viajero sea arrestado por posesión de narcóticos?, b)
¿Cuál es la probabilidad de que no sea arrestado por posesión de narcóticos?.
09/09/2015 Material Apoyo 36
MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETOS.
Solución: a) N = 9+6 =15 total de tabletas, 6 tabletas de narcótico, n = 3 tabletas
seleccionadas, x = 0, 1, 2, o 3 tabletas de narcótico = variable que nos indica el número de
tabletas de narcótico que se puede encontrar al seleccionar las 3 tabletas
09/09/2015 Material Apoyo 37
8153,01846,01
3
15
3
9
0
6
1)0(1)1(
xPxP
MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETOS.
Solución: p(no sea arrestado por posesión de narcóticos)
09/09/2015 Material Apoyo 38
1846,0
3
15
3
9
0
6
)0(
xP
09/09/2015 Material Apoyo 39
ANÁLISIS ESTADÍSTICO II INGENIERÍA EN PREVENCIÓN
DE RIESGOS M A T E R I A L D E A P O Y O
R E A L I Z A D O P O R A L E J A N D R O P I Ñ E I R O C A R O
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